2024年中考数学易错02 方程（组）与不等式（组）（七大易错分析+举一反三+易错题通关）（解析版）

这是一份2024年中考数学易错02 方程（组）与不等式（组）（七大易错分析+举一反三+易错题通关）（解析版），共55页。试卷主要包含了解方程，下列变形正确的是，用“☆”定义一种新运算，已知分式，关于的方程无解，则的值是等内容，欢迎下载使用。

易错点一：遇到括号易出错
解一元一次方程的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。
易错提醒：（1）分数线具有括号的作用，如果分子是一个多项式，应该把它看作一个整体，故去分母后，应该用括号括起来；（2）去括号时需乘多项式的每一项，若括号前面是负号，去括号时项的符号要改变．
例1．解方程．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键．
（1）根据去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可．
（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可．
【详解】（1）
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
（2）
去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
例2．下列变形正确的是（ ）
A．由去分母，得
B．由去括号，得
C．由移项，得
D．由系数化为1，得
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键．根据去分母、去括号、移项、未知数的系数化为1的要求逐项分析即可．
【详解】A．由去分母，得，故不正确，不符合题意；
B．由去括号，得，故不正确，不符合题意；
C．由移项，得，正确，符合题意；
D．由系数化为1，得，故不正确，不符合题意；
故选C．
变式1．解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）是解题的关键．
（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可；
（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
．
（2）解：，
，
，
，
．
变式2．已知关于x的方程的解是，求m的值．
【答案】的值为
【分析】本题主要考查方程的解，把代入方程解关于的方程即可求解，掌握解方程的方法是解题的关键．
【详解】解：∵是关于的方程的解，
∴，
整理得，，
去分母得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为得，，
∴的值为．
变式3．（1）解方程：．
（2）下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
任务
①第一步的依据是________；
②第________步开始出现错误，错误的原因是________；
③该方程的正确解为________．
【答案】（1）；（2）①等式的基本性质；②二，括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里的第二项没有变号；③
【分析】本题考查解一元一次方程．掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键．
（1）去括号，移项，合并同类项，系数化1，解方程即可；
（2）①根据等式的基本性质作答即可；②第二步，去括号出现错误；③按照步骤正确的求解即可．
【详解】解：（1）去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
方程两边同除以4，得．
（2）①第一步的依据是等式的基本性质；
故答案为：等式的基本性质；
②第二步开始出现错误，错误的原因是括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里的第二项没有变号；
故答案为：二，括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里的第二项没有变号；
③去分母，得．
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
故答案为：．
变式4．下面是佳佳作业中一个问题的解答过程：
解：①
②
③
④
(1)第①步的变形为______（填去分母、去括号、移项或合并同类项）；
(2)解方程的过程中开始出现错误的步骤是第______步，请写出该方程正确的求解过程．
【答案】(1)去分母
(2)②，过程见解析
【分析】本题考查了将分式方程化为一元一次方程，去分母、去括号、移项合并同类项：
（1）由题可得分式方程变成了一元一次方程，可知这一步是去分母；
（2）去括号时，如果括号之前是负数，则括号里的符号均需改变，由此可知②错误；按照正常的求解过程正常解答即可；
正确计算是解题的关键．
【详解】（1）解：由题可得，第一步为分式方程变成了一元一次方程，
∴第①步的变形为去分母，
故答案为：去分母；
（2）解：解答过程中②出现错误，去括号时出错，括号之前是负数，括号里的符号均需改变，
故答案为：②；
正确求解过程如下：，
去分母得：，
去括号得：，
移项可得：，
解得：．
1．下列方程变形正确的是（ ）
A．由得B．由得
C．由得D．由得
【答案】B
【分析】本题考查了解一元一次方程的方法，根据等式的性质逐项判断即可，熟练掌握等式的性质是解题的关键．
【详解】解：A、两边同时除以4，可得到，原变形错误，该选项不符合题意；
B、两边同时减去3，可得到，原变形正确，该选项符合题意；
C、每项同时乘以6，可得到，原变形错误，该选项不符合题意；
D、去括号可得，原变形错误，该选项不符合题意；
故选：B．
2．小琪解关于x的方程，在进行“去分母”步骤时，等号右边的“2”忘记乘最简公分母，她求得的解为，则k的值为（ ）
A．B．2C．－1D．－3
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次方程的求解，根据题意得出方程，将代入方程即可求解．
【详解】解：由题意得：小琪去分母后得到的方程为：，
将代入方程得：，
解得：，
故选：A．
3．佳佳同学解一元一次方程的过程如下：
解：去分母，得，第一步
去括号，得，第二步
移项，得，第三步
合并同类项，得，第四步
系数化为1，得．
前四个步骤中，开始出现错误的是（ ）
A．第一步B．第二步C．第三步D．第四步
【答案】B
【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，熟记去括号时，括号前面是符号，括号内各项都要改变符号是解本题的关键．
【详解】解：
去分母，得，第一步
去括号，得，第二步
∴出现错误在第二步，去括号时，括号前面的负号，去括号后，括号内第二项没有改变符号；
故选：B
4．下面是小友同学解方程的过程如下，请仔细阅读，并解答所提出的问题：
解：去分母，得，①
去括号，得，②
移项，得，③
合并同类项，得，④
系数化为1，得，⑤
(1)该同学的解答过程从第______步开始出错；
(2)写出正确的解答过程．
【答案】(1)①
(2)见解析
【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键；
（1）由去分母漏乘可得该同学的解答过程从第①步开始出错；
（2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可；
【详解】（1）解：该同学的解答过程从第①步开始出错
（2）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
5．解方程
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解一元一次方程，关键是掌握解法步骤．
（1）根据去括号、移项、合并同类项、化系数为1的解法步骤求解即可；
（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1的解法步骤求解即可．
【详解】（1）解：去括号，得
移项、合并同类项，得
化系数为1，得
∴原方程的解为；
（2）解：去分母，得
去括号，得
移项、合并同类项，得，
化系数为1，得
∴原方程的解为．
6．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定，如：．
(1)求的值；
(2)若，求a的值；
(3)若，（其中x为有理数），试比较与n的大小．
【答案】(1)5
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，整式的加减计算，解一元一次方程：
（1）根据新定义可得，据此计算即可；
（2）根据新定义可得方程，解方程即可得到答案；
（3）根据新定义求出，，再利用作差法求出的结果即可得到结论．
【详解】（1）解：由题意得
；
（2）解：：由题意得，，
∴，
解得：；
（3）解：根据题意得：，即，
，即
∴，
∴．
7．在学习《求解一元一次方程》之后，老师在黑板上出了一道解方程的题，下面是小乐同学的解题过程，请仔细阅读并完成相应的任务．
任务一：填空：
①以上解题过程中，第一步的变形的依据是 ；第二步去括号时依据的运算律是 ；
②以上解题过程中从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
③请直接写出该方程的正确解： ；
任务二：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程还需要注意的事项给同学们提一条建议．
【答案】任务一：①等式的基本性质；乘法分配律；②三；移项时没有变号；③；任务二：①去分母时要给每一项乘以分母的最小公倍数数，特别是常数项是易错点；②去括号时，如果括号外是“” 号，括号内每一项都要变号；③移项时，注意移动项的符合的变化（不唯一）．
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤以及注意事项是解题的关键．
任务一：根据解一元一次方程的基本步骤逐步分析、判定即可解答；
任务二：结合解一元一次方程的经验，总结注意事项即可．
【详解】解：任务一：
①以上解题过程中，第一步的变形的依据是等式的基本性质；第二步去括号时依据的运算律是乘法分配律；
②以上解题过程中从第三步开始出现错误，这一步错误的原因是移项时没有变号；
由，
，
，
，
③该方程的正确解：；
故答案为：①等式的基本性质；乘法分配律；②三；移项时没有变号；③；
任务二：解一元一次方程需要注意以下事项：①去分母时要给每一项乘以分母的最小公倍数数，特别是常数项是易错点；②去括号时，如果括号外是“” 号，括号内每一项都要变号；③移项时，注意移动项的符合的变化
易错点二：①忽视二次项系数为0;②解方程易失根
一、一元二次方程的一般形式：，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项
二、求解方程过程中需满足等式的性质：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等
易错提醒：（1）不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件；（2）若用到两边同时除以一个多项式时，要考虑多项式为0和多项式不为0两种情况，不然会造成丢根
例3．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的概念；由题意得，求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：且；
故选：D．
例4．关于方程的描述，下列说法错误的是（ ）
A．它是一元二次方程B．解方程时，方程两边先同时除以
C．它有两个不相等的实数根D．用因式分解法解此方程最适宜
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义、解法及根的判别式，根据一元二次方程的定义、解法及根的判别式逐一判断即可求解，掌握一元二次方程的定义、解法及根的判别式是解题的关键．
【详解】解：、方程整理得为，
故方程是一元二次方程，该说法正确，不合题意；
、解方程时，方程两边先同时除以，会漏解，
故该说法错误，符合题意；
、由得：
，
故方程有两个不相等的实数根，该说法正确，不合题意；
、用因式分解法解此方程最适宜，该说法正确，不合题意；
故选：．
变式1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的识别，注意掌握判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
【详解】解：A、由可得即，不是一元二次方程，选项错误；
B、形式是一元二次方程，但二次项系数没有标注不等于0，选项错误；
C、符合一元二次方程定义．正确．
D、含有分式，属于分式方程，选项错误．
故选：C．
变式2．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ）
A．B．且C．D．且
【答案】B
【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，且，
解得且，
故选：B
变式3．一元二次方程x（x－2）＝2－x的根是（ ）
A．－1B．0
C．1和2D．－1和2
【答案】D
【分析】先将原方程整理为x2﹣x﹣2=0，再利用十字相乘法进行计算即可.
【详解】解：x（x－2）＝2－x，
去括号移项得，x2﹣2x+x﹣2=0，
合并同类项得，x2﹣x﹣2=0，
∴（x+1）（x﹣2）=0
解得x1=﹣1，x2=2.
故选D.
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解此题的关键在于熟练掌握解一元二次方程的各个方法.
变式4．选择适当的方法解方程；
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查公式法解一元二次方程，正确计算是解题的关键．
（1）用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）先整理成一般式，再用配方法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：
或
解得：；
（2）解：
解得：．
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）是解此题的关键．根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【详解】A．方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．方程是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．方程，是一元二次方程，故本选项符合题意；
D．方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．方程的解是（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【分析】直接利用因式分解法解一元二次方程即可得到答案．
【详解】解：
∴
解得，
故选D．
【点睛】本题主要考查用开方法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
3．解一元二次方程时，小明得出方程的根是，则被漏掉的一个根是 ．
【答案】2
【详解】移项得x(x-2)-(x-2)=0，，提取公因式得(x-2)(x-1)=0，所以x-2=0或x-1=0，即x=2或x=1，则被漏掉的一个根是x=2，故答案为2.
4．如果方程是关于x的一元二次方程，则P的值是( )
A．2B．C．D．3
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次方程的定义．根据一元二次方程的定义得出且，再求出的值即可．
【详解】解：方程是关于的一元二次方程，
且，
且，
即．
故选：B．
5．一元二次方程有一个根为0，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的定义，方程的解，将代入得出且，求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程有一个根为0，
∴且，
解得，
故答案为：．
6．解方程：
(1)．
(2)．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的解法：
（1）根据公式法求解一元二次方程；
（2）根据因式分解即可求解方程；
解题的关键是掌握解一元二次方程的方法．
【详解】（1）解：在中，，
∴，
根据，
可得，；
（2）解：，
提取公因式得，
即，
∴，
解得．
7．已知关于的一元二次方程有两个实数根.
(1)求的取值范围；
(2)若方程两根之和为，求的值.
【答案】(1)且
(2)
【分析】（1）本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据一元二次方程的定义和方程有两个实数根，列式求解即可．
（2）本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用结合的取值范围即可解题．
【详解】（1）解：，
由题意得，即，
，
又即，
且．
（2）解：设该方程两根为，，则，
，
，，
解得：，，
由（1）知，
，
经检验，是方程的解且符合题意．
易错点三：运用根的判别式时代入错误
一、一元二次方程根的判别式:.
（1）当时,原方程有两个不等的实数根;
（2）当时,原方程有两个相等的实数根;
（3）当时,原方程没有实数根.
二、求根公式：当时,方程的根为
易错提醒：需要将方程化成一般形式后，而且要注意确定前面的性质符号．
例5．解方程：．
【答案】，；
【分析】本题考查求根公式法解一元二次方程，移项，定系数，判断判别式，代入求根公式即可得到答案；
【详解】解：原方程变形得，
，
∴，，，
∴，
∴，
∴，；
例6．已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查一元二次方程中根与系数的关系求参数，求不等式的解集的运用，掌握方程有两个不相等的实根；方程有两个相等的实根；方程无实根的判定方法是解题的关键．
根据方程有两个实根，可得，由此即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴，
整理得，，
解得，，
故答案为：．
变式1．一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不等的实数根C．没有实数根D．有一个实数根
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
变式2．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)若时，求方程的根；
(2)求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：熟记“当时，方程有两个不相等的实数根”；熟练掌握一元二次的解法一公式法．
（1）将代入原方程，解之即可求出方程的根．
（2）根据方程根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围；
【详解】（1）当时，
此时，方程为，
解得：
即，
∴方程的根为；
（2）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
解得，
∴的取值范围为；
变式3．小明在解方程的过程中出现了错误，其解答如下：
解：，，，第一步
，第二步
，第三步
，．第四步
(1)问：小明的解答是从第______ 步开始出错的；
(2)请写出本题正确的解答．
【答案】(1)一；
(2)正确的解答见解析．
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．
（1）先把方程化为一般式，再确定a、b、c的值，从而可判断小明的解答从第一步开始出错了；
（2）方程化为一般式得到，，，再计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．
【详解】（1）小明的解答是从第一步开始出错的，
故答案为：一；
（2）解：方程化为一般式为，
，，，
，
，
，．
变式4．求证：无论m为何值，关于x的一元二次方程总有两个不相等的实数根．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是根的判别式，一元二次方程的根与的关系①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．先根据一元二次方程中a、b、c的值求出的值，即可证明．
【详解】证明：∵
，
∴无论m为何值，总大于0，
∴无论m为何值，关于x的一元二次方程总有两个不相等的实数根．
1．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握，方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根是解题的关键．化成一般形式，计算方程根的判别式，进而判断即可．
【详解】解：∵
∴，
∴方程无实数根．
故选：C．
2．已知，的半径为一元二次方程的根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不能确定
【答案】C
【分析】本题考查了解一元二次方程以及直线与圆的位置关系：当，直线与圆相交，当，直线与圆相切，当，直线与圆相离，据此即可作答．
【详解】解：∵
∴
故的半径为，
∵，
∴直线与圆相离
故选：C．
3．对于实数a，b定义运算“☆”为，例如：，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
【答案】B
【分析】题考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根的判别式，准确理解题意，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴方程为，
即，
，
∴有两个相等的实数根，
故选：B．
4．已知关于x的方程有两个实数根，那么m ．
【答案】且
【分析】本题考查了一元二次方程根的概念和根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
【详解】解：关于x的方程有两个实数根，
∴，解得：且，
故答案为：且．
5．解方程：．
【答案】
【分析】利用公式法求解即可．本题考查了解方程，选择适当解方程的方法是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
∴，
解得．
6．
(1)计算：
(2)解方程：
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题主要考查了实数的运算，解一元二次方程，对于（1），根据，，，，，再计算即可；
对于（2），先整理，再求出，然后根据求根公式求出解即可．
【详解】（1）原式
；
（2）整理，得，
由，，，
∴，
∴，
∴，．
7．已知关于x的一元二次方程.
(1)求m的值；
(2)用公式法解这个方程．
【答案】(1)3
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及公式法解一元二次方程；
（1）根据一元二次方程的定义可得，，解方程，即可求解；
（2）根据公式法解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，，，
∴，
∴，
∵，
解得：；
（2）解：当时，原方程为，
∴，，
∴，
解得：．
易错点四：忽略检验根的存在
分式方程的解法：①将分式方程化成整式方程（去分母，即等号两边同乘以最简公分母）；
②解整式方程（去括号；移项；合并同类项；系数化为1或其它解法）；
③检验：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。
易错提醒：要记得将求得的解代入原分式方程，使原方程成立，才可确定为该方程的解．
例7．分式方程的解为（ ）
A．B．C．D．无解
【答案】B
【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．方程两边同时乘以最简公分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：，方程两边同时乘以最简公分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
系数化为1：，
当时，，
是原方程的解，
故选：B．
易错警示：解分式方程时首要步骤去分母，分数相相当于括号，易忘记根检验，导致运算结果出错。
例8．已知分式（，为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查分式有无意义的条件，分式值为0的条件，以及解分式方程，首先根据已知条件分别确定和的值，然后确定出分式，最后根据时，原分式值为3，通过解分式方程确定，即可得出结论．
【详解】解：∵，分式无意义，
∴，故D正确；B错误，
当时，原分式值为0，
∴
解得：，故A正确
∴原分式为，
∵时，原分式值为3，
∴
解得：，经检验，是原方程解得解，故C选项正确，
故选：B．
变式1．分式方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了解分式方程，按照解分式方程的步骤解分式方程即可．
【详解】解：
等式两边同时乘以，得：，
去括号得：，
移项和合并同类项得：，
经检验是该分式方程的解．
故选：B
变式2．解分式方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)无解
【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键；
（1）根据分式方程的解法进行求解即可；
（2）根据分式方程的解法可进行求解．
【详解】（1）解：
去分母得：，
解得：，
经检验：是原方程的解；
（2）解：
解得：，
经检验：当是原方程的增根，
∴原方程无解．
变式3．a取下列何值时，方程的解是正数（ ）
A．3B．C．D．或
【答案】B
【分析】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式，正确运算是解题的关键．解分式方程得，由原方程的解是正数得，即可求解．
【详解】解：
∵的解是正数
∴，且
∴且
故选∶B．
变式4．对于两个非零有理数x，y，定义一种新运算：，例如：．
(1)求的值；
(2)若，求a的值．
【答案】(1)1
(2)a的值为
【分析】本题考查有理数的混合运算，解分式方程等知识，理解定义的运算是解题的关键．
（1）运用定义运算代入计算即可；
（2）运用定义运算代入得到一个分式方程，求解这个分式方程即可，注意检验．
【详解】（1）解：；
（2），
去分母得：，
解得：，
经检验：是方程的解，
⸫a的值为．
1．若关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范固是 ．
【答案】且
【分析】本题主要考查了分式方程的解及分式方程有意义的条件、一元一次不等式组的求解，熟练掌握相关计算方法是解决本题的关键．根据题意，将分式方程的解用含的表达式进行表示，进而令，再因分式方程要有意义则，进而计算出的取值范围即可．
【详解】解：方程两边同时乘以，
根据题意且
∴
∴
∴k的取值范围是且．
故答案为：且．
2．解方程：．
【答案】
【分析】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可．
【详解】
两边都乘以去分母，得
整理，得
解得
检验：当时，，
∴是分式方程的解．
3．解分式方程：．
【答案】
【分析】本题考查解分式方程，先把分式方程化为整式方程，进而解整式方程，然后检验即可；
【详解】解：，
方程两边同乘，得，
解得，
检验：当时，，
原方程的解是；
4．解下列分式方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)无解
(2)
【分析】本题考查解分式方程．
（1）先求出最简公分母去分母，再去括号移项，合并同类项即可得到本题答案；
（2）先求出最简公分母去分母，再去括号移项，合并同类项即可得到本题答案．
【详解】（1）解：∵，
两边同时乘以得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
即：，
检验：把代入，所以不是原方程的解，所以原方程无解；
（2）解：，
两边同时乘以最简公分母得：，
去括号整理得：，
即：，
移项得：，
即：，
检验：把代入，所以是方程的解．
5．先化简，再求值：
，其中是方程的解．
【答案】，
【分析】本题考查的是分式的化简求值、分式方程的解法．根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，解分式方程求出，代入计算即可．
【详解】解：
，
解分式方程，得，
经检验，是原方程的解，
当时，原式．
6．以下是小明解方程的过程，请认真阅读，并完成相应任务．
解：去分母： … … … … ．第一步
去括号：…………． 第二步
移项，合并同类项得：…………． 第三步
系数化为1，得：…………． 第四步
检验：当时，，
所以：是原分式方程的解．
(1)填空：
①以上解题过程中，第一步去分母的依据 ；
②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
(2)请直接写出方程正确的解 ；
(3)在解分式方程的过程中，需要注意哪些事项，请你给其他同学提一条建议．
【答案】(1)①等式的基本性质2；②第二步；错误的原因是：去括号时未变符号
(2)
(3)去括号时，括号前面是负号，要注意变号，不要漏乘，分式方程需要检验．
【分析】本题考查的是解分式方程；
（1）根据等式的基本性质，利用解分式方程的一般步骤判断即可；
（2）根据解分式方程的一般步骤计算即可；
（3）根据解分式方程的一般步骤分析即可；
熟练掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．
【详解】（1）解：第一步进行的是去分母，这一步的依据是等式的基本性质2；
第二步开始出现错误，这一步错误的原因是：去括号时未变符号；
故答案为：①等式的基本性质2；②第二步；错误的原因是：去括号时未变符号；
（2）
去分母：
去括号：
移项，合并同类项得：
系数化为1，得：
检验：当时，
所以：是原分式方程的解．
故答案为：；
（3）去括号时，括号前面是负号，要注意变号，不要漏乘，分式方程需要检验．
7．已知．
(1)化简A；
(2)当x满足时，A的值是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的化简求值，解分式方程，
（1）先把分子和分母是多项式的进行因式分解，然后再进行计算即可；
（2）先解分式方程，然后再把x的值代入（1）的结论进行计算即可解答．
【详解】（1）解：
；
（2）
，
经检验，是原方程的根，
∴当时，，
∴A的值为．
易错点五：考虑不全面
一、增根：使最简公分母值为0的未知数的值，整根是整式方程的根，不是原分式方程的根；
二、无解：不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等；
易错提醒：无解有两种情况，需考虑全面：①原方程化去分母后的整式方程无解；②原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而使原方程无解
例9．关于的方程无解，则的值是（ ）
A．B．1C．0D．2
【答案】B
【分析】本题考查了分式方程无解、解分式方程，先解分式方程，再根据分式方程无解得出的值，从而即可得出的值，掌握分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程的无解或者这个整式方程的解使原分式方程的分母等于，是解此题的关键 .
【详解】解：去分母得，
解得，
∵方程无解，
∴方程有增根，即，
解得：，
把代入得，
解得，
故选：B .
例10．已知关于x的分式方程有增根，则方程的增根为 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式方程的增根．熟练掌握分式方程的增根是解题的关键．
根据分式方程的增根的定义进行求解即可．
【详解】解：∵分式方程有增根，
∴，
解得，
故答案为：．
变式1．若关于的分式方程有增根，则增根是 ，的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式方程的增根问题，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．先确定最简公分母，令最简公分母为，求出的值，然后把分式方程化为整式方程，再将的值代入整式方程，解关于的方程即可．
【详解】解：分式方程的最简公分母为，
分式方程有增根，
，
解得：，
增根是，
分式方程去分母得：，
把代入方程得：，
解得：，
故答案为：，．
变式2．若关于的分式方程无解，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程无解时，方程有增根的情况是解答本题的关键．
根据题意，解分式方程，得到，由题意得到原方程无解，故是原方程的增根，由，得到，由此得到答案．
【详解】解：
去分母：方程两边同时乘以，得：
，
，
，
原方程无解，
是原方程的增根，
由，，
，
，
故答案为：．
变式3．（1）若方程有增根，则增根是__________；
（2）若方程有增根，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查了分式方程有增根的情况；
（1）根据分式方程有增根，即分母为0进行求解即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根确定出的值即可．
【详解】解：（1）∵分式方程有增根，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）
去分母得：，
移项得：，
解得：
∵分式方程有增根，
∴，即，
∴，
解得．
变式4．关于x的方程
(1)若，则解这个分式方程；
(2)若这个关于x的方程无解，直接写出a的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查了解分式方程和分式方程的无解问题，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
（1）把代入方程得出，再方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都横得出，整理得出，分为两种情况：①，②，再求出即可．
【详解】（1）解：把代入方程，得，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以分式方程的解是；
（2）解：，
方程两边都乘，得，
整理得：，
①当时，分式方程无解，解得：，
②要使分式方程有增根（此时方程无解），，
即，
所以，
解得：，
所以当或时，分式方程无解．
1．若分式方程无解，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查分式方程无解的条件．解题的关键是掌握分式方程无解的条件：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于．据此列式解答即可．
【详解】解：方程两边同时乘以，得：
，
解得：，
当时分母为，方程无解，
即，
解得：
即时方程无解．
故选：C．
2．若方程有增根，则它的增根是（ ）
A．0B．1C．D．1和
【答案】B
【分析】本题主要考查了分式方程的增根问题，解题的关键是求出使方程产生的增根可能为或，然后再进行验证即可．
【详解】解：，
方程两边都乘，得：
，
由最简公分母，可知增根可能是或，
当时，，
当时，得到，这是不可能的，
所以增根只能是．
故选：B．
3．若关于x的方程无解，则m的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了根据分式方程的无解求参数的值，是需要识记的内容．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
【详解】解：
，
，
∵关于x的方程无解，
∴或，
∴或，
∴．
故答案为
4．使分式方程产生增根，m的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式方程的增根．原分式方程化为整式方程，根据方程有增根，得到，将其代入整式方程即可求解．
【详解】解：去分母，得：，
∵原方程有增根，
∴，即，
把代入整式方程，即，
解得，
故答案为：．
5．已知分式方程，由于印刷问题，有一个数“△”看不清楚．
(1)若“△”表示的数为4，求分式方程的解；
(2)小颖说：“我看到答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“△”代表的数．
【答案】(1)
(2)原分式方程中“△”代表的数为2
【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程一定注意要验根．
（1）把△代入方程，进而利用解分式方程的方法解答即可；
（2）设△为m，利用分式方程无解得到增根，解答即可．
【详解】（1）解：，方程两边同乘，
得，解得，
经检验，得是原分式方程的解；
（2）解：设，，方程两边同乘，
得．
∵原分式方程无解，即原方程产生增根，
∴，
∴是增根，
把代入，
得．
得，
∴原分式方程中“△”代表的数为2．
6．已知：，．
(1)求与的和；
(2)若，求的值；
(3)若关于的方程无解，实数，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了分式方程的解法及方程无解的涵义，透彻理解方程解存在的意义是解题的关键．
（1）通过通分、合同同类项，得出结果；
（2）根据题意列方程，通分移项、合并同类项，解得答案；
（3）根据题意列方程求出关于x的方程，由于方程无解，即，解得答案．
【详解】（1）解：
故．
（2）若，
则，
解方程得：．
检验：当时，
．
（3），
去分母整理得：；
无解，，
，
解得： （舍去）．
检验：当时，
．
故．
7．若关于x的方程：
(1)有增根，求a的值；
(2)无解，求a的值．
【答案】(1)或
(2)a的值为1或或8
【分析】本题主要考查了分式方程的增根和分式方程无解的情况；（1）先将分式方程化为整式方程，根据方程有增根，可得到，然后代入整式方程，即可求解；
（2）根据方程无解，可分两种情况：原分式方程有增根和整式方程无解，即可求解．
理解增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值是解题的关键．
【详解】（1）解：方程两边同乘得：，
整理可得：，
∵原方程有增根，
∴，
即，
当时，，
当时，，
∴或时，方程有增根；
（2）解：由（1）知：a取或8时，原方程无解，
当，方程无解，
∴时，原方程无解；
综上所述，a的值为1或或8时，原方程无解．
易错点六：①忽略了变号；②端点取舍易错
一、不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；
不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变
二、不等式组的解集：几个不等式的解集的公共部分，当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解
易错提醒：（1）同乘或同除以一个负数时不要忽略变不等号的方向；（2）已知不等式组的解集情况求参数时，需要验证临界值是否符合条件，符合则可以取到否则舍弃
例11．不等式组的解集在数轴上表示正确的是
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
∴不等式组的解集为，
数轴表示如下所示：
故选：C．
例12．若的不等式组有两个整数解，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解．分别解两个不等式，根据不等式组有且只有两个整数解，得到关于a的不等式组，是解题的关键．
【详解】解：解不等式得：，
解不等式得：，
∵不等式组有且只有两个整数解，
∴不等式的解集为，
∴不等式的两个整数解为和，
∴，
解得：，即a的取值范围是，
故答案为：．
变式1．若关于x的一元一次不等式的解为，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查不等式的解集，熟练掌握不等式的性质是解题关键．
根据不等式的性质可知，两边同时除以，不等式的符号发生改变，可知，求解即可．
【详解】解：关于x的一元一次不等式的解为，
，
．
故选：A．
变式2．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】不等式组的解集为，数轴表示见解析．
【分析】本题主要考查了求不等式组的解集、不等式组的解集在数轴上的表示方法．先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上．
【详解】解：解不等式得，
解不等式得，
所以不等式组的解集为，
将解集在数轴上表示，如图，
．
变式3．若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．先把a当作已知条件表示出不等式的解集，再由不等式组无解即可得出结论．
【详解】解：解得：，
∵不等式组无解，
∴，
故答案为：．
变式4．已知关于x的不等式组有两个整数解，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．解出一元一次不等式组的解集，根据有两个整数解得出a的取值范围．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
故不等式组的解集为，
不等式组有两个整数解，
，
，
故选B．
1．解不等式组：，并在数轴上表示它的解集．
【答案】，数轴表示见解析
【分析】本题考查了解一元一次不等式组．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：由①得：，
由②得：，
不等式的解集为，
在数轴上表示为
2．按要求解答下列各题
(1)解不等式，并把解集在数轴上表示出来；
(2)解不等式组，把解集在数轴上表示出来．
【答案】(1)，见解析；
(2)，见解析．
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式、解一元一次不等式组、在数轴上表示解集等知识点，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
（1）先求出不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可；
（2）先分别求出各不等式的解集，再确定不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．
【详解】（1）解：，
，
在数轴上表示如下：

（2）解：，
解不等式①可得：，
解不等式②可得：，
不等式组的解集为；
在数轴上表示如下：

3．解不等式组．
【答案】．
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：．
4．若不等式组的解集为，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解集，熟练掌握同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）是解题的关键．根据确定解集的方法即可得到答案．
【详解】解：∵不等式组的解集是，
∴．
故答案为：．
5．若关于的不等式组有解，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是根据不等式组的解集情况求解参数的取值范围，熟练解一元一次不等式组是解本题的关键．先解不等式组可得解集，再结合解集的情况求解即可．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
∵关于的不等式组有解，
∴．
故答案为：．
6．若不等式组无解，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据大大小小无解找,去确定范围即可．本题考查了不等式组无解的条件，熟练掌握无解的基本条件是解题的关键．
【详解】∵
解①得，解②，
∵不等式组无解，根据大大小小无解找，
得，
故答案为：．
7．已知关于x的不等式组 的整数解共有4个，则a的取值范围是
【答案】/
【分析】本题考查与一元一次不等式组的整数解有关求字母参数值的问题，关键是先解出一元一次不等式组，再确定整数解，最后根据整数解来确定a的取值范围．
【详解】解：解不等式组得，
∵整数解有个，
则、、、，
则．
故答案为：．
易错点七：整体换元时忘代原字母
解二元一次方程组的方法：①代入消元法；②加减消元法。
易错提醒：（1）若用到在用整体换元时，求得换元后值的时候还要反代回去求原方程组字母的值，切不可把换元后的值当做原方程组的解；（2）不擅长用整体思想，以为字母相同，值就相同
例13．已知关于x的方程的解为，那么关于y的方程的解为（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】C
【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握换元法是解题关键．令，则，由此即可得．
【详解】解：令，
则关于的方程可转化为关于的方程，
关于的方程的解为，
∴关于的方程的解为，
，
解得，
故选：C．
例14．已知方程组的解为，则方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查二元一次方程组解的定义；运用整体的思想是解题的关键．运用整体的思想，得，解得．
【详解】解：由题意，方程组的解为，
∴方程组的解满足：
，解得，
故选：A
变式1．关于的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】C
【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程．根据关于的方程的解是，（a，m，b均为常数，），可知或，进一步求解即可．
【详解】解：关于的方程的解是，（a，m，b均为常数，），
∴在方程中，或，
解得，
故选：C．
变式2．在学习了二元一次方程组的解法后，课堂上老师又写出了一个题目：小华思考一会儿后写出了他的做法（不完整）如下：
解：设，，则原方程组可化为
解方程组，得即解得
(1)请你把小华的做法填写完整；
(2)请你根据小华的做法，解方程组：
【答案】(1)1，2，，11
(2)
【详解】解：（1）1 2 11
（2）设，，则原方程组可化为
解方程组，得即解得
变式3．阅读材料：善于思考的小军在解方程时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：，即，
把方程①代入③得：，
得，
将，代入①得，
方程组的解为，
请你解决以下问题：
(1)模仿小军的“整体代换”法解方程；
(2)已知，满足方程组，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则，采用整体代入的思想是解此题的关键．
（1）仿照阅读材料中的方法求出方程组的解即可；
（2）仿照阅读材料中的方法求出的值即可．
【详解】（1）解：将方程②变形为：，
把①代入③得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
原方程组的解为：；
（2）解：由①得：，
，
把③代入②得：，
解得：，
把代入③得：，即．
变式4．解方程：．
【答案】
【分析】本题考查用换元法解分式方程的能力，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．
可根据方程特点设，则原方程可化为，解一元二次方程求y，再求x．
【详解】设，则原方程化为
，
即，
解得，．
当时，，该方程无解，
当时，．
解得，，
检验：当时，原方程左边右边，
当时，原方程左边右边，
∴，都是原方程的根，
∴原方程的根是，
1．已知方程的解是，，则另一个方程的解是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】本题考查了解一元二次方程，能根据方程的解得出和是解此题的关键．
【详解】解：∵方程的解是，，
∴方程中或，
解得：，，
故选：D．
2．已知关于 x 的方程 的解是，那么关于的一元一次方程 的解是 ．
【答案】0
【分析】本题考查了一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．也考查了换元法．把方程看作是关于的一元一次方程，则根据题意得到，从而得到y的值．
【详解】解：∵关于x的方程的解是，
可以变形为
∴关于的一元一次方程的解为，
解得：
故答案为：0
3．若关于的方程组的解为，则方程组的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，由题意可得方程组的解为，求解即可得出答案，理解题意是解此题的关键．
【详解】解：关于的方程组的解为，
方程组的解为，
解得：，
故答案为：．
4．已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是解一元一次方程的拓展，利用换元法求解是解题关键．令，将可变形为，再根据方程的解为，即可求出的值．
【详解】解：令，
∴方程变形为，
∵关于x的一元一次方程的解为，
∴，
解得：．
故答案为：
5．阅读材料：为解方程，我们可以将看作一个整体，设，则原方程可化为
①，解得．
当时，，∴，∴．
当y＝4时，，，∴．
故原方程的解为，，，．
解答问题：
(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的．
(2)请利用以上知识解方程．
【答案】(1)换元
(2)方程的解为，
【分析】本题考查了利用换元法解次数高于2次的整式方程，读懂材料提供的方法是关键．
（1）根据材料即可完成解答；
（2）利用材料中提供的方法完成即可．
【详解】（1）解：上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，体现了换元的数学思想．
故答案为：换元；
（2）解：设，
原方程可化为，
则，
∴或，
∴，
当时，，
解得 ，
当时，，
解得 ，
∴原方程的解为，．
6．阅读下面材料：解方程：，
解：设，则原方程可变形为，解得：
所以，解得：，
以上这种解一元一次方程的方法叫做换元法，请用上述方法解方程：
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是理解题意，熟练掌握换元法，准确计算．
【详解】解：设，则原方程可变为：，
解得：，
∴，
解得：．
7．为了解方程，
我们可以将看作一个整体，然后设，则，那么原方程可化为，解得
当时，．
当时，．
故原方程的解为．
请借鉴上面的方法解方程．
【答案】
【分析】解方程，应将看作一个整体，利用换元法解；
【详解】解：设，则，
原方程可变为，
，
；
当时，，
即，
；
当时，，
即
此方程无解；
故原方程的解为．
【点睛】本题考查换元法解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程，属于中考常考题型．
解：去分母，得．…………………………………第一步
去括号，得．……………………………………………第二步
移项，得．………………………………………………第三步
合并同类项，得．……………………………………………………第四步
解：………………第一步
…………………第二步
………………第三步
……………………………第四步
……………………………第五步
的取值
分式的值
无解