鲁科版高中物理选择性必修第一册第3章素养培优课(三)机械振动与机械波及波的多解问题学案

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素养培优课(三)　机械振动与机械波及波的多解问题1．掌握机械波的传播与波的图像间的关系。2．能分析处理振动图像与波的图像的综合问题。3．知道波的多解问题的原因并会分析计算波的多解问题。 考点1　机械波的传播与波的图像1．机械波的传播特点(1)波传到任意一点，该点的起振方向都和波源的起振方向相同。(2)介质中每个质点都做受迫振动，因此，任一质点的振动频率和周期都和波源的振动频率和周期相同。(3)波从一种介质进入另一种介质，由于介质不同，波长和波速可以改变，但频率和周期都不会改变。(4)波源经过一个周期T完成一次全振动，波恰好向前传播一个波长的距离，所以v＝λT＝λf。2．波的图像的特点(1)质点振动nT(波传播nλ)(n＝0，1，2，3，…)时，波形不变。(2)在波的传播方向上，当两质点平衡位置间的距离为nλ(n＝1，2，3，…)时，它们的振动步调总相同；当两质点平衡位置间的距离为(2n＋1)λ2(n＝0，1，2，3，…)时，它们的振动步调总相反。(3)波源质点的起振方向决定了它后面的质点的起振方向，各质点的起振方向与波源的起振方向相同。【典例1】　(多选)一列简谐横波沿x轴正方向传播，周期为T。在t＝0时的波形如图所示，波上有P、Q两点，其纵坐标分别为yP＝2 cm，yQ＝－2 cm，下列说法中正确的是(　　)A．P点的振动形式传到Q点需要T2B．P、Q在振动过程中，位移的大小总相等C．在5T4内，P点通过的路程为20 cmD．经过3T8，Q点回到平衡位置AB　[由题图看出，P、Q两点所对应的平衡位置间的距离等于半个波长，因简谐横波传播过程中，在一个周期内传播一个波长，则P点的振动形式传到Q点需要半个周期，P、Q两点的振动情况总是相反，所以在振动过程中，它们的位移大小总是相等，故A、B正确；若图示时刻P点在平衡位置或最大位移处，在54T内，P点通过的路程为：s＝5A＝5×4 cm＝20 cm，而实际上图示时刻，P点不在平衡位置或最大位移处，所以在54T内，P点通过的路程不是20 cm，故C错误；图示时刻，Q点向下运动，速度减小，所以从图示位置运动到波谷的时间大于T8，再从波谷运动到平衡位置的时间为T4，所以经过38T，Q点没有回到平衡位置，故D错误。][跟进训练]1．(多选)如图所示，一列简谐横波沿x轴正方向传播，实线为t＝0时的波形图，虚线为t＝0.5 s时的波形图。已知该简谐波的周期大于0.5 s。关于该简谐波，下列说法正确的是(　　)A．波长为2 mB．波速为6 m/sC．频率为1.5 HzD．t＝1 s时，x＝1 m处的质点处于波峰BC　[由题给图像可知简谐横波的波长λ＝4 m，A项错误；波沿x轴正方向传播，t＝0.5 s＝34T，可得周期T＝23 s，频率f＝1T＝1.5 Hz，波速v＝λT＝6 m/s，B、C项正确；t＝0时刻，x＝1 m处的质点在波峰，经过1 s＝32T，一定在波谷，D项错误。] 考点2　振动图像与波的图像振动图像与波的图像的比较【典例2】　如图所示，甲为某一波在t＝1.0 s时的图像，乙为参与该波动的P质点的振动图像，波速为4 m/s，求：甲　　　　　　　　　　　乙(1)说出两图中AA′的意义；(2)说出甲图中OA′B图线的意义；(3)在甲图中画出再经3.5 s时的波形图；(4)求再经过3.5 s时P质点的路程s和位移。[解析]　(1)题图甲中AA′表示A质点的振幅或1.0 s 时x＝1.0 m的质点的位移大小为0.2 m，方向为负；题图乙中AA′表示P质点的振幅，也代表P质点在0.25 s时的位移大小为0.2 m，方向为负。(2)题图甲中OA′B段图线表示O到B之间所有质点在1.0 s时的位移，方向均为负。(3)由题图可知，波长λ＝4 m，周期T＝1.0 s，波速v＝λT＝4 m/s，故传播距离Δx＝vΔt＝4×3.5 m＝14 m＝3+12λ，所以只需将波形向x轴负方向平移12λ＝2 m 即可，如图所示。(4)因为n＝ΔtT2＝3.512＝7所以路程s＝2An＝2×0.2×7 m＝2.8 m由于波动的重复性，经历时间为周期的整数倍时，位移不变，所以只需考虑从图示时刻P质点经T2时的位移即可，所以经3.5 s质点P的位移仍为0。[答案]　(1)题图甲中的AA′表示A质点的振幅，题图乙中的AA′表示质点P的振幅　(2)题图甲中OA′B图线表示O到B之间所有质点在1.0 s时的位移情况　(3)见解析图　(4)2.8 m　0　求解波传播到某一质点到达某一状态时间的方法(1)先求出波刚传播到该点的时间，然后根据质点的起振方向，由周期关系求出到达要求状态的时间，两部分时间求和即可得到。(2)根据振动状态的直接传递，由t＝xv得到。[跟进训练]2．(多选)(2023·全国乙卷)一列简谐横波沿x轴传播，图(a)是t＝0时刻的波形图；P是介质中位于x＝2 m处的质点，其振动图像如图(b)所示。下列说法正确的是(　　)A．波速为2 m/sB．波向左传播C．x＝3 m处的质点在t＝7 s时位于平衡位置D．质点P在0～7 s时间内运动的路程为70 cmABD　[由题图(a)可知波长为4 m，由题图(b)可知波的周期为2 s，则波速为v＝λT＝42 m/s＝2 m/s，故A正确；由题图(b)可知t＝0时，P点向下运动，根据“上下坡”法可知波向左传播，故B正确；根据题图(a)可知，t＝0时，x＝3 m处的质点位于波谷处，由t＝7 s＝3T＋12T可知，在t＝7 s时该质点位于波峰处；质点P在0～7 s运动的路程为s＝3×4A＋12×4A＝70 cm，故C错误，D正确。故选ABD。] 考点3　波的多解问题1．波的多解问题形成的原因(1)波的周期性造成多解①时间的周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确。②空间的周期性：波的传播距离Δx与波长λ的关系不明确。(2)传播方向的双向性造成多解①波的传播方向不确定。②质点的振动方向不确定。2．解决波的多解问题时应注意的问题(1)质点到达最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能。(2)质点由平衡位置开始振动，则有起振方向相反的两种可能。(3)只告诉波速，不指明波的传播方向，应考虑沿两个方向传播的可能。(4)只给出两时刻的波形，则有多次重复出现的可能。【典例3】　如图所示，实线表示t时刻的波形曲线，虚线表示经过时间Δt时的波形曲线。已知波长为λ，试求波的传播速度。[解析]　此题没有给定波的传播距离，由实线波形和虚线波形相比较，在Δt时间内，若波向右传播，其传播距离Δs1＝λ4、5λ4、9λ4、…，即Δs1＝k+14λ(k＝0，1，2，3，…)则波的传播速度为v1＝Δs1Δt＝k+14λΔt＝4k+1λ4Δt(k＝0，1，2，3，…)若波向左传播，其传播距离Δs2＝34λ、74λ、114λ、…，即Δs2＝k+34λ(k＝0，1，2，3，…)则波的传播速度为v2＝Δs2Δt＝4k+34Δtλ(k＝0，1，2，3，…)。[答案]　若向右传播v1＝4k+14Δtλ(k＝0，1，2，3，…)若向左传播v2＝4k+34Δtλ(k＝0，1，2，3，…)　解决波的多解问题的一般思路(1)首先考虑双向性，若题目未告知波的传播方向或没有其他条件暗示，应首先按波传播方向的可能性进行讨论。(2)对设定的传播方向，确定Δt和T的关系，一般先确定最简单的情况，即一个周期内的情况，然后在此基础上加nT。(3)应注意题目是否有限制条件，如有的题目限制波的传播方向，或限制时间Δt大于或小于一个周期等，所以解题时应综合考虑，加强多解意识，认真分析题意。(4)波传播的距离与波长关系与时间的周期性是一致的，实质上是波形平移规律的应用，所以应用时可以针对不同题目选择其中一种方法求解。[跟进训练]3．(2023·海南卷)如图所示分别是一列机械波在传播方向上相距6 m的两个质点P、Q的振动图像，下列说法正确的是(　　)A．该波的周期是5 sB．该波的波速是3 m/sC．4 s时P质点向上振动D．4 s时Q质点向上振动C　[由振动图像可看出该波的周期是4 s，A错误；由于P、Q两个质点振动反相，则可知两者间距离等于n+12λ＝6 m(n＝0，1，2，…)，则波速v＝λT＝32n+1 m/s(n＝0，1，2，…)，B错误；由P质点的振动图像可看出，在4 s时P质点在平衡位置向上振动，C正确；由Q质点的振动图像可看出，在4 s时Q质点在平衡位置向下振动，D错误。故选C。]素养培优练(三)　机械振动与机械波及波的多解问题一、选择题1．关于机械波的形成和传播，下列说法正确的是(　　)A．物体做机械振动，一定产生机械波B．后振动的质点总是跟着先振动的质点重复振动，只是时间落后一步C．参与振动的质点群频率各不相同D．机械波是质点随波迁移，也是振动能量的传递B　[机械波的形成必须具备的两个条件：波源和介质。只有物体做机械振动，而其周围没有传播这种振动的介质，远处的质点不可能振动起来形成机械波，故A错误；任何波动都是由波源带动它周围的质点、周围的质点(相当于新的波源)带动更远的质点，所以后一质点总是落后前一质点的振动，故B正确；参与振动的质点的振动情况同波源、频率都相同，故C错误；形成机械波的各个质点，只在各自的平衡位置附近往复运动，并没有随波迁移，离波源远的质点振动的能量是通过各质点的传递从波源获得的，故D错误。]2．(多选)如图所示为一列简谐横波在t＝1.0 s时刻的波形图。已知图中质点b的起振时刻比质点a超前了0.2 s，则以下说法正确的是(　　)A．这列波的波速为10 m/sB．这列波的频率为2.5 HzC．这列波沿x轴正方向传播D．再经过0.4 s，质点P第一次回到平衡位置AB　[从题中可知波长λ＝4 m，T＝0.4 s，解得v＝λT＝10 m/s，A正确；根据f＝1T，可得f＝2.5 Hz，B正确；质点b起振比质点a早，可知波沿x轴负方向传播，C错误；再经过0.4 s，也就是一个周期，质点P是第二次回到平衡位置，D错误。]3．一简谐机械横波沿x轴正方向传播，波长为λ，周期为T。t＝0时刻的波形如图甲所示，a、b是波上的两个质点。图乙是波上某一质点的振动图像。下列说法正确的是(　　)甲　　　　　　乙A．t＝0时质点a的速度比质点b的大B．t＝0时质点a的加速度比质点b的小C．图乙可以表示质点a的振动D．图乙可以表示质点b的振动D　[根据题图甲所示的波动图像，由于波沿x轴正方向传播，t＝0时刻a点速度为零，b点速度最大，即t＝0时刻质点a的速度比质点b的速度小，A错误；由于t＝0时刻质点a位移最大，所受回复力最大，加速度最大，质点b处于平衡位置，位移为零，回复力为零，加速度为零，所以t＝0时刻质点a的加速度比质点b的大，B错误；根据题图甲所示的波动图像，由于波沿x轴正方向传播，t＝0时刻，质点a从正的最大位移处向下运动，质点b从平衡位置向下运动，所以题图乙可以表示质点b的振动，C错误，D正确。]4．(多选)取向上为质点振动的正方向，得到如图所示的两个图像，其中图甲是一列波的图像，A是介质中的一个质点，图乙是介质中另一个质点的振动图像，B为振动中的某一个时刻，关于图甲中A质点在该时刻的运动方向和图乙中B时刻质点的运动方向，下列说法正确的是(　　)甲　　　　　　　　　　乙A．A质点向下　　　 B．A质点向上C．B时刻向下 D．B时刻向上AC　[题图甲表示的是波的图像，由于波沿x轴负方向传播，所以题图甲中A质点的振动方向向下，A正确，B错误；题图乙表示的是振动图像，在图中B所对应的时刻质点应当向下运动(因为下一时刻位移为负值)，C正确，D错误。]5．图甲所示为一列简谐波在t＝0时刻的波形图，Q、P为介质中的两个质点，如图乙所示为质点P的振动图像，下列说法正确的是(　　)甲　　　　　　　　乙　A．该波传播的速度大小为10 m/sB．该波沿x轴正方向传播C．t＝0.1 s时，质点Q的运动方向沿y轴负方向D．t＝0.05 s时，质点Q的加速度大小等于质点P的加速度大小A　[根据波的图像可知波长为λ＝4 m，根据振动图像可知周期为T＝0.4 s，所以波速为v＝λT＝10 m/s，故A正确；从振动图像上可以看出P质点在t＝0时刻从平衡位置向下振动，所以波应该沿x轴负方向传播，故B错误；由于波向左传播，波的周期为0.4 s，可知t＝0.1 s 时，质点Q的运动方向沿y轴正方向，故C错误；根据波的传播方向可以知道0～0.05 s 的时间内，P从平衡位置向下运动，而Q从原来位置向平衡位置移动，分析可知，t＝0.05 s 时Q更靠近平衡位置，所以在t＝0.05 s时，质点Q的加速度大小小于质点P的加速度大小，故D错误。]6．(2023·湖北卷)一列简谐横波沿x轴正向传播，波长为100 cm，振幅为8 cm。介质中有a和b两个质点，其平衡位置分别位于x＝－403 cm和x＝120 cm处。某时刻b质点的位移为y＝4 cm且向y轴正方向运动。从该时刻开始计时，a质点的振动图像为(　　)A． B．C． D．A　[ab之间的距离为Δx＝403 cm＋120 cm＝43λ，此时b点的位移为4 cm且向y轴正方向运动，令此时b点的相位为φ，则有4＝8sin φ，解得φ＝π6或φ＝5π6(舍去，向下振动)，由ab之间的距离关系可知φa－φ＝λ3λ·2π＝23π，则φa＝56π，可知a点此时的位移为y＝8sin 56π cm＝4 cm，且向下振动，即此时的波形图如图所示。故选A。]7.(多选)如图(a)所示为一列简谐横波在t＝2 s时的波形图，图(b)为介质中平衡位置在x＝1.5 m处的质点的振动图像，P是平衡位置为x＝2 m的质点。下列说法正确的是(　　)(a)　　　　　　　　　　(b)A．波速为0.5 m/sB．波的传播方向向右C．0～2 s时间内，P运动的路程为8 cmD．0～2 s时间内，P向y轴正方向运动AC　[根据题图(a)得波长λ＝2 m，根据题图(b)得T＝4 s，所以v＝λT＝0.5 m/s，A正确；根据题图(b)可知x＝1.5 m处的质点在t＝2 s时，振动方向沿y轴负方向，利用“上下坡”法可以判断波的传播方向向左，B错误；在t＝2 s时质点P在最低点，又因T＝4 s，可知t＝0时质点P在最高点，所以0～2 s时间内，质点P运动的路程为8 cm，C正确；0～2 s时间内，质点P向y轴负方向运动，D错误。]8．(多选)(2023·天津卷)一列机械波的波源是坐标轴原点，从t＝0时波源开始振动，t＝0.5 s时波形如图所示，则下列说法正确的有(　　)A．在这种介质中波速v＝4 m/sB．x＝1 m处质点在t＝0.3 s时位于波谷C．波源的振动方程为y＝0.02sin (5πt＋π) mD．x＝－1 m处的质点半个周期内向左位移半个波长BC　[由题图可知t＝0.5 s时，波传播的距离为x＝2.5 m，故波的速度为v＝xt＝2.50.5 m/s＝5 m/s，故A错误；由题图可知该波的波长为λ＝2 m，所以波的周期为T＝λv＝25 s＝0.4 s，波传播到x＝1 m需要的时间t1＝x1v＝15 s＝0.2 s，由题图可知该波的起振方向向下，t＝0.3 s时该质点振动了0.1 s，即14T，所以位于波谷，故B正确；根据题图可知该波源的振动方程为y＝A sin 2πTt+φ＝－0.02sin (5πt) m＝0.02sin (5πt＋π) m，故C正确；质点只是上下振动，不随波左右移动，故D错误。故选BC。]9．(多选)一列简谐横波沿x轴正方向传播，t时刻波形图如图中的实线所示，此时波刚好传到P点，t＋0.6 s时刻的波形如图中的虚线所示，a、b、c、P、Q是介质中的质点，则(　　)A．这列波的波速可能为150 m/sB．质点a在这段时间内通过的路程一定等于30 cmC．质点c在这段时间内通过的路程可能为60 cmD．如果T＝0.8 s，则当t＋0.5 s时刻，质点b、P的位移相同CD　[由题图可知，波的波长为40 m，两列波相距0.6 s＝n+34T(n＝0，1，2，3，…)，故周期T＝2.44n+3 s(n＝0，1，2，3，…)，波速v＝λT＝402.44n+3 m/s＝504n+33 m/s(n＝0，1，2，3，…)，当v＝150 m/s时，无正整数符合题意，A错误；由传播方向沿x轴正方向可知质点a在t时刻向上运动，当n＝0时，T＝0.8 s，质点a在这段时间内通过的路程小于30 cm；当n＝1时，T＝1235 s，质点a在这段时间内通过的路程大于30 cm，B错误；若n＝1时，则T＝1235 s，波传播到c点所用时间为14T，0.6 s＝74T，质点c振动的时间为74T－14T＝32T，在这段时间内质点c通过的路程则为6A＝60 cm，C正确；若T＝0.8 s，则t＋0.5 s时刻，质点b、P的位移均为负值，大小相等，D正确。]10．(多选)一列简谐横波沿x轴正方向传播，t＝0时刻的波形如图所示，介质中质点A、B、C的平衡位置分别位于x＝2 m、x＝3 m、x＝6 m处。从t＝0时刻开始计时，当t＝9 s时质点A刚好第3次到达波峰，则(　　)A．此列波的波速一定为1 m/sB．质点A的振动方程可表示为y＝sin (0.25πt)mC．质点C起振方向沿y轴负方向D．如果质点C到达波峰，则质点B一定在平衡位置ACD　[根据波形图得到波长λ＝4 m，从t＝0时刻开始计时，当t＝9 s时质点A刚好第3次到达波峰，则有214T＝9 s，可知该列波周期T＝4 s，这列波的波速为v＝λT＝1 m/s，故A项正确；ω＝2πT＝0.5π rad/s，振幅A＝1 m，则质点A的振动方程可表示为y＝A sin ωt＝sin (0.5πt) m，故B项错误；质点C起振方向与图示时刻x＝4 m处质点的起振方向相同，沿y轴负方向，故C项正确；B、C两质点平衡位置相距34λ，则如果质点C到达波峰，则质点B一定在平衡位置，故D项正确。]二、非选择题11．在一列沿水平直线传播的简谐横波上有相距6 m 的A、B两质点，图甲、乙分别是A、B两质点的振动图像。甲　　　　　　　　乙(1)求这列波可能的波长；(2)若波由A向B传播，波长大于5 m，求波速大小。[解析]　(1)①若波由A向B传播，由题图可知B质点比A质点晚振动的时间Δt＝n+34T(n＝0，1，2，…)所以A、B间的距离为Δs＝n+34λ(n＝0，1，2，…)则波长为λ＝4Δs4n+3＝244n+3 m(n＝0，1，2，…)。②若波由B向A传播，A点比B点晚振动的时间Δt′＝n+14T(n＝0，1，2，…)所以A、B间的距离为Δs′＝n+14λ′(n＝0，1，2，…)则波长为λ′＝4Δs'4n+1＝244n+1 m(n＝0，1，2，…)。(2)由λ＝244n+3 m＞5 m得n＝0，λ＝8 m，则v＝λT＝80.4 m/s＝20 m/s。[答案]　(1)见解析　(2)20 m/s12．如图所示是一列简谐横波在某一时刻的波形图，这列波从O点传播到F点需要0.12 s。(1)求这列波的传播速度；(2)画出这列波经0.26 s后的波形图；(3)若波的传播方向跟上述方向相反，画出这列波经0.18 s后的波形图。[解析]　(1)从题意可知，波从O点传播到F点，波形推移了1 12λ，所需要的时间为0.12 s，传播一个波长的时间T＝0.08 s，则v＝λT＝0.40.08 m/s＝5 m/s或v＝ΔxΔt＝0.60.12 m/s＝5 m/s。(2)t1＝0.26 s＝0.24 s＋0.02 s＝3T＋T4，根据振动与波的时空周期性特点，t1时刻波形图如图所示。(3)t2＝0.18 s＝0.16 s＋0.02 s＝2T＋14T，同理可知t2时刻的波形图如图所示。[答案]　(1)5 m/s　(2)见解析图　(3)见解析图13．如图甲所示，a、b为沿x轴传播的一列简谐横波上的两质点，相距为1 m。a、b的振动图像分别如图乙、丙所示。求：　 (1)当该波在该介质中传播的速度为4 m/s时，该波的波长λ；(2)经过t＝2 s时间a质点运动的路程s；(3)若该波的波长大于0.7 m，可能的波速v。[解析]　(1)由振动图像可知，波的振动周期T＝0.8 s根据v＝λT可知波长λ＝vT＝4×0.8 m＝3.2 m。(2)由于t＝2 s＝2 12T质点每经过一个周期，质点运动的路程为4倍的振幅，每经过半个周期，运动的路程为2倍振幅，因此a质点运动的路程s＝2 12×4A＝10×4 cm＝40 cm。(3)ⅰ.若波沿着x轴正方向传播，则ab间有n+34λ(n＝0，1，2，…)即n+34λ＝1 m由于λ＞0.7 m则n只能取0，波长λ1＝43 m则波速为v1＝λ1T＝430.8 m/s＝53 m/sⅱ. 若波沿着x轴负方向传播，则ab间有n+14λ(n＝0，1，2，…)即n+14λ＝1 m由于λ＞0.7 mn可以取0，1，波长λ2＝4 m，λ3＝0.8 m则波速为v2＝λ2T＝40.8 m/s＝5 m/s，v3＝λ3T＝0.80.8 m/s＝1 m/s。[答案]　(1)3.2 m　(2)40 cm　(3)53 m/s，5 m/s，1 m/s图像类型振动图像波的图像研究对象一个振动质点沿波传播方向的所有质点研究内容一质点的位移随时间的变化规律某时刻所有质点的空间分布规律图像物理意义表示同一质点在各时刻的位移表示某时刻各质点的位移图像信息(1)质点振动周期(2)质点振幅(3)某一质点在各时刻的位移(4)各时刻速度、加速度的方向(1)波长、振幅(2)任意一质点在该时刻的位移(3)任意一质点在该时刻的加速度方向(4)传播方向、振动方向的互判图像变化随着时间推移，图像延续，但已有形状不变随着时间推移，波形沿传播方向平移一完整曲线占横坐标的距离表示一个周期表示一个波长