重庆市九龙坡区杨家坪中学2023年八年级数学第一学期期末质量跟踪监视试题【含解析】

这是一份重庆市九龙坡区杨家坪中学2023年八年级数学第一学期期末质量跟踪监视试题【含解析】，共17页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知二元一次方程组，则的值为，下面命题的逆命题正确的是，如果在y轴上，那么点P的坐标是等内容，欢迎下载使用。

考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是（ ）
A．转化思想
B．三角形的两边之和大于第三边
C．两点之间，线段最短
D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
2．下列各组数中，能作为一个三角形的三边边长的是（ ）
A．1、2、4B．8、6、4、C．12、6、5D．3、3、6
3．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ）
A．10x2－5x=5x(2x－1)B．a(x+y) =ax+ay
C．x2－4x+4=x(x－4)+4D．x2－16+3x=(x－4)(x+4)+3x
4．下列图象不能反映y是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如果把分式中的、的值都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的2倍B．缩小为原来的一半
C．扩大为原来的4倍D．保持不变
6．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是( )
A．2B．C．5D．
7．已知二元一次方程组，则的值为（ ）
A．2B．C．4D．
8．下面命题的逆命题正确的是（ ）
A．对顶角相等B．邻补角互补
C．矩形的对角线互相平分D．等腰三角形两腰相等
9．如图，AB=AD，要说明△ABC≌△ADE，需添加的条件不能是（ ）
A．∠E=∠CB．AC=AEC．∠ADE=∠ABCD．DE=BC
10．如果在y轴上，那么点P的坐标是
A．B．C．D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为____________________________________________________．
12．已知矩形的长为，宽为，则该矩形的面积为_________．
13．计算:_______．
14．下列关于x的方程①，②，③1，④中，是分式方程的是 （________）（填序号）
15．已知点A（l，－2），若A、B两点关于x轴对称，则B点的坐标为_______
16．若有（x﹣3）0=1成立，则x应满足条件_____．
17．用四舍五入法，对3.5952取近似值，精确到0.01，结果为______．
18．3 的算术平方根是_____；-8 的立方根是_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）请在下列三个2×2的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图中三角形经过轴对称变换后得到的图形，且所画的三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合，并将所画三角形涂上阴影．（注：所画的三个图形不能重复）
20．（6分）已知：如图，点A是线段CB上一点，△ABD、△ACE都是等边三角形，AD与BE相交于点G，AE与CD相交于点F．求证：△AGF是等边三角形．
21．（6分）如图，在中，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒（）．
（1）用尺规作线段的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若点恰好运动到的垂直平分线上时，求的值．
22．（8分）（1）解方程．
（2）先化简 （）÷，再从x≤2的非负整数解中选一个适合的整数代入求值．
23．（8分）如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F．
(1)证明：△ADF是等腰三角形；
(2)若∠B=60°，BD=4，AD=2，求EC的长
24．（8分）我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在中，是边上的中线，与的“广益值”就等于的值，可记为
（1）在中，若，，求的值．
（2）如图2，在中，，，求，的值．
（3）如图3，在中，是边上的中线，，，，求和的长．
25．（10分）在农业技术部门指导下，小明家今年种植的猕猴桃喜获丰收．去年猕猴桃的收入结余12000元，今年猕猴桃的收入比去年增加了20%，支出减少10%，结余今年预计比去年多11400元．请计算：
（1）今年结余 元；
（2）若设去年的收入为元，支出为元，则今年的收入为 元，支出为 元（以上两空用含、的代数式表示）
（3）列方程组计算小明家今年种植猕猴桃的收入和支出．
26．（10分）某单位750名职工积极参加向贫困地区学校捐书活动，为了解职工的捐数量，采用随机抽样的方法抽取30名职工作为样本，对他们的捐书量进行统计，统计结果共有4本、5本、6本、7本、8本五类，分别用A、B、C、D、E表示，根据统计数据绘制成了如图所示的不完整的条形统计图，由图中给出的信息解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）求这30名职工捐书本数的平均数、众数和中位数；
（3）估计该单位750名职工共捐书多少本？
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【解析】试题分析：∵点B和点B′关于直线l对称，且点C在l上，∴CB=CB′，又∵AB′交l与C，且两条直线相交只有一个交点，∴CB′+CA最短，即CA+CB的值最小，将轴对称最短路径问题利用线段的性质定理两点之间，线段最短，体现了转化思想，验证时利用三角形的两边之和大于第三边．故选D．
考点：轴对称-最短路线问题．
2、B
【分析】根据三角形的三条边具有任意两边之和大于第三边的性质，通过简单的计算对四个选项进行判定即可得到．
【详解】∵三角形的任意两边之和大于第三边
∴A．1+2=3<4，所以A选项错误；
B．4+6=10>8，所以B选项正确；
C．5+6=11<12，所以C选项错误；
D．3+3=6，所以D选项错误．
故选B
【点睛】
本题考查的知识点是三角形的三边关系，利用两条较小边的和与较长边进行大小比较是解题的关键．
3、A
【分析】根据分解因式的定义逐项判断即得答案．
【详解】解：A、10x2－5x=5x(2x－1)，由左边到右边的变形是分解因式，故本选项符合题意；
B、a(x+y) =ax+ay，由左边到右边的变形不是分解因式，故本选项不符合题意；
C、x2－4x+4=x(x－4)+4，由左边到右边的变形不是分解因式，故本选项不符合题意；
D、x2－16+3x=(x－4)(x+4)+3x，由左边到右边的变形不是分解因式，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了分解因式的定义，属于基础概念题型，熟知概念是关键．
4、C
【详解】解：A．当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，不符合题意；
B．当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，；不符合题意
C．当x取一值时，y没有唯一与它对应的值，y不是x的函数，符合题意；
D．当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，不符合题意．
故选C．
5、D
【分析】根据分式的基本性质，求得x，y的值均扩大为原来的2倍式子的值，与原式比较即可求解．
【详解】把分式中的、的值都扩大为原来的2倍，可得，
；
∴把分式中的、的值都扩大为原来的2倍，分式的值不变.
故选D.
【点睛】
本题考查了分式的基本性质，即分子分母同乘以一个不为0的数，分式的值不变．
6、B
【分析】根据三角形数列的特点，归纳出每一行第一个数的通用公式，即可求出第9行从左至右第5个数.
【详解】根据三角形数列的特点，归纳出每n行第一个数的通用公式是，所以，第9行从左至右第5个数是=.
故选B
【点睛】
本题主要考查归纳推理的应用，根据每一行第一个数的取值规律，利用累加法求出第9行第五个数的数值是解决本题的关键，考查学生的推理能力．
7、D
【分析】解方程组求出x、y的值，再把所求式子化简后代入即可．
【详解】解：
②−①×2得，6y＝9，解得，
把代入①得，，解得，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
8、D
【分析】先分别写出四个命题的逆命题，然后利用对顶角的定义、邻补角的定义、矩形的判断和等腰三角形的判定方法对各命题的真假进行判断．
【详解】解：A.对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，此逆命题为假命题；
B.邻补角互补的逆命题为互补的角为邻补角，此逆命题为假命题；
C.矩形的对角线互相平分的逆命题为对角线互相平分的四边形为矩形，此逆命题为假命题；
D.等腰三角形两腰相等的逆命题为两边相等的三角形为等腰三角形，此逆命题为真命题．
故答案为D．
【点睛】
本题考查了命题与定理,掌握举出反例法是判断命题的真假的重要方法．
9、D
【解析】∵AB=AD，且∠A=∠A，
∴当∠E=∠C时,满足AAS,可证明△ABC≌△ADE，
当AC=AE时,满足SAS,可证明△ABC≌△ADE，
当∠ADE=∠ABC时,满足ASA,可证明△ABC≌△ADE，
当DE=BC时,满足SSA,不能证明△ABC≌△ADE，
故选D.
10、B
【分析】根据点在y轴上，可知P的横坐标为1，即可得m的值，再确定点P的坐标即可．
【详解】解：∵在y轴上，
∴
解得，
∴点P的坐标是（1，-2）．
故选B．
【点睛】
解决本题的关键是记住y轴上点的特点：横坐标为1．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、 “在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一直线，那么这两直线互相平行”
【分析】命题题设为：在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线；结论为这两条直线互相平行．
【详解】“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”改写成“如果−−−，那么−−−”的形式为：“在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行”.
故答案为在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行.
12、
【分析】直接利用矩形的性质结合二次根式乘法运算法则计算即可.
【详解】解：∵矩形的长为，宽为，
∴该矩形的面积为：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次根式的应用，掌握矩形的性质是解题的关键．
13、a3
【分析】根据同底数幂的除法法则进行计算即可得到答案.
【详解】.
故答案为a3.
【点睛】
本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键.
14、②
【解析】分式方程 分式方程是方程中的一种，且分母里含有未知数的（有理）方程叫做分式方程，等号两边至少有一个分母含有未知数。
【详解】根据分式方程的定义即可判断.符合分式方程的定义的是②.
【点睛】
本题考查的是分式方程的定义，解题的关键是掌握分式方程的定义.
15、（1，2）
【详解】关于x轴对称，则两个点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，
故B点的坐标为（1，2）.
16、x≠1
【分析】 便可推导.
【详解】解：根据题意得：x﹣1≠0，解得：x≠1．
故答案是：x≠1．
【点睛】
掌握0次方成立的意义为本题的关键.
17、3.1
【分析】根据近似数的精确度把千分位上的数字5进行四舍五入即可．
【详解】解：3.5952≈3.1（精确到0.01）．
故答案为3.1．
【点睛】
本题考查近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数为近似数；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
18、 -2
【分析】根据算术平方根和立方根的定义直接计算即可求解．
【详解】3 的算术平方根是， 的立方根是．
故答案是：，．
【点睛】
本题考查了算术平方根和立方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数，正的平方根即为它的算术平方根．立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，1的立方根是1．
三、解答题(共66分)
19、
【解析】试题分析：可分别选择不同的直线当对称轴，得到相关图形即可．
试题解析：如图所示：
考点：利用轴对称设计图案
20、见解析
【分析】由等边三角形可得AD=AB，AE=AC，∠BAE=∠DAC=120°，再由两边夹一角即可判定△BAE≌△DAC，可得∠1=∠2，进而可得出△BAG≌△DAF，AG=AF，则可得△AGF是等边三角形．
【详解】证明：∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，
∴∠DAE=∠BAD=∠CAE=60°
∴∠BAE=∠DAC=120°，
在△BAE和△DAC中
AD=AB，∠BAE=∠DAC，AE=AC，
∴△BAE≌△DAC．
∴∠1=∠2
在△BAG和△DAF中
∠1=∠2，AB=AD，∠BAD=∠DAE，
∴△BAG≌△DAF，
∴AG=AF，又∠DAE=60°，
∴△AGF是等边三角形．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定及性质，以及等边三角形的性质和判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21、（1）见解析；（2）的值为或
【分析】(1)分别以AB为圆心,大于AB为半径作弧,连接两户的交点即为线段AB的垂直平分线,
(2)勾股定理求出AC的长, 当P在AC上时,利用勾股定理解题,当P在AB上时,利用解题.
【详解】解：（1）分别以AB为圆心,大于AB为半径作弧,连接两户的交点即为线段AB的垂直平分线,有作图痕迹；
（2）如图，在中，由勾股定理得
，
①当P在AC上时,，
∴，，，
在中，由勾股定理得：
即：
解得：；
②当P在AB上时,，
即：，
∴
∴的值为或.
【点睛】
本题考查了尺规作图--垂直平分线,勾股定理的实际应用,会根据P的运动进行分类讨论,建立等量关系是解题关键.
22、 (1) 原分式方程无解．(1)1
【分析】(1)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
（1）先将分式的分子和分母分解因式，再根据分式的化简求值的过程计算即可求解．
【详解】（1）解：方程的两边都乘以（y+1）（y﹣1），
得y（y+1）﹣8＝y1﹣4
∴y1+1y﹣8＝y1﹣4
解得y＝1．
检验：当y＝1时，（y﹣1）（y+1）＝0
∴y＝1是原方程的增根．
∴原分式方程无解．
（1）解：原式=[ ，
∵x≤1的非负整数解有0，1，1，
又∵x≠1，1，
∴当x=0时，原式=1．
【点睛】
此题考查解分式方程，分式的化简求值，解题的关键是准确进行分式的化简．
23、（1）见解析；（2）EC=4，理由见解析
【分析】（1）由AB=AC，可知∠B=∠C，再由DE⊥BC和余角的性质可推出∠F=∠BDE，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出∠F=∠FDA，于是得到结论；
（2）由题意根据解直角三角形和等边三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：（1），
，
又，
，
，，
，
又，
，
.
（2），
，
又，
，
在中，，
，
.
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的判定与性质和余角的性质以及对顶角的性质等知识点，解题的关键根据相关的性质定理通过等量代换进行分析．
24、 (1)AC=9;(2)ABAC=-72,BABC=216;(3)BC=2OC=2,AB=10.
【分析】(1)在Rt中,根据勾股定理和新定义可得AO2-OC2=81=AC2;
(2)①先利用含30°的直角三角形的性质求出AO=2,OB=,再用新定义即可得出结论;
②先构造直角三角形求出BE,AE,再用勾股定理求出BD,最后用新定义即可得出结论;
(3)作BD⊥CD,构造直角三角形BCD,根据三角形面积关系求出BD,根据新定义和勾股定理逆定理得出三角形AOD是直角三角形,根据中线性质得出OA的长度,根据勾股定理求出OC,从而得出BC,再根据勾股定理求出CD,再求出AD,再运用勾股定理求出AB.
【详解】(1)已知如图:AO为BC上的中线,
在Rt中,
AO2-OC2=AC2
因为
所以AO2-OC2=81
所以AC2=81
所以AC=9.
(2)①如图2,取BC的中点D,连接AO,∵AB=AC,∴AO⊥BC,
在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,∴∠ABC=30°,
在Rt△AOB中,AB=12,∠ABC=30°,∴AO=6,OB==,
∴ABAC=AO2﹣BO2=36﹣108=﹣72,
②取AC的中点D,连接BD,∴AD=CD=AC=6,过点B作BE⊥AC交CA的延长线于E,在Rt△ABE中,∠BAE=180°﹣∠BAC=60°,∴∠ABE=30°,
∵AB=12,∴AE=6,BE=,
∴DE=AD+AE=12,
在Rt△BED中,根据勾股定理得,BD=
∴BABC=BD2﹣CD2=216;
(3)作BD⊥CD,
因为,,
所以BD=2,
因为,是边上的中线,
所以AO2-OC2=-64,
所以OC2-AO2=64,
由因为AC2=82=64,
所以OC2-AO2= AC2
所以∠OAC=90°
所以OA=
所以OC=
所以BC=2OC=2,
在Rt△BCD中,
CD=
所以AD=CD-AC=16-8=8
所以AB=
【点睛】
考核知识点:勾股定理逆定理,含30°直角三角形性质.借助辅助线构造直角三角形,运用勾股定理等直角三角形性质解决问题是关键.
25、（1）23400元；（2）今年的收入为：元，支出为：元，（3）小明家今年种植猕猴桃的收入和支出分别为50400元、27000元．
【分析】（1）根据去年猕猴桃的收入结余12000元，结余今年预计比去年多11400元，可以计算出今年的结余；
（2）根据今年猕猴桃的收入比去年增加了20%，支出减少10%，可以表示出今年的收入和支出；
（3）根据题意可以得到相应的方程组，从而可以求得小明家今年种植猕猴桃的收入和支出．
【详解】（1）由题意可得，
今年结余：（元），
（2）由题意可得，
今年的收入为：（元），
支出为：（元），
（3）由题意可得，
解得
则，
，
答：小明家今年种植猕猴桃的收入和支出分别为50400元、27000元．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，利用方程的知识解答．
26、（1）补图见解析（2）6；6；6；（3）4500本．
【解析】（1）根据题意列式计算得到D类书的人数，补全条形统计图即可；
（2）根据次数出现最多的数确定众数，按从小到大顺序排列好后求得中位数；
（3）用捐款平均数乘以总人数即可．
【详解】（1）捐D类书的人数为：30-4-6-9-3=8，
补图如图所示；
（2）众数为：6 中位数为：6
平均数为：=（4×4+5×6+6×9+7×8+8×3）=6；
（3）750×6=4500，
即该单位750名职工共捐书约4500本．
【点睛】
主要考查了中位数，众数，平均数的求法，条形统计图的画法，用样本估计总体的思想和计算方法；要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．