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高教版（2021·十四五）基础模块 下册8.1 随机事件精品学案
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这是一份高教版（2021·十四五）基础模块 下册8.1 随机事件精品学案，文件包含串讲08随机事件考点串讲原卷版docx、串讲08随机事件考点串讲解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共24页， 欢迎下载使用。
要点梳理
知识点一 事件的概念及分类
1、在一定条件下，发生的结果事先能够确定的现象称为必然现象，发生的结果事先不能确定的现象称为随机现象.
2、在相同的条件下，对随机现象进行的观察试验叫做随机试验，简称为试验.
3、随机试验每一种可能出现的结果，都称为样本点，常用小写希腊字母w表示，所有样本点组成的集合称为样本空间，通常用大写希腊字母表示
4、如果随机试验的样本空间是，那么的任意一个非空真子集称为随机事件，简称为事件，常用英文大写字母A、B、C等表示，事件中的每一个元素都称为基本事件．
也是的子集，可以看作是一个事件，但由于空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，因此空集称为不可能事件
知识点二 频率
在相同的条件S下重复n次试验，观察事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数m为事件A出现的__频数__，称事件A出现的比例fn(A)＝__ 为事件A出现的频率，其取值范围是__[0,1]__．
知识点三 概率
(1)定义：一般来说，随机事件A在每次试验中是否发生是不可预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会逐渐稳定在区间__[0,1]__中某个常数上．这个常数称为事件A的概率，记为__P(A)__，其取值范围是[0,1]．通常情况下，用概率度量随机事件发生的可能性__大小__．
(2)求法：由于事件A发生的频率随着试验次数的增加稳定于__概率__，因此可以用__频率__来估计概率．
(3)说明：任何事件发生的概率都是区间__[0,1]__上的一个确定的数，用来度量该事件发生的可能性．小概率(接近于0)事件不是不发生，而是__很少__发生，大概率(接近于1)事件不是一定发生，而是__经常__发生．
知识点四 事件概率的性质
（1）对于任意事件A，；
（2）对于必然事件，；
（3）对于不可能事件，．
知识点五 古典概型
(1)定义：如果一个随机试验满足：
①有限性：样本空间的样本点总数有限；
②等可能性：每次试验中，样本空间中的各个样本点出现的可能性相等．
那么这样的随机试验称为古典概型．
(2) 计算公式计算公式：对于古典概型，任何事件A的概率为
P(A)＝eq \f(A包含的基本事件的个数,基本事件的总数)=．
知识点六 互斥事件
在一次试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件.
知识点七 互斥事件的概率加法公式
一般地，当事件C发生则事件A与事件B中至少有一个发生时，称事件C为事件A与事件B的和事件，记作.
若事件A与事件B互斥，则
称为互斥事件的概率加法公式.
题型探究：
考点一 事件类型的判断
例1．下列事件为随机事件的是（ ）
A．投掷一枚骰子，向上一面的点数小于7
B．投掷一枚骰子，向上一面的点数等于7
C．下周日下雨
D．没有水和空气，人也可以生存下去
【答案】C
【分析】根据随机事件的定义即可结合选项逐一求解.
【详解】A中事件为必然事件；B，D中事件为不可能事件；C中事件为随机事件．
故选：C
【归纳提升】 判断一个事件是随机事件、必然事件还是不可能事件，首先一定要看条件，其次是看在该条件下所研究的事件是一定发生(必然事件)、不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)．
【变式】下列事件中，随机事件的个数为（ ）
①甲，乙两人下棋，甲获胜；
②小明过马路，遇见车的车牌号尾号是奇数；
③某种彩票的中奖率为99%，某人买一张此种彩票中奖；
④用任意平面截球体，所得截面图形是椭圆形．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据随机事件的知识确定正确答案.
【详解】根据随机事件的知识可知：①②③是随机事件，
④是不可能事件，所以随机事件的个数为个.
故选：C
考点二 频率与概率
例2. 从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
则取到号码为奇数的频率是（ ）
A．0.53B．0.51C．0.49D．0.47
【答案】B
【分析】运用频率定义计算即可.
【详解】由题意知，取到号码为奇数的频率为.
故选：B.
例3．下表是某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表，请回答问题.
(1)完成上面表格；
(2)该油菜籽发芽的概率约是多少？
[解析] (1)填入表中的数据依次为1,0. 8,0. 9，0. 857，0. 892,0. 910,0. 913,0. 893,0. 905．
(2)该油菜籽发芽的概率约为0. 9．
【归纳提升】 随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率．
此类题目的解题方法是：先利用频率的计算公式依次计算出各个频率值，然后根据频率与概率的关系估计事件发生的概率．
【变式】1. 某地一种植物一年生长的高度如下表：
则该植物一年生长在[30，40）内的频率是（ ）
A．0.80B．0.65
C．0.40D．0.25
【答案】C
【分析】根据表格中的数据，结合频率的计算公式，即可求解.
【详解】根据表格中的数据，可得该植物一年生长在内的频率.
故选：C.
2. 用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4．重复拋掷这个四面体100次，记录每个面落在桌面的次数（如下表）．如果再抛掷一次，请估计标记3的面落在桌面上的概率 .
【答案】0.22/
【分析】根据频数计算出频率即可估计概率.
【详解】标记3的面落在桌面上的频率为，故其概率的估计值为0.22.
故答案为：0.22.
考点四 随机试验的样本空间、样本点
例4．下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的样本空间.
(1)某人射击一次，命中的环数；
(2)从装有大小相同但颜色不同的a、b、c、d四个球的袋子中，任取1个球；
(3)从装有大小相同但颜色不同的a、b、c、d四个球的袋子中，任取2个球．
[分析] 根据所给随机事件的条件，逐一将试验的结果列出来．
[解析] (1)条件为射击一次；结果为命中的环数：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，共11种可能结果，样本空间为｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10｝．
(2)条件为从袋中任取1个球；结果为a，b，c，d，共4种可能结果，样本空间为｛a，b，c，d｝．
(3)条件为从袋中任取2个球；若记(a，b)表示一次试验中取出的球是a和b，则试验的全部结果为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共6种可能结果．样本空间为｛(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)｝．
[归纳提升] 列举试验的所有可能结果的方法
(1)结果是相对于条件而言的，要弄清试验的结果，必须首先明确试验的条件；
(2)根据日常生活经验，按照一定的顺序列举所有可能的结果．可应用画树形图、列表等方法，这样才能不重不漏地列举出所有可能结果．
例5．将一枚骰子先后抛掷两次，则：
(1)一共有几个样本点？
(2)“出现的点数之和大于8”包含几个样本点？
【解析】(1)用(x，y)表示结果，其中x表示第1枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数，则试验的所有结果为：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，
(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，
(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，
(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，
(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．共36个样本点．
(2)“现出的点数之和大于8”包含以下10个样本点：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．
【变式】1．从1，2，3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为 ，满足“它是偶数”样本点的个数为 ．
【答案】 5
【分析】根据题意结合样本空间和样本点的概念分析求解.
【详解】由题意可知：样本空间为；
其中满足“它是偶数”样本点有：2，4，6，8，10，共有5个．
故答案为：；5.
2．从中任取两个字母，则该试验的样本点数为 ．
【答案】6
【分析】根据要求一一列举即可.
【详解】该试验的结果中，含a的有；不含a，含b的有；
不含a，b，含c的有；，
即该试验的样本点数为6.
故答案为：6
考点五 古典概型概率的求法
例5. 同时掷两枚骰子，向上的点数之和是6的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】列举法解决即可.
【详解】列表得
共有36种等可能的结果，
向上的点数之和是6的情况有5种，
掷两枚骰子，向上的点数之和是6的概率是，
故选：D
例6. 同时抛掷两枚硬币，则两枚硬币都是“正面向上”的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意将所有的实验情况一一列举出来，再将符合题意的情况一一列举，根据古典概型，可得答案.
【详解】同时抛掷两枚硬币的所有实验情况为：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），
两枚硬币都是“正面向上”的实验情况为（正，正），
根据古典概型，概率为，
故选：A.
[归纳提升] 1. 对于古典概型，任何事件A的概率为：P(A)＝eq \f(A包含的基本事件的个数m,基本事件的总数n)．
2．求古典概型概率的步骤为：
(1)判断是否为古典概型；
(2)算出样本点的总数n；
(3)算出事件A中包含的样本点个数m；
(4)算出事件A的概率，即P(A)＝eq \f(m,n)．
【变式探究】．从1，2，3，4，5，6六个数中任取2个数，则取出的两个数不是连续自然数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】列出基本事件个数，再由古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】从1，2，3，4，5，6六个数中任取2个数，
可得，
，
共个基本事件，
其中取出的两个数不是连续自然数的有
，
，
共个基本事件，
取出的两个数不是连续自然数的概率为.
故选：C
考点六 互斥事件的判断
例7. 某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名学生去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是（ ）
A．恰有1名女生和恰有2名女生B．至少有1名男生和至少有1名女生
C．至少有1名女生和全是女生D．至少有1名女生和至多有1名男生
【答案】A
【分析】根据互斥事件的定义判断即可.
【详解】依题意可能出现名男生、名男生名女生、名女生；
对于A：恰有1名女生即选出的两名学生中有一名男生一名女生和恰有2名女生，他们不可能同时发生，故是互斥事件，故A正确；
对于B：当选出的两名学生中有一名男生一名女生，则至少有1名男生和至少有1名女生都发生了，故不是互斥事件，故B错误；
对于C：至少有1名女生包含有一名男生一名女生与全是女生，
所以当全是女生时，至少有1名女生和全是女生都发生了，故不是互斥事件，故C错误；
对于D：至少有1名女生包含有一名男生一名女生与全是女生，
至多有1名男生包含有一名男生一名女生与全是女生，
故至少有1名女生和至多有1名男生是相等事件，故D错误.
故选：A
[归纳提升] 判断事件是否互斥的两步骤
第一步，确定每个事件包含的结果；
第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生，若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥的．
【变式】在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有（ ）
①A：“所取3件中至多2件次品”， B ： “所取3件中至少2件为次品”；
②A：“所取3件中有一件为次品”，B： “所取3件中有二件为次品”；
③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”；
④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”；
A．①③B．②③C．②④D．③④
【答案】B
【分析】根据互斥事件的定义即可得到结果.
【详解】在10件产品中有3件次品，从中选3件，∵所取3件中至多2件次品与所取3件中至少2件为次品，两个事件中都包含2件次品，∴①中的两个事件不是互斥事件．
∵所取3件中有一件为次品与所取3件中有二件为次品是互斥事件，∴②中的两个事件是互斥事件．
∵所取3件中全是正品与所取3件中至少有一件为次品是不能同时发生的，∴③中的两个事件是互斥事件，
∵所取3件中至多有2件次品与所取3件中至少有一件是正品都包含2件次品一件正品，以及1件次品两件正品，以及三件正品，所以④不是互斥事件，
故选：B．
考点七 概率加法公式的应用
例8.据统计，在某超市的一个收银台等候的人数及相应的概率如下所示：
求：(1)等候人数不超过1的概率；
(2)等候人数大于等于4的概率．
【解析】 设A、B、C、D，分别表示等候人数为0、1、4，大于等于5的事件，则A、B、C、D互斥．
(1)设E表示事件“等候人数不超过1”，则E＝A∪B，故P(E)＝P(A)＋P(B)＝0. 05＋0. 14＝0. 19，即等候人数不超过1的概率为0. 19．
(2)设F表示事件“等候人数大于等于4”，则F＝C∪D．故P(F)＝P(C)＋P(D)＝0. 10＋0. 06＝0. 16，即等候人数大于等于4的概率为0. 16.
【归纳提升】 解决此类题的关键是明晰概率加法公式应用的前提是“各事件是互斥事件”
【变式】抛掷一枚质地均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点）一次，观察掷出向上的点数，设事件为掷出向上为偶数点，事件为掷出向上为3点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据互斥事件概率计算公式直接计算.
【详解】事件为掷出向上为偶数点，所以，
事件为掷出向上为3点，所以，
又事件，是互斥事件，
所以，
故选：B.
素养作业
1．下列事件中，必然事件的个数是（ ）
①2028年8月18日，北京市不下雨；②在标准大气压下，水在时结冰；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④向量的模不小于0.
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】利用随机事件的概念直接判断．
【详解】对于①，因为2028年8月18日，不能确定北京市是否下雨，
所以2028年8月18日，北京市不下雨为随机事件，故为随机事件；
对于②，在标准大气压下，水在结冰而不是在时结冰，故为不可能事件；
对于③，因为从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，不能确定是否为1号签，
所以从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签，故为随机事件；
对于④，因为向量的模大于等于0，
所以向量的模不小于0，故为必然事件.
综上：①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件．
故选：B.
2. 下列说法不正确的是（ ）
A．必然事件是一定条件下必定发生的事件
B．不可能事件是一定条件下必然不会发生的事件
C．随机事件是在一定条件下可能发生也可能不发生的事件
D．事件A发生的概率一定满足
【答案】D
【分析】根据事件的分类和定义即可得出选项.
【详解】解:由题知,根据事件的分类和定义可知,选项A,B,C正确;
关于选项D,若事件为必然事件,则,
故选项D错误.
故选:D
3. 在试验：连续射击一个目标10次，观察命中的次数中，事件A=“至少命中6次”，则下列说法正确的是
A．样本空间中共有10个样本点
B．事件A中有6个样本点
C．样本点6在事件A内
D．事件A中包含样本点11
【答案】C
【解析】连续射击一个目标10次，可能全部脱靶，最好的情况是全部命中，故有11个样本点；事件A={6,7,8,9,10}，由此判断选项。
【详解】解析：样本空间中有11个样本点，故A错；事件A中有5个样本点，故B错；样本点中没有11，故D错.
故选：C
4. 抛掷硬币试验，设“正面朝上”，则下列论述正确的是（ ）
A．投掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率为
B．投掷10次硬币，事件A发生的次数一定是5
C．投掷硬币20次，事件A发生的频率等于事件A发生的概率
D．投掷硬币1万次，事件A发生的频率接近0.5
【答案】D
【分析】列出试验的所有基本事件，求得事件包含的基本事件数，利用古典概率公式求解即可排除A，对于B,C,D项，只需理解试验中事件发生的频率值是试验值，而事件发生的概率值是稳定值，概率是频率的趋近值，即可一一判断.
【详解】对于A，投掷2次硬币，试验结果有“两个正面朝上，一个正面且一个反面朝上，一个反面且一个正面朝上和两个反面朝上，”四种情况，
故事件“一个正面，一个反面”发生的概率为0.5，故A错误；
对于B，每次抛掷硬币，事件A发生的概率都是0.5，故事件A发生的次数可以是中的任何一个，故B错误；
对于C，投掷硬币20次，事件A发生的概率都是0.5，而事件A发生的频率根据试验结果得到，只能说趋近于0.5，故C错误；
对于D，投掷硬币1万次，事件A发生的频率接近于事件A发生的概率0.5，故D正确.
故选：D.
5．每年4月15日为全民国家安全教育日，某学校党委组织党员学习《中华人民共和国国家安全法》，为了解党员学习的情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的学习时间（单位：时）进行调查，统计数据如下表所示：
则从该校随机抽取1名党员，估计其学习时间不少于6小时的概率为（ ）
A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8
【答案】B
【分析】根据古典概型概率公式求得样本中学习时间不少于6小时的概率，然后可得.
【详解】由统计表可知，样本容量为人，学习时间不少于6小时有人，
所以学习时间不少于6小时的概率为.
故选：B
6．已知集合，从集合中任取不同的两个数作为点的坐标，则事件“点落在轴上”包含的基本事件共有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】A
【分析】列举出满足条件的点的坐标，即可得解.
【详解】“点落在轴上”包含的基本事件有：、、、、、、，共个.
故选：A.
7. 在12件同类产品中，有10件正品，2件次品.从中任意抽出3件.下列事件中:
①3件都是正品；
②至少有1件是次品；
③3件都是次品；
④至少有1件是正品.
随机事件有 ，必然事件有 ，不可能事件有 .
【答案】 ①② ④ ③
【分析】根据正品和次品产品的数目，结合事件的概念，即可得出答案.
【详解】对于①，由题意知，抽出的3件可能都是正品，故①是随机事件；
对于②，由题意知，抽出的3件可能包含次品，也可能不包含次品，故②是随机事件；
对于③，由题意知，只有2件次品，所以抽出的3件不可能都是次品，故③是不可能事件；
对于④，由题意知，只有2件次品，所以抽出的3件不可能都是次品，即至少有一件正品，故④是必然事件.
故答案为：①②；④；③.
8．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量（单位：g）如下．
125 120 122 105 130 114 116 95 120 134
则样本数据落在内的频率为 ．
【答案】0.4
【分析】根据频率的计算公式即可求解.
【详解】解：因为样本数据落在内的有4个：120，122，116，120，
所以样本数据落在内的频率为，
故答案为：0.4.
9．判断正误．
（1）随机事件的频率和概率不可能相等．( )
（2）随机事件的频率和概率都随着试验次数的变化而变化．( )
（3）概率能反映随机事件发生可能性的大小，而频率则不能．( )
【答案】 × × ×
【详解】（1）二者可能相等；
（2）频率会发生变化，概率不会变化；
（3）概率和频率均能反映随机事件发生可能性的大小.
10．设事件是互斥事件，且，则 .
【答案】/0.5
【分析】根据给定条件，利用互斥事件的加法公式直接计算得解.
【详解】事件是互斥事件，且，所以.
故答案为：
11．在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位同学分到写有自己学号卡片的概率为 .
【答案】/0.5
【分析】利用枚举法列举出样本空间所有的的样本点，利用古典概型即可求解.
【详解】设三位同学分别为A，B，C，他们的学号分别为1，2，3，
用有序实数列表示三人拿到的卡片种类，如表示A同学拿到1号，B同学拿到3号，C同学拿到2号．
三人可能拿到的卡片结果为，共6种，
其中满足题意的结果有，共3种，
结合古典概型计算公式，可得满足题意的概率为
故答案为：.
12. 下表是某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表，请完成表格并回答问题．
(1)完成上面表格（精确到小数点后三位）；
(2)估计该油菜籽发芽的概率是多少？
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据频率、频数以及总数之间的关系可完善表格；
（2）利用频率与概率之间的关系可得出结论.
【详解】（1）解：表格如下表所示：
（2）解：由于每批种子发芽的频率稳定在附近，所以估计该油菜籽发芽的概率为.
13．先后抛掷同一枚硬币三次，若正面朝上记为1，反面朝上记为0．
(1)写出这个试验的所有可能结果；
(2)写出事件“三次结果对应的数字和为1”；
(3)写出事件“第二次结果对应的数字不小于第一次结果对应的数字”．
【答案】(1)，，，，，，，
(2)；
(3).
【分析】（1）按三次抛掷结果对应数字为一组，写出所有可能结果.
（2）根据给定条件，写出（1）中只出现1个数字1的所有结果.
（3）根据给定条件，按第二次数字为0，1分类结果.
【详解】（1）记表示三次抛掷结果对应数字分别是，，．
这个试验的所有可能结果为，，，，，，，．
（2）由（1）知，“三次结果对应的数字和为1”的事件为．
（3）由（1）知， “第二次结果对应的数字不小于第一次结果对应的数字”的事件为
．
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次数
11
10
5
8
5
12
19
10
11
9
每批粒数
2
5
10
70
130
700
1 500
2 000
3 000
发芽的粒数
2
4
9
60
116
637
1 370
1 786
2 715
发芽的频率
高度/cm
[10，20）
[20，30）
[30，40）
[40，50）
[50，60]
频数
20
30
80
40
30
四面体的面
1
2
3
4
频数
19
23
22
36
等候人数
0
1
2
3
4
大于等于5
概率
0. 05
0. 14
0. 35
0. 30
0. 10
0. 06
学习时间（时）
党员人数
8
13
9
10
10
每批粒数
2
5
10
70
130
300
1500
2000
3000
发芽的粒数
2
4
9
60
116
269
1347
1794
2688
发芽的频率
每批粒数
2
5
10
70
130
300
1500
2000
3000
发芽的粒数
2
4
9
60
116
269
1347
1794
2688
发芽的频率
要点梳理
知识点一 事件的概念及分类
1、在一定条件下，发生的结果事先能够确定的现象称为必然现象，发生的结果事先不能确定的现象称为随机现象.
2、在相同的条件下，对随机现象进行的观察试验叫做随机试验，简称为试验.
3、随机试验每一种可能出现的结果，都称为样本点，常用小写希腊字母w表示，所有样本点组成的集合称为样本空间，通常用大写希腊字母表示
4、如果随机试验的样本空间是，那么的任意一个非空真子集称为随机事件，简称为事件，常用英文大写字母A、B、C等表示，事件中的每一个元素都称为基本事件．
也是的子集，可以看作是一个事件，但由于空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，因此空集称为不可能事件
知识点二 频率
在相同的条件S下重复n次试验，观察事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数m为事件A出现的__频数__，称事件A出现的比例fn(A)＝__ 为事件A出现的频率，其取值范围是__[0,1]__．
知识点三 概率
(1)定义：一般来说，随机事件A在每次试验中是否发生是不可预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会逐渐稳定在区间__[0,1]__中某个常数上．这个常数称为事件A的概率，记为__P(A)__，其取值范围是[0,1]．通常情况下，用概率度量随机事件发生的可能性__大小__．
(2)求法：由于事件A发生的频率随着试验次数的增加稳定于__概率__，因此可以用__频率__来估计概率．
(3)说明：任何事件发生的概率都是区间__[0,1]__上的一个确定的数，用来度量该事件发生的可能性．小概率(接近于0)事件不是不发生，而是__很少__发生，大概率(接近于1)事件不是一定发生，而是__经常__发生．
知识点四 事件概率的性质
（1）对于任意事件A，；
（2）对于必然事件，；
（3）对于不可能事件，．
知识点五 古典概型
(1)定义：如果一个随机试验满足：
①有限性：样本空间的样本点总数有限；
②等可能性：每次试验中，样本空间中的各个样本点出现的可能性相等．
那么这样的随机试验称为古典概型．
(2) 计算公式计算公式：对于古典概型，任何事件A的概率为
P(A)＝eq \f(A包含的基本事件的个数,基本事件的总数)=．
知识点六 互斥事件
在一次试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件.
知识点七 互斥事件的概率加法公式
一般地，当事件C发生则事件A与事件B中至少有一个发生时，称事件C为事件A与事件B的和事件，记作.
若事件A与事件B互斥，则
称为互斥事件的概率加法公式.
题型探究：
考点一 事件类型的判断
例1．下列事件为随机事件的是（ ）
A．投掷一枚骰子，向上一面的点数小于7
B．投掷一枚骰子，向上一面的点数等于7
C．下周日下雨
D．没有水和空气，人也可以生存下去
【答案】C
【分析】根据随机事件的定义即可结合选项逐一求解.
【详解】A中事件为必然事件；B，D中事件为不可能事件；C中事件为随机事件．
故选：C
【归纳提升】 判断一个事件是随机事件、必然事件还是不可能事件，首先一定要看条件，其次是看在该条件下所研究的事件是一定发生(必然事件)、不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)．
【变式】下列事件中，随机事件的个数为（ ）
①甲，乙两人下棋，甲获胜；
②小明过马路，遇见车的车牌号尾号是奇数；
③某种彩票的中奖率为99%，某人买一张此种彩票中奖；
④用任意平面截球体，所得截面图形是椭圆形．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据随机事件的知识确定正确答案.
【详解】根据随机事件的知识可知：①②③是随机事件，
④是不可能事件，所以随机事件的个数为个.
故选：C
考点二 频率与概率
例2. 从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
则取到号码为奇数的频率是（ ）
A．0.53B．0.51C．0.49D．0.47
【答案】B
【分析】运用频率定义计算即可.
【详解】由题意知，取到号码为奇数的频率为.
故选：B.
例3．下表是某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表，请回答问题.
(1)完成上面表格；
(2)该油菜籽发芽的概率约是多少？
[解析] (1)填入表中的数据依次为1,0. 8,0. 9，0. 857，0. 892,0. 910,0. 913,0. 893,0. 905．
(2)该油菜籽发芽的概率约为0. 9．
【归纳提升】 随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率．
此类题目的解题方法是：先利用频率的计算公式依次计算出各个频率值，然后根据频率与概率的关系估计事件发生的概率．
【变式】1. 某地一种植物一年生长的高度如下表：
则该植物一年生长在[30，40）内的频率是（ ）
A．0.80B．0.65
C．0.40D．0.25
【答案】C
【分析】根据表格中的数据，结合频率的计算公式，即可求解.
【详解】根据表格中的数据，可得该植物一年生长在内的频率.
故选：C.
2. 用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4．重复拋掷这个四面体100次，记录每个面落在桌面的次数（如下表）．如果再抛掷一次，请估计标记3的面落在桌面上的概率 .
【答案】0.22/
【分析】根据频数计算出频率即可估计概率.
【详解】标记3的面落在桌面上的频率为，故其概率的估计值为0.22.
故答案为：0.22.
考点四 随机试验的样本空间、样本点
例4．下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的样本空间.
(1)某人射击一次，命中的环数；
(2)从装有大小相同但颜色不同的a、b、c、d四个球的袋子中，任取1个球；
(3)从装有大小相同但颜色不同的a、b、c、d四个球的袋子中，任取2个球．
[分析] 根据所给随机事件的条件，逐一将试验的结果列出来．
[解析] (1)条件为射击一次；结果为命中的环数：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，共11种可能结果，样本空间为｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10｝．
(2)条件为从袋中任取1个球；结果为a，b，c，d，共4种可能结果，样本空间为｛a，b，c，d｝．
(3)条件为从袋中任取2个球；若记(a，b)表示一次试验中取出的球是a和b，则试验的全部结果为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共6种可能结果．样本空间为｛(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)｝．
[归纳提升] 列举试验的所有可能结果的方法
(1)结果是相对于条件而言的，要弄清试验的结果，必须首先明确试验的条件；
(2)根据日常生活经验，按照一定的顺序列举所有可能的结果．可应用画树形图、列表等方法，这样才能不重不漏地列举出所有可能结果．
例5．将一枚骰子先后抛掷两次，则：
(1)一共有几个样本点？
(2)“出现的点数之和大于8”包含几个样本点？
【解析】(1)用(x，y)表示结果，其中x表示第1枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数，则试验的所有结果为：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，
(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，
(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，
(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，
(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．共36个样本点．
(2)“现出的点数之和大于8”包含以下10个样本点：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．
【变式】1．从1，2，3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为 ，满足“它是偶数”样本点的个数为 ．
【答案】 5
【分析】根据题意结合样本空间和样本点的概念分析求解.
【详解】由题意可知：样本空间为；
其中满足“它是偶数”样本点有：2，4，6，8，10，共有5个．
故答案为：；5.
2．从中任取两个字母，则该试验的样本点数为 ．
【答案】6
【分析】根据要求一一列举即可.
【详解】该试验的结果中，含a的有；不含a，含b的有；
不含a，b，含c的有；，
即该试验的样本点数为6.
故答案为：6
考点五 古典概型概率的求法
例5. 同时掷两枚骰子，向上的点数之和是6的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】列举法解决即可.
【详解】列表得
共有36种等可能的结果，
向上的点数之和是6的情况有5种，
掷两枚骰子，向上的点数之和是6的概率是，
故选：D
例6. 同时抛掷两枚硬币，则两枚硬币都是“正面向上”的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意将所有的实验情况一一列举出来，再将符合题意的情况一一列举，根据古典概型，可得答案.
【详解】同时抛掷两枚硬币的所有实验情况为：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），
两枚硬币都是“正面向上”的实验情况为（正，正），
根据古典概型，概率为，
故选：A.
[归纳提升] 1. 对于古典概型，任何事件A的概率为：P(A)＝eq \f(A包含的基本事件的个数m,基本事件的总数n)．
2．求古典概型概率的步骤为：
(1)判断是否为古典概型；
(2)算出样本点的总数n；
(3)算出事件A中包含的样本点个数m；
(4)算出事件A的概率，即P(A)＝eq \f(m,n)．
【变式探究】．从1，2，3，4，5，6六个数中任取2个数，则取出的两个数不是连续自然数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】列出基本事件个数，再由古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】从1，2，3，4，5，6六个数中任取2个数，
可得，
，
共个基本事件，
其中取出的两个数不是连续自然数的有
，
，
共个基本事件，
取出的两个数不是连续自然数的概率为.
故选：C
考点六 互斥事件的判断
例7. 某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名学生去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是（ ）
A．恰有1名女生和恰有2名女生B．至少有1名男生和至少有1名女生
C．至少有1名女生和全是女生D．至少有1名女生和至多有1名男生
【答案】A
【分析】根据互斥事件的定义判断即可.
【详解】依题意可能出现名男生、名男生名女生、名女生；
对于A：恰有1名女生即选出的两名学生中有一名男生一名女生和恰有2名女生，他们不可能同时发生，故是互斥事件，故A正确；
对于B：当选出的两名学生中有一名男生一名女生，则至少有1名男生和至少有1名女生都发生了，故不是互斥事件，故B错误；
对于C：至少有1名女生包含有一名男生一名女生与全是女生，
所以当全是女生时，至少有1名女生和全是女生都发生了，故不是互斥事件，故C错误；
对于D：至少有1名女生包含有一名男生一名女生与全是女生，
至多有1名男生包含有一名男生一名女生与全是女生，
故至少有1名女生和至多有1名男生是相等事件，故D错误.
故选：A
[归纳提升] 判断事件是否互斥的两步骤
第一步，确定每个事件包含的结果；
第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生，若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥的．
【变式】在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有（ ）
①A：“所取3件中至多2件次品”， B ： “所取3件中至少2件为次品”；
②A：“所取3件中有一件为次品”，B： “所取3件中有二件为次品”；
③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”；
④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”；
A．①③B．②③C．②④D．③④
【答案】B
【分析】根据互斥事件的定义即可得到结果.
【详解】在10件产品中有3件次品，从中选3件，∵所取3件中至多2件次品与所取3件中至少2件为次品，两个事件中都包含2件次品，∴①中的两个事件不是互斥事件．
∵所取3件中有一件为次品与所取3件中有二件为次品是互斥事件，∴②中的两个事件是互斥事件．
∵所取3件中全是正品与所取3件中至少有一件为次品是不能同时发生的，∴③中的两个事件是互斥事件，
∵所取3件中至多有2件次品与所取3件中至少有一件是正品都包含2件次品一件正品，以及1件次品两件正品，以及三件正品，所以④不是互斥事件，
故选：B．
考点七 概率加法公式的应用
例8.据统计，在某超市的一个收银台等候的人数及相应的概率如下所示：
求：(1)等候人数不超过1的概率；
(2)等候人数大于等于4的概率．
【解析】 设A、B、C、D，分别表示等候人数为0、1、4，大于等于5的事件，则A、B、C、D互斥．
(1)设E表示事件“等候人数不超过1”，则E＝A∪B，故P(E)＝P(A)＋P(B)＝0. 05＋0. 14＝0. 19，即等候人数不超过1的概率为0. 19．
(2)设F表示事件“等候人数大于等于4”，则F＝C∪D．故P(F)＝P(C)＋P(D)＝0. 10＋0. 06＝0. 16，即等候人数大于等于4的概率为0. 16.
【归纳提升】 解决此类题的关键是明晰概率加法公式应用的前提是“各事件是互斥事件”
【变式】抛掷一枚质地均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点）一次，观察掷出向上的点数，设事件为掷出向上为偶数点，事件为掷出向上为3点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据互斥事件概率计算公式直接计算.
【详解】事件为掷出向上为偶数点，所以，
事件为掷出向上为3点，所以，
又事件，是互斥事件，
所以，
故选：B.
素养作业
1．下列事件中，必然事件的个数是（ ）
①2028年8月18日，北京市不下雨；②在标准大气压下，水在时结冰；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④向量的模不小于0.
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】利用随机事件的概念直接判断．
【详解】对于①，因为2028年8月18日，不能确定北京市是否下雨，
所以2028年8月18日，北京市不下雨为随机事件，故为随机事件；
对于②，在标准大气压下，水在结冰而不是在时结冰，故为不可能事件；
对于③，因为从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，不能确定是否为1号签，
所以从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签，故为随机事件；
对于④，因为向量的模大于等于0，
所以向量的模不小于0，故为必然事件.
综上：①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件．
故选：B.
2. 下列说法不正确的是（ ）
A．必然事件是一定条件下必定发生的事件
B．不可能事件是一定条件下必然不会发生的事件
C．随机事件是在一定条件下可能发生也可能不发生的事件
D．事件A发生的概率一定满足
【答案】D
【分析】根据事件的分类和定义即可得出选项.
【详解】解:由题知,根据事件的分类和定义可知,选项A,B,C正确;
关于选项D,若事件为必然事件,则,
故选项D错误.
故选:D
3. 在试验：连续射击一个目标10次，观察命中的次数中，事件A=“至少命中6次”，则下列说法正确的是
A．样本空间中共有10个样本点
B．事件A中有6个样本点
C．样本点6在事件A内
D．事件A中包含样本点11
【答案】C
【解析】连续射击一个目标10次，可能全部脱靶，最好的情况是全部命中，故有11个样本点；事件A={6,7,8,9,10}，由此判断选项。
【详解】解析：样本空间中有11个样本点，故A错；事件A中有5个样本点，故B错；样本点中没有11，故D错.
故选：C
4. 抛掷硬币试验，设“正面朝上”，则下列论述正确的是（ ）
A．投掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率为
B．投掷10次硬币，事件A发生的次数一定是5
C．投掷硬币20次，事件A发生的频率等于事件A发生的概率
D．投掷硬币1万次，事件A发生的频率接近0.5
【答案】D
【分析】列出试验的所有基本事件，求得事件包含的基本事件数，利用古典概率公式求解即可排除A，对于B,C,D项，只需理解试验中事件发生的频率值是试验值，而事件发生的概率值是稳定值，概率是频率的趋近值，即可一一判断.
【详解】对于A，投掷2次硬币，试验结果有“两个正面朝上，一个正面且一个反面朝上，一个反面且一个正面朝上和两个反面朝上，”四种情况，
故事件“一个正面，一个反面”发生的概率为0.5，故A错误；
对于B，每次抛掷硬币，事件A发生的概率都是0.5，故事件A发生的次数可以是中的任何一个，故B错误；
对于C，投掷硬币20次，事件A发生的概率都是0.5，而事件A发生的频率根据试验结果得到，只能说趋近于0.5，故C错误；
对于D，投掷硬币1万次，事件A发生的频率接近于事件A发生的概率0.5，故D正确.
故选：D.
5．每年4月15日为全民国家安全教育日，某学校党委组织党员学习《中华人民共和国国家安全法》，为了解党员学习的情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的学习时间（单位：时）进行调查，统计数据如下表所示：
则从该校随机抽取1名党员，估计其学习时间不少于6小时的概率为（ ）
A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8
【答案】B
【分析】根据古典概型概率公式求得样本中学习时间不少于6小时的概率，然后可得.
【详解】由统计表可知，样本容量为人，学习时间不少于6小时有人，
所以学习时间不少于6小时的概率为.
故选：B
6．已知集合，从集合中任取不同的两个数作为点的坐标，则事件“点落在轴上”包含的基本事件共有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】A
【分析】列举出满足条件的点的坐标，即可得解.
【详解】“点落在轴上”包含的基本事件有：、、、、、、，共个.
故选：A.
7. 在12件同类产品中，有10件正品，2件次品.从中任意抽出3件.下列事件中:
①3件都是正品；
②至少有1件是次品；
③3件都是次品；
④至少有1件是正品.
随机事件有 ，必然事件有 ，不可能事件有 .
【答案】 ①② ④ ③
【分析】根据正品和次品产品的数目，结合事件的概念，即可得出答案.
【详解】对于①，由题意知，抽出的3件可能都是正品，故①是随机事件；
对于②，由题意知，抽出的3件可能包含次品，也可能不包含次品，故②是随机事件；
对于③，由题意知，只有2件次品，所以抽出的3件不可能都是次品，故③是不可能事件；
对于④，由题意知，只有2件次品，所以抽出的3件不可能都是次品，即至少有一件正品，故④是必然事件.
故答案为：①②；④；③.
8．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量（单位：g）如下．
125 120 122 105 130 114 116 95 120 134
则样本数据落在内的频率为 ．
【答案】0.4
【分析】根据频率的计算公式即可求解.
【详解】解：因为样本数据落在内的有4个：120，122，116，120，
所以样本数据落在内的频率为，
故答案为：0.4.
9．判断正误．
（1）随机事件的频率和概率不可能相等．( )
（2）随机事件的频率和概率都随着试验次数的变化而变化．( )
（3）概率能反映随机事件发生可能性的大小，而频率则不能．( )
【答案】 × × ×
【详解】（1）二者可能相等；
（2）频率会发生变化，概率不会变化；
（3）概率和频率均能反映随机事件发生可能性的大小.
10．设事件是互斥事件，且，则 .
【答案】/0.5
【分析】根据给定条件，利用互斥事件的加法公式直接计算得解.
【详解】事件是互斥事件，且，所以.
故答案为：
11．在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位同学分到写有自己学号卡片的概率为 .
【答案】/0.5
【分析】利用枚举法列举出样本空间所有的的样本点，利用古典概型即可求解.
【详解】设三位同学分别为A，B，C，他们的学号分别为1，2，3，
用有序实数列表示三人拿到的卡片种类，如表示A同学拿到1号，B同学拿到3号，C同学拿到2号．
三人可能拿到的卡片结果为，共6种，
其中满足题意的结果有，共3种，
结合古典概型计算公式，可得满足题意的概率为
故答案为：.
12. 下表是某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表，请完成表格并回答问题．
(1)完成上面表格（精确到小数点后三位）；
(2)估计该油菜籽发芽的概率是多少？
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据频率、频数以及总数之间的关系可完善表格；
（2）利用频率与概率之间的关系可得出结论.
【详解】（1）解：表格如下表所示：
（2）解：由于每批种子发芽的频率稳定在附近，所以估计该油菜籽发芽的概率为.
13．先后抛掷同一枚硬币三次，若正面朝上记为1，反面朝上记为0．
(1)写出这个试验的所有可能结果；
(2)写出事件“三次结果对应的数字和为1”；
(3)写出事件“第二次结果对应的数字不小于第一次结果对应的数字”．
【答案】(1)，，，，，，，
(2)；
(3).
【分析】（1）按三次抛掷结果对应数字为一组，写出所有可能结果.
（2）根据给定条件，写出（1）中只出现1个数字1的所有结果.
（3）根据给定条件，按第二次数字为0，1分类结果.
【详解】（1）记表示三次抛掷结果对应数字分别是，，．
这个试验的所有可能结果为，，，，，，，．
（2）由（1）知，“三次结果对应的数字和为1”的事件为．
（3）由（1）知， “第二次结果对应的数字不小于第一次结果对应的数字”的事件为
．
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次数
11
10
5
8
5
12
19
10
11
9
每批粒数
2
5
10
70
130
700
1 500
2 000
3 000
发芽的粒数
2
4
9
60
116
637
1 370
1 786
2 715
发芽的频率
高度/cm
[10，20）
[20，30）
[30，40）
[40，50）
[50，60]
频数
20
30
80
40
30
四面体的面
1
2
3
4
频数
19
23
22
36
等候人数
0
1
2
3
4
大于等于5
概率
0. 05
0. 14
0. 35
0. 30
0. 10
0. 06
学习时间（时）
党员人数
8
13
9
10
10
每批粒数
2
5
10
70
130
300
1500
2000
3000
发芽的粒数
2
4
9
60
116
269
1347
1794
2688
发芽的频率
每批粒数
2
5
10
70
130
300
1500
2000
3000
发芽的粒数
2
4
9
60
116
269
1347
1794
2688
发芽的频率
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