2023-2024学年江苏省泰州市靖江市高二（上）段考数学试卷（10月份）

这是一份2023-2024学年江苏省泰州市靖江市高二（上）段考数学试卷（10月份），共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知双曲线8kx2﹣ky2＝8的一个焦点为（0，3），则k的值为（ ）
A．B．C．1D．﹣1
2．设直线l的方程为x﹣ysinθ+2＝0，则直线l的倾斜角α的范围是（ ）
A．[0，π]B．
C．D．
3．已知函数y＝f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，C的一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，则|AB|＝（ ）
A．B．C．D．
5．已知等差数列{an}的公差为，集合S＝{csan|n∈N*}，若S＝{a，b}，则ab＝（ ）
A．﹣1B．﹣C．0D．
6．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝﹣5，S6＝21S2，则S8＝（ ）
A．120B．85C．﹣85D．﹣120
7．设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：的两个焦点，点P在C上，，则|OP|＝（ ）
A．B．C．D．
8．设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea+1+b＜blnb，则（ ）
A．ab＞eB．b＞ea+1C．ab＜eD．b＜ea+1
二、多项选择题：本题共4小题，每小题0分，共20分.有选错的得0分，部分选对的得2分.
（多选）9．已知“冰雹猜想”数列{an}满足：an+1＝，若a1＝m（m为正整数），a8＝1，则m可能的取值为（ ）
A．2B．4C．21D．128
（多选）10．若函数f（x）＝alnx++（a≠0）既有极大值也有极小值，则（ ）
A．bc＞0B．ab＞0C．b2+8ac＞0D．ac＜0
（多选）11．设O为坐标原点，直线y＝﹣（x﹣1）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）
A．p＝2
B．|MN|＝
C．以MN为直径的圆与l相切
D．△OMN为等腰三角形
（多选）12．在平面直角坐标系中，若正方形的四条边所在的直线分别经过点A（1，0），B（2，0），C（4，0），D（8，0），则这个正方形的面积可能为（ ）
A．B．C．D．
三、填空题：本题共4小题，每小题0分，共20分.
13．已知函数f（x）＝lnx+x，当h→0时，＝ ．
14．设m，b为实数，已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且椭圆与双曲线交于点P，则椭圆焦点到直线的距离为 ．
15．已知直线x﹣my+1＝0与⊙C：（x﹣1）2+y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值 ．
16．设a∈（0，1），若函数f（x）＝ax+（1+a）x在（0，+∞）上单调递增，则a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，．
（1）求数列{an}的前n项和为Sn；
（2）若bn＝3n﹣1，令cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和为Tn．
18．设a为实数，函数f（x）＝x3﹣3x2+a，g（x）＝xlnx．
（1）求f（x）的极值；
（2）对于∀x1∈[1，3]，，都有f（x1）≥g（x2），求实数a的取值范围．
19．已知直线x﹣2y+1＝0与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，|AB|＝4．
（1）求p；
（2）设F为C的焦点，M，N为C上两点，且•＝0，求△MFN面积的最小值．
20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，点A（﹣2，0）在C上．
（1）求C的方程；
（2）过点（﹣2，3）的直线交C于点P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点．
21．如图，AB是沿太湖南北方向道路，P为太湖中观光岛屿，Q为停车场，PQ＝5.2km．某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场Q，已知游船以13km/h的速度沿方位角θ的方向行驶，．游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点Q与旅游团会合，立即决定租用小船先到达湖滨大道M处，然后乘出租汽车到点Q（设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车）．假设游客甲乘小船行驶的方位角是α，出租汽车的速度为66km/h．
（Ⅰ）设，问小船的速度为多少km/h时，游客甲才能和游船同时到达点Q；
（Ⅱ）设小船速度为10km/h，请你替该游客设计小船行驶的方位角α，当角α余弦值的大小是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达Q．
22．已知函数f（x）＝|ex﹣|﹣alnx．
（1）当a＝﹣1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）＞a，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题0分，共40分.
1．【分析】双曲线8kx2﹣ky2＝8化为﹣＝1，由于双曲线的一个焦点为（0，3），可得﹣﹣＝32，解出即可
【解答】解：双曲线8kx2﹣ky2＝8
化为﹣＝1，
∵双曲线的一个焦点为（0，3），
∴﹣﹣＝32，
解得k＝﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其性质，考查运算能力，属于基础题．
2．【分析】直接利用直线方程的应用求出直线的斜率，进一步求出倾斜角的范围；
【解答】解：直线l的方程为x﹣ysinθ+2＝0，
当sinθ＝0时，，
当sinθ≠0时，直线的斜率k＝tan，
所以tanα∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），
所以，
综上所述：；
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：直线的斜率和倾斜角的关系，正切函数的性质，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题．
3．【分析】根据导数的图象，利用函数的单调性和导数的关系，得出所选的选项．
【解答】解：由导数的图象可得，导函数f′（x）的值在[﹣1，0]上的逐渐增大，
故函数f（x）在[﹣1，0]上增长速度逐渐变大，故函数f（x）的图象是下凹型的．
导函数f′（x）的值在[0，1]上的逐渐减小，
故函数f（x）在[0，1]上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的单调性和导数的关系，属于基础题．
4．【分析】利用双曲线的离心率，求解渐近线方程，然后求解圆的圆心到直线的距离，转化求解|AB|即可．
【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，
可得c＝a，所以b＝2a，
所以双曲线的渐近线方程为：y＝±2x，
一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，圆的圆心（2，3），半径为1，
圆的圆心到直线y＝2x的距离为：＝，
所以|AB|＝2＝．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
5．【分析】根据等差数列的通项公式，三角函数的周期性，特值法，即可求解．
【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1，又公差为，
∴，
∴，其周期为＝3，
又根据题意可知S集合中仅有两个元素，
∴可利用对称性，对an取特值，
如a1＝0，，，•••，或，，a3＝π，•••，
代入集合S中计算易得：ab＝．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的通项公式，三角函数的周期性，特值法，属中档题．
6．【分析】由题意知公比q≠1，设首项为a1，由S6＝21S2求出q2，再代入S4求出，由此求得S8．
【解答】解：等比数列{an}中，S4＝﹣5，S6＝21S2，显然公比q≠1，
设首项为a1，则＝﹣5①，＝②，
化简②得q4+q2﹣20＝0，解得q2＝4或q2＝﹣5（不合题意，舍去），
代入①得＝，
所以S8＝＝（1﹣q4）（1+q4）＝×（﹣15）×（1+16）＝﹣85．
故选：C．
【点评】本题考查了等比数列的前n项和公式计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
7．【分析】根据椭圆的几何性质，余弦定理，向量中点公式，向量数量积的性质，即可求解．
【解答】解：根据题意可得a＝3，b＝，c＝，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，与点P在C上，，
∴cs∠F1PF2＝＝，又m+n＝2a＝6，
解得mn＝，
∴，
∴
＝
＝
＝＝30，
∴，
∴|OP|＝．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，余弦定理，向量中点公式，向量数量积的性质，属中档题．
8．【分析】把不等式进行变形，构造函数f（x）＝xlnx，由导数确定函数的单调性，由单调性及不等关系即可得出结论．
【解答】解：由已知aea+1＜b（lnb﹣1）＝，则，
设f（x）＝xlnx，则f（ea）＜f（），
∵a＞0，则ea＞1，又b（lnb﹣1）＞0，b＞0，则lnb＞1，即b＞e，从而，
当x＞1时，f'（x）＝lnx+1＞0，则f（x）在（1，+∞）内单调递增，
∴，即b＞ea+1，
故选：B．
【点评】本题主要考查了对数函数的性质，以及利用导数研究函数的单调性，是中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题0分，共20分.有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．【分析】根据数列递推式，由a8＝1出发，反向推得m的可能取值即可．
【解答】解：由an+1＝，且a1＝m（m为正整数），
可知数列{an}中各项均为正整数，
所以由a8＝1，可得a7＝2，
由a7＝2，可得a6＝4，
由a6＝4，可得a5＝8或a5＝1，
当a5＝8时，可得a4＝16，a3＝32或5，进而可得a2＝64或10，从而a1＝128或21或20或3，
当a5＝1时，可得a4＝2，a3＝4，a2＝8或1，从而可得a1＝16或2，
综上，m的可能取值为2，3，16，20，21，128．
故选：ACD．
【点评】本题考查根据数列的递推式求值，属基础题．
10．【分析】将函数有极大、极小值问题转化为导函数对应的方程有两个不等正实根来处理．
【解答】解：函数定义域为（0，+∞），
且f′（x）＝﹣﹣＝，
由题意，方程f′（x）＝0即ax2﹣bx﹣2c＝0有两个正根，设为x1，x2，
则有x1+x2＝＞0，x1x2＝＞0，Δ＝b2+8ac＞0，
∴ab＞0，ac＜0，
∴ab•ac＝a2bc＜0，即bc＜0．
故选：BCD．
【点评】本题考查函数极值的基础知识，属简单题．
11．【分析】求出抛物线方程，利用抛物线的定义，结合直线与抛物线的位置关系判断选项的正误即可．
【解答】解：直线y＝﹣（x﹣1）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，可得＝1，所以p＝2，
所以A正确；
抛物线方程为：y2＝4x，与C交于M，N两点，
直线方程代入抛物线方程可得：3x2﹣10x+3＝0，
xM+xN＝，
所以|MN|＝xM+xN+p＝，所以B不正确；
M，N的中点的横坐标：，中点到抛物线的准线的距离为：1+＝，
所以以MN为直径的圆与l相切，所以C正确；
3x2﹣10x+3＝0，
不妨可得xM＝3，xN＝，yM＝﹣2，yN＝，
|OM|＝＝，|ON|＝＝，|MN|＝，
所以△OMN不是等腰三角形，所以D不正确．
故选：AC．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的简单性质的应用，是中档题．
12．【分析】根据题意分为三种情况，每种情况下利用平行和垂直的斜率关系，设出平行线的方程，根据平行线之间的距离公式得到相等关系，求出正方形边长，进而求出该正方形的面积．
【解答】解：①当过点A和点C的直线平行，过点B和点D的直线平行时，且两组平行线互相垂直，
设过点A和点C的直线为l1：y＝k（x﹣1）和l2：y＝k（x﹣4），
则过点B和点D的直线为l3：和l4：，其中l1与l2的距离等于l3与l4距离，
即，解得：k＝2，故正方形的边长为，该正方形的面积为．
②当过点A和点B的直线平行，过点C和点D的直线平行时，且两组平行线互相垂直，
故设过点A和点B的直线为m1：y＝n（x﹣1）和m2：y＝n（x﹣2），
则过点C和点D的直线为m3：和m4：，其中m1和m2的距离等于m3与m4距离，
即，解得：n＝4，故正方形的边长为，该正方形的面积为，
③当过点A和点D的直线平行，过点B和点C的直线平行时，且两组平行线互相垂直，
设过点A和点D的直线为t1：y＝s（x﹣1）和t2：y＝s（x﹣8），
则过点B和点C的直线为t3：和t4：，
其中t1与t2的距离等于t3与t4的距离相等，即，解得：s＝，
故正方形的边长为，该正方形的面积为．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查平行线的距离公式、平面直角坐标系内两条直线的位置关系、正方形的性质等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题0分，共20分.
13．【分析】根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解．
【解答】解：f（x）＝lnx+x，
则f′（x）＝，
故当h→0时，＝f′（1）＝1+1＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查导数的运算，属于基础题．
14．【分析】根据椭圆与双曲线的几何性质，方程思想，即可求解．
【解答】解：∵椭圆与双曲线有相同的焦点，
∴10﹣m＝1+b，①，
又椭圆与双曲线交于点P，
∴联立椭圆与双曲线方程可得：
＝，∴b＝8m，②，
由①②解得m＝1，b＝8，
∴c2＝10﹣1＝9，∴c＝3，
∴椭圆的一个焦点F（3，0）到直线，即y＝x的距离为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆与双曲线的几何性质，方程思想，化归转化思想，属中档题．
15．【分析】由“△ABC面积为，求得sin∠ACB＝，设∠ACB＝θ，得到csθ，进而求得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解．
【解答】解：由圆C：（x﹣1）2+y2＝4，可得圆心坐标为C（1，0），半径为r＝2，
因为△ABC的面积为，可得S△ABC＝×2×2×sin∠ACB＝，
解得sin∠ACB＝，设∠ACB＝θ所以∴2sinθcsθ＝，
可得＝，∴＝，∴tanθ＝或tanθ＝2，
∴csθ＝或csθ＝，
∴圆心到直线x﹣my+1＝0的距离d＝或，
∴＝或＝，
解得m＝±或m＝±2．
故答案为：2（或﹣2或或﹣）．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
16．【分析】由函数f（x）＝ax+（1+a）x在（0，+∞）上单调递增，可得导函数f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，再参变量分离求解即可得出答案．
【解答】解：∵函数f（x）＝ax+（1+a）x在（0，+∞）上单调递增，
∴f′（x）＝axlna+（1+a）xln（1+a）≥0在（0，+∞）上恒成立，
即（1+a）xln（1+a）≥﹣axlna，化简可得在（0，+∞）上恒成立，
而在（0，+∞）上＞1，
故有，由a∈（0，1），化简可得ln（1+a）≥ln，
即1+a，a2+a﹣1≥0，
解答，
故a的取值范围是[，1）．
故答案为：[，1）．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，恒成立问题的求解，指数函数的性质，是中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，结合条件求出a1，d，从而得到其通项公式，利用等差数列的求和公式即可求解；
（2）利用错位相减，化简解可得出答案．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
由题意知，S4＝4S2，a2＝2a1+1，
即，化简得，
所以数列{an}的通项公式an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，
所以Sn＝＝n2；
（2）令cn＝anbn＝（2n﹣1）•3n﹣1，
则 Tn＝1×30+3×31+5×32+...+（2n﹣1）×3n﹣1，
∴3Tn＝1×31+3×22+...+（2n﹣3）×3n﹣1+（2n﹣1）×3n，
∴﹣2Tn＝1+2（31+32+...+3n﹣1）﹣（2n﹣1）×3n
＝1+2﹣（2n﹣1）×3n，
∴Tn＝（n﹣1）•3n+1．
【点评】本题考查了数列递推式、数列求和，考查了计算能力，属于中档题．
18．【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的极值；
（2）问题转化为f（x）min≥g（x）max，根据函数的单调性分别求出f（x）的最小值和g（x）的最大值，得到关于a的不等式，解出即可．
【解答】解：（1）∵f（x）＝x3﹣3x2+a，∴f′（x）＝3x（x﹣2），
令f′（x）＞0，解得x＞2或x＜0，
令f′（x）＜0，解得0＜x＜2，
故f（x）在（﹣∞，0）递增，在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，
故f（x）极大值＝f（0）＝a，f（x）极小值＝f（2）＝a﹣4，
（2）若对于∀x1∈[1，3]，，都有f（x1）≥g（x2），
则只需f（x）min≥g（x）max，
结合（1）f（x）在[1，2）递减，在（2，3]递增，
故f（x）min＝f（2）＝a﹣4，
而g′（x）＝lnx+1，令g′（x）＞0，解得x＞，
令g′（x）＜0，解得0＜x＜，故g（x）在[，e]递增，故g（x）max＝g（e）＝e，
故a﹣4≥e，解得a≥e+4，
即a的取值范围是[e+4，+∞）．
【点评】本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题．
19．【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出P；
（2）设直线 MN：x＝my+n，M（x1，y1），N（x2，y2），利用，找到m，n的关系，以及△MNF的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，
消去x得：y2﹣4py+2p＝0，
∴y1+y2＝4p，y1y2＝2p，Δ＝16p2﹣8p＞0，
∴p（2p﹣1）＞0，∴p＞，
|AB|＝|y1﹣y2|＝＝4，
∴16p2﹣8p＝48，∴2p2﹣p﹣6＝0，∴（2p+3）（p﹣2）＝0，
∴p＝2，
（2）由（1）知y2＝4x，所以F（1，0），显然直线MN的斜率不可能为零，
设直线MN：x＝my+n，M（x1，y1），N（x2，y2）
由，可得y2﹣4my﹣4n＝0，所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n，
Δ＝16m2+16n＞0→m2+n＞0，
因为，所以（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2＝0，
即（my1+n﹣1）（my2+n﹣1）+y1y2＝0，即 ，
将y1+y2＝4m，y2＝﹣4n，代入得4m2＝n2﹣6n+1，
∴4（m2+n）＝（n﹣1）2＞0，所以n≠1，且n2﹣6n+1≥0，解得n≥3+2或n≤3﹣2．
设点F到直线MN的距离为d，所以d＝，
|MN|＝|y1﹣y2|＝＝
＝＝2|n﹣1|，
所以△MNF的面积S＝|MN|×d＝××2|n﹣1|，
又或，所以当n＝3﹣2时，△MNF的面积Smin＝（2﹣2）2＝12﹣8．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的应用，考查三角形的问题的最值问题，考查方程思想，属难题．
20．【分析】（1）由题意列关于a，b，c的方程组，求得a，b，c的值，可得椭圆C的方程；
（2）设PQ：y﹣3＝k（x+2），即y＝kx+2k+3，k＜0，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得x1+x2与x1x2的值，写出直线AP、AQ的方程，求得M与N的坐标，再由中点坐标公式即可证明MN的中点为定点．
【解答】解：（1）由题意，，解得．
∴椭圆C的方程为；
证明：（2）如图，
要使过点（﹣2，3）的直线交C于点P，Q两点，则PQ的斜率存在且小于0，
设PQ：y﹣3＝k（x+2），即y＝kx+2k+3，k＜0，P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立，得（4k2+9）x2+8k（2k+3）x+16k（k+3）＝0．
Δ＝[8k（2k+3）]2﹣4（4k2+9）•16k（k+3）＝﹣1728k＞0．
，，
直线AP：y＝，取x＝0，得M（0，）；
直线AQ：，取x＝0，得N（0，）．
∴
＝
＝
＝2
＝2
＝2×．
∴MN的中点为（0，3），为定点．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
21．【分析】（I）作PN⊥AB，N为垂足，由．，解Rt△PNQ和Rt△PNM，得到PQ和PM及MQ的长，构造方程可得满足条件的船速
（II）当小船行驶的方位角为α时，解三角形分别求出PM，MQ长，进而求出时间t的解析式，利用导数法，求出函数的最小值，可得答案．
【解答】解：（Ⅰ） 如图，作PN⊥AB，N为垂足．
，，
在Rt△PNQ中，PN＝PQsinθ＝（km），
QN＝PQcsθ＝（km）．
在Rt△PNM中，（km）．…（3分）
设游船从P到Q所用时间为t1h，游客甲从P经M到Q所用时间为t2h，
小船的速度为v1km/h，则（h），（h）． …（5分）
由已知得：，，
∴．…（7分）
∴小船的速度为km/h时，游客甲才能和游船同时到达Q．
（Ⅱ）在Rt△PMN中，（km），
（km）．
∴（km）． …（9分）
∴＝．…（11分）
∵，…（13分）
∴令t'＝0得：．
当时，t'＞0；当时，t'＜0．
∵csα在上是减函数，
∴当方位角α满足时，t最小，
即游客甲能按计划以最短时间到达Q．…（15分）
【点评】本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，根据已知构造出恰当的函数是解答本题的关键．
22．【分析】（1）求导，根据导数的几何意义，即可求得切线方程；
（2）分类讨论，当a≤0时，，根据函数的单调性可得f（x）＞0，显然成立；当a＞0时，求得f（x），去掉绝对值可得，且，根据函数的单调性即可求得a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝﹣1时，，则，
所以f′（1）＝e，f（1）＝e+1，
所以切线方程为：y＝ex+1；
（2）当a≤0时，，设，，
令h′（x）＜0，得0＜x＜1，所以h（x）在（0，1）上是减函数，
令h′（x）＞0，得x＞1，所以h（x）在（1，+∞）上是增函数，所以h（x）min＝h（1）＝1，h（x）＞1，
又因为ex＞0，a≤0，所以f（x）＞0，所以f（x）＞a，
所以a≤0符合题意，
当a＞0时，函数，
设g（x）＝xex﹣a（x≥0），则g′（x）＝（x+1）ex＞0，所以g（x）在[0，+∞）上是增函数，
又因为g（0）＝﹣a＜0，且g（a）＝a（ea﹣1）＞0，且函数g（x）在[0，+∞）上图像是不间断的，
所以存在x0∈（0，a），使得，所以，
所以，
当0＜x＜x0时，，所以f（x）在（0，x0]上是减函数，
当x＞x0时，，，
所以f（x）在（x0，+∞）上是增函数，
所以f（x）的最小值为f（x0）＝﹣alnx0，又因为f（x）＞a，所以﹣alnx0＞a，
解得，所以，
综上，实数a的取值范围为．
【点评】本题考查导数的综合应用，导数与函数单调性和最值的关系，导数的几何意义，考查分类讨论思想，函数思想，属于难题．