[数学]2021年广东省初中学业水平考试数学真题-(原题版+解析版)
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这是一份[数学]2021年广东省初中学业水平考试数学真题-(原题版+解析版),共14页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁等内容,欢迎下载使用。
本试卷共4页,25小题,满分120分,考试用时90分钟.
注意事项:
1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号.将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”·
2.作管选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上:如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案:不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列实数中,最大的数是()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】考查实数的大小比较,涉及有理数、无理数、绝对值
2.据国家卫生健康委员会发布,截至2021年5月23日,31个省(区、市)及新疆生产建
设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗万剂次,将“万”用科学记数法表示
为( )
A. B.
C.D.
【答案】D
【解析】考查科学记数法的表示方法,一般把大于10的数表示成
3.同时掷两枚质地均匀的骰子,则两枚骰子向上的点数之和为的概率是( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】如图,总事件有36种,和为7的事件有6种,所以
4.已知,,则( )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】,考查幂的运算公式的灵活变形
5.若,则( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】因为,且,
所以,
所以,,所以,考查绝对值、二次根式的非负性。
6.下列图形是正方体展开图的个数为( )
A.个B.个C.个D.个
【答案】C
【解析】考查正方体展开图的11种样式的记忆,第一个属于2-3-1样式,第三个属于2-2-2样式,第三个属于3-3样式
7.如题图,是的直径,点为圆上一点,,的平分线交于点D,,则的直径为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】作于H点,根据角平分线的性质可得,而,
易得,所以直径,考查圆中的计算(结合角平分线、三角函数)
8.设的整数部分为,小数部分为,则的值是( )
A. B.C. D.
【答案】A
【解析】易得,所以即(),因此可得,
,所以,考查实数的整数部分、小数部分的转化,以及平方差公式的运算
9.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式,此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙,即三角形的三边长分别为,,,记,则其面积.这个公式也被称为海伦秦九韶公式.若,,则此三角形面积的最大值为( )
A. B.C.D.
【答案】C
【解析】把,代入可得,因为,所以,而,所以,∴,把代入可得,当时,S最大,最大值为,考查秦九韶公式的变形处理技巧以及二次函数的配方
10.设为坐标原点,点A、B为抛物线上的两个动点,且.连接点A、B,过作于点,则点到轴距离的最大值( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图,设直线解析式为
联立:,化简得
不妨设,
则,
作轴,轴,易得
则即(),化简可得
而
所以有,因此(需要舍去)
即直线AB过定点,因此AB:
易得直线OC的解析式为:,联立,解得
即
点C到y轴距离,则,化简可得,由于关于k的一元二次方程有实数根,因此满足,即,因此,因此
本题考查二次函数与一定函数结合时过定点背景下的最值求法,涉及相似三角形、一元二次方程等多个考点
二、填空题:本大题7小题,每小题4分,共28分.
11.二元一次方程组的解为_________.
【答案】
【解析】,①+②可得③,①-③得,,把代入③得
因此,考查二元一次方程组的解法
12.把抛物线向左平移个单位长度,再向下平移个单位长度,得到的抛物线的解析式为_________.
【答案】
【解析】考查二次函数的图象变换,根据“上加下减,左加右减”可得平移后的解析式为,化简即得
13.如题图,等腰直角三角形中,,.分别以点B、点C为圆心,线段长的一半为半径作圆弧,交、、于点D、E、F,则图中阴影部分的面积为_________.
【答案】
【解析】,考查阴影面积的求法(主要还是用整体减去局部)
14.若一元二次方程(,为常数)的两根,满足,,则符合条件的一个方程为_________.
【答案】(答案不唯一)
【解析】不妨设,,则满足题意的其中一个方程是,本题考查一元二次方程根与系数的关系(已知两根范围,表达原方程,需要有逆推的思维)
15.若且,则_________.
【答案】
【解析】因为,且
因此
而,可得
因此,所以
本题考查完全平方公式的变形运算以及因式分解的技巧
16.如题图,在中,,,.过点作,垂足为,则_________.
【答案】
【解析】作,在中,
由等积法可得
易得,,,
∴
∴
17.在中,,,.点为平面上一个动点,,则线段长度的最小值为_____.
【答案】
【解析】如图1,根据,(定弦定角),作的外接圆O,连接OC,交于(图2),此时CD的值最小,根据,得,因此,作,可得,所以,所以,
所以
本题考查动点与隐圆条件下的最值,
难度较大,需要根据条件发散思维
三、解答题(一):本大题共3小题,每小题6分,共18分.
18.解不等式组.
【答案】
解:.
式得:
移项得:
.…………………………2分
得:
.…………………………4分
所以原不等式组的解集为.…………………………6分
19.某中学九年级举办中华优秀传统文化知识竞赛.用简单随机抽样的方法,从该年级全体名学生中抽取名,其竞赛成绩如题19图:
(1)求这名学生成绩的众数,中位数和平均数;
(2)若规定成绩大于或等于分为优秀等级,试估计该年级获优秀等级的学生人数.
【答案】
解:(1)众数:,中位数:, …………………………2分
平均数.…………………………4分
(2)名中有人为优秀,
优秀等级占比:
该年级优秀等级学生人数为:(人)
答:该年级优秀等级学生人数为人.…………………………6分
20.如题图,在中,,作的垂直平分线交于点,延长至点,使.
(1)若,求的周长;
(2)若,求的值.
【答案】
解:(1)如图,连接,设垂直平分线交于点,…………………………1分
为垂直平分线,
,…………………………2分
,
,
.…………………………3分
(2)设,,…………………………4分
又,,
在中,.…………………………5分
.…………………………6分
四、解答题(二):本大题共3小题,每小题8分,共24分.
21.在平面直角坐标系中,一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点,且与反比例函数图象的一个交点为.
(1)求的值;
(2)若,求的值.
【答案】
解:(1)为反比例函数上一点,
代入得,
.…………………………2分
(2)令,即,
,,
令,,,
.
由图象得,可分为以下两种情况,
①在轴正半轴时,,
,
过作轴交轴于点,又,,
,,
,
,
,
,.…………………………5分
②的轴负半轴时,,过作轴,
,,,
,
,
,,
,
,…………………………7分
综上,或.…………………………8分
22.端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日,端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜元,某商家用元购进的猪肉粽和用元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中,该商家发现猪肉粽每盒售价元时,每天可售出盒;每盒售价提高元时,每天少售出盒.
(1)求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价;
(2)设猪肉粽每盒售价元(),表示该商家每天销售猪肉粽的利润(单 位:元),求关于的函数解析式并求最大利润.
【答案】
解:(1)设猪肉粽每盒进价元,则豆沙粽没和进价元.…………………………1分
则…………………………2分
解得:,经检验是方程的解.…………………………3分
猪肉粽每盒进价元,豆沙粽每盒进价元.…………………………4分
(2)由题意得,当时,每天可售盒.
当猪肉粽每盒售元时,每天可售盒.……………………5分
…………………………6分
∵,且时,y随x的增大而增大
∴当时,取最大值,最大值为元.…………7分
答:关于的函数解析式为,且最大利润为元.……………2分
23.如题图,边长为的正方形中,点为的中点.连接,将沿 折叠得到,交于点,求的长.
【答案】
解:延长交于连.
由沿折叠得到.
,,
为中点,
,
,
正方形
,
在和中,
…………………………2分
又,
,
,
,
,
,
,
,…………………………4分
,
,
,…………………………6分
由勾股定理得:.…………………………7分
.…………………………8分
备注:本题用其他解法,且过程严谨,亦可以给满分
五、解答题(三):本大题共2小题,每小题10分,共20分.
24.如题图,在四边形中,,,,点、分别在线段、上,且,,.
(1)求证:;
(2)求证:以为直径的圆与相切;
(3)若,,求的面积.
【答案】
解:(1),设,
,
,
,
又,
,
,
.…………………………2分
(2)如图,取中点,过点作,
,,
,
又,
,
为中点,
,…………………………3分
,
又,,
,
∴…………………………5分
又,
以为直径的圆与相切.…………………………6分
(3),,,
,,,
又,
为等边三角形,,…………………………7分
由(2)得:,
,
,
,在中,.
在中,,…………………………8分
如图,过点,点分别向作垂线交于点,,
,,
,,
.…………………………10分
(备注:第3问若用其他解法,且过程完整,也可以得满分)
25.已知二次函数的图象过点,且对任意实数,都有
.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)若(1)中二次函数图象与轴的正半轴交点为,与轴交点为;点是(1)
中二次函数图象上的动点.问在轴上是否存在点,使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形.若存在,求出所有满足条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
解:(1)令,解得,
当时,,
必过,…………………………1分
又过,
,
,
又,
,
,
且,
,
,
,
,,…………………………2分
.…………………………3分
(2)由(1)可知:,,设,,
①当为对角线时,
,解得(舍),,
,即.…………………………5分
②当为对角线时,
,解得(舍),
,即.…………………………7分
③当为对角线时,
,解得,,
或,
,.…………………………9分
综上所述:点坐标为或或或.…………………10分
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