山西省太原市2024届高三下学期5月三模考试数学试卷（Word版附答案）

这是一份山西省太原市2024届高三下学期5月三模考试数学试卷（Word版附答案），共10页。试卷主要包含了 已知曲线 C，8 分等内容，欢迎下载使用。

(考试时间: 下午 3:00−5:00 )
注意事项:
1. 本试卷分第 I 卷 (选择题) 和第 II 卷 (非选择题) 两部分, 第 I 卷 1 至 4 页, 第 II 卷 5 至 8 页。
2. 回答第 I 卷前, 考生务必将自己的姓名、考试编号填写在答题卡上。
3. 回答第 1 卷时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号, 写在本试卷上无效。
4. 回答第 II 卷时, 将答案写在答题卡相应位置上, 写在本试卷上无效。
5. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的.
1. 1−i1+i2=
A. −i B. i C. -1 D. 1
2. 已知全集 U=R,A={xx∣>1},B=x∣lg2x<1 ,则 ∁vA∩B=
A. (0,1] B. 1,2 C. [−1,1] D. [−1,2)
3. 数据 1,5,4,3,6,5,2,6 的第 25 百分位数为
A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4.5
4. x+y−15 的展开式中 xy2 的系数为
A. -20 B. 20 C. -30 D. 30
5. 已知 △ABC 中, A=120∘,D 是 BC 的中点,且 AD=1 ,则 △ABC 面积的最大值
A. 3 B. 23 C. 1 D. 2
6. 已知函数 fx=asinx+csx 的图象关于直线 x=π6 对称,则函数 gx=sinx+acsx 的 图象关于
A. 点 π6,0 对称 B. 点 π3,0 对称 C. 点 2π3,0 对称 D. 点 5π6,0 对称
7. 已知定义域是 R 的函数 fx 满足对于任意 x,y∈R 都有 fxy+1=fxfy−2fx−2y+3 , 且 f0=2 ,则 k=120241fkfk+1=
A. 6742025 B. 20252026 C. 20246081 D. 225676
8. 已知点 F1,F2 分别是椭圆 C 的左、右焦点, P4,3 是 C 上一点, △PF1F2 的内切圆的圆心 为 Im,1 ,则椭圆 C 的标准方程是
A. x224+y227=1 B. x228+y221=1 C. x252+y213=1 D. x264+y212=1
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题 目要求的. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知曲线 C:x2+y2csα=10<α<π ,则下列结论正确的是
A. 曲线 C 可能是直线 B. 曲线 C 可能是圆
C. 曲线 C 可能是椭圆 D. 曲线 C 可能是双曲线
10. 已知 x1 是函数 fx=x3+mx+nm<0 的极值点,若 fx2=fx1x1≠x2 ,则下列结论 正确的是
A. fx 的对称中心为 0,n B. f−x1>fx1
C. 2x1+x2=0 D. x1+x2>0
11. 已知正方体 ABCD 中, E 是 A1B1 的中点,点 F 是线段 A1C 上的动点,则下列结论正确的是
A. 三棱雉 B−C1EF 的体积为定值
B. 存在点 F ,使得 DF⊥ 平面 BC1E
C. 不存在点 F ,使得 BC// 平面 AEF
D. 不存在点 F ,使得 AEF⊥ 平面 BC1E
山西省太原市 2024 年高三年级模拟考试(三)
数学试卷
第 II 卷(非选择题 共 90 分)
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 抛物线 y=14x2 的焦点坐标为
13. 已知直线 l 过点 A1,2,0 ,且直线 l 的一个方向向量为 m=0,−1,1 ,则坐标原点 O 到 直线 l 的距离为_______
14. 赵爽是我国古代数学家、天文学家, 大约在公元 222 年, 赵爽为《周牌算经》一书作序时, 介绍了 “勾股圆方图”, 亦称“赵爽弦图” (以直角三角形的斜边为边得到的正方形). 类比 “赵爽弦图”, 构造如图所示的图形, 它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的 一个大等边三角形,且 DF=AF ,点 P 在 AB 上, BP=2AP ,点 Q 是 △DEF 内 (含边界)一点,若 PQ=λPD+PA ,则 λ 的最大值 为_____.
四、解答题: 本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)
已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn,a1=1 ,且 Sn+1 也是等比数列.
(1)求 an 的通项公式;
(2) 若 bn=an⋅lg2an+1n∈N∗ ,求数列 bn 的前 n 项和 Tn .
16. (本小题满分 15 分)
为预防季节性流感, 某市防疫部门鼓励居民接种流感疫苗. 为了进一步研究此疫苗的预 防效果, 该防疫部门从市民中随机抽取了 1000 人进行检测, 其中接种疫苗的 700 人中有 570 人未感染流感, 未接种疫苗的 300 人中有 70 人感染流感. 医学统计研究表明, 流感的检测结 果存在错检现象, 即未感染者其检测结果为阳性或感染者其检测结果为阴性. 已知未感染者 其检测结果为阳性的概率为 0.01, 感染者其检测结果为阳性的概率为 0.95 . 将上述频率近似 看成概率.
(1) 根据所给数据,完成以下列联表,并依据 α=0.10 的独立性检验,能否认为接种流感 疫苗与预防流感有关?
(2) 已知某人流感检测结果为阳性, 求此人感染流感的概率 (精确到 0.01 ).
附: χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d ;
17. (本小题满分 15 分)
如图,四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 的底面 ABCD 是平行四边形, A1D⊥ 底面 ABCD . AB=A1B=2AD,∠DAB=60∘ .
(1) 求证: 平面 BDD1B1⊥ 平面 ADD1A1 ;
(2) 求 AB ,与平面 BB1D1D 所成角的正弦值;
(3) 求平面 AA1B1B 与平面 BB1D1D 夹角的余弦值.
18. (本小题满分 17 分)
已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右顶点分别为 A 与 B ,点 D3,2 在 C 上, 且直线 AD 与 BD 的斜率之和为 2 .
(1) 求双曲线 C 的方程;
(2)过点 P3,0 的直线与 C 交于 M,N 两点 (均异于点 A,B ),直线 MA 与直线 x=1 交于点 Q , 求证: B,N,Q 三点共线.
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 fx=xex+x−lnx−kk∈R .
(1) 若 fx≥0 恒成立,求实数 k 的取值范围;
(2) 设 x1,x2∈0,+∞x12 .疫苗
流感
合计
感染
未感染
接种
未接种
合计
α
0.10
0.05
0.01
x
2.706
3.841
6.635
太原市 2024 年高三年级模拟考试（三） 数学
参考答案及评分建议
一、选择题: CABDADCB
二、选择题: 9.ACD 10.AC 11.AB
三、填空题: 12. 0,1 13. 3 14.32
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分.
15. 解: (1) 设数列 an 的公比为 q ,
由 Sn+1 也是等比数列得 S2+12=S1+1S3+1 ,
∴q+22=2×q2+q+2,∴q=2 或 q=0 (舍去), .5 分
∴an=a1qn−1=2n−1n∈N∗ . ⋅7 分
(2) 由 (1) 得 an=2n−1,bn=an⋅lg2an+1=n⋅2n−1n∈N∗ , -9 分
∴Tn=b1+b2+⋯+bn=1×20+2×2+3×22+⋯+n⋅2n−1 ,(1)
∴2Tn=1×2+2×22+3×23+⋯+n⋅2n ,(2)
(1)-(2)得 −Tn=1+2+22+⋯+2n−1−n⋅2n ,
∴Tn=n−1⋅2n+1 . 13 分
16. 解: (1) 由题意得
………4 分
零假设为 H0 : 接种流感疫苗与感染流感无关, ⋯⋯⋯5 分
根据列联表中的数据, 经计算得到
χ2=1000×570×70−130×2302700×300×800×200=12542≈2.976>2.706=x0.10,
根据小概率值 α=0.10 的独立性检验,推断 H0 不成立,即认为接种流感疫苗与感染流感有 关, 此推断犯错误的概率不超过 0.10 ; ⋅8 分
接种流感疫苗中未感染流感和感染流感的频率分别为 5770 和 1370 ,未接种流感疫苗中未感染流 感和感染流感的频率分别为 2330 和 730 ,根据频率稳定于概率的原理,可以认为接种疫苗时未 感染流感的概率大; ⋯⋯10 分
(2) 设 A= “某人流感检测结果为阳性”, B= “此人感染流感”,
由题意得 PB=0.2,PB=0.8,PA∣B=0.95,PA∣B=0.01 ,
∴PAB=PBPA∣B=0.2×0.95=0.19 ,∴PA=PBPA∣B+PBPA∣B=0.2×0.95+0.8×0.01=0.198 ,
∴PB∣A=PABPA=≈0.96 . ⋯⋯15 分
17. (1) 证明: ∵A1D⊥ 底面 ABCD,∴A1D⊥AD,A1D⊥BD ,
∵AB=2AD,∠DAB=60∘,∴BD2=AB2+AD2−2AB⋅ADcs∠DAB=3AD2 ,
∴AB2=BD2+AD2=4AD2 ,
∴∠ADB=90∘,∴AD⊥BD , ………3 分
∴BD⊥ 平面 ADD1A1 ,
∴ 平面 BDD1B1⊥ 平面 ADD1A1 ; ⋅5 分
(2) 由 (1) 知 A1D⊥AD,A1D⊥BD,AD⊥BD ,
以 D 为原点, DA,DB,DA1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立如图所示的空间直角 坐标系,设 AD=1 ,则 D0,0,0,A1,0,0,B0,3,0,A10,0,1,D1−1,0,1 ,
B1−1,3,1, C−1,3,0,
设 m=x1,y1,z1 是平面 BDD1B1 的一个法向量,则 m⊥DB,m⊥DD1,∴3y1=0,−x1+z1=0,
取 z1=1 ,则 x1=1,y1=0,∴m=1,0,1 , ………7 分
∵AB1=−2,3,1, ∴cs=m⋅AB1∣m∥AB1∣=−12×8=−14 ,
∴AB1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为 14 ; ⋅10 分
(3) 设 n=x2,y2,z2 是平面 AA1B1B 的一个法向量,则 n⊥AA1,n⊥AB,∴−x2+z2=0,−x2+3y2=0
取 y2=1 ,则 x2=z2=3,∴n=3,1,3 , ……12 分
∴cs=m⋅nmn=232×7=427 ,
∴ 平面 AA1B1B 与平面 BB1D1D 夹角的余弦值为 427 . ⋅15 分
18. 解: (1) 由题意得 A−a,0,Ba,0 ,
则 9a2−2b2=1,23+a+23−a=2,∴a2=3,b2=1,∴x23−y2=1 ; (5) 分
(2) 由 (1) 得 A−3,0,B3,0 ,设直线 MN 的方程为 x=ty+3t≠±3,Mx1,y1,Nx2,y2 ,则 BN=x2−3,y2 ,
由 x=ty+3,x23−y2=1 得 t2−3y2+6ty+6=0,∴y1+y2=−6tt2−3,y1y2=6t2−3 , 9 分
直线 AM 的方程为 y=y1x1+3x+3 ,令 x=1 ,则 y=y1x1+31+3 ,
∴Q1,1+3y1x1+3,∴BQ=1−3,1+3y1x1+3 , .12 分
∵x2−3⋅1+3y1x1+3−1−3y2=1x1+3x2−3⋅1+3y1−1−3x1+3y2
=1x1+3ty2+3−3⋅1+3y1−1−3ty1+3+3y2
=1x1+3ty2+3−3⋅1+3y1+3−1ty1+3+3y2=23x1+3ty1y2+y1+y2=23x1+36tt2−3−6tt2−3=0,
∴BN//BQ, ∴B,N,Q 三点共线. 17 分
19. (1) 解: 由题意得 f'x=1−x1ex−1x,x>0 , ⋯⋯2 分
∵x>0,∴ex>x>0,∴1ex−1x<0 ,
令 f'x<0 ,则 00 ,则 x>1 ,
∴fx 在 0,1 上单调递减,在 1,+∞ 上单调递增; (4 分
∴fx≥f1=1e+1−k≥0,∴k≤1e+1 ,
∴ 实数 k 的取值范围 −∞,1e+1 . (6 分
(2) 由 (1) 得 fx 在 0,1 上单调递减,在 1,+∞ 上单调递增,
∵fx1=fx2,∴0令 gx=fx−f2−x,0则 g'x=f'x+f'2−x=1−x1ex−1x−1e2−x−12−x , ⋅9 分
设 ℎx=1ex−1x,x>0 ,则 ℎ'x=ex−x2x2ex ,
∵ex−x2>1+x+12x2+16x3−x2>16xx−322+154>0,∴ℎ'x=ex−x2x2ex>0 ,∴ℎx=1ex−1x 在 0,+∞ 上递增,
当 0∴g'x<0,∴gx 在 0,1 上递减, ∴gx>g1=0 , 13 分
∴gx1=fx1−f2−x1>0, ∴fx2=fx1>f2−x1 , 15 分
∵fx 在 1,+∞ 上单调递增, ∴x2>2−x1,∴x1+x2>2 . .17 分
注: 以上各题其它解法请酌情赋分.
疫苗
流感
合计
感染
未感染
接种
130
570
700
未接种
70
230
300
合计
200
800
1000