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    [数学]2021年广东省初中学业水平考试数学真题-(原题版+解析版)

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    [数学]2021年广东省初中学业水平考试数学真题-(原题版+解析版)

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    这是一份[数学]2021年广东省初中学业水平考试数学真题-(原题版+解析版),共14页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁等内容,欢迎下载使用。
    本试卷共4页,25小题,满分120分,考试用时90分钟.
    注意事项:
    1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号.将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”·
    2.作管选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.
    3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上:如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案:不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
    4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.
    一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1.下列实数中,最大的数是()
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【解析】考查实数的大小比较,涉及有理数、无理数、绝对值
    2.据国家卫生健康委员会发布,截至2021年5月23日,31个省(区、市)及新疆生产建
    设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗万剂次,将“万”用科学记数法表示
    为( )
    A. B.
    C.D.
    【答案】D
    【解析】考查科学记数法的表示方法,一般把大于10的数表示成
    3.同时掷两枚质地均匀的骰子,则两枚骰子向上的点数之和为的概率是( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【解析】如图,总事件有36种,和为7的事件有6种,所以
    4.已知,,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【解析】,考查幂的运算公式的灵活变形
    5.若,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【解析】因为,且,
    所以,
    所以,,所以,考查绝对值、二次根式的非负性。
    6.下列图形是正方体展开图的个数为( )
    A.个B.个C.个D.个
    【答案】C
    【解析】考查正方体展开图的11种样式的记忆,第一个属于2-3-1样式,第三个属于2-2-2样式,第三个属于3-3样式
    7.如题图,是的直径,点为圆上一点,,的平分线交于点D,,则的直径为( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】作于H点,根据角平分线的性质可得,而,
    易得,所以直径,考查圆中的计算(结合角平分线、三角函数)
    8.设的整数部分为,小数部分为,则的值是( )
    A. B.C. D.
    【答案】A
    【解析】易得,所以即(),因此可得,
    ,所以,考查实数的整数部分、小数部分的转化,以及平方差公式的运算
    9.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式,此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙,即三角形的三边长分别为,,,记,则其面积.这个公式也被称为海伦秦九韶公式.若,,则此三角形面积的最大值为( )
    A. B.C.D.
    【答案】C
    【解析】把,代入可得,因为,所以,而,所以,∴,把代入可得,当时,S最大,最大值为,考查秦九韶公式的变形处理技巧以及二次函数的配方
    10.设为坐标原点,点A、B为抛物线上的两个动点,且.连接点A、B,过作于点,则点到轴距离的最大值( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】如图,设直线解析式为
    联立:,化简得
    不妨设,
    则,
    作轴,轴,易得
    则即(),化简可得

    所以有,因此(需要舍去)
    即直线AB过定点,因此AB:
    易得直线OC的解析式为:,联立,解得

    点C到y轴距离,则,化简可得,由于关于k的一元二次方程有实数根,因此满足,即,因此,因此
    本题考查二次函数与一定函数结合时过定点背景下的最值求法,涉及相似三角形、一元二次方程等多个考点
    二、填空题:本大题7小题,每小题4分,共28分.
    11.二元一次方程组的解为_________.
    【答案】
    【解析】,①+②可得③,①-③得,,把代入③得
    因此,考查二元一次方程组的解法
    12.把抛物线向左平移个单位长度,再向下平移个单位长度,得到的抛物线的解析式为_________.
    【答案】
    【解析】考查二次函数的图象变换,根据“上加下减,左加右减”可得平移后的解析式为,化简即得
    13.如题图,等腰直角三角形中,,.分别以点B、点C为圆心,线段长的一半为半径作圆弧,交、、于点D、E、F,则图中阴影部分的面积为_________.
    【答案】
    【解析】,考查阴影面积的求法(主要还是用整体减去局部)
    14.若一元二次方程(,为常数)的两根,满足,,则符合条件的一个方程为_________.
    【答案】(答案不唯一)
    【解析】不妨设,,则满足题意的其中一个方程是,本题考查一元二次方程根与系数的关系(已知两根范围,表达原方程,需要有逆推的思维)
    15.若且,则_________.
    【答案】
    【解析】因为,且
    因此
    而,可得
    因此,所以
    本题考查完全平方公式的变形运算以及因式分解的技巧
    16.如题图,在中,,,.过点作,垂足为,则_________.
    【答案】
    【解析】作,在中,
    由等积法可得
    易得,,,


    17.在中,,,.点为平面上一个动点,,则线段长度的最小值为_____.
    【答案】
    【解析】如图1,根据,(定弦定角),作的外接圆O,连接OC,交于(图2),此时CD的值最小,根据,得,因此,作,可得,所以,所以,
    所以
    本题考查动点与隐圆条件下的最值,
    难度较大,需要根据条件发散思维
    三、解答题(一):本大题共3小题,每小题6分,共18分.
    18.解不等式组.
    【答案】
    解:.
    式得:
    移项得:
    .…………………………2分
    得:

    .…………………………4分
    所以原不等式组的解集为.…………………………6分
    19.某中学九年级举办中华优秀传统文化知识竞赛.用简单随机抽样的方法,从该年级全体名学生中抽取名,其竞赛成绩如题19图:
    (1)求这名学生成绩的众数,中位数和平均数;
    (2)若规定成绩大于或等于分为优秀等级,试估计该年级获优秀等级的学生人数.
    【答案】
    解:(1)众数:,中位数:, …………………………2分
    平均数.…………………………4分
    (2)名中有人为优秀,
    优秀等级占比:
    该年级优秀等级学生人数为:(人)
    答:该年级优秀等级学生人数为人.…………………………6分
    20.如题图,在中,,作的垂直平分线交于点,延长至点,使.
    (1)若,求的周长;
    (2)若,求的值.
    【答案】
    解:(1)如图,连接,设垂直平分线交于点,…………………………1分
    为垂直平分线,
    ,…………………………2分




    .…………………………3分
    (2)设,,…………………………4分
    又,,
    在中,.…………………………5分
    .…………………………6分
    四、解答题(二):本大题共3小题,每小题8分,共24分.
    21.在平面直角坐标系中,一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点,且与反比例函数图象的一个交点为.
    (1)求的值;
    (2)若,求的值.
    【答案】
    解:(1)为反比例函数上一点,
    代入得,
    .…………………………2分
    (2)令,即,
    ,,
    令,,,

    由图象得,可分为以下两种情况,

    ①在轴正半轴时,,

    过作轴交轴于点,又,,
    ,,



    ,.…………………………5分
    ②的轴负半轴时,,过作轴,
    ,,,


    ,,

    ,…………………………7分
    综上,或.…………………………8分
    22.端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日,端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜元,某商家用元购进的猪肉粽和用元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中,该商家发现猪肉粽每盒售价元时,每天可售出盒;每盒售价提高元时,每天少售出盒.
    (1)求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价;
    (2)设猪肉粽每盒售价元(),表示该商家每天销售猪肉粽的利润(单 位:元),求关于的函数解析式并求最大利润.
    【答案】
    解:(1)设猪肉粽每盒进价元,则豆沙粽没和进价元.…………………………1分
    则…………………………2分
    解得:,经检验是方程的解.…………………………3分
    猪肉粽每盒进价元,豆沙粽每盒进价元.…………………………4分
    (2)由题意得,当时,每天可售盒.
    当猪肉粽每盒售元时,每天可售盒.……………………5分


    …………………………6分
    ∵,且时,y随x的增大而增大
    ∴当时,取最大值,最大值为元.…………7分
    答:关于的函数解析式为,且最大利润为元.……………2分
    23.如题图,边长为的正方形中,点为的中点.连接,将沿 折叠得到,交于点,求的长.
    【答案】
    解:延长交于连.
    由沿折叠得到.
    ,,
    为中点,


    正方形

    在和中,
    …………………………2分
    又,






    ,…………………………4分


    ,…………………………6分
    由勾股定理得:.…………………………7分
    .…………………………8分
    备注:本题用其他解法,且过程严谨,亦可以给满分
    五、解答题(三):本大题共2小题,每小题10分,共20分.
    24.如题图,在四边形中,,,,点、分别在线段、上,且,,.
    (1)求证:;
    (2)求证:以为直径的圆与相切;
    (3)若,,求的面积.
    【答案】
    解:(1),设,



    又,


    .…………………………2分
    (2)如图,取中点,过点作,
    ,,

    又,

    为中点,
    ,…………………………3分

    又,,

    ∴…………………………5分
    又,
    以为直径的圆与相切.…………………………6分
    (3),,,
    ,,,
    又,
    为等边三角形,,…………………………7分
    由(2)得:,


    ,在中,.
    在中,,…………………………8分
    如图,过点,点分别向作垂线交于点,,
    ,,
    ,,
    .…………………………10分
    (备注:第3问若用其他解法,且过程完整,也可以得满分)
    25.已知二次函数的图象过点,且对任意实数,都有

    (1)求该二次函数的解析式;
    (2)若(1)中二次函数图象与轴的正半轴交点为,与轴交点为;点是(1)
    中二次函数图象上的动点.问在轴上是否存在点,使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形.若存在,求出所有满足条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.
    【答案】
    解:(1)令,解得,
    当时,,
    必过,…………………………1分
    又过,


    又,


    且,



    ,,…………………………2分
    .…………………………3分
    (2)由(1)可知:,,设,,
    ①当为对角线时,
    ,解得(舍),,
    ,即.…………………………5分
    ②当为对角线时,
    ,解得(舍),
    ,即.…………………………7分
    ③当为对角线时,
    ,解得,,
    或,
    ,.…………………………9分
    综上所述:点坐标为或或或.…………………10分

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