重庆市九龙坡区杨家坪中学2023-2024学年八年级数学第一学期期末经典试题【含解析】

这是一份重庆市九龙坡区杨家坪中学2023-2024学年八年级数学第一学期期末经典试题【含解析】，共21页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，已知点A，不等式组的整数解的个数是等内容，欢迎下载使用。

注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．在、、、中，最简二次根式的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．如图，在长方形中，厘米，厘米，点在线段上以4厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为（ ）厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等．
A．4B．6C．4或D．4或6
4．下列说法正确的是（ ）
A．代数式是分式B．分式中，都扩大3倍，分式的值不变
C．分式有意义D．分式是最简分式
5．下列实数中是无理数的是（ ）
A．B．C．0.38D．
6．货车行驶 25 千米与小车行驶 35 千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶 20千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为 x 千米/小时，依题意列方程正确的是( )
A．B．C．D．
7．的整数部分是，小数部分是，则的值是（ ）
A．7B．1C．D．10
8．两个小组同时从甲地出发，匀速步行到乙地，甲乙两地相距7500米，第一组的步行速度是第二组的1.2倍，并且比第二组早15分钟到达乙地，设第二组的步行速度为x千米/小时，根据题意可列方程是（ ）．
A．B．
C．D．
9．已知点A（2﹣a，3）与点B（1，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2019的值为（ ）
A．0B．1C．﹣1D．32019
10．不等式组的整数解的个数是( )
A．2B．3C．4D．5
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，在中, 是的垂直平分线, ,则的周长为______.
12．如图，在等边中，，点O在线段上，且，点是线段上一点，连接，以为圆心，长为半径画弧交线段于一个点，连接，如果，那么的长是___________．
13．重庆农村医疗保险已经全面实施．某县七个村中享受了住院医疗费用报销的人数分别为：20，24，27，28，31，34，38，则这组数据的中位数是_______．
14．某住宅小区有一块草坪如图所示，已知AB=6米，BC=8米，CD=24米，DA=26米，且AB⊥BC，则这块草坪的面积是________平方米．
15．如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A处观测停放于B、C两处的小船，测得船B在点A北偏东75°方向160米处，船C在点A南偏东15°方向120米处，则船B与船C之间的距离为________米．
16．将函数的图象沿轴向下平移2个单位，所得图象对应的函数表达式为__________．
17．如图，将沿着对折，点落到处，若，则__________．
18．如图，等边△ABC的边长为6，点P沿△ABC的边从A→B→C运动，以AP为边作等边△APQ，且点Q在直线AB下方，当点P、Q运动到使△BPQ是等腰三角形时，点Q运动路线的长为_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，已知在和中，交于点，
求证:；
当时，求的度数．
20．（6分）如图，已知△ABC的其中两个顶点分别为：A（－4，1）、B（－2，4）．
（1）请根据题意，在图中建立平面直角坐标系，并写出点C的坐标；
（2）若△ABC每个点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘－1，顺次连接这些点，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，判断△A1B1C1与△ABC有怎样的位置关系?并写出点B的对应点B1的坐标．
21．（6分）某小区有两段长度相等的道路需硬化，现分别由甲、乙两个工程队同时开始施工．如图的线段和折线是两队前6天硬化的道路长y甲、y乙（米）与施工时间x（天）之间的函数图象
根据图象解答下列问题：
（1）直接写出y甲、y乙（米）与x（天）之间的函数关系式．
①当0＜x≤6时，y甲＝ ；
②当0＜x≤2时，y乙＝ ；当2＜x≤6时，y乙＝ ；
（2）求图中点M的坐标，并说明M的横、纵坐标表示的实际意义；
（3）施工过程中，甲队的施工速度始终不变，而乙队在施工6天后，每天的施工速度提高到120米／天，预计两队将同时完成任务．两队还需要多少天完成任务？
22．（8分）雾霾天气持续笼罩我国大部分地区，困扰着广大市民的生活，口罩市场出现热销，小明的爸爸用12000元购进甲、乙两种型号的口罩在自家商店销售，销售完后共获利2700元，进价和售价如表：
（1）小明爸爸的商店购进甲、乙两种型号口罩各多少袋？
（2）该商店第二次以原价购进甲、乙两种型号口罩，购进甲种型号口罩袋数不变，而购进乙种型号口罩袋数是第一次的2倍，甲种口罩按原售价出售，而效果更好的乙种口罩打折让利销售，若两种型号的口罩全部售完，要使第二次销售活动获利不少于2460元，每袋乙种型号的口罩最多打几折？
23．（8分）如图，已知为等边三角形，为上一点，为等边三角形．
（1）求证：；
（2）与能否互相垂直？若能互相垂直，指出点在上的位置，并给予证明；若与不能垂直，请说明理由．
24．（8分）已知一次函数与的图象都经过点且与轴分别交于，两点．
（1）分别求出这两个一次函数的解析式．
（2）求的面积．
25．（10分）如图①：线段AD、BC相交于点O，连接AB、CD，我们把这个图形称为“对顶三角形”，由三角形内角和定理可知：∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD，而∠AOB=∠COD，我们得到：∠A+∠B=∠C+∠D．
（1）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；
（2）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= °；
（3）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= °；
26．（10分）解下列方程组：
（1）
（2）
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】根据分式有意义的条件，得到关于x的不等式，进而即可求解．
【详解】∵分式有意义，
∴，即：，
故选A．
【点睛】
本题主要考查分式有意义的条件，掌握分式的分母不等于零，是解题的关键．
2、A
【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断选项，即可得到答案．
【详解】∵=，，=，
∴ 、、不是最简二次根式，是最简二次根式，
故选A．
【点睛】
本题主要考查最简二次根式的定义，掌握“被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式”的二次根式是最简二次根式，是解题的关键．
3、C
【分析】设点Q的速度为xcm/s，分两种情形构建方程即可解决问题．
【详解】解：设点的速度为，分两种情形讨论：
①当，时，与全等，
即，
解得：，
∴，
∴；
②当，时，与全等，
即，，
∴，
∴.
综上所述，满足条件的点的速度为或.
故答案选：C.
【点睛】
本题考查矩形的性质、全等三角形的性质、路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
4、D
【解析】根据分式的定义及性质依次判断即可求解.
【详解】A. 代数式是整式，故错误；
B. 分式中，都扩大3倍后为，分式的值扩大3倍，故错误；
C. 当x=±1时，分式无意义，故错误；
D. 分式是最简分式，正确，
故选D.
【点睛】
此题主要考查分式的定义及性质，解题的关键是熟知分式的特点与性质.
5、A
【解析】根据有理数和无理数的概念解答：无限不循环小数是无理数．
【详解】解: A、π是无限不循环小数，是无理数；
B、=2是整数，为有理数；
C、0.38为分数，属于有理数；
D. 为分数，属于有理数.
故选：A.
【点睛】
本题考查的是无理数，熟知初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数是解答此题的关键．
6、C
【解析】题中等量关系：货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，列出关系式．
解：根据题意，得
．
故选C．
7、B
【分析】由的整数部分是，小数部分是，即可得出x、y的值，然后代入求值即可．
【详解】解：∵，∴的整数部分，小数部分，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查实数，关键是运用求一个平方根的整数部分和小数部分的方法得出未知数的值，然后代入求值即可．
8、D
【分析】根据第二组的速度可得出第一组的速度，依据“时间＝路程÷速度”即可找出第一、二组分别到达的时间，再根据第一组比第二组早15分钟（小时）到达乙地即可列出分式方程，由此即可得出结论．
【详解】解：设第二组的步行速度为x千米/小时，则第一组的步行速度为1.2x千米/小时，
第一组到达乙地的时间为：7.5÷1.2x；
第二组到达乙地的时间为：7.5÷x；
∵第一组比第二组早15分钟（小时）到达乙地，
∴列出方程为：.
故选：D．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是根据数量关系列出分式方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键．
9、C
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”求出a、b，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：∵点A（2﹣a，3）与点B（1，b﹣1）关于x轴对称，
∴2﹣a＝1，b﹣1＝﹣3，
解得a＝1，b＝﹣2，
∴（a+b）2019＝（1﹣2）2013＝﹣1．
故选：C．
【点睛】
本题本题主要考查代数式的求值及关于x轴对称的点的特点，掌握关于x轴对称的点的特征是解题的关键.
10、C
【分析】先分别求出每一个不等式的解集，然后确定出不等式组的解集，最后确定整数解的个数即可．
【详解】，
由①得：x>-2，
由②得：x<3，
所以不等式组的解集为：-2整数解为-1，0，1，2，共4个，
故选C．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组的方法以及解集的确定方法是解题的关键．解集的确定方法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、10
【分析】首先根据线段垂直平分线的性质，得出AD=CD，然后将的周长进行边长转换，即可得解.
【详解】∵是的垂直平分线,
∴AD=CD
∵,
∴的周长为:AB+BD+AD= AB+BD+DC=AB+BC=3+7=10
故答案为:10.
【点睛】
此题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握，即可解题.
12、
【分析】连接OD，则由得到△ADP是等边三角形，则∠OPD=∠B=∠A=60°，由三角形外角性质，得到∠APD=∠BDP，则△APO≌△BDP，即可得到BP=AO=3，然后求出AP的长度.
【详解】解：连接OD，
∵，
∴△ADP是等边三角形，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠OPD=∠B=∠A=60°，AB=AC=10，
∵∠APD=∠APO+∠OPD=∠BDP+∠B，
∴∠APO=∠BDP，
∴△APO≌△BDP，
∴BP=AO=3，
∴AP=ABBP=10=7；
故答案为：7.
【点睛】
考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，以及三角形外角性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确求出BP的长度.
13、28
【详解】解：把这一组数据从小到大依次排列为20，24，27，28，31，34，38，
最中间的数字是28，所以这组数据的中位数是28
故答案为：28
14、
【分析】连接AC，先利用勾股定理求出AC，再根据勾股定理的逆定理判定△ACD是直角三角形，分别计算两个直角三角形的面积，再求和即所求的面积．
【详解】解：连接AC，
∵在△ABC中，AB⊥BC即∠ABC=90°，AB=6，BC=8,
∴,,
又∵CD=24，DA=26，
∴,
∴,
∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°
∴
∴
故答案为：144.
【点睛】
本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，同时考查了直角三角形的面积公式．作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
15、1
【解析】根据已知条件得到∠BAC=90°，AB=160米，AC=120米，由勾股定理即可得到结论．
【详解】解：根据题意得：∠BAC=90°，AB=160米，AC=120米，
在Rt△ABC中，BC= ＝ =1米．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，会识别方向角是解题的关键．
16、
【解析】直接利用一次函数平移规律，“上加下减”进而得出即可．
【详解】将函数y＝3x的图象沿y轴向下平移1个单位长度后，所得图象对应的函数关系式为：y＝3x−1．
故答案为：y＝3x−1．
【点睛】
此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．
17、
【解析】根据折叠的性质得到∠A′DE=∠ADE，∠A′ED=∠AED，由平角的定义得到∠BDA′+2∠ADE=180°，∠A′EC+2∠AED=180°，根据已知条件得到∠ADE+∠AED=145°，由三角形的内角和即可得到结论．
【详解】∵将△ABC沿着DE对折，A落到A′，
∴∠A′DE=∠ADE，∠A′ED=∠AED，
∴∠BDA′+2∠ADE=180°，∠A′EC+2∠AED=180°，
∴∠BDA′+2∠ADE+∠A′EC+2∠AED=360°，
∵∠BDA′+∠CEA′=70°，
∴∠ADE+∠AED=145°，
∴∠A=35°．
故答案为35°．
【点睛】
本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．
18、3或1
【分析】如图，连接CP，BQ，由“SAS”可证△ACP≌△ABQ，可得BQ＝CP，可得点Q运动轨迹是A→H→B，分两种情况讨论，即可求解．
【详解】解：如图，连接CP，BQ，
∵△ABC，△APQ是等边三角形，
∴AP＝AQ＝PQ，AC＝AB，∠CAP＝∠BAQ＝60°，
∴△ACP≌△ABQ(SAS)
∴BQ＝CP，
∴当点P运动到点B时，点Q运动到点H，且BH＝BC＝6，
∴当点P在AB上运动时，点Q在AH上运动，
∵△BPQ是等腰三角形，
∴PQ＝PB，
∴AP＝PB＝3＝AQ，
∴点Q运动路线的长为3，
当点P在BC上运动时，点Q在BH上运用，
∵△BPQ是等腰三角形，
∴PQ＝PB，
∴BP＝BQ＝3，
∴点Q运动路线的长为3+6＝1，
故答案为：3或1．
【点睛】
本题考查了点的运动轨迹，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，确定点Q的运动轨迹是本题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1）证明见解析；（2）∠BOC=70°．
【分析】（1）求出∠BAE=∠CAF，根据SAS推出△BAE≌△CAF，推出BE=CF即可；
（2）求出∠EBA+∠BDA=110°，求出∠ACF+∠CDO=110°，即可得出答案；
【详解】（1）∵∠CAB=∠EAF，
∴∠CAB+∠CAE=∠EAF+∠CAE，
∴∠BAE=∠CAF，
在△BAE和△CAF中，
，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴BE=CF；
（2）∵△BAE≌△CAF，
∴∠EBA=∠FCA，
∵∠CAB=70°，
∴∠EBA+∠BDA=180°-70°=110°，
∵∠BDA=∠CDE，∠EBA=∠FCA，
∴∠ACF+∠CDE=110°，
∴∠BOC=180°-（∠ACF+∠CDE）=180°-110°=70°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理的应用，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
20、（1）图见解析，点C的坐标为（3，3）；（2）图见解析，B1的坐标为（－2，－4）
【分析】(1)直接利用已知点建立平面直角坐标系进而得出答案;
(2)利用坐标之间的关系得出△A1B1C1各顶点位置，进而得出答案．
【详解】解：（1）平面直角坐标系如图所示．
点C的坐标为（3，3）．
（2）△A1B1C1如图所示．
△A1B1C1与△ABC关于x轴对称．
点B的对应点B1的坐标为（－2，－4）．
【点睛】
此题主要考查了轴对称变换，正确得出各对应点位置是解题关键．
21、（1）①100x；②150x；50x+200；（2）在4天时，甲乙两工程队硬化道路的长度相等，均为400m；（3）5天．
【解析】试题分析：（1）利用待定系数法分别求出三个函数解析式；（2）首先根据一次函数列出二元一次方程组，从而求出点M的坐标，得出实际意义；（3）首先设两队还需要x天完成任务，然后根据速度差×天数=现在的距离差列出一元一次方程，从而求出x的值．
试题解析：（1）100x；150x；50x+200；
（2）根据题意可得：
解得：
∴M（4，400）
∴M的实际意义：在4天时，甲乙两工程队硬化道路的长度相等，均为400m．
（3）设两队还需要x天完成任务，由题意可知：（120-100）x=600-500
解得：x=5
答：两队还需要5天完成任务．
考点：（1）一次函数的实际应用；（2）一元一次方程的应用．
22、（1）购进甲型号口罩300袋，购进乙种型号口罩200袋；（2）每袋乙种型号的口罩最多打9折
【解析】（1）设小明爸爸的商店购进甲种型号口罩x袋，乙种型号口罩y袋，根据“小明的爸爸用12000元购进甲、乙两种型号的口罩，销售完后共获利2700元”列出方程组，解方程组即可求解；（2）设每袋乙种型号的口罩打m折，根据“两种型号的口罩全部售完，要使第二次销售活动获利不少于2460元”列出不等式，解不等式即可求解.
【详解】（1）设小明爸爸的商店购进甲种型号口罩x袋，乙种型号口罩y袋，根据题意可得，
，
解得： ，
答：该商店购进甲种型号口罩300袋，乙种型号口罩200袋；
（2）设每袋乙种型号的口罩打m折，由题意可得，
300×5+400（0.1m×36-30）≥2460，
解得：m≥9，
答：每袋乙种型号的口罩最多打9折．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的数量关系，列出方程组或不等式求解．
23、（1）见解析；（2）AQ与CQ能互相垂直，此时点P在BC的中点
【分析】（1）根据等边三角形性质得出AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠B=∠PAQ=60°，求出∠BAP=∠CAQ，根据SAS证△ABP≌△ACQ，推出∠ACQ=∠B=60°=∠BAC，根据平行线的判定推出即可．
（2）根据等腰三角形性质求出∠BAP=30°，求出∠BAQ=90°，根据平行线性质得出∠AQC=90°，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵△ABC和△APQ是等边三角形，
∴AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠B=∠PAQ=60°，
∴∠BAP=∠CAQ=60°-∠PAC，
在△ABP和△ACQ中，
，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴∠ACQ=∠B=60°=∠BAC，
∴AB∥CQ；
（2）AQ与CQ能互相垂直，此时点P在BC的中点，
证明：∵当P为BC边中点时，∠BAP=∠BAC=30°，
∴∠BAQ=∠BAP+∠PAQ=30°+60°=90°，
又∵AB∥CQ，
∴∠AQC=90°，
即AQ⊥CQ．
【点睛】
本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，平行线性质和判定，等腰三角形性质的应用，主要考查学生的推理能力．
24、（1）和；（2）
【分析】（1）把分别代入和可求出和，从而得到一次函数的解析式；
（2）通过解析式求出B、C的坐标，即得到OA、BC的长度，从而算出面积．
【详解】（1）把分别代入和得，，，
这两个函数分别为和．
（2）在和中，
令，可分别求得和，
，，
又，
，，
．
【点睛】
本题考查了一次函数的图象和性质，正确求出直线与坐标轴的交点是解题的关键．
25、（1）180°；（2）360°；（3）540°
【分析】（1）连接BC，如图1，可知：∠EBC+∠DCE=∠D+∠E，根据等量代换和三角形内角和即可求解；
（2）连接AD，如图2，可知：∠EDA+∠FAD=∠E+∠F，根据等量代换和四边形内角和即可求解；
（3）连接CF，如图3，可知：∠DCF+∠EFC=∠E+∠D，根据等量代换和五边形内角和即可求解．
【详解】解：（1）连接BC，如图1，可知：∠EBC+∠DCE=∠D+∠E
∴∠A+∠ABE+∠ACD+∠D+∠E
=∠A+∠ABE+∠ACD+∠EBC+∠DCE
=∠A+∠ABE+∠EBC+∠ACD+∠DCE
=∠A+∠ABC+∠ACE
=180°
（2）连接AD，如图2，可知：∠EDA+∠FAD=∠E+∠F
∴∠FAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F
=∠FAB+∠B+∠C+∠CDE+∠EDA+∠FAD
=∠BAD+∠B+∠C+∠CDA
四边形内角和：（4-2）×180°=360°，
∴∠FAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F =360°
故答案为：360°
（3）连接CF，如图3，可知：∠DCF+∠EFC=∠E+∠D
∴∠A+∠B+∠BCD+∠D+∠E+∠EFG+∠G
=∠A+∠B+∠BCD+∠DCF+∠EFC +∠EFG+∠G
=∠A+∠B+∠BCF+∠CFG+∠G
五边形内角和：（5-2）×180°=540°，
∴∠A+∠B+∠BCD+∠D+∠E+∠EFG+∠G =540°，
故答案为：540°
【点睛】
本题考查多边形内角和，解题的关键是根据题中给出的思路，用等量代换将要求的角转化在同一个多边形内，根据多边形的内角和求解即可．
26、（1）；（2）
【分析】（1）利用加减消元法，消去x，求出y的值，然后代入计算，即可得到方程组的解；
（2）先把方程组进行整理，然后利用加减消元法进行求解，即可得到方程组的解.
【详解】解：
得：
得：
得：
将代入得：，
这个方程组的解为；
由得：
由得：
得：，
将代入得：，
这个方程组的解为.
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握加减消元法解二元一次方程组.