2024年中考数学易错04 三角形（八大易错分析+举一反三+易错题通关）（原卷版）

这是一份2024年中考数学易错04 三角形（八大易错分析+举一反三+易错题通关）（原卷版），共24页。试卷主要包含了已知等腰的底边长为5，已知关于x的方程，，一个等腰三角形的周长为等内容，欢迎下载使用。

易错点一：忽略三角形构成条件
三角形的三边关系：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边.
易错提醒： 在解题时，要根据三角形存在的条件，验证求得的解，否则容易造成多解．
例1．一个三角形的三边长都是整数，它的周长为，则这个三角形的形状是（ ）
A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．以上三种情况都有可能
易错警示：三角形三边之间的不等关系，注意其中的“任何两边”。求最短距离的方法。
例2．已知等腰的底边长为5．其腰长恰好是方程的根，则m的值是（ ）
A．2B．4C．1D．3
变式1．若菱形的一条对角线长为8，边的长为方程的一个根，则菱形的周长为（ ）
A．24B．12C．20D．12或20
变式2．定义：一个三角形的一边长是另一边长的3倍，这样的三角形叫做“3倍长三角形”．若等腰是“3倍长三角形”，底边的长为3，则等腰的周长为 ．
变式3．等腰三角形的两边长为，当每取一个值时，该等腰三角形都只有一个，则的取值范围是 ．
变式4．已知关于x的方程，．
(1)求证：无论k为任意实数值方程，总有实数根；
(2)若等腰三角形的一边，另两边b、c恰是这个方程的两个根，求三角形的周长．
1．等腰三角形中，底边，且，则 ．
2．已知，是等腰三角形的两边，且，则这个三角形周长是 ．
3．等腰三角形的周长为，，则的长为 ．
4．如果是等腰三角形，且，则的周长为（ ）．
A．13B．17C．17或22D．22
5．已知a、b、c是的三边，且，则一定是（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
6．已知三角形中两边边长值分别是的两根，设其剩下的边边长值为，则的取值范围是 ．
7．一个等腰三角形的周长为．
(1)已知腰长是底边长的2倍，求各边的长；
(2)已知其中一边的长为．求其它两边的长．
易错点二：混淆各种线的概念及画法
三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段；
三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段；
三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段
垂直平分线（中垂线）：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线
易错提醒：一是要对各种线的概念进行熟记；二是能够根据题意画出规范图形
例3．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列结论错误的是（ ）

A．B．
C．D．
易错警示：注意三角形的概念以及三角形的角平分线，中线，高线的特征与区别。
例4．在中，已知，有一点D同时满足以下三个条件：①在直角边上；②在的角平分线上；③在直角边的垂直平分线上，则等于（ ）
A．B．C．D．
变式1．如图，在中，，是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（ ）
A．是的中线B．是的角平分线
C．D．是的高
变式2．如图，已知，按下列要求画图：
(1)画出的平分线，并指出相等的角；
(2)画出BC边上的中线，并指出相等的线段；
(3)画出BC边上的高，并指出图中所有的直角三角形．
变式3．如图，在长度为1个单位长度的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上．将经过一次对称后得到，图中标出了点A的对应点．
(1)补全；
(2)画出边上的中线；
(3)画出边上的高线；
(4)求的面积．
变式4．如图所示，为的角平分线，为的高，若，，求的度数．
1．如图，A、B、C分别为某经济开发区中的三地，每两地之间都修建了一条笔直的公路，现在要在A、B、C三地之间建一个加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应建在（ ）．
A．AC、BC两边高线的交点处B．两内角平分线的交点处
C．AC、BC两边中线的交点处D．AC、BC两边垂直平分线的交点处
2．如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）
A．在、两边高线的交点处B．在、两内角平分线的交点处
C．在、两边中线的交点处D．在、两边垂直平分线的交点处
3．如图，在中，，，的面积为12，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P是线段上的一个动点，则的周长的最小值是（ ）
A．6B．7C．10D．12
4．如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：①的面积的面积；②；③；④.其中正确结论的序号是 .
5．如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图．（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．

(1)如图，请画出的高和中线；
(2)如图，是的角平分线，请画出的角平分线，并在射线上画点，使．
6．如图，在中，为边上的高，的平分线交于点，交于点．若，，求的度数．
7．如图，在中，分别为的中线和高，为的角平分线．
(1)若，求的大小．
(2)若的面积为40，，求的长．
易错点三：讨论不全面，需分类讨论
易错提醒： 不同的三角形，高的位置也不同，所以要分类讨论，可以按照锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三种情况讨论，以免漏解．
例5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角度数为（ ）
A．B．C．D．或
例6．若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A．或B．C．D．和
变式1．已知在中，，高和高所在的直线交于P点，则的度数为 ．
变式2．在中，是边上的高，，求的度数．
变式3．在中，，，高，则的长是（ ）
A．B．C．或D．或
变式4．在中，为边上的高，，，则的度数是 度．
1．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（ ）
A．或B．C．D．或
2．若等腰三角形一腰上的高与另一个腰的夹角为60°,则这个等腰三角形的底角是 （ ）
A．75°或15°B．75°C．15°D．75°或30°
3．直角三角形的两边分别为2和3，则斜边上的高为
4．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形的顶角度数为 ；已知等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为12cm和15cm两部分，则这个等腰三角形的底边BC的长为 ．
5．在中，已知边上的高，，，则的面积为 ．
6．已知△ABC的面积为20cm2，AD为BC边上的高，且AD＝8cm，CD＝2cm，求BD的长度．
易错点四：比例关系混淆
三角形的重心：三角形三条边中线的交点，重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
易错提醒： 比例关系要记熟，线段位置容易写相反导致比例出错
例7．如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F．若四边形的面积为6，则的面积为（ ）
A．12B．14C．18D．24
例8．如图，点D是的重心，，，，的面积为（ ）
A．4B．6C．8D．12
变式1．已知点G是等腰直角三角形的重心，，则的长为 ．
变式2．如图，在中，中线，相交于点．，交于点，则与的比为 ．
变式3．如图，在中，是边上的中线，为的重心，过点作交于点，那么的面积是 ．
变式4．如图，是的重心，且，，，求中边上的高．

1．如图，F是的重心，连接并延长交于D，连接并延长交于E．若的面积是4，则四边形的面积是（ ）

A．2B．5C．3D．4
2．点是的重心，，如果，那么的长是 ．
3．如图，点P是矩形边上的任意一点（不包括点），点分别是的重心，若矩形的面积是8，则的面积是 ．
4．如图，在中，，点是的重心，联结，如果，那么的余切值为 ．
5．如图，是的重心，延长交于点，延长交于点分别是和的重心，长为，则的长为 ．
6．已知中，，中线交于点，，，则 ．
7．如图，G为的重心，，求的值．

易错点五：讨论不全面，需分类讨论
易错提醒：在等腰三角形中，涉及到腰上的垂直平分线、中线，某边是底边还是腰等问题时，易错点在于忘记分情况讨论，导致漏解
例9．已知等腰，，若边上的垂直平分线与直线所夹的锐角为，则等腰顶角的度数为（ ）
A．B．或C．D．或
易错警示：等腰（等边）三角形的定义以及等腰（等边）三角形的判定与性质，运用等腰（等边）三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题，需注意分类讨论思想的渗入。
例10．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50°，则这个等腰三角形的底角为( )
A．70°B．20°C．70°或20°D．40°或140°
变式1．已知等腰三角形一腰上的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角是50°，则底角的度数为 ．
变式2．已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为，求此等腰三形的顶角的度数．
变式3．在等腰三角形中，，一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成12和6两部分（中线将的周长分成和两部分，（注意不是和两部分），由于没有指明哪部分为12，哪部分为6，故应分两种情况讨论），求这个等腰三角形的腰长及底边长．
变式4．若等腰三角形的一个角为，则它的另外两个角的度数分别为 ．
1．如图，在和中，，，，连接，相交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论个数为（ ）

A．1B．2C．3D．4
2．如图，为线段上任意一点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连结．以下五个结论：①；②；③；④为等边三角形；⑤．其中正确的有（ ）
A．①②③④B．①②④⑤C．①②③⑤D．①③④⑤
3．如图，在中，平分，，于点E，若，，，则四边形的面积是 ．
4．如图，，，．
(1)求证：；
(2)请用无刻度的直尺作出边的中点（不写作法，保留作图痕迹）．
5．如图，在长方形中，，，，点是边上一点，将沿折叠，点的对应点刚好落在上，若，．

(1)判断与是否全等，并说明理由；
(2)求的长度．
6．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴交于点，点坐标为，过点作轴，且为等腰直角三角形．
(1)如图，当，时，求证：；
(2)当为直角边时，请给出相应图形分别求出所有可能的值，并直接写出点的坐标．
7．已知A，C，B在同一条直线上，，都是等边三角形，交于点N，交于点M，，垂足为点G．求证：．
易错点六：错用SSA证明
全等三角形的判定方法：①边边边(SSS)；②边角边(SAS)；③角边角(ASA)；④角角边代(AAS)；⑤斜边、直角边(HL)
易错提醒： 要注意两条边和一角的关系，应该是两边夹一角，即SAS，而不是SSA．
例11．如图，，，，点在线段上以的速度由点A向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．当与全等时，的值是（ ）
A．2B．1或1.5C．2或3D．1或2
例12．如图，点，在直线的两侧，点是上一点，且，，点是上异于点的一点，则（ ）．
A．B．
C．D．以上都有可能
变式1．如图，在中，，，分别是，的中垂线，，则 ．
变式2．如图，在平面直角坐标系中，点，连接，将绕点O逆时针方向旋转得到．则点B的坐标为 ．（用字母a，b表示）
变式3．如图，是等边三角形，点D、E分别是边、上的点，、交于点M．，，求证：．
变式4．如图，点B、C、D在同一条直线上，，，，．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
1．如图，正方形的边长为5，对角线交于点，点、为边上的三等分点，连接，分别交于点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，为边长为7cm的等边三角形，，，为上动点，以的速度从向运动，假设点运动时间为秒，当 秒时，与相似．
3．如图，与位似，位似中心是点，且，若的面积为5，则的面积为（ ）
A．10B．15C．20D．25
4．如图交于点，作交于点，设，，则 ．
5．如图，路灯下竖立的一根木杆（用线段表示）的影子，小明（用线段表示）的影子是．
(1)请在图中画出路灯的位置（用点P表示）；
(2)若此路灯距地面高8米，小红的身高1.6米在距离灯的底部左侧6米N处，此时小红沿方向向左直走，求当小红的影长是5米时，她所走的路程．
6．如图，在中，，是边上的中线，点E在上，．
求证：
(1)；
(2)．
7．如图，在中，，，点是边上的一个动点（不与点，重合），点是边上的一个动点，且．
(1)求证：；
(2)当点为中点时，求的长；
(3)当为等腰三角形时，请直接写出的长．
易错点七：书写要注意字母对应
易错提醒： 在证明三角形相似时，易错点在于找准对应边和对应角，所以在证明两个三角形相似的时候一定要注意字母的书写顺序，以方便找准对应关系．
例13．已知，且的周长为10，则的周长为（ ）
A．5B．10C．20D．30
例14．如图，在四边形中，，对角线，过点作于点，若，，则的长为（ ）
A．B．3C．D．5
变式1．如图，为等腰直角三角形，，点D为上一点，点E为延长线上一点，且，连接交的延长线于点F，点G为的中点，连接．下列四个结论：①；②；③；④．
其中正确的结论个数为（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
变式2．为了证明光是沿直线传播的这一性质，大约二千四百年前我国杰出的科学家墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，解释了小孔成倒像的原理．如图所示是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，长的箭头在暗盒中所成像的长为 ．
变式3．如图，在中，为边上一点，交于点．
(1)求证：；
(2)若，求对角线的长．
变式4．如图，在中，平分，交于点，过点作，交于点．求证：．
1．等腰三角形一底角平分线与另一腰所成锐角为，则等腰三角形的顶角大小为
A．B．C．或D．或
2．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为70°,则等腰三角形的顶角度数为( )
A．20°B．40°C．20°或160°D．40°或140°
3．已知等腰三角形一腰上的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角是40°，则底角的度数为
4． 等腰三角形中，一腰上的中线把三角形的周长分为和两部分，求此三角形的腰和底边的长．
5．已知分别是等腰的高线与角平分线，且相交于点F，若，则的度数不会是（ ）
A． B． C． D．
6．【问题情景】
小明发现：顶角为的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形，为此，请你完成下列问题：
（1）已知：如图，在中，，，直线平分交于点．
求证：与都是等腰三角形；

【初步应用】
小明提问：直角三角形是否也具有这样的特性？
（2）已知，如图，在中，，，请画一条直线把这个三角形分割成两个等腰三角形．（要求：画出两种不同的分割方法，并标出相等两角的度数，无需证明）．

【灵活应用】
小明进一步思考：
（3）对于任意，是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个等腰三角形，若，，请你画出图形，并直接写出与之间的关系．
7．如图，在中，．将绕点A顺时针旋转得到．与交于点F．
(1)求证：．
(2)设，直接写出当m、n满足什么条件时，是等腰三角形．
易错点八：混淆角的专业术语
仰角和俯角:在目标视线和水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的角叫仰角,目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①).
方位角:指从正北方向按顺时针转到目标方向线所转过的水平角,如B点的方位角为α(如图②).
方向角:从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角,如南偏西60°,指以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°.
坡度(坡比)：坡面的铅垂高度和水平宽度的比
易错提醒：要分清是仰角还是俯角，分清仰视和俯视的站立点，分清涉及到游船航行方向的确认等，才能避免出错
例15．如图，小明先在凉亭处测得湖心岛在其北偏西的方向上，又从处向正东方向行驶200米到达凉亭处，测得湖心岛在其北偏西的方向上，则凉亭与湖心岛之间的距离为（ ）
A．400米B．米C．米D．米
例16．如图，在外力作用下，一个滑块沿坡度为的斜坡向上移动了，此时滑块上升的高度是 ．
变式1．如图，一艘轮船位于灯塔O的南偏东方向，距离灯塔海里的点P处，轮船沿正北方向航行一段时间后到达位于灯塔O的北偏东方向上的点Q处，此时灯塔O位于轮船Q的南偏西 °方向上，且距离点Q 海里．
变式2．爬坡时坡面与水平面夹角为，则每爬1米耗能，若某人爬坡时，其垂直高度上升了500米，坡面与水平面夹角为，则他耗能 ．（参考数据：，）

变式3．如图，希望中学的教学楼和综合楼之间生长着一棵高度为12.88米的白杨树，且其底端，，在同一直线上，米．在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶处测得点的仰角为，点的俯角为．
问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到0.01米）；若不能，说明理由．（解答过程中可直接使用表格中的数据哟！）
变式4．某会展中心截面如图所示，背面AB的倾斜角为，大门高6米，大门底端D点距背面点B的距离米，在大门顶端C点测得背面顶端A的仰角为，求屋顶A距地面的高度．（结果保留整数，参考数据：，，，
1．董铺水库位于合肥市西北近郊，是一座以合肥城市防洪为主，结合城市供水、郊区农菜灌溉及发展水产养殖等综合利用的大型水库，如图，水库某段横截面迎水坡的坡度，若坡高，则坡面的长度为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，一艘轮船在处测得灯塔在北偏西的方向上，该轮船又从处向正东方向行驶100海里到达处，测得灯塔在北偏西的方向上，则轮船在处时与灯塔之间的距离（即的长）为 海里．
3．小明和爸爸想利用测角仪和阳光下的影子来测量一古树（底部不可到达）的高．如图所示：在阳光下，小明爸爸站在古树影子的顶端D处，此时，小明量得爸爸的影长；然后，小明从D点往古树方向走了3m到达点F，并用测角仪测得树顶端A的仰角为（测角仪高度不计）．已知爸爸身高，点E、D、F、B在同一条直线上，，．求该古树的高．（参考数据：，，）
4．龙文塔是漳州古城的标志性建筑之一，它建立在一座平台上．综合实践课上老师提出问题：“请你设计一个方案，测量龙文塔的高度”．某小组设计的方案是利用激光投线角度仪和皮尺等工具对塔的高度进行测量．具体操作过程是：如图，在距离塔底点的处用激光投线角度仪测得塔的最高点的仰角．已知塔底直径，请你求出龙文塔的高度约多少米？（参考数据，，）
5．如图，小林一家准备乘船去小岛上游玩，他们从地出发，沿北偏西方向行驶10千米至先到达景点地参观，再沿北偏东方向行驶一段距离到达小岛，这时测得在地的北偏东方向．求景点距离小岛的距离是多少?（结果保留到千米，参考数据：，，）

6．由我国完全自主设计，自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成首次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达B处时，测得小岛A在北偏东方向上，航行20海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东方向．
(1)求线段的长度；
(2)若小岛A周围10海里内有暗礁，如果航母不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．
7．如图，李东在延时课上利用所学的数学知识测量校园内教学楼CD的高度，在教学楼前方有一斜坡，坡长，坡比，李东在A点处测得楼顶端C的仰角为，在B点处测得楼顶端C的仰角为（点A，B，C，D在同一平面内）．求教学楼的高度（结果精确到，参考数据：）