人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.1 全等三角形练习

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1．全等形的形状相同，大小相等．
2．形状相同的两个图形不一定是全等形，大小相等的两个图形也不一定是全等形，只有形状和大小都相同的图形才是全等形．
3．全等三角形的对应元素：
对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点，如A和A′、B和B′、C和C′．
对应边：全等三角形中，能够重合的边，如AB和A′B′、BC和B′C′、AC和A′C′．
对应角：全等三角形中，能够重合的角，如∠A和∠A′、∠B和∠B′、∠C和∠C′．
对应元素的规律：
（1）有公共边的，公共边是对应边；
（2）有公共角的，公共角是对应角；
（3）有对顶角的，对顶角是对应角．
4．全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等．但是周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等．
5．全等变换的定义：两个全等形经过平移、旋转、翻折等变换可以重合，即平移、翻折、旋转等是只改变图形位置，不改变图形形状和大小的变换，称为全等变换．
【题型1】全等形的概念
例1
（2023秋•奉化区校级期中）下列各组图形中，不是全等图形的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据能够完全重合的两个图形是全等图形对各选项分析即可得解．
【解答】解：观察发现，、、选项的两个图形都可以完全重合，
、、选项的两个图形都是全等图形，
选项中两个图形不可能完全重合，
它们不是全等形．
故选：．


【变式1】 （2023春•兴平市期末）下列各项中，两个图形属于全等图形的是
A．
B．
C．
D．
【变式2】 （2023秋•乐陵市期中）下列给出的条件中，具有 的两个图形一定是全等的．
A．形状相同B．周长相等C．面积相等D．能够完全重合
【变式3】 （2023秋•新乡县月考）杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，组合名为“江南忆”，下列各组吉祥物是全等图形的是
A．
B．
C．
D．
1．【答案】
【分析】利用全等图形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．
【解答】解：、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意；
、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
故选：．
2．【答案】
【分析】根据全等图形的概念作出判断即可．
【解答】解：能够完全重合的两个图形叫做全等形．观察选项，只有选项符合题意．
故选：．
3．【答案】
【分析】根据图形全等的定义对题目中给出的四个选项注意进行判断即可得出答案．
【解答】解：选项、，中的两个图形形状一样，当大小不相等，
选项、，中的两个图形不是全等形，
故选项、，不符合题意．
选项中的两个图形的形状一样，大小相等，
该选项中的两个图形是全等形，
故选项符合题意；
故选：．
【题型2】全等三角形的性质
例2
（2023秋•公主岭市期末）如图，，若，则的度数为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由全等三角形的对应角相等即可得到答案．
【解答】解：，
．
故选：．


【变式1】 （2024春•锦州期末）如图，，，下列结论错误的是
A．B．C．D．
【变式2】 （2023秋•大足区期末）如图，，，，则的度数为
A．B．C．D．
【变式3】 （2024春•顺河区期末）如图，已知，且，，则的度数是
A．B．C．D．
1．【答案】
【分析】根据“全等三角形对应角相等，对应边相等”依次判断即可．
【解答】解：，
，
故选项正确；
中，，
，
，
，
故选项正确；
中，，
，
，
，
，
，
故选项正确；
，
，
，
故选项错误．
故选：．
2．【答案】
【分析】由全等三角形的性质推出，而，由三角形内角和定理求出．
【解答】解：，
，
，
．
故选：．
3．【答案】
【分析】由三角形内角和定理求出，由全等三角形的性质得到．
【解答】解：，，
，
，
．
故选：．
【题型3】利用全等三角形的性质求线段的长和角度的大小
例3
如图，，点在边上，的延长线交于点，若，则的度数为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：，
，，
，
，
故选：．


【变式1】 （2023秋•阿图什市校级期末）如图，，若，，则的长度为
A．10B．6C．4D．2
【变式2】 （2024春•五华县期末）如图，已知，点在线段上，，，则的度数为
A．B．C．D．
【变式3】 （2024春•泉州期末）如图，，，，则
A．2B．8C．6D．5
1．【答案】
【分析】根据全等三角形的对应边相等可得，，再由即可求出其长度．
【解答】解：，
，，
，
故选：．
2．【答案】
【分析】先根据三角形内角和定理求出，然后根据全等三角形的性质得到，，再根据等腰三角形的性质求得，最后根据三角形内角和定理即可求得答案．
【解答】解：，，
，
，
，，
，
．
故选：．
3．【答案】
【分析】根据全等三角形的对应边相等可得，再求出
，那么，代入数值计算即可得解．
【解答】解：，
，
，即，
，，
，
．
故选：．
【题型4】利用全等三角形的性质求面积或周长
例4
（2024春•唐河县期末）如图，△，其中，，，则的周长为 ．
【答案】15．
【分析】根据全等三角形的性质求解即可．
【解答】解：△，，，
，，
，
的周长，
故答案为：15．


【变式1】 （2024春•海口期末）如图，在中，于点、是上一点，若，，，则的周长为
A．22B．23C．24D．26
【变式2】 （2023秋•沙市区期末）如图，，且点，，共线，若的面积为6，，则 ．
【变式3】 （2023秋•雨花区期末）已知，，若的面积是，则中边上的高是 ．
1．【答案】
【分析】由全等三角形的性质可得，，即可得的周长，即可求解．
【解答】解：，
，，
的周长，
，，
的周长为．
故选：．
2．【答案】1．
【分析】设，且，根据得，，则，由的面积为6得进一步得到，即可得到答案．
【解答】解：设，且，
，
，，
，
的面积为6，
，
，
，
．
故答案为：1．
3．【答案】8．
【分析】根据三角形的面积公式求出中边上的高，根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：设中边上的高是 ，
由题意得，，
解得，，
，
中边上的高中边上的高，
故答案为：8．
【题型5】解决全等变换（平移、翻折、旋转）问题
例5
（2023秋•上蔡县月考）如图1，数轴上从左至右依次有，，，，五个点，其中点，，表示的数分别为，0，4．如图2，将数轴在点的左侧部分绕点顺时针方向旋转，将数轴在点的右侧部分绕点逆时针方向旋转，连接，．若和全等，则点表示的数为 ．
【答案】2或．
【分析】根据全等三角形的性质得出或进而结合数轴即可求解．
【解答】解：依题意，，，
和全等，
，或，
或，
故答案为：2或．


【变式1】 如图，，则将通过哪种基本运动可得
A．平移B．翻折
C．旋转D．无论如何都不能
【变式2】 （2024春•苏家屯区校级月考）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为 ．
【变式3】 （2022秋•工业园区校级期中）图形甲是小明设计的花边作品，该作品是由图形乙通过对称和平移得到．在图乙中，，点、、均在直线上，，．
（1）求的长；
（2）连接，求线段的长．
1．【分析】由图可以看出，，，所以不难得出也可以看作是向下平移所得．
【解答】解：，，
也可以看作是向下平移的长度单位所得．
故选：．
2．【答案】51．
【分析】根据平移的性质分别求出、，根据题意求出，根据全等三角形的性质、梯形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：由平移的性质知，，，
，
，
，
，
故答案为：51．
3．【答案】（1）13；
（2）．
【分析】（1）如图，如图，过点作于点，连接，，延长交于点，过点作于．证明，推出是等边三角形即可得到结论；
（2）根据平行线分线段成比例定理求出，可得结论．
【解答】解：（1）如图，过点作于点，连接，延长交于点，过点作于．
，
，，
，
，
设，则，，
在中，，
，
解得或（负根舍弃），
；
（2）由（1）知，
，，
是等边三角形，
，
根据对称性可知，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
．
【题型6】利用全等三角形的性质解决动点问题
例6
（2023春•碑林区校级期末）如图，在四边形中，，，，，．点从点出发以每秒个单位长度的速度向运动，运动到点时停止，同时点从点出发以每秒个单位长度的速度向点运动，若在运动过程中存在，，使得与全等，则的值为 ．
【答案】1或．
【分析】设运动的时间是秒，当时，得到，因此；当时，得到，，因此，于是得到的值是1或．
【解答】解：设运动的时间是秒，
当时，
，
，
；
当时，
，，
，，
，
，
的值是1或．
故答案为：1或．


【变式1】 （2023秋•武汉期中）如图，平面直角坐标系中，直线轴于点，，、分别为线段和射线上的一点，若点从点出发向点运动，同时点从点出发沿射线方向运动，点和点速度之比为，运动到某时刻秒同时停止，且点在轴正半轴上，若与全等，则点的坐标为
A．或B．或
C．或D．或
【变式2】 （2022秋•高邑县期末）如图，，，，点在线段上，以速度从点出发向点运动，到点停止运动．点在射线上运动，且．若与全等，则点运动的时间为
A．B．C．或或D．或
【变式3】 （2023秋•茅箭区校级月考）如图，，，．点沿线段由点向点运动，点沿线段由点向点运动，、同两点时出发，它们的运动时间记为秒．已知点的运动速度是，如果顶点是、、的三角形与顶点是、、的三角形全等，那么点的运动速度为 ．
1．【答案】
【分析】设，则，使与全等，分两种情况，或，根据，即可求解．
【解答】解：依题意，设，则，
，
，
，使与全等，
分两种情况，当时，
，，
，
即，
解得：，
，
当时，
，，
，
即，
解得：，
，
综上所述，或．
故选：．
2．【答案】
【分析】分和两种情况，根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：当时，，
点的速度为，
；
当时，当，
点的速度为，
故选：．
3．【答案】或1．
【分析】设运动的时间为 ，点的运动速度是 ，有两种情况：①，，②，，列出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：设运动的时间为 ，点的运动速度是 ，
，
、、三点构成的三角形与、、三点构成的三角形全等，有两种情况：
①，，
则，
解得：，
则，
解得：；
②，，
则，，
解得：，，
故答案为：或1．
1．全等形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形．
2．全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
3．全等三角形的表示方法：记作： ∆ABC ≌ ∆A′B′C′，读作：∆ABC全等于∆A′B′C′．
4．全等三角形的性质：
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．
◄ 点拨 ►
1．判断两个图形是不是全等形的方法：可以通过平移、翻折、旋转等方法，将两个图形叠合在一起观察是否完全重台，有时还可以借助于网格背景来观察比较．
2．两个图形是否全等，只与这两个图形的形状和大小有关，而与图形所在的位置无关．
◄ 点拨 ►
寻找全等三角形对应边、对应角的三种方法：
（1）图形特征法：
最长边对最长边，最短边对最短边；
最大角对最大角，最小角对最小角．
（2）位置关系法：
①公共角（对顶角）为对应角、公共边为对应边．
②对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角．
（3）字母顺序法：
根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角．
◄ 点拨 ►
1．由全等三角形的性质知，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．
2．利用全等三角形的对应边相等，结合等式的性质，线段的和与差，求线段的长．
3．利用全等三角形的对应角相等，结合三角形内角和定理，三角形外角的性质，求角度．
◄ 点拨 ►
1．由全等三角形的性质可得，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等．但是周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等．
2．由于两个全等三角形的周长和面积都是相等的，所以利用这一性质可以将所求的某个未知图形的周长或面积通过变换，转化到某个已知图形中去求解．
◄ 点拨 ►
全等变换包括平移、翻折、旋转等，只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小．关键是在图形经过平移、翻折、旋转等变换后，能够准确找到对应边和对应角，再利用全等三角形对应边相等、对应角相等的性质解决相关问题．
◄ 点拨 ►
解决此类题目的关键是抓住运动过程中变量之间的关系，两点若同时同速则可得到相等线段，再结合题目中的已知条件可以判定全等，平移或旋转前后的图形全等．这里需要注意的是判定两个三角形全等时，要看两个三角形是否用符号“≌”连接，如果是用“与”连接，要进行分类讨论．