重庆市北碚区西南大附属中学2023-2024学年数学八年级第一学期期末质量跟踪监视试题【含解析】

这是一份重庆市北碚区西南大附属中学2023-2024学年数学八年级第一学期期末质量跟踪监视试题【含解析】，共19页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，平面直角坐标系内，点A等内容，欢迎下载使用。

注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，x轴是△AOB的对称轴，y轴是△BOC的对称轴，点A的坐标为(1，2)，则点C的坐标为（ ）
A．( -1，-2)B．( 1，-2)C．( -1，2)D．( -2，-1)
2．如图，在△ABC中，AD⊥BC，添加下列条件后，还不能使△ABD≌△ACD的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图点在同一条直线上，都是等边三角形，相交于点O，且分别与交于点，连接，有如下结论：①；②；③为等边三角形；④．其中正确的结论个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．已知点M(1，a)和点N(2，b)是一次函数y=－2x＋1图象上的两点，则a与b的大小关系是( )
A．a＞bB．a=bC．a＜bD．以上都不对
5．若分式，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在处的处，折痕为.如果，，，那么下列式子中正确的是（ ）
A．B．C．D．
7． “I am a gd student.”这句话中，字母“a”出现的频率是( )
A．2B．C．D．
8．一个等腰三角形的两边长分别为3、7，则它的周长为（ ）
A．17B．13或17C．13D．10
9．平面直角坐标系内，点A（-2，-3）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．在下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，中，平分，平分，若，则__________
12．某班数学兴趣小组对不等式组，讨论得到以下结论：①若a＝5，则不等式组的解集为313．已知点A（3+2a，3a﹣5），点A到两坐标轴的距离相等，点A的坐标为_____．
14．已知函数，当____________时，此函数为正比例函数．
15．若a﹣b＝6，ab＝2，则a2+b2＝_____．
16．计算： =_____．
17．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴交于（﹣5，0），则关于x的一元一次方程kx+b＝0的解为_____．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=4，点D是BC上一动点，以BD为边在BC的右侧作等边△BDE，F是DE的中点，连结AF，CF，则AF+CF的最小值是_____.
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，且经过点．
(1)当时；
①求一次函数的表达式；
②平分交轴于点，求点的坐标；
(2)若△为等腰三角形，求的值；
(3)若直线也经过点，且，求的取值范围．
20．（6分）已知：如图，点A．F，E．C在同一直线上，AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D,
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若点E，G分别为线段FC，FD的中点，连接EG，且EG=5，求AB的长．
21．（6分）如图，在中，，，平分，延长至，使，连接．
求证：≌
22．（8分） “六一”期间，小张购进100只两种型号的文具进行销售，其进价和售价之间的关系如下表：
（1）小张如何进货，使进货款恰好为1300元？
（2）要使销售文具所获利润最大，且所获利润不超过进货价格的40%，请你帮小张设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值．
23．（8分）小明和小华的年龄相差10岁．今年，小明的年龄比小华年龄的2倍大；两年后，小华的年龄比小明年龄的大．试问小明和小华今年各多少岁？
24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P是边BC上的中点，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为点D、E．
（1）求证：PD＝PE；
（2）若AB＝6cm，∠BAC＝30°，请直接写出PD+PE＝ cm．
25．（10分）如图，已知AB∥CD，∠A＝40°．点P是射线AB上一动点(与点A不重合)，CE、CF分别平分∠ACP和∠DCP交射线AB于点E、F．
(1)求∠ECF的度数；
(2)随着点P的运动，∠APC与∠AFC之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由；
(3)当∠AEC＝∠ACF时，求∠APC的度数．
26．（10分）（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中：．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】先利用关于x轴对称的点的坐标特征得到B（1，-2），然后根据关于y轴对称的点的坐标特征易得C点坐标．
【详解】∵x轴是△AOB的对称轴，
∴点A与点B关于x轴对称，
而点A的坐标为（1，2），
∴B（1，-2），
∵y轴是△BOC的对称轴，
∴点B与点C关于y轴对称，
∴C（-1，-2）．
故选：A．
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化之对称：关于x轴对称，横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数；关于直线x=m对称，则P（，b）⇒P（2m-，b），关于直线y=n对称，P（，b）⇒P（，2n-b）．
2、D
【分析】根据全等三角形的判定定理解答即可．
【详解】∵AD⊥BC
∴∠ADC=∠ADB=90°
若添加AB=AC,又AD=AD则可利用“HL”判定全等，故A正确；
若添加BD=CD，又AD=AD则可利用“SAS”判定全等，故B正确；
若添加∠B=∠C，又AD=AD则可利用“AAS”判定全等，故C正确；
若添加AD=BD，无法证明两个三角形全等，故D错误.
故选：D
【点睛】
本题考查了直角三角形全等的判定，掌握直角三角形的判定方法“SSS”、“AAS”、“SAS”、“ASA”“HL”是关键．
3、D
【分析】由SAS即可证明，则①正确；有∠CAE=∠CDB，然后证明△ACM≌△DCN，则②正确；由CM=CN，∠MCN=60°，即可得到为等边三角形，则③正确；由AD∥CE，则∠DAO=∠NEO=∠CBN，由外角的性质，即可得到答案．
【详解】解：∵△DAC和△EBC均是等边三角形，
∴AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△DCB中，
∴△ACE≌△DCB（SAS），则①正确；
∴AE=BD，∠CAE=∠CDB，
在ACM和△DCN中，
，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴CM=CN，；则②正确；
∵∠MCN=60°，
∴为等边三角形；则③正确；
∵∠DAC=∠ECB=60°，
∴AD∥CE，
∴∠DAO=∠NEO=∠CBN，
∴；则④正确；
∴正确的结论由4个；
故选：D．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，综合性较强，但难度不是很大，准确识图找出全等三角形是解题的关键．
4、A
【详解】∵k=﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵1＜2，
∴a＞b．
故选A．
5、D
【分析】根据分子为零且分母不为零分式的值为零，可得答案．
【详解】解：由题意，得
且，
解得，
故选：D．
【点睛】
本题考查了分式值为零的条件，利用分子为零且分母不为零得出且是解题关键．
6、A
【详解】分析:根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论.
详解:
由折叠得：∠A=∠A'，
∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，
∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，
∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，
故选A.
点睛：本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键.
7、B
【解析】这句话中，15个字母a出现了2次，
所以字母“a”出现的频率是.
故选B.
8、A
【分析】题目中没有明确底和腰，故要先进行分类讨论，再结合三角形三边关系定理分析即可解答．
【详解】∵①当3为腰、7为底时，三角形的三边分别为3、3、7，此时不满足三角形三边关系定理舍去；②当3为底、7为腰时，三角形的三边分别为3、7、7，此时满足三角形三边关系定理．
∴等腰三角形的周长是：
故选：A
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系定理．解题的关键是熟练掌握三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
9、C
【分析】根据各象限内点的坐标特征进一步解答即可．
【详解】由题意得：点A的横坐标与纵坐标皆为负数，
∴点A在第三象限，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握相关概念是解题关键．
10、C
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【详解】A、1＋2＝3＜4，不能组成三角形，故此选项错误；
B、4＋1＝5＜9，不能组成三角形，故此选项错误；
C、3＋4＝7＞5，能组成三角形，故此选项正确；
D、5＋4＝9，不能组成三角形，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】
此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、120°
【分析】先求出∠ABC+∠ACB，根据角平分线求出∠PBC、∠PCB的度数和，再根据三角形内角和求出∠BPC.
【详解】∵,
∴∠ABC+∠ACB=120，
∵平分，平分，
∴∠PBC=∠ABC,∠PCB=∠ACB,
∴∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠ACB)=60，
∴∠BPC=180-(∠PBC+∠PCB)= 120°,
故答案为：120°.
【点睛】
此题考查三角形的内角和定理，角平分线的性质，题中利用角平分线求出∠PBC、∠PCB的度数和是解题的关键.
12、①，②，④.
【解析】（1）把a＝5代入不等式组，解不等式组的解集与选项解集对照即可解答；（2）把a＝2代入不等式组，解不等式组，根据大大小小无解从而确定改选项正确；（3）根据不等式组无解，确定a的取值范围为a≤3；（4）根据不等式组只有两个整数解，可知这两个整数解为：x=3,x=4，所以x的取值范围是：3【详解】解：①a=5,则不等式组的解集为3②a=2,x的取值范围是x>3和x≤2,无解，所以②正确；
③不等式组无解，则a的取值范围为a≤3，而不是a<3，所以③错误；
④若a=5.1则，x的取值范围是：3故答案为①，②，④.
【点睛】
本题考查一元一次不等式的解法、整数解及解集判定，解题关键是熟练掌握同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到.
13、 (19，19)或（，- ）
【解析】根据点A到两坐标轴的距离相等，分两种情况讨论：3+2a与3a﹣5相等；3+2a与3a﹣5互为相反数．
【详解】根据题意，分两种情况讨论：
①3+2a＝3a﹣5，解得：a＝8，
∴3+2a＝3a﹣5＝19，
∴点A的坐标为（19，19）；
②3+2a+3a﹣5＝0，解得：a＝，
∴3+2a＝，3a﹣5＝﹣，
∴点A的坐标为（，﹣）．
故点A的坐标为(19，19)或（，- ），
故答案为：(19，19)或（，- ）．
【点睛】
本题考查了点的坐标，解决本题的关键是根据点A到两坐标轴的距离相等，分两种情况讨论．
14、-1
【分析】根据正比例函数的定义得到且，然后解不等式和方程即可得到满足条件的m的值．
【详解】解：根据题意得且，
解得m=-1，
即m=-1时，此函数是正比例函数．
故答案为：-1．
【点睛】
本考查了正比例函数的定义：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
15、
【分析】将代数式化成用（a-b）与ab表示的形式，然后把已知代入即可求解．
【详解】a2+b2
把a﹣b＝6，ab＝2整体代入得：
原式
故答案是：
【点睛】
本题主要考查完全平方公式，熟练掌握公式及公式的变形是解题的关键．
16、
【分析】根据立方根的意义求解即可.
【详解】 .
17、x＝﹣1．
【分析】根据一次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应的关于x的一元一次方程的解，可直接得出答案．
【详解】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴交于（﹣1，0），
∴关于x的一元一次方程kx+b＝0的解为x＝﹣1．
故答案为x＝﹣1．
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次方程：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax＋b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
18、2．
【分析】以BC为边作等边三角形BCG，连接FG，AG，作GH⊥AC交AC的延长线于H，根据等边三角形的性质得到DC=EG，根据全等三角形的性质得到FC=FG，于是得到在点D的运动过程中，AF+FC=AF+FG，而AF+FG≥AG，当F点移动到AG上时，即A，F，G三点共线时，AF+FC的最小值=AG，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】以BC为边作等边三角形BCG，连接FG，AG，
作GH⊥AC交AC的延长线于H，
∵△BDE和△BCG是等边三角形，
∴DC=EG，
∴∠FDC=∠FEG=120°，
∵DF=EF，
∴△DFC≌△EFG（SAS），
∴FC=FG，
∴在点D的运动过程中，AF+FC=AF+FG，而AF+FG≥AG，
∴当F点移动到AG上时，即A，F，G三点共线时，AF+FC的最小值=AG，
∵BC=CG=AB=2，AC=2，
在Rt△CGH中，∠GCH=30°，CG=2，
∴GH=1，CH=，
∴AG= ==2，
∴AF+CF的最小值是2．
【点睛】
此题考查轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、 (1)①；②（-，0）；(2) ；(3) .
【分析】(1)①把x=2,y=代入中求出k值即可；
②作DE⊥AB于E，先求出点A、点B坐标，继而求出OA、OB、AB的长度,由角平分线的性质可得到OD=DE,于是BE=OB可求BE、AE的长,然后在中用勾股定理可列方程，解方程即可求得OD的长；
(2)求得点A坐标是（-4，0），点C坐标是（2，），由△为等腰三角形,可知OC=OA=4,故,解方程即可；
(3) 由直线经过点， 得=,由（2）知,故,用k表示p代入中得到关于k的不等式，解不等式即可.
【详解】解：(1)当时，点C坐标是，
①把x=2,y=代入中，
得，
解得，
所以一次函数的表达式是；
②如图，平分交轴于点，作DE⊥AB于E，
∵在中，当x=0时，y=3；当y=0时，x=-4，
∴点A坐标是（-4，0），点B坐标是（0，3），
∴OA=4,OB=3,
∴,
∵平分, DE⊥AB, DO⊥OB,
∴OD=DE,
∵BD=BD,
∴,
∴BE=OB=3,
∴AE=AB-BE=5-3=2,
∵在中，,
∴,
∴OD= ,
∴点D坐标是（-，0），
(2) ∵在中，当y=0时，x=-4；当x=2时，y=，
∴点A坐标是（-4，0），点C坐标是（2，），
∵△为等腰三角形,
∴OC=OA=4,
∴,
∴,（不合题意，舍去），
∴.
(3) ∵直线经过点，
∴=,
由（2）知,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴.
【点睛】
本题考查了一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的性质及运用数形结合的思想解题是关键.
20、（1）证明见解析；（2）AB=1．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠A=∠C，进而利用全等三角形的判定证明即可；
（2）利用全等三角形的性质和中点的性质解答即可．
【详解】解：（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠A=∠C，
在△ABE与△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（ASA）；
（2）∵点E，G分别为线段FC，FD的中点，
∴ED=CD，
∵EG=5，
∴CD=1，
∵△ABE≌△CDF，
∴AB=CD=1．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据平行线的性质得出∠A=∠C．
21、见解析
【分析】根据已知条件可得AE= 2AC，然后根据30°所对的直角边是斜边的一半可得AB=2AC，从而得出AB=AE，然后根据角平分线的定义可得∠BAD=∠EAD，最后利用SAS即可证出结论．
【详解】证明：∵
∴AE=CE＋AC=2AC
在Rt△ABC中，，
∴AB=2AC
∴AB=AE
∵平分，
∴∠BAD=∠EAD
在和中
∴≌（SAS）
【点睛】
此题考查的是全等三角形的判定和直角三角形的性质，掌握利用SAS判定两个三角形全等和30°所对的直角边是斜边的一半是解决此题的关键．
22、（4）A文具为4只，B文具60只；（4）各进50只，最大利润为500元．
【解析】试题分析：（4）设A文具为x只，则B文具为（400﹣x）只，根据题意列出方程解答即可；
（4）设A文具为x只，则B文具为（400﹣x）只，根据题意列出函数解答即可．
试题解析：（4）设A文具为x只，则B文具为（400﹣x）只，可得：40x+45（400﹣x）=4400，解得：x=4．
答：A文具为4只，则B文具为400﹣4=60只；
（4）设A文具为x只，则B文具为（400﹣x）只，可得：
（44﹣40）x+（44﹣45）（400﹣x）≤4%[40x+45（400﹣x）]，解得：x≥50，
设利润为y，则可得：y=（44﹣40）x+（44﹣45）（400﹣x）=4x+800﹣8x=﹣6x+800，
因为是减函数，所以当x=50时，利润最大，即最大利润=﹣50×6+800=500元．
考点：4．一次函数的应用；4．一元一次方程的应用；4．一元一次不等式的应用．
23、小明和小华今年分别为19岁和9岁．
【分析】根据题目中的两组不等关系，列出不等式组进行求解．
【详解】解：设小华今年的年龄为岁，则小明今年的年龄为 岁．
依题意有： ，解得，
∴不等式组的解集为，
又为整数，故＝9 ，
答：小明和小华今年分别为19岁和9岁．
【点睛】
本题考查一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式是关键．
24、（1）见解析；（2）1
【分析】（1）根据等腰三角形性质可知，再由“AAS”可证△PDB≌△PEC，可得PD＝PE；
（2）由直角三角形的性质可得CH＝1cm，由S△ABC＝S△ABP+S△ACP，可求解．
【详解】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵点P是边BC上的中点，
∴PB＝PC，且∠B＝∠C，∠PDB＝∠PEC＝90°，
∴△PDB≌△PEC(AAS)
∴PD＝PE；
（2）过点C作于H，连接AP，
，，
，
，
，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及了面积法求高、10°直角三角形的性质等知识点．利用面积法列出等式是本题的关键．
25、（1）70°；（2）不变.数量关系为：∠APC=2∠AFC．（3）70°.
【分析】（1）先根据平行线的性质，得出∠ACD=120°，再根据CE、CF分别平分∠ACP和∠DCP，即可得出∠ECF的度数；
（2）根据平行线的性质得出∠APC=∠PCD，∠AFC=∠FCD，再根据CF平分∠PCD，即可得到∠PCD=2∠FCD进而得出∠APC=2∠AFC；
（3）根据∠AEC=∠ECD，∠AEC=∠ACF，得出∠ECD=∠ACF，进而得到∠ACE=∠FCD，根据∠ECF=70°，∠ACD=140°，可求得∠APC的度数．
【详解】（1）∵AB∥CD，∴∠A+∠ACD=180°，∴∠ACD=180°－40°=140°
∵CE平分∠ACP，CF平分∠DCP，∴∠ACP=2∠ECP，∠DCP=2∠PCF
∴∠ECF=∠ACD=70°
（2）不变.数量关系为：∠APC=2∠AFC．
∵AB∥CD，∴∠AFC=∠DCF，∠APC=∠DCP
∵CF平分∠DCP，∴∠DCP=2∠DCF，∴∠APC=2∠AFC
（3）∵AB∥CD，∴∠AEC=∠ECD
当∠AEC=∠ACF时，则有∠ECD=∠ACF，∴∠ACE=∠DCF
∴∠PCD=∠ACD=70°
∴∠APC=∠PCD=70°
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等．
26、（1）；（2）a2−2a+6 ，1
【分析】（1）先化简括号内的式子，再根据同底数幂的除法运算即可；
（2）先化简整式，然后对等式进行变形得出，代入原式运算即可．
【详解】解：（1）原式=
=
=
（2）∵==，
可化为，
∴原式=3+6=1．
【点睛】
本题主要考查了整式混合运算及化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．