中职高教版（2021·十四五）第7章 简单几何体7.2 旋转体优质导学案

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要点梳理
知识点一 圆柱的结构特征
圆柱的性质：
(1) 圆柱的两个底面是半径相等且互相平行的圆，平行于底面的横截面是与底面相同的圆；
(2) 圆柱的母线平行且相等，都等于圆柱的高；
(3) 过轴的截面（轴截面）是长为圆柱的高、宽为底面的直径的矩形．
知识点二 圆锥的结构特征
圆锥的简单性质：
(1)圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等．
(2)平行于底面的截面都是圆，如图①所示．
(3)过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形，如图②所示．
知识点三 球
当球截面不经过球心时，球及球截面具有如下性质:
(1)球截面圆心与球心的连线垂直于球截面；
（2）设球心到截面的距离为d，球的半径为R，截面上圆的半径为r，则
.
知识点四 旋转体的表面积和体积
1.圆柱的表面积与体积
圆柱的侧面积，
表面积
，
其中r为底面半径，h为圆柱的高．
2. 圆锥的表面积和体积
(1)侧面展开图：圆锥的侧面展开图是_扇形_，扇形的半径是圆锥的_母线_，扇形的弧长等于圆锥的_底面周长_，如图所示．
(2)面积：锥体的表面积S表＝S侧＋S底．特别地，圆锥的底面半径为r，母线长为l，则圆锥的侧面积S侧＝_πrl_，表面积S表＝_πr(l＋r)__.
（3）体积=
3. 球的表面积和体积
球的半径为R，
体积V＝__eq \f(4,3)πR3_.
表面积S＝__4πR2_.
知识点五 三视图
题型探究：
考点一 旋转体的结构特征
例1．下列对于圆柱的各判断中正确的是（ ）
A．有两个互相平行的底面的旋转体是圆柱
B．经过圆柱的轴的截面仅有一个
C．将矩形（及其内部）绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的空间几何体叫做圆柱
D．一个圆柱仅有一条轴也仅有一条母线
【答案】C
【解析】对于A，有两个互相平行的底面的旋转体可能是圆台，A错误；
对于B，圆柱的轴截面均经过圆柱的轴，有无数个，B错误；
对于C，由圆柱的定义知C正确；
对于D，圆柱有无数条母线，D错误.
故选：C.
例2．有下列命题：
① 若在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
② 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
③ 棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等；
④ 底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥．
其中，正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【详解】①不一定，只有当这两点的连线平行于轴线时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等；④错误，底面是正多边形且顶点在底面的射影为底面正多边形的中心的棱锥是正棱锥．
【变式】1．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个圆面，这个几何体可能是（ ）
A．圆锥圆柱B．圆柱球体C．圆锥球体D．圆柱圆锥球体
【答案】D
【分析】由圆锥，圆柱，球体的几何特征判断即可.
【详解】解：用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个圆面，则这个几何体可能是圆锥，也可能是圆柱，也可能是球体，
故选：D.
2．如图，几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】考虑截面不经过圆柱的轴时对应的截面形状.
【详解】当截面不过旋转轴时﹐截面图形如选项A所示．
故选：A．
考点二 旋转体的表面积与体积
例3. 已知某圆柱的轴截面是正方形，且该圆柱的侧面积是，则该圆柱的体积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】用圆柱底面圆半径r表示出其高h，由侧面积列式求出r，进而求得体积.
【详解】设该圆柱的底面圆半径为，则其高(母线)为，而圆柱的轴截面是正方形，则，
圆柱侧面积为，从而，，故该圆柱的体积是．
故选：A
例4.已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为 .
【答案】
【分析】由轴截面得到圆锥的底面半径和母线，利用侧面积公式求出答案.
【详解】由题意得，圆锥的底面半径为，母线长为，
故圆锥的侧面积为.
故答案为：
例5. 木星的体积约是地球体积的倍，则它的表面积约是地球表面积的（ ）
A．60倍B．倍C．120倍D．倍
【答案】C
【分析】根据球的体积公式之比可得，结合球的表面积公式化简计算即可求解.
【详解】由题意知，木星的体积约是地球体积的倍，
，
所以，
所以，
即木星的表面积约是地球表面积的倍.
故选：C.
【变式】1．一个圆柱的轴截面是一个面积为16的正方形，则该圆柱的体积是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，求得圆柱的底面直径和高，代入公式，即可求得答案.
【详解】因为轴截面的面积为16，所以圆柱的底面直径和高均为4，
所以圆柱的体积.
故选：C
2．已知球的半径是3，则该球的体积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据球的体积公式计算可得.
【详解】因为球的半径，所以球的体积.
故选：D
3.已知一个正方体的外接球的体积为，则正方体的体积为 .
【答案】
【分析】先根据球的体积公式求半径，然后根据正方体的体对角线即为外接球的直径可得正方体的棱长，即可求得正方体体积.
【详解】记正方体棱长为a，外接球半径为R，
则，解得，
因为正方体的体对角线即为外接球的直径，
所以，解得，
所以，正方体的体积为.
故答案为：
考点三 简单几何体的三视图
例6．如图所示几何体的俯视图和侧视图都正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据侧视图，没有实对角线，俯视图实对角线的方向，排除错误选项，得到答案.
【详解】侧视时，看到一个矩形且不能有实对角线，故A，D排除，
而俯视时，有半个平面是没有的，所以有一条实对角线，
且其对角线位置从左下角画到右上角，故B排除.
故选：C.
例7. 如图是某几何体的三视图，则该几何体是（ ）
A．圆锥B．圆柱C．正三棱柱D．正三棱锥
【答案】B
【分析】利用三视图的特点分析即可.
【详解】因为主视图与左视图是相同的矩形，且俯视图是圆形，故该几何体是圆柱.
故选：B
【变式探究】1．正三棱柱，如图所示，以四边形的前面为正前方画出的三视图正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据三视图的知识确定正确答案.
【详解】由于四边形的前面为正前方，
所以主视图为矩形，左视图为三角形，
俯视图是中间有一条横线的矩形，
所以A选项正确.
故选：A
2. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】通过三视图判断几何体的图形形状，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可.
【详解】由三视图可知，该几何体是底面半径为3，母线长为5的圆锥，则高为4，故该几何体体积为.
故选:A.
素养作业
1. 给出下列四个命题：
①底面是正多边形的棱柱是正棱柱；
②四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体；
③所有棱长相等的棱柱一定是直棱柱；
④直角三角形绕其一条边所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥．
其中正确的命题个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】利用几何体的结构特征，几何体的定义，逐项判断选项的正误即可．
【详解】解：①底面是正多边形，侧棱与底面垂直的棱柱是正棱柱；所以①不正确；
②四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体；满足多面体的定义，所以②正确；
③所有棱长相等的棱柱一定是直棱柱；不满足直棱柱的定义，所以③不正确；
④直角三角形绕直角边所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥．所以④不正确；
故选：B．
2. 一个几何体的三视图均为圆，则该几何体可以是（ ）
A．正方体B．球体C．三棱柱D．圆柱
【答案】B
【分析】由球体的平行投影性质即可确定几何体.
【详解】由球体的性质：从三个方位作平行投影，其投影形状均为圆，而对于柱体、锥体没有该性质.
故选：B
3. 两个球表面积的比为，则体积的比为（ ）
A．B．
C．D．不确定
【答案】C
【分析】由表面积的比得到半径之比，再得到体积之比.
【详解】设两球的半径分别为，，
表面积之比，，
体积之比.
故选：C.
4. 已知球的半径是2，则该球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用球的表面积公式计算即可.
【详解】，
故选：D.
5．如图所示，该几何体从正面看所得到的平面图形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据直观图通过直观形象可得.
【详解】由直观图可知，从正面观察可看到第一层有3个正方形，第二层有2个正方形，
所以A正确.
故选：A
6．如图，在一密闭的圆柱形玻璃杯中装一半的水，水平放置时，水面的形状是（ ）
A．圆B．长方形C．椭圆D．平行四边形
【答案】B
【分析】根据三视图以及圆柱的性质，可得答案.
【详解】水平放置的圆柱的俯视图是长方形，所以水面的形状是长方形.
故选：B.
7. 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据侧视图(左视图)的定义，从几何体的左侧平视观察几何体，得到左视图，注意被遮挡的线段要画成虚线.
【详解】将几何体各顶点字母标记如图，从左侧观察，得到如图所示的侧视图，其中，对角线被几何体左侧面遮挡，应当为虚线，
故选：C.
8．如图放置的圆柱，它的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据俯视图的定义，结合选项可得答案.
【详解】俯视图为由上向下观察的平面图形，所以俯视图为圆，
故选：C.
9．圆柱的母线长为，底面的直径为，则圆柱的轴截面面积为 .
【答案】
【分析】根据圆柱轴截面为矩形直接求解即可.
【详解】圆柱的轴截面面积.
故答案为：.
10．若圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的底面半径为 ．
【答案】1
【分析】利用圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面周长，然后求出底面半径.
【详解】圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，所以圆锥的底面周长为半圆的弧长：，设底面圆半径为，则有，所以底面半径为：1. 故答案为：1定义
以_矩形_的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
有关
概念
旋转轴叫做圆柱的_轴_；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的_底面_；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的_侧面_；无论旋转到什么位置，_不垂直_于轴的边都叫做圆柱侧面的母线
图形
表示法
用表示它的轴的字母，即表示两底面_圆心_的字母表示，上图中的圆柱可记作圆柱_O′O_
规定
_圆柱_和_棱柱_统称为柱体
定义
以_直角_三角形的一条_直角边_所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
图形
有关
概念
如上图所示，轴为_SO_，底面为_⊙O_，SA为母线．另外，S叫做圆锥的_顶点_，OA(或OB)叫做底面⊙O的_半径_
表示法
圆锥用表示它的_轴_的字母表示，上图中的圆锥可记作圆锥_SO_
规定
_棱锥_与_圆锥_统称为锥体
定义
以半圆的_直径_所在直线为旋转轴，半圆面旋转_一周_形成的旋转体叫做球体，简称球
有关
概念
半圆的_圆心_叫做球的球心；半圆的_半径_叫做球的半径；半圆的_直径_叫做球的直径
图形
表示法
球常用表示_球心_的字母表示，如上图中的球记作球_O_
分类
正视图
光线从几何体的_前_面向_后_面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图
侧视图
光线从几何体的_左_面向_右_面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图
俯视图
光线从几何体的_上_面向_下_面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图
说明
几何体的正视图、侧视图、俯视图统称为几何体的_三视图_，三视图是_正_投影
特征
一个几何体的侧视图和正视图_高度_一样，俯视图与正视图_长度_一样，侧视图与俯视图_宽度_一样