重庆市（六校联考）2023-2024学年数学八年级第一学期期末监测试题【含解析】

这是一份重庆市（六校联考）2023-2024学年数学八年级第一学期期末监测试题【含解析】，共21页。试卷主要包含了下列条件，已知，则的大小关系是，下列式子，表示4的平方根的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图所示，三角形ABC的面积为1cm1．AP垂直∠B的平分线BP于P．则与三角形PBC的面积相等的长方形是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．甲乙两地相距420千米,新修的高速公路开通后,在甲、乙两地行驶的长途客运车平均速度是原来的1.5倍,进而从甲地到乙地的时间缩短了2小时．设原来的平均速度为x千米/时,可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为（3，4），点P与点Q关于y轴对称，则Q点的坐标是（ ）
A．（3，4）B．（-3，4）C．（3，-4）D．（-3，-4）
4．方程组的解为则a，b的值分别为( )
A．1，2B．5，1C．2，1D．2，3
5．下列条件：①∠AEC＝∠C，②∠C＝∠BFD，③∠BEC＋∠C＝180°，其中能判断ABCD的是（ ）
A．①②
B．①③
C．②
D．①②③
6．已知，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
7．下列式子，表示4的平方根的是（ ）
A．B．42C．﹣D．±
8．如图，王老师将某班近三个月跳跃类项目的训练情况做了统计，并绘制了折线统计图，则根据图中信息以下判断错误的是（ ）
A．男女生5月份的平均成绩一样
B．4月到6月，女生平均成绩一直在进步
C．4月到5月，女生平均成绩的增长率约为
D．5月到6月女生平均成绩比4月到5月的平均成绩增长快
9．已知a2+a﹣4=0，那么代数式：a2（a+5）的值是（ )
A．4B．8C．12D．16
10．点（﹣1，2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，﹣2）D．（2，﹣1）
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是____________
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，连接EF交AP于点G．给出以下四个结论，其中正确的结论是_____．
①AE＝CF，
②AP＝EF，
③△EPF是等腰直角三角形，
④四边形AEPF的面积是△ABC面积的一半．
13．在平面直角坐标系中，已知直线与x轴，y轴分别交于点A，B，线段AB绕点A顺时针方向旋转90°得线段AC，连接BC．
（1）线段AB的长为_____；
（2）若该平面内存在点P（a，1），使△ABP与△ABC的面积相等，则a的值为_____．
14．因式分解：2x3y﹣8xy3＝_____．
15．已知x，y满足方程组，则9x2﹣y2的值为_____．
16．若，则的值为__________.
17．已知函数y=-3x+1的图象经过点、，则___（填“”，“”或“”）.
18．如图，折叠长方形，使顶点与边上的点重合，已知长方形的长度为，宽为，则______．
三、解答题(共66分)
19．（10分）已知x＝1﹣，y＝1+，求下列代数式的值：
（1）x1+1xy+y1；
（1）x1﹣y1．
20．（6分）计算:
（1）
（2）
21．（6分）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，点D在边AB上，点E在边AC的左侧，连接AE．
（1）求证：AE＝BD；
（2）试探究线段AD、BD与CD之间的数量关系；
（3）过点C作CF⊥DE交AB于点F，若BD：AF＝1：2，CD＝，求线段AB的长．
22．（8分）某体育文化用品商店购进篮球和排球共200个，进价和售价如下表全部销售完后共获利润2600元．
（1）求商店购进篮球和排球各多少个？
（2）王老师在元旦节这天到该体育文化用品商店为学校买篮球和排球各若干个（两种球都买了），商店在他的这笔交易中获利100元王老师有哪几种购买方案．
23．（8分）（1）计算：
①；
②
（2）因式分解：
①
②
（3）解方程：
①
②
24．（8分）（1）计算：
（2）解方程组：
25．（10分）在中，，，于点,
（1）如图1，点，分别在，上，且，当，时，求线段的长；
（2）如图2，点，分别在，上，且，求证：；
（3）如图3，点在的延长线上，点在上，且，求证：;
26．（10分）如图，点是等边三角形的边上一点，交于，延长至，使，连结交于．
（1）请先判断的形状，并说明理由．
（2）请先判断和是否相等，并说明理由．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】过P点作PE⊥BP，垂足为P，交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积．
【详解】解：过P点作PE⊥BP，垂足为P，交BC于E，
∵AP垂直∠B的平分线BP于P，
∠ABP=∠EBP，
又知BP=BP，∠APB=∠BPE=90°，
∴△ABP≌△BEP，
∴AP=PE，
∵△APC和△CPE等底同高，
∴S△APC=S△PCE，
∴三角形PBC的面积=三角形ABC的面积=cm1，
选项中只有B的长方形面积为cm1，
故选B．
2、B
【分析】设原来的平均速度为x千米/时，高速公路开通后的平均速度为1.5x千米/时，根据走过相同的距离时间缩短了2小时，列方程即可．
【详解】解：设原来的平均速度为x千米/时，
由题意得，，
故选：B．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
3、B
【解析】根据轴对称---平面直角坐标系中关于y轴对称的点的特点：纵坐标不变，横坐标变为相反数，可知Q点的坐标为（-3，4）.
故选B.
点睛：此题主要考查了轴对称---平面直角坐标系，解题关键是明确坐标系中的轴对称特点是：关于哪个轴对称时，那个坐标不变，另一个变为相反数，直接可求解，比较简单.
4、B
【解析】把代入方程组得
解得
故选B.
5、B
【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：①由“内错角相等，两直线平行”知，根据能判断．
②由“同位角相等，两直线平行”知，根据能判断．
③由“同旁内角互补，两直线平行”知，根据能判断．
故选：．
【点睛】
本题考查的是平行线的判定，解题时注意：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
6、B
【解析】先根据幂的运算法则进行计算，再比较实数的大小即可.
【详解】，
，
，
.
故选：.
【点睛】
此题主要考查幂的运算，准确进行计算是解题的关键.
7、D
【分析】根据平方根的表示方法判断即可.
【详解】解：表示4的平方根的是±，故选D．
【点睛】
本题考查了实数的平方根，熟知定义和表示方法是解此题的关键.
8、C
【分析】男女生5月份的平均成绩均为8.9，据此判断A选项；4月到6月，女生平均成绩依次为8.8、8.9、9.2，据此可判断B选项；根据增长率的概念，结合折线图的数据计算，从而判断C选项；根据女生平均成绩两端折线的上升趋势可判断D选项．
【详解】解：A．男女生5月份的平均成绩一样，都是8.9，此选项正确，不符合题意；
B．4月到6月，女生平均成绩依次为8.8、8.9、9.2，其平均成绩一直在进步，此选项正确，不符合题意；
C．4月到5月，女生平均成绩的增长率为，此选项错误，符合题意；
D．5月到6月女生平均成绩比4月到5月的平均成绩增长快，此选项正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查折线统计图的运用，折线统计图表示的是事物的变化情况，解题的关键是根据折线图得出解题所需的数据及增长率的概念．
9、D
【分析】由a2+a﹣4=0，变形得到a2=-（a-4），a2+a=4，先把a2=-（a-4）代入整式得到a2（a+5）=-（a-4）（a+5），利用乘法得到原式=-（a2+a-20），再把a2+a=4代入计算即可．
【详解】∵a2+a﹣4=0，
∴a2=-（a-4），a2+a=4，
a2（a+5）=-（a-4）（a+5）=-（a2+a-20）=−(4−20)=16，
故选D
【点睛】
此题考查整式的混合运算—化简求值，掌握运算法则是解题关键
10、C
【解析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．
【详解】点（﹣1，2）关于x轴对称的点的坐标为（﹣1，﹣2），
故选C．
【点睛】
本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、或
【分析】根据等腰三角形的性质和可得，，根据特殊三角函数值即可求出，即可求出这个等腰三角形的底角度数．
【详解】根据题意，作如下等腰三角形，AB、AC为腰，，
①顶角是锐角
∵，
∴，
∵
∴
∴
∴
∴
②顶角是钝角
∵，
∴，
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的度数问题，掌握等腰三角形的性质、特殊三角函数值是解题的关键．
12、①③④．
【分析】根据等腰直角三角形的性质得：∠B=∠C=45°，AP⊥BC，AP=BC，AP平分∠BAC．所以可证∠C=∠EAP；∠FPC=∠EPA；AP=PC．即证得△APE与△CPF全等．根据全等三角形性质判断结论是否正确，根据全等三角形的面积相等可得△APE的面积等于△CPF的面积相等，然后求出四边形AEPF的面积等于△ABC的面积的一半．
【详解】∵AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，
∴∠B＝∠C＝45°，AP⊥BC，AP＝BC＝PC＝BP，∠BAP＝∠CAP＝45°，
∵∠APF+∠FPC＝90°，∠APF+∠APE＝90°，
∴∠FPC＝∠EPA．
∴△APE≌△CPF（ASA），
∴AE＝CF；EP＝PF，即△EPF是等腰直角三角形；故①③正确；
S△AEP＝S△CFP，
∵四边形AEPF的面积＝S△AEP+S△APF＝S△CFP+S△APF＝S△APC＝S△ABC，
∴四边形AEPF的面积是△ABC面积的一半，故④正确
∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中点，
∴AP＝BC，
∵EF不是△ABC的中位线，
∴EF≠AP，故②错误；
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质的运用，等腰直角三角形的判定定理的运用，三角形面积公式的运用，解答时灵活运用等腰直角三角形的性质求解是关键．
13、5 -4或
【分析】（1）根据直线解析式可以求出A、B两点坐标，然后运用勾股定理即可求出AB的长度；
（2）由（1）中AB的长度可求等腰直角△ABC的面积，进而可知△ABP的面积，由于没有明确点P的位置，要分类讨论利用三角形的和或差表示出面积，列出并解出方程即可得到答案．
【详解】（1）∵直线与x轴，y轴分别交于点A、B，
∴A(3,0)，B(0,4)，
∴；
（2）∵AB=5，
∴，
∴，
当P在第二象限时，如图所示，连接OP，
∵
即，
∴；
当P在第一象限时，如图所示，连接OP，
∵
即，
∴；
故答案为：5；-4或．
【点睛】
本题考查了一次函数的综合应用，做题时要认真观察图形，要会对图象进行拼接来表示出三角形的面积，而分类讨论是正确解答本题的关键．
14、
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式：分解即可．
【详解】原式
故答案为：．
【点睛】
本题考查了利用提取公因式和平方差公式相结合进行因式分解，熟记平方差公式是解题关键．
15、80
【分析】利用平方差公式将9x2﹣y2进行转换成（3x+y）（3x﹣y）的形式，再将方程组代入原式求值即可．
【详解】由方程组得：3x﹣y＝10，3x+y＝8，
则原式＝（3x+y）（3x﹣y）＝80，
故答案为：80
【点睛】
本题考查了方程组的问题，掌握平方差公式是解题的关键．
16、9
【解析】分析：
先将化为，再将代入所化式子计算即可.
详解：
∵，
∴
=
=
=
=
=9.
故答案为：9.
点睛：“能够把化为”是解答本题的关键.
17、>
【分析】把横坐标代入计算可得解.
【详解】解：∵一次函数y=-3x+1的图象经过点A（-1，y1）和B（1，y1），
∴y1=-3×（-1）+1=4，y1=-3×1+1=-1．
∵-1＜4，
∴y1＞y1．
故答案为＞．
点睛：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数图象上点的坐标特征求出y1、y1的值是解题的关键．
18、1
【分析】由长方形ABCD沿AE折叠后，D点恰与BC边上的F重合，可得AF＝AD＝10，DE＝EF，然后设EC＝x，则DE＝EF＝CD−EC＝8−x，首先在Rt△ABF中，利用勾股定理求得BF的长，继而可求得CF的长，然后在Rt△CEF中，由勾股定理即可求得方程：x2＋42＝（8−x）2，解此方程即可求得答案．
【详解】∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B＝∠C＝90，AD＝BC＝10，CD＝AB＝8，
∵△ADE折叠后得到△AFE，
∴AF＝AD＝10，DE＝EF，
设EC＝x，则DE＝EF＝CD−EC＝8−x，
∵在Rt△ABF中，AB2＋BF2＝AF2，
∴82＋BF2＝102，
∴BF＝6，
∴CF＝BC−BF＝10−6＝4，
∵在Rt△EFC中，EC2＋CF2＝EF2，
∴x2＋42＝（8−x）2，
解得：x＝3，
∴DE=1
故答案为1．
【点睛】
此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想与方程思想的应用．
三、解答题(共66分)
19、（1）16；（1）﹣8
【分析】（1）根据已知条件先计算出x+y＝4，再利用完全平方公式得到x1+1xy+y1＝（x+y）1，然后利用整体代入的方法计算；
（1）根据已知条件先计算出x+y＝4，x﹣y＝﹣1，再利用平方差公式得到x1﹣y1＝（x+y）（x﹣y），然后利用整体代入的方法计算．
【详解】（1）∵x＝1﹣，y＝1+，
∴x+y＝4，
∴x1+1xy+y1＝（x+y）1＝41＝16；
（1））∵x＝1﹣，y＝1+，
∴x+y＝4，x﹣y＝﹣1，
∴x1﹣y1＝（x+y）（x﹣y）
＝4×（﹣1）
＝﹣8．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值、完全平方公式、平方差公式，熟记完全平方公式和平方差公式，利用整体思想方法解决问题是解答的关键．
20、（1）；（2）．
【分析】（1）原式先通分变为同分母的分式，再按同分母分式减法法则进行计算即可得到结果；
（2）原式括号中两项进行通分并利用同分母分式加法法则进行计算，约分后即可得到结果．
【详解】（1）
=
=
=；
（2）
=
=
=．
【点睛】
此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21、（1）见解析；（2）BD2+AD2＝2CD2；（3）AB＝2+1．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质证明△ACE≌△BCD即可得到结论；
（2）利用全等三角形的性质及勾股定理即可证得结论；
（3）连接EF，设BD＝x，利用（1）、（2）求出EF=3x，再利用勾股定理求出x，即可得到答案.
【详解】（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形
∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝90°
∴∠ACB﹣∠ACD＝∠ECD﹣∠ACD
∴∠ACE＝∠BCD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD．
（2）解：由（1）得△ACE≌△BCD，
∴∠CAE＝∠CBD，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB＝∠CBA＝∠CAE＝15°，
∴∠EAD＝90°，
在Rt△ADE中，AE2+AD2＝ED2，且AE＝BD，
∴BD2+AD2＝ED2，
∵ED＝CD，
∴BD2+AD2＝2CD2，
（3）解：连接EF，设BD＝x，
∵BD：AF＝1：2，则AF＝2x，
∵△ECD都是等腰直角三角形，CF⊥DE，
∴DF＝EF，
由 （1）、（2）可得，在Rt△FAE中，
EF＝＝＝3x，
∵AE2+AD2＝2CD2，
∴，
解得x＝1，
∴AB＝2+1．
【点睛】
此题考查三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理.
22、（1）商店购进篮球120个，排球80个；（2）王老师共有3种购买方案，方案1：购进篮球2个，排球7个；方案2：购进篮球4个，排球3个；方案3：购进篮球6个，排球1个．
【分析】（1）设商店购进篮球x个，排球y个，根据商店购进两种球共200个且销售利润为2600元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设王老师购买篮球m个，排球n个，根据商店在他的这笔交易中获利100元，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案．
【详解】解：（1）设商店购进篮球x个，排球y个，
依题意得：，
解得：，
答：商店购进篮球120个，排球80个；
（2）设王老师购买篮球m个，排球n个，
依题意得：（95﹣80）m+（60﹣50）n＝100，
∴n＝10﹣m，
∵m，n均为正整数，
∴m为偶数，
∴当m＝2时，n＝7；当m＝4时，n＝4；当m＝6时，n＝1，
答：王老师共有3种购买方案，方案1：购进篮球2个，排球7个；方案2：购进篮球4个，排球3个；方案3：购进篮球6个，排球1个．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键．
23、（1）①5；②3xy+y2；（2）①ab(a+1)(a-1)；②-y(3x-y)2；（2）①x=9；②x=-
【分析】(1) ①先计算负整数指数、乘方和零指数幂，然后按实数的计算法则加减即可；
②先根据多项式乘以多项式法则和平方差公式进行计算，再合并同类项即可．
(2) ①首先找出公因式，进而利用平方差公式分解因式即可，
②找出公因式，进而利用完全平方公式分解因式即可；
(3) ①方程两边同时乘以x(x−3)，然后求解即可，注意，最后需要检验；
②方程两边同时乘以(2x−5)(2x+5)，然后求解即可，注意，最后需要检验；
【详解】解：(1) ①原式=4-8×0.125+1+1=4-1+1+1=5
②原式=4x2+3xy-4x2+y2=3xy+y2
(2) ①=ab(a2-1)= ab(a+1)(a-1)
②=-y(-6xy+9x2+y2)= -y(3x-y)2
(3) ①方程两边同乘x(x−3)得：2x=3x-9，
解得：x=9，
检验：当x=9时，x(x−3)≠0，
∴x=9是原方程的解；
②方程两边同乘(2x−5)(2x+5)得：2x(2x+5)-2(2x-5)= (2x−5)(2x+5)
解得：x=-，
检验：当x=-时，(2x−5)(2x+5) ≠0，
∴x=-是原方程的解．
【点睛】
本题考查实数的计算、因式分解和分式的加减，多项式乘以多项式法则，解分式方程，掌握运算顺序与运算法则和因式分解的方法是解题的关键．
24、（1）；（2）
【分析】（1）根据二次根式混合运算法则即可求解
（2）将两个方程相加即可消去y，求得x的值，再代入任一方程求解y的值．
【详解】（1）
=
=
故答案为：
（2）解方程组：
由①+②得，3x = 9 ③
得 x=3
把x=3代入①得，y= -1
∴原方程组的解是
故答案为：
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算和二元一次方程组的解法，本题主要应用加减消元法解二元一次方程组．
25、 (1) ；(2)见解析；(3)见解析.
【解析】（1）根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质得到 AD＝BD＝DC＝ ，求出 ∠MBD＝30°，根据勾股定理计算即可；
（2）证明△BDE≌△ADF，根据全等三角形的性质证明；
（3）过点 M作 ME∥BC交 AB的延长线于 E，证明△BME≌△AMN，根据全等三角形的性质得到 BE＝AN，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理证明结论．
【详解】（1）解：，，，
，，，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得，，即，
解得，，
；
（2）证明：，，
，
在和中，
，
；
（3）证明：过点作交的延长线于，
，
则，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形
的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
26、（1）等边三角形，证明见解析；（2），证明见解析．
【分析】（1）根据等边三角形和平行线的性质，即可完成证明；
（2）根据（1）的结论，结合，可得；再根据平行线性质，得，，从而得到，即可得到答案．
【详解】（1）∵是等边三角形
∴
∵
∴，
∴
∴是等边三角形；
（2）∵是等边三角形
∴
∵
∴
∵
∴，
在和中
∴
∴．
【点睛】
本题考查了等边三角形、平行线、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握等边三角形、平行线、全等三角形的性质，从而完成求解．
类别
价格
篮球
排球
进价（元/个）
80
50
售价（元/个）
95
60