重庆市2023年数学八上期末经典试题【含解析】

这是一份重庆市2023年数学八上期末经典试题【含解析】，共18页。试卷主要包含了下列结论正确的是，无论取什么数，总有意义的分式是等内容，欢迎下载使用。

1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．方程组 的解是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则BC＝( )
A．6B．6C．6D．12
3．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=α，在AB、BC上分别找一点E、F，使△DEF的周长最小．此时，∠EDF=( )
A．αB．C．D．180°-2α
4．已知的三边长为满足条件，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．等腰直角三角形
C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形
5．下列结论正确的是（ ）
A．有两个锐角相等的两个直角三角形全等；B．顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等
C．一条斜边对应相等的两个直角三角形全等；D．两个等边三角形全等.
6．已知一个等腰三角形底边的长为5cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为3cm，则腰长为（ ）
A．2cmB．8cmC．2cm或8cmD．10cm
7．无论取什么数，总有意义的分式是（ ）
A．B．C．D．
8．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点为( )
A．B．C．D．
9．如图，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸（AE＞DE）剪去了一角，量得AB＝3cm，CD＝4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为（ ）
A．5cmB．12cmC．16cmD．20cm
10．如图，下列4个三角形中，均有AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（ ）
A．①③B．①②④C．①③④D．①②③④
11．若，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
12．解分式方程时，去分母后变形为
A．B．
C．D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=12，对角线AC，BD交于点O，E，F分别为AB，AO中点，则线段EF=_________．
14．如图，≌，其中，，则______．
15．如右图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则此最短路径的长为 ．
16．如图，中，平分，，，，，则__________．
17．在函数中，自变量x的取值范围是___．
18．如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则的度数为______.
三、解答题（共78分）
19．（8分）进入冬季，空调再次迎来销售旺季，某商场用元购进一批空调，该空调供不应求，商家又用元购进第二批这种空调，所购数量比第一批购进数量多台，但单价是第一批的倍.
(1)该商场购进第一批空调的单价多少元？
(2)若两批空调按相同的标价出售，春节将近，还剩下台空调未出售，为减少库存回笼资金，商家决定最后的台空调按九折出售，如果两批空调全部售完利润率不低于(不考虑其他因素)，那么每台空调的标价至少多少元？
20．（8分）如图，点，，，在一条直线上，，，.求证：.
21．（8分）如图，等腰中，，，点、分别在边、的延长线上，，过点作于点，交于点.
（1）若，求的度数；
（2）若.求证：.
22．（10分）列方程解应用题：
某校八年级（一）班和（二）班的同学，在双休日参加修整花卉的实践活动．已知（一）班比（二）班每小时多修整2盆花，（一）班修整66盆花所用的时间与（二）班修整60盆花所用时间相等．（一）班和（二）班的同学每小时各修整多少盆花？
23．（10分）如图，，交于点，. 请你添加一个条件 ，使得，并加以证明.
24．（10分）如图，（1）写出顶点C的坐标；
（2）作关于y轴对称的；
（3）若点与点A关于x轴对称，求a-b的值
25．（12分）如图，点A、、、在同一直线上，，AF∥DE，.求证：.
26．在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题．
如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？你可以在上找几个点试一试，能发现什么规律？
聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：
①作点B关于直线l的对称点B′．
②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．
请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小．
（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）请直接写出△PDE周长的最小值：
．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】直接利用代入法解方程组即可得解
【详解】解：，
由①得：③，
将③代入②得：，
解得：，
将代入③得：
故方程组的解为：，
故选择：C．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程组的解及解二元一次方程，解二元一次方程有两种方法：代入法和加减法，根据方程组的特点灵活选择．
2、A
【详解】∵30°的角所对的直角边等于斜边的一半，
,
故选A.
3、D
【分析】作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E，交BC于F，则点E，F即为所求．根据四边形内角和等于360°,可得∠ADC的度数,进而可得∠P+∠Q的度数，由对称性可得∠EDP+∠FDQ的度数，进而即可求解．
【详解】作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E，交BC于F，则点E，F即为所求．
∵四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=α，
∴∠ADC=180°-α，
∴∠P+∠Q=180°-∠ADC=α，
由对称性可知：EP=ED，FQ=FD，
∴∠P=∠EDP，∠Q=∠FDQ，
∴∠EDP+∠FDQ=∠P+∠Q=α，
∴
故选D．
【点睛】
本题主要考查轴对称的性质和应用，四边形的内角和定理以及三角形的内角和定理，掌握掌握轴对称图形的性质是解题的关键．
4、D
【分析】把所给的等式能进行因式分解的要因式分解，整理为非负数相加得0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状.
【详解】由,得
因为已知的三边长为
所以
所以=0,或,即,或
所以的形状为等腰三角形或直角三角形
故选:D
【点睛】
本题考查了分组分解法分解因式，利用因式分解最后整理成多项式的乘积等于0的形式是解题的关键.
5、B
【解析】试题解析：
A两个锐角相等的两个直角三角形不全等，故该选项错误；
B中两角夹一边对应相等，能判定全等，故该选项正确；
C一条斜边对应相等的两个直角三角形不全等，故该选项错误；
D中两个等边三角形，虽然角相等，但边长不确定，所以不能确定其全等，所以D错误．
故选B．
6、B
【详解】解：如图，
∵BD是△ABC的中线，
∴AD=CD，
∴两三角形的周长的差等于腰长与底边的差，
∵BC=5cm，
∴AB-5=3或5-AB=3，
解得AB=8或AB=2，
若AB=8，则三角形的三边分别为8cm、8cm、5cm，
能组成三角形，
若AB=2，则三角形的三边分别为2cm、2cm、5cm，
∵2+2=4＜5，
∴不能组成三角形，
综上所述，三角形的腰长为8cm．
故选：B．故选B．
7、B
【分析】根据分式有意义的条件，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、当时，无意义，故A错误；
B、∵，则总有意义，故B正确；
C、当时，无意义，故C错误；
D、当时，无意义，故D错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了分式有意义的条件，分式无意义的条件，解题的关键是熟练掌握分母不等于0，则分式有意义．
8、B
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质，横坐标不变，纵坐标互为相反数，进而得出答案．
【详解】点P（−2，3）关于x轴对称的点的坐标为（−2，−3）．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
9、D
【分析】解答此题要延长AB、DC相交于F，则BFC构成直角三角形，再用勾股定理进行计算．
【详解】延长AB、DC相交于F，则BFC构成直角三角形，
运用勾股定理得：
BC2=（15-3）2+（1-4）2=122+162=400，
所以BC=1．
则剪去的直角三角形的斜边长为1cm．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，解答此题要延长AB、DC相交于F，构造直角三角形，用勾股定理进行计算．
10、C
【解析】对于①，作∠B或∠C的平分线即可，②不能，③作斜边上的高，④在BC上取点D，使BD=BA即可.
【详解】解：由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，①图，作∠ABC的平分线交AC于点D，则分成的两个三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和36°，72°72°，符合要求；
②图不能被一条直线分成两个小等腰三角形；
③图，作等腰直角三角形斜边上的高AD，则可把它分为两个小等腰直角三角形，符合要求；
④图，在BC上取点D，使BD=BA，作直线AD，则分成的两个三角形的角的度数分别为：36°，72，72°和36°，36°，108°，符合要求．
故选C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和三角形的内角和定理，在等腰三角形中，从一个顶点向对边引一条线段，分原等腰三角形为两个新的等腰三角形，必须存在新出现的一个小等腰三角形与原等腰三角形相似才有可能.
11、B
【分析】根据不等式的基本性质，逐项判断即可．
【详解】解：∵m＞n，∴m-2＞n-2，∴选项A不符合题意；
∵m＞n，∴，∴选项B符合题意；
∵m＞n，∴4m＞4n，∴选项C不符合题意；
∵m＞n，∴-5m＜-5n，∴选项D不符合题意；
故选：B
【点睛】
此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
12、D
【解析】试题分析：方程，两边都乘以x-1去分母后得：2-（x+2）=3（x-1），故选D.
考点：解分式方程的步骤.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、3.1．
【详解】解：因为∠ABC=90°，AB=5，BC=12，所以AC=13，
因为AC=BD，所以BD=13，
因为E，F分别为AB，AO中点，所以EF=BO，
而BO=BD，所以EF=××13=3.1，
故答案为3.1．
14、
【分析】根据全等三角形的性质求出∠C的度数，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠C=∠C′=24°，∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C=120°．
故答案为120°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
15、
【解析】试题分析：如图，将正方体的三个侧面展开，连结AB，则AB最短，．
考点：1．最短距离2．正方体的展开图
16、
【分析】根据题意延长CE交AB于K，由 ，平分，由等腰三角形的性质，三线合一得，利用角平分线性质定理，分对边的比等于邻边的比，结合外角平分性质和二倍角关系可得．
【详解】如图，延长CE交AB于K，
，平分，等腰三角形三线合一的判定得
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】
考查了三线合一判定等腰三角形，等腰三角形的性质，角平分线定理，外角的性质，以及二倍角的角度关系代换，熟记几何图形的性质，定理，判定是解题的关键．
17、
【详解】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数可知，要使在实数范围内有意义，必须.
18、90º
【分析】首先证明三角形全等，根据全等三角形的性质可得对应角相等，再由余角的定义和等量代换可得∠1与∠2的和为90°.
【详解】解：如图，根据方格纸的性质，
在△ABD和△CBE中
，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠1=∠BAD，
∵∠BAD+∠2=90°，
∴=90°.
故答案为：90°.
【点睛】
此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定和性质．
三、解答题（共78分）
19、（1）该商场购进第一批空调的单价2500元；（2）每台空调的标价至少为4000元.
【分析】（1）设购进第一批空调的单价为元，则第二批空调的单价为元，用总价除以单价分别得到两批购买的数量，再根据第二批比第一批多15台得到方程求解即可；
（2）设标价为元，用表示出总的销售额，然后根据利润率不低于列出不等式求解.
【详解】解：（1）设购进第一批空调的单价为元，则第二批空调的单价为元，
由题意得，
解得，
经检验，是原方程的解.
答：该商场购进第一批空调的单价2500元.
（2）设每台空调的标价为元，
第二批空调的单价为元，
第一批空调的数量为台，
第二批空调的数量为台，
由题意得，
解得
答：每台空调的标价至少为4000元.
【点睛】
本题考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用，根据总价除以单价等于数量得出方程是关键，分式方程要注意验根.
20、见解析
【分析】根据得出,根据平行得出,,从而得出三角形全等.
【详解】证明：∵,
∴.
∵,
∴,
∴在和中,
∴.
∴.
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定定理、平行线的性质定理，能够熟练运用性质定理是解题的关键.
21、（1）；（2）见解析
【分析】（1）在△CDE中根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠ECD的度数．在△ACD中，根据三角形外角的性质即可得出结论；
（2）在△CDE中，根据等腰三角形的性质得到∠ECD=∠CED，进而得到∠ECD+∠CDB=90°．由∠ECD+∠DCB=90°，得到∠DCB=∠BDC．由∠DCB+∠BDC=∠ABC=45°，得到∠DCB=∠BDC=22.5°，得到∠ECD=∠CED=67.5°，得到∠EDC=45°．由EF⊥DC于点F，得到∠DEF=∠EDC=45°，即有EF=DF，∠EDG=∠EGD=67.5°，根据等角对等边得到EG=ED，等量代换得到EG=DC，即可得到结论．
【详解】∵等腰中，，，
∴．
又∵CD=DE，，
∴，
∴；
（2）∵CD=DE，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵于点，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质．灵活运用等腰三角形的性质及三角形外角的性质是解答本题的关键．
22、（一）班同学每小时修整22盆花，（二）班同学每小时修整20盆花．
【分析】根据等量关系：工作时间=工作总量÷工作效率，根据关键句“（一）班修整66盆花所用的时间与（二）班修整60盆花所用时间相等”可列出方程；
【详解】解：设（一）班每小时修整x盆花， 则（二）班每小时修整x-2盆花，
根据题意得：

解得：x=22
经检验：x=22是原分式方程的解.
∴x-2=20
答：（一）班同学每小时修整22盆花，（二）班同学每小时修整20盆花.
【点睛】
此题主要考查了分式方程的应用，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
23、添加条件（或）,理由见解析
【解析】根据全等三角形的判定方法即可判断．
【详解】添加条件（或）.
证明：∵，∴.
在和中，
∴.
添加OD=OC或AD=BC同法可证．
故答案为OA=OB或OD=OC或AD=BC．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
24、（1）(-2，-1)；（2）作图见解析；（1）1
【分析】（1）根据平面直角坐标系写出即可；
（2）利用网格结构找出点A、B、C关于y轴对称的点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（1）根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：(1)点C(−2,−1)；
(2)如图所示，即为所求作的三角形；
(1) 与点A关于x轴对称，A的坐标是（1，2)，则点，
所以，a=1，b=−2，
所以，a−b=1−(−2)=1+2=1．
【点睛】
本题考查轴对称变换作图，掌握轴对称图形的性质为解题关键．
25、详见解析.
【分析】先根据平行线的性质求出∠A=∠D，再利用线段的加减证得AB=DC，即可用“SAS”证明三角形全等.
【详解】∵AF∥DE
∴∠A=∠D
∵AC=DB
∴AC-DB=DB-BC即AB=DC
在△ABF和△DCE中，
∵
∴△ABF≌△DCE
【点睛】
本题考查的是三角形全等的判定，掌握三角形的各个判定定理是关键.
26、（1）见解析（2）2
【分析】（1）根据提供材料DE不变，只要求出DP+PE的最小值即可，作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求．
（2）利用中位线性质以及勾股定理得出D′E的值，即可得出答案：
【详解】解：（1）作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求．
（2）∵点D、E分别是AB、AC边的中点，
∴DE为△ABC中位线．
∵BC=6，BC边上的高为1，
∴DE=3，DD′=1．
∴．
∴△PDE周长的最小值为：DE+D′E=3＋5=2．