重庆市九龙坡区十校2023-2024学年数学八年级第一学期期末监测试题【含解析】

这是一份重庆市九龙坡区十校2023-2024学年数学八年级第一学期期末监测试题【含解析】，共22页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，下列四个式子中能因式分解的是，下列各数是有理数的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，中，，的垂直平分线分别交于，，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．下列“表情图”中，属于轴对称图形的是
A．B．C．D．
3．已知，如图点A（1，1），B（2，﹣3），点P为x轴上一点，当|PA﹣PB|最大时，点P的坐标为（ ）
A．（﹣1，0）B．（，0）C．（，0）D．（1，0）
4．如图，在△ABC中，∠C=63°，AD是BC边上的高，AD=BD，点E在AC上，BE交AD于点F，BF=AC，则∠AFB的度数为（ ）.
A．27°B．37°C．63°D．117°
5．下列智能手机的功能图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A．B．
C．D．
6．下列四个式子中能因式分解的是（ ）
A．x2﹣x+1B．x2+xC．x3+x﹣D．x4+1
7．下列各数是有理数的是( )
A．B．C．D．π
8．等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则它的周长为（ ）
A．16cmB．17cmC．20cmD．16cm或20cm
9．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．．B．．
C．．D．．
10．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是_____．
12．计算：＝_____．
13．如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是__________．
14．如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N；作直线MN分别交BC、AC于点D、点E，若，的周长为13cm，则的周长为________.
15．计算的结果为______．
16．如图，在一张长为7cm，宽为5cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为4cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为_____．
17．直线与轴的交点坐标是(，)，则直线与坐标轴围成的三角形面积是_______．
18．小明同学在计算一个多边形(每个内角小于180°)的内角和时，由于粗心少算一个内角，结果得到的和是2020°，则少算了这个内角的度数为 _________．
三、解答题(共66分)
19．（10分） (1)已知a2+b2=6，ab=1，求a﹣b的值；
(2)已知a=，求a2+b2的值．
20．（6分）如图，在四边形ABCD中，∠A+∠ABC＝180°，BD⊥CD于点D，EF⊥CD于点F，则∠1＝∠2吗？请说明理由？
21．（6分）已知，如图所示，在长方形中，，．
（1）建立适当的平面直角坐标系，直接写出顶点、、、的坐标；
（2）写出顶点关于直线对称的点的坐标．
22．（8分）某服装店用4400元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润2800元（毛利润＝售价﹣进价），这两种服装的进价，标价如表所示．
（1）请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数；
（2）如果A种服装按标价的9折出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元？
23．（8分）如图，BN是等腰Rt△ABC的外角∠CBM内部的一条射线，∠ABC=90°，AB=CB，点C关于BN的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中CD,AD分别交射线BN于点E，P．
(1)依题意补全图形；
(2)若∠CBN=，求∠BDA的大小（用含的式子表示）；
(3)用等式表示线段PB，PA与PE之间的数量关系，并证明．
24．（8分）如图，等腰直角三角形中，，，点坐标为，点坐标为，且 ，满足．
(1)写出、两点坐标；
(2)求点坐标；
(3)如图，，为上一点，且，请写出线段的数量关系，并说明理由．
25．（10分）某超市用元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了，购进干果数量是第一次的倍还多千克．
该种干果的第一次进价是每千克多少元？
如果超市将这种干果全部按每千克元的价格出售，售完这种干果共盈利多少元？
26．（10分）如图，是等边三角形，点在上，点在的延长线上,且．
(1)如图甲，若点是的中点，求证：
(2)如图乙，若点不的中点，是否成立?证明你的结论．
(3)如图丙，若点在线段的延长线上，试判断与的大小关系，并说明理由．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B＋∠C＝75°，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，结合图形计算即可．
【详解】解：∵∠BAC＝105°，
∴∠B＋∠C＝75°，
∵边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∴∠DAE＝∠BAC−（∠BAD＋∠EAC）＝∠BAC−（∠B＋∠C）＝105°−75°＝30°，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
2、D
【解析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，因此，A、B，C不是轴对称图形；D是轴对称图形．故选D．
3、B
【解析】作A关于x轴对称点C，连接BC并延长，BC的延长线与x轴的交点即为所求的P点；首先利用待定系数法即可求得直线BC的解析式，继而求得点P的坐标．
【详解】作A关于x轴对称点C，连接BC并延长交x轴于点P，
∵A（1，1），
∴C的坐标为（1，﹣1），
连接BC，
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣2x+1，
当y＝0时，x＝，
∴点P的坐标为：（，0），
∵当B，C，P不共线时，根据三角形三边的关系可得：|PA﹣PB|＝|PC﹣PB|＜BC，
∴此时|PA﹣PB|＝|PC﹣PB|＝BC取得最大值．
故选：B．
【点睛】
此题考查了轴对称、待定系数法求一次函数的解析式以及点与一次函数的关系．此题难度较大，解题的关键是找到P点，注意数形结合思想与方程思想的应用．
4、D
【分析】利用HL证出RtBDF≌RtADC，从而得出∠BFD=∠C=63°，再根据平角的定义即可求出结论．
【详解】解：∵AD是BC边上的高，
∴∠BDF=∠ADC=90°
在RtBDF和RtADC中
∴RtBDF≌RtADC
∴∠BFD=∠C=63°
∴∠AFB=180°－∠BFD=117°
故选D．
【点睛】
此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握利用HL判定两个三角形全等是解决此题的关键．
5、C
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A、图形既不是轴对称图形是中心对称图形，
B、图形是轴对称图形，
C、图形是轴对称图形，也是中心对称轴图形，
D、图形是轴对称图形.
故选C．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
6、B
【分析】直接利用提取公因式法以及因式分解的意义分别判断得出答案．
【详解】解：A、x2﹣x+1，不能因式分解，故本选项不合题意；
B、能运用提取公因式法分解因式，，故本选项符合题意；
C、x3+x﹣，不能因式分解，故本选项不合题意；
D、x4+1，不能因式分解，故本选项不合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了因式分解的方法，以及根据因式分解定义判定所给式子能不能进行因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
7、A
【分析】根据实数的分类即可求解．
【详解】有理数为，无理数为，，π．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查实数的分类，解题的关键是熟知无理数的定义．
8、C
【解析】试题分析：分当腰长为4cm或是腰长为8cm两种情况：①当腰长是4cm时，则三角形的三边是4cm，4cm，8cm，4cm+4cm=8cm不满足三角形的三边关系；当腰长是8cm时，三角形的三边是8cm，8cm，4cm，三角形的周长是20cm．故答案选C．
考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．
9、C
【解析】根据三角形三边之间的关系即在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边判断即可.
【详解】解：A选项，不能组成三角形，A错误；
B选项，不能组成三角形，B错误；
C选项，经计算满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，C正确；
D选项，不能组成三角形，D选项错误.
【点睛】
本题考查了三角形三边之间的关系，灵活利用三角形三边的关系是判断能否构成三角形的关键.
10、A
【分析】根据三角形的内角和定理，求出∠C，再根据线段垂直平分线的性质，推得∠A=∠ABD=30°，由外角的性质求出∠BDC的度数，从而得出∠CBD=45°．
【详解】解：∵AB=AC，∠A=30°，
∴∠ABC=∠ACB=75°，
∵AB的垂直平分线交AC于D，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=30°，
∴∠BDC=60°，
∴∠CBD=180°-75°-60°=45°．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质；利用三角形外角的性质求得求得∠BDC=60°是解答本题的关键．本题的解法很多，用底角75°-30°更简单些．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、85°．
【分析】根据三角形内角和得出∠C=60°，再利用角平分线得出∠DBC=35°，进而利用三角形内角和得出∠BDC的度数．
【详解】∵在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，
∴∠C=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=35°，
∴∠BDC=180°﹣60°﹣35°=85°．
故答案为85°．
12、
【解析】根据算术平方根的定义求解可得．
【详解】解:=
故答案为：
【点睛】
本题考查算术平方根，解题关键是熟练掌握算术平方根的定义．
13、a+1．
【解析】试题解析：拼成的长方形的面积=（a+3）2﹣32，
=（a+3+3）（a+3﹣3），
=a（a+1），
∵拼成的长方形一边长为a，
∴另一边长是a+1．
考点：图形的拼接.
14、19cm
【分析】根据尺规作图得到是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：由尺规作图可知，是线段的垂直平分线，
，，
的周长为13，
，
则的周长，
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
15、
【分析】根据多项式除以单项式的方法，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加即可．
【详解】解：=.
故答案为：.
【点睛】
本题考查整式的除法，多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式，多项式除以单项式的结果仍是一个多项式．
16、8或2或2
【详解】分三种情况计算：
（1）当AE=AF=4时，如图：
∴S△AEF=AE•AF=×4×4=8；
（2）当AE=EF=4时，如图：
则BE=5﹣4=1，
BF=，
∴S△AEF=•AE•BF=×4×=2；
（3）当AE=EF=4时，如图：
则DE=7﹣4=3，
DF=，
∴S△AEF=AE•DF=×4×=2；
17、1
【分析】根据直线与y轴交点坐标可求出b值，再求出与x轴交点坐标，从而计算三角形面积.
【详解】解：∵与y轴交于（0，2），
将（0，2）代入，得：b=2，
∴直线表达式为：y=2x+2，
令y=0，则x=-1，
∴直线与x轴交点为（-1，0），
令A（0，2），B（-1，0），
∴△ABO的面积=×2×1=1，
故答案为：1.
【点睛】
此题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
18、140°
【分析】n边形的内角和是（n−2）•180°，少计算了一个内角，结果得2020°，则内角和是（n−2）•180°与2020°的差一定小于180度，并且大于0度．因而可以解方程（n−2）•180°≥2020°，多边形的边数n一定是最小的整数值，从而求出多边形的边数，内角和，进而求出少计算的内角．
【详解】设多边形的边数是n，
依题意有（n−2）•180°≥2020°，
解得：n≥，
则多边形的边数n＝14；
多边形的内角和是（14−2）•180＝2160°；
则未计算的内角的大小为2160°−2020°＝140°．
故答案为：140°．
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和定理，正确确定多边形的边数是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）±1；（1）1．
【分析】（1）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；
（1）先分母有理化，再根据完全平方公式和平方差公式即可求解．
【详解】（1）由a1+b1=6，ab=1，得a1+b1-1ab=4，
（a-b）1=4，
a-b=±1．
（1），
，
【点睛】
本题考查了分母有理化、完全平方公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．
20、∠1＝∠1，理由见解析
【分析】由∠A+∠ABC＝180°，可以判断AD∥BC，进而得到∠1＝∠DBC，由BD⊥CD，EF⊥CD，可得BD∥EF，进而得到∠DBC＝∠1，于是得出结论．
【详解】解：∠1＝∠1，
理由：∵∠A+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC，
∴∠1＝∠DBC，
∵BD⊥CD，EF⊥CD，
∴BD∥EF，
∴∠DBC＝∠1，
∴∠1＝∠1．
【点睛】
本题考查平行线的性质和判定，掌握平行线的性质和判定是正确得出结论的前提．
21、（1）见解析，；（2）
【分析】（1）以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，然后写出各点的坐标即可；
（2）根据关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数解答．
【详解】解：（1）建立平面直角坐标系如图，
；
（2）∵点C（4，3），
C和E关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴．
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化-对称，比较简单，确定出坐标原点的位置是解题的关键．
22、（1) 购A型50件，B型30件．（2) 2440元．
【分析】（1）设A种服装购进x件，B种服装购进y件，由总价=单价×数量，利润=售价-进价建立方程组求出其解即可；
（2）计算出打折时每种服装少收入的钱，然后相加即可求得答案．
【详解】(1)设购进A种服装x件，购进B种服装y件，
根据题意得：，
解得：，
答：购进A型服装40件，购进B型服装20件；
(2) 40×100×(1﹣0.9)+20×160×(1﹣0.8)=1040(元)．
答：服装店比按标价出售少收入1040元．
【点睛】
本题考查了销售问题的数量关系的运用，列二元一次方程组解实际问题的运用，解答时由销售问题的数量关系建立二元一次方程组是关键．
23、（1）补图见解析；（2）45°－；（3）PA=（PB+PE）..
【解析】此题涉及的知识点是对称点的画法，角大小的求解，数量关系的证明，解答时第一问根据已知条件直接画图，连线；第二问根据对称图形性质可以算出角的大小；第三问证明两三角形全等就可以得到线段之间的关系。
【详解】解：(1) 如图所示：
(2)∵∠ABC=90°
∴∠MBC=∠ABC=90°
∵点C关于BN的对称点为D
∴BC=BD，∠CBN=∠DBN=
∵AB=BC
∴AB=BD
∴∠BAD=∠ADB==45°－
(3)猜想：
证明：
过点B作BQ⊥BE交AD于Q
∵∠BPA=∠DBN+∠ADB，∠ADB=45°－，∠DBN=
∴∠BPA=∠DPE=45°
∵点C关于BN的对称点为D
∴BE⊥CD
∴PD=PE，PQ=PB，
∵BQ⊥BE，∠BPA=45°
∴∠BPA=∠BQP=45°
∴∠AQB=∠DPB=135°
又∵AB=BD，∠BAD=∠ADB
∴△AQB≌△BPD（AAS）
∴AQ=PD
∵PA=AQ+PQ
∴
【点睛】
此题重点考察学生对对称图形性质的理解，三角形全等的判定，抓住对称图形性质熟悉全等三角形的判定是解题的关键。
24、（1）点A的坐标为，点C的坐标为；（2）点B的坐标为（2,4）；（3）MN= CN＋AM，理由见解析
【分析】（1）根据绝对值的非负性和平方的非负性即可求出a、b的值，从而求出、两点坐标；
（2）过点A作AE∥y轴，过点B作BE⊥AE，作BD⊥x轴，设点B的坐标为（x，y），分别用x、y表示出CD、BE、AE的长，然后利用AAS证出△EBA≌△DBC，可得BE=BD，AE=CD，列出方程即可求出点B的坐标；
（3）过点B作BF⊥BM，交AC的延长线与点F，连接MF，利用SAS证出△ABM≌△CBF，从而得到AM=CF，BM=BF，∠AMB=∠CFB，根据等边对等角可得∠BMF=∠BFM，然后证出∠FMN=∠MFN，再根据等角对等边可得MN=NF，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵
∴
∵
∴
解得：a=-2，b=2
∴点A的坐标为，点C的坐标为；
（2）过点A作AE∥y轴，过点B作BE⊥AE，作BD⊥x轴，如下图所示
设点B的坐标为（x，y）
∴BD=y，OD=x
∴CD=4－x，BE=x－（-2）=x＋2，AE=y－2
∵BD⊥x轴
∴BD∥y轴
∴AE∥BD
∴∠DBE=180°－∠AEB=90°
∴∠EBA＋∠ABD=90°
∵等腰直角三角形中，，
∴∠DBC＋∠ABD=90°
∴∠EBA=∠DBC
在△EBA和△DBC中
∴△EBA≌△DBC
∴BE=BD，AE=CD
即x＋2= y，y－2=4－x
解得：x=2，y=4
∴点B的坐标为（2,4）；
（3）MN= CN＋AM，理由如下
过点B作BF⊥BM，交AC的延长线与点F，连接MF
∴∠MBC＋∠CBF=90°
∵△ABC为等腰三角形
∴BA=BC，∠BAC=∠BCA=45°，∠ABC=90°
∴∠MBC＋∠ABM=90°，∠BCF=180°－∠BCA=135°，∠BAM=∠MAC＋∠BAC=135°
∴∠ABM =∠CBF，∠BAM=∠BCF
在△ABM和△CBF中
∴△ABM≌△CBF
∴AM=CF，BM=BF，∠AMB=∠CFB
∴∠BMF=∠BFM，
∵
∴∠NMB=∠CFB
∴∠BMF－∠NMB=∠BFM－∠CFB
∴∠FMN=∠MFN
∴MN=NF
∵NF=CN＋CF
∴MN=CN＋AM
【点睛】
此题考查的是非负性的应用、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质和点的坐标与线段长度的关系，掌握绝对值和平方的非负性、等腰直角三角形的性质、构造全等三角形的方法和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键．
25、（1）该种干果的第一次进价是每千克5元；（2）售完这种干果共盈利6900元．
【分析】（1）设该种干果的第一次进价是每千克元，则第二次进价是每千克元，根据第二次购进干果数量是第一次的倍还多千克列方程求出x的值即可；
（2）根据销售总额-进货总额即可得答案．
【详解】（1）设该种干果的第一次进价是每千克元，则第二次进价是每千克元
∵第二次购进干果数量是第一次的倍还多千克，
∴，
解得，
经检验是方程的解，
答：该种干果的第一次进价是每千克元．
（2）
=18900-12000
（元）．
答:超市销售这种干果共盈利元.
【点睛】
本题考查分式方程的应用，根据题意，正确得出等量关系是解题关键．
26、（1）详见解析；（2）成立，理由详见解析；（3），证明详见解析.
【分析】（1）根据等边三角形三线合一的性质即可求得∠DBC的度数，根据BD=DE即可解题；
（2）过D作DF∥BC，交AB于F，证△BFD≌△DCE，推出DF=CE，证△ADF是等边三角形，推出AD=DF，即可得出答案．
（3）如图3，过点D作DP∥BC，交AB的延长线于点P，证明△BPD≌△DCE，得到PD=CE，即可得到AD=CE．
【详解】证明:是等边三角形，
为中点，
，,
;
(2)成立，
如图乙，过作，交于,
则是等边三角形，
，
，
，，
在和中
，
即
如图3，过点作，交的延长线于点,
是等边三角形，也是等边三角形，
,
，
在和中，
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形．
类型价格
A型
B型
进价（元/件）
60
100
标价（元/件）
100
160