人教版八年级上册第十一章 三角形11.2 与三角形有关的角本节综合同步测试题

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1．三角形内角和的证明思路：
（1）测量法：用量角器测量．
（2）拼合法：运用平行线的性质，将三个内角拼在一个顶点处，合并成一个平角．
（3）利用“平行线的性质”证明：
原理：运用平行线的性质，将三角形的三个内角转化为一个平角或者一对同旁内角．
2．因为三角形三个内角的和等于，所以任何一个三角形中至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角，且三角形中最大的内角不小于60°．
3．符号“Rt△”不可单独使用，直角三角形用符号“Rt△”表示时，后面必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母．
4．利用直角三角形两个锐角互余的性质求一个锐角的度数时，必须指明是在直角三角形中．
5．外角的特征：
①顶点在三角形的一个顶点上；
②一条边是三角形的一边；
③另一条边是三角形某条边的延长线．
6．外角的性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
7．三角形外角和定理：三角形三个外角的和等于．
【题型1】利用三角形内角和定理求角度
例1
（2024春•曹县期末）如图，在中，为的角平分线，为的高，与相交于点，，，则的度数为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由三角形的内角和可求得，再由角平分线求得，再结合是高，从而可求的度数，由对顶角相等可得，即得解．
【解答】解：，，
，
平分，
，
，
，
，
，
故选：．


【变式1】 （2024春•高碑店市期末）若三个角的大小满足，则的度数为
A．B．C．D．
【变式2】 （2024春•泰兴市期末）将一副直角三角板如图放置，已知，，当时，的度数为
A．B．C．D．
【变式3】 （2024春•汉中期末）在中，和的平分线交于点，且，则
A．B．C．D．
1．【答案】
【分析】根据三角形内角和是及，即可求出的度数．
【解答】解：，且，
．
故选：．
2．【答案】
【分析】证明，可得结论．
【解答】解：，
，
，
．
故选：．
3．【分析】根据三角形内角和定理列式求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：在中，，
，
、分别是和的平分线，
，，
，
在中，．
故选：．
【题型2】利用三角形内角和定理判断三角形形状
例2
（2024春•未央区校级月考）已知的三个内角记为，，，且，则是
A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．无法确定
【答案】
【分析】设，则，，利用三角形内角和定理，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再将其代入中，可得出，进而可得出这个三角形是锐角三角形．
【解答】解：设，则，，
根据题意得：，
解得：，
，
这个三角形是锐角三角形．
故选：．


【变式1】 （2024春•沙坪坝区期末）中， 已知、、的度数之比是，则的形状是
A ． 等腰三角形B ． 直角三角形
C ． 等腰直角三角形D ． 等边三角形
【变式2】 （2024春•牟平区期末）在中，已知两个内角的度数如下，则能判断为等腰三角形的是
A．，B．，
C．，D．，
【变式3】 （2024春•宜阳县期末）在中，，，则为
A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形
1．【分析】根据三角形的内角和公式和直角三角形的判定不难求得各角的度数， 从而可判定其形状 ．
【解答】解： 设三个角的度数分别为，，，则根据三角形内角和定理可求出三个角分别为 30 度， 60 度， 90 度，
因而是直角三角形 ． 故选．
2．【答案】
【分析】根据等腰三角形性质，利用三角形内角和定理对4个选项逐一进行分析即可得到答案．
【解答】解；当顶角为时，，
当顶角为时，
所以选项错误．
当顶角为时，，
当时，，
所以选项错误．
当顶角为时，，
所以选项正确．
当顶角为时，，
当顶角为时，
所以选项错误．
故选：．
3．【答案】
【分析】根据三角形内角和求得的度数，则可判定三角形的形状．
【解答】解：，，
，
是锐角三角形．
故选：．
【题型3】与平行线有关的三角形内角和问题
例3
（2024•雁塔区校级模拟）如图，在中，，平分交于点，，交于点，若，则的度数是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由，利用“两直线平行，内错角相等”可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，再在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数．
【解答】解：，
，
平分，
．
在中，，，
．
故选：．


【变式1】 （2023秋•林州市期末）如图，，的平分线相交于，过点作，交于，交于，那么下列结论中：①；②；③；④的周长，其中正确的有几个
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2】 （2024•高邮市一模）如图，已知中，、，若，，则的度数为
A．B．C．D．
【变式3】 （2024春•莱州市期末）【认识模型】
如图①，已知，我们发现．我们称这种模型为平行线的“猪脚模型”，我们怎么说明这个结论呢？
张山同学：如图②，过点作，把分成与的和，然后分别说明，；
李思同学：如图③，过点作，则，再说明．
【探索模型】
（1）请按张山同学的思路，写出说明过程；
（2）请按李思同学的思路，写出说明过程；
【应用模型】
（3）如图④，已知，平分，平分．若，请利用“猪脚模型”的结论，直接写出的度数 ．
1．【答案】
【分析】由中，与的平分线交于点，，易证得和都是等腰三角形，继而可得，又由的周长为：；即可得的周长等于与的和．
【解答】解：，
，，
中，与的平分线交于点，
，，
，，
，，
即和都是等腰三角形；
故①正确；
不一定等于，
不一定等于，
与不一定相等，
与不一定相等，故②错误．
在中，和的平分线相交于点，
，
，
；故③正确；
的周长为：；
故④正确；
故选：．
2．【答案】
【分析】由平行线的性质推出，，求出和的度数，由三角形内角和定理即可求出的度数．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
3．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．
【分析】（1）过点作，利用平行线的性质证明即可；
（2）过点作交的延长线于．利用平行线的性质证明即可；
（3）由角平分线的定义得出，，设，，则，由题意得出，由平行线的性质得出，由平角的定义得出，计算即可得出答案．
【解答】解：（1）如图②中，过点作，
因为，，
所以，
所以，，
所以．
（2）如图③中，过点作交的延长线于．
因为，
所以，，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以．
（3）如图④中，
平分，平分，
，，
设，，则，
，
，
，
，
，
，
，即．
故答案为：．
【题型4】直角三角形的性质
例4
（2024春•益阳期末）在直角三角形中，其中一个锐角是，则另一个锐角的度数是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据直角三角形两锐角互余进行求解即可．
【解答】解：在直角三角形中，其中一个锐角是，
另一个锐角的度数是，
故选：．


【变式1】 （2024春•祁阳市期末）在中，，则两个锐角的度数为
A．和B．和
C．和或和D．以上说法都不对
【变式2】 （2024春•鄄城县期末）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，，并画出了两锐角的角平分线，及其交点．小明发现，无论怎样变动的形状和大小，的度数是定值，则这个定值为
A．B．C．D．
【变式3】 （2024春•宁远县期末）在中，，，则的度数为
A．B．C．D．
1．【答案】
【分析】分类计算，当时，，则，当时，，结合已知条件可得出和．
【解答】解：当时，，
则，
当时，，
则，，
故选：．
2．【答案】
【分析】利用三角形内角和定理、角平分线的定义和直角三角形的性质求解即可．
【解答】解：，
，
平分，平分，
，
，
．
故选：．
3．【答案】
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得，再代入的度数可得的度数．
【解答】解：，
，
，
，
故选：．
【题型5】直角三角形的判定
例5
（2024春•东明县校级月考）由下列条件不能判定是直角三角形的是
A．，B．
C．D．
【答案】
【分析】根据三角形内角和定理及直角三角形的定义判断即可．
【解答】解：、在中，，，，，是直角三角形，故此选项不符合题意；
、在中，，，，，，是直角三角形，故此选项不符合题意；
、在中，，，设，则，，
，，，，，不能判定是直角三角形，故此选项符合题意；
、在中，，，设，则，，
，，，，，是直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：．


【变式1】 （2023秋•藁城区期末）下列条件能判定是直角三角形的有
①；
②；
③．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【变式2】 （2023秋•天河区校级期中）给定下列条件，能判定三角形是直角三角形的是
A．B．
C．D．
【变式3】 （2022春•和平区校级期中）给定下列条件，不能判定三角形是直角三角形的是
A．B．
C．D．
1．【答案】
【分析】根据三角形内角和定理是180度求出中某个角为90度即可判断是直角三角形．
【解答】解：①，
，
，
是直角三角形，故①符合题意；
②，，
，
是直角三角形，故②符合题意；
③，
，
，
，
，
是直角三角形，故③符合题意；
故选：．
2．【答案】
【分析】根据各角之间的关系，可求出各选项中最大角的度数，取其为的选项，即可得出结论．
【解答】解：．，，
，
是直角三角形，选项符合题意；
．，，
，
是直角三角形，选项符合题意；
．，
，
又，
，
是直角三角形，选项符合题意；
．，
，
又，
，
是钝角三角形，选项不符合题意．
故选：．
3．【答案】
【分析】根据三角形的内角和等于求出三角形的最大角，进而得出结论．
【解答】解：、最大角，是直角三角形，不符合题意；
、由，可得，
故最大角，是直角三角形，不符合题意；
、设，则，，
所以，，
解得，
最大角，是钝角三角形，符合题意；
、设，则，，
所以，，
解得，
最大角，是直角三角形，不符合题意；
故选：．
【题型6】直角三角形性质和判定的综合应用
例6
（2023秋•兴县月考）如图，在中，，平分，且，求证：是直角三角形．
【答案】见解析．
【分析】证明，得到，即可证明是直角三角形．
【解答】证明：在中，
，
，
平分，
，
，
，
，
是直角三角形．


【变式1】 （2023春•江阴市期中）已知在中，，是上一点，且．
（1）如图1，求证：；
（2）将沿所在直线翻折，点落在边所在直线上，记为点．
①如图2，若，求的度数；
②若，则 的度数为 （用含的代数式表示）．
【变式2】 （2023秋•佛山期末）综合探究
如图，在直角中，，点在直线上，点、在直线上运动（点不与点重合），且始终满足平分．
（1）当点在点左侧时，请直接写出与之间的数量关系；
（2）若，在点、运动的过程中，当是直角三角形时，求的度数；
（3）请你在以点为顶点的角中任选一个、、除外），在点、运动的过程中，探究所选角与的数量关系，并写出具体过程．
【变式3】 （2023秋•长岭县期末）已知，在直角三角形中，，是上一点，且．
（1）如图1，求证：；
（2）将沿所在直线翻折，点落在边所在直线上，记为点．
①如图2，若，求的度数；
②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）．
1．【答案】（1）证明见解析；（2）①；②或．
【分析】（1）由，得到，又，因此即可求出，从而证明；
（2）①由直角三角形的性质求出，而，即可求出；
②分两种情况，由直角三角形的性质即可求解．
【解答】（1）证明：，
，
，
，
，
；
（2）解：①，
，
，
由题意得：，
；
②，
，
当时，在线段上，
；
当时，在的延长线上，
，
当时，，
当时，．
故答案为：或．
2．【答案】（1）；
（2）若，，若，；
（3）点在点左侧时，，点在点右侧时，．
【分析】（1）由点、在直线上运动，平分，，可得点在点的右侧，又因点在点左侧，所以；
（2）因为是直角三角形，分情况讨论；
（3）分情况讨论．
【解答】解：（1）点、在直线上运动，平分，，
点在点的右侧，
点在点左侧，
；
（2）点、在直线上运动，平分，，
点在点的右侧，
是直角三角形，
或，
①，
若，，
，
，
平分，
，
②，
若，
，
，
，
，
平分，
；
（3）探究与的数量关系，
点、在直线上运动，平分，，
点在点的右侧，
①点在点左侧时，
，
平分，
，
，
，即，
②点在点右侧时，
，
平分，
，
，即，
，
，即．
3．
【分析】（1）先判断出，进而得出，即可得出结论；
（2）先求出，进而利用折叠得出，再利用直角三角形的性质得出，即可得出结论．
【解答】解：（1），
，
，
，
，
；
（2）①当时，，
，
由（1）知，，
，
由折叠知，，
；
②当时，当时，同①的方法得，，，
；
当时，同①的方法得，，，
．
【题型7】三角形的外角及外角性质的应用
例7
（2024•浙江模拟）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则的度数是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由题意得：，，，得出，由平行线的性质可得，再由三角形外角的定义及性质可得，计算即可得出答案．
【解答】解：如图，
，
由题意得：，，，
，
，
，
，
故选：．


【变式1】 （2024•泗阳县二模）一天，李明和爸爸一起到建筑工地去，看见了一个如图所示的人字架，爸爸说：“李明，我考考你这个人字架中的，你能求出比大多少吗？”请你帮李明计算一下，正确的答案是
A．B．C．D．
【变式2】 （2023秋•廉江市期末）如图，是的外角，平分，若，，则等于
A．B．C．D．
【变式3】 （2023秋•滨城区期末）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于
A．B．C．D．
1．【答案】
【分析】由邻补角的性质求出，由三角形外角的性质得到．
【解答】解：，
，
．
故选：．
2．【答案】
【分析】根据三角形外角性质求出，根据角平分线定义求出即可．
【解答】解：，，
，
平分，
，
故选：．
3．【答案】
【分析】根据三角板的特点易得，利用三角形的外角的性质，得到，即可得出结论．
【解答】解：如图，，，，
，
，
故选：．
1．三角形内角和定理：
三角形三个内角的和等于．
2．直角三角形的性质与判定：
性质：直角三角形的两个锐角互余．
判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．
3．外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角．
4．外角的性质：
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
◄ 点拨 ►
利用三角形内角和定理求角度时：
（1）若已知两个角的度数，求第三个角的度数，直接利用三角形的内角和定理求解；
（2）若已知一个角的度数及另两个角之间的数量关系，或不知道任何一个角的度数，只知道三个角之间的数量关系，一般根据“三角形内角和是180°”这个等量关系列方程（或方程组）求解．
◄ 点拨 ►
利用三角形内角和定理判断三角形形状时，可不计算角度，只计算份数，如：若三角形三个内角度数的比为2:4:7，2+4=6