初中数学青岛版九年级下册5.3二次函数练习

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基础过关全练
知识点1 二次函数与一元二次方程之间的关系
1.【一题多变】(2022山东潍坊中考)抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点,则c的值为 ( )
A.-14 B.14 C.-4 D.4
[变式·结论变为求字母的取值范围](2023山东昌乐模拟)已知二次函数y=(k-1)x2+2x-1的图象与x轴有交点,则k的取值范围是 .
【一题多变】(2022山东东明一模)抛物线y=ax2+bx+c经过A(2,0)、B(4,0)两点,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是 .
[变式1·条件变为用图象给出](2022山东青岛崂山期末)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为 .
[变式2·条件变为用表格给出]【新独家原创】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的y与x的部分对应值如下表:
则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解为 .
3.(2022山东青岛中考)已知二次函数y=x2+mx+m2-3(m为常数,m>0)的图象经过点P(2,4).
(1)求m的值;
(2)判断二次函数y=x2+mx+m2-3的图象与x轴交点的个数,并说明理由.
知识点2 利用图象法求一元二次方程的根的近似值
4.(2021广西钦州期末)如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c的图象,A(2.18,-0.51)、B(2.68,0.54)两点在函数图象上,则方程ax2+bx+c=0的一个解可能是 ( )
C.-0.51
5.(2023广西崇左期末)抛物线y=x2-2x+0.5如图所示,利用图象可得方程x2-2x+0.5=0的近似解为 .(精确到0.1)
知识点3 利用图象法求一元二次不等式的解集
6.【数形结合思想】(2023江苏南京期末)如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c的图象,则不等式ax2+bx+c<3的解集是 ( )
A.x<0 B.x<-1或x>3 C.02
7.(2023山东微山期末)如图,抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(-1,p),B(3,q)两点,则关于x的不等式ax2+c>mx+n的解集是 .
能力提升全练
8.【新考法】(2023湖南衡阳中考,12,★★☆)已知m>n>0,若关于x的方程x2+2x-3-m=0的根为x1,x2(x1A.x3C.x19.(2023新疆中考,9,★★☆)如图,在平面直角坐标系中,直线y1=mx+n与抛物线y2=ax2+bx-3相交于点A,B.结合图象,判断下列结论:①当-2y2;②x=3是方程ax2+bx-3=0的一个解;③若(-1,t1),(4,t2)是抛物线上的两点,则t1A.4 B.3 C.2 D.1
10.【山东潍坊常考·多选题】(2022山东潍坊高密一模,12,★★☆)(多选题)下表是二次函数y=x2-5x+c的自变量x与函数值y的部分对应值:
那么方程x2-5x+c=0的一个近似根(精确到0.1)是 ( )
A.1.4 B.1.5 C.3.5 D.3.6
11.(2021青海中考节选,27,★★☆)在平面直角坐标系中,直线y=x+2与坐标轴交于A,B两点,点A在x轴上,点B在y轴上,C点的坐标为(1,0),抛物线y=ax2+bx+c经过点A,B,C.
(1)求抛物线的表达式;
(2)根据图象写出不等式ax2+(b-1)x+c>2的解集.
素养探究全练
12.【几何直观】(2021四川广元中考)将二次函数y=-x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后,所得新函数的图象如图所示.当直线y=x+b与新函数的图象恰有3个公共点时,b的值为 ( )
A.-214或-3 B.-134或-3
C.214或-3 D.134或-3
答案全解全析
基础过关全练
1.B ∵抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点,
∴方程x2+x+c=0有两个相等的实数根,
∴Δ=12-4×1·c=0,∴c=14.故选B.
[变式] 答案 k≥0且k≠1
解析 由二次函数y=(k-1)x2+2x-1的图象与x轴有交点,得(k-1)x2+2x-1=0有实数根,∴Δ=22-4(k-1)×(-1)≥0,解得k≥0,
又∵k-1≠0,∴k≠1,∴k的取值范围是k≥0且k≠1.
2.答案 x1=2,x2=4
解析 ∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(2,0)、B(4,0)两点,
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=2,x2=4.
[变式1] 答案 x1=-3,x2=1
解析 由图象可知抛物线的对称轴为直线x=-1,抛物线和x轴的一个交点坐标为(-3,0),根据二次函数图象的对称性可知,抛物线和x轴的另一个交点坐标为(1,0),则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解为x1=-3,x2=1.
[变式2] 答案 x1=-1,x2=3
解析 由题表可知,当x=-1时,y=0.
∴ax2+bx+c=0的一个解为x1=-1.
由题表可得抛物线的对称轴为直线x=0+22=1,
设ax2+bx+c=0的另一个解为x2,
则-1+x22=1,解得x2=3,
∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解为x1=-1,x2=3.
3.解析 (1)∵二次函数y=x2+mx+m2-3的图象经过点P(2,4),∴4=4+2m+m2-3,
整理得m2+2m-3=0,解得m1=1,m2=-3,
∵m>0,∴m=1.
(2)二次函数y=x2+mx+m2-3的图象与x轴有两个交点.
理由:由(1)知m=1,
∴二次函数的解析式为y=x2+x-2,
∴Δ=12-4×1×(-2)=9>0,
∴二次函数y=x2+x-2的图象与x轴有两个交点.
4.D ∵图象上有两点分别为A(2.18,-0.51)、B(2.68,0.54),∴当x=2.18时,y=-0.51,当x=2.68时,y=0.54,∴当y=0时,有一个解的范围是2.185.答案 x1≈1.7,x2≈0.3
6.D 由图象可知抛物线和y轴的交点为(0,3),对称轴为直线x=1,所以当x=0或x=2时,y=3,由图象可知,当x<0或x>2时,抛物线y=ax2+bx+c在直线y=3的下方,故不等式ax2+bx+c<3的解集为x<0或x>2.故选D.
方法解读 本题需结合函数图象,找出抛物线在直线y=3下方的部分来确定不等式的解集,应用数形结合思想可以使抽象问题变得更直观,更有利于解决问题.
7.答案 x<-1或x>3
解析 ∵点A,B的横坐标分别为-1,3,
∴x<-1或x>3时,抛物线在直线上方,
∴关于x的不等式ax2+c>mx+n的解集是x<-1或x>3.
能力提升全练
8.B 此类题目一般通过图象考查方程的解,本题通过函数图象比较根的大小.关于x的方程x2+2x-3-m=0的解为抛物线y=x2+2x-3与直线y=m的交点的横坐标,关于x的方程x2+2x-3-n=0的解为抛物线y=x2+2x-3与直线y=n的交点的横坐标,
画出函数图象如图所示:
由图象可知,x19.B ①由图象可知,当-2y2,故①正确.
②由图象可知,抛物线过点(3,0),∴x=3是方程ax2+bx-3=0的一个解,故②正确.
③将点(-2,5)、(3,0)代入y2=ax2+bx-3,
得4a-2b-3=5,9a+3b-3=0,解得a=1,b=−2,
∴抛物线解析式为y2=x2-2x-3,
当x=-1时,t1=0,当x=4时,t2=5>0,∴t1④y2=x2-2x-3=(x-1)2-4,∴抛物线的顶点坐标为(1,-4),由图象可知当-2综上,正确的结论有①②③,共3个,故选B.
10.BC 本题需借助表格估算出方程的一个根,然后利用根与系数的关系求出方程的另一个根.观察表格得方程x2-5x+c=0的一个近似根(精确到0.1)是1.5,设另一个根为x2,则1.5+x2=5,解得x2=3.5.故选BC.
11.解析 (1)把x=0代入y=x+2,得y=0+2=2,把y=0代入y=x+2,得x+2=0,解得x=-2,∴A(-2,0),B(0,2).
把A(-2,0),C(1,0),B(0,2)代入y=ax2+bx+c,得4a-2b+c=0,a+b+c=0,c=2,解得a=−1,b=−1,c=2,
∴该抛物线的表达式为y=-x2-x+2.
(2)∵ax2+(b-1)x+c>2,a=-1,b=-1,c=2,∴-x2-2x+2>2,即-x2-x+2>x+2,如图,观察函数图象可知,当-22的解集为-2素养探究全练
12.A ∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴抛物线y=-x2+2x+3的顶点坐标为(1,4),当y=0时,-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3,则抛物线y=-x2+2x+3与x轴的交点为A(-1,0),B(3,0),把抛物线y=-x2+2x+3在x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方,则翻折部分的抛物线解析式为y=(x-1)2-4(-1-1
0
2
y
0
-3
-3
x
…
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
…
y
…
0.36
0.13
-0.08
-0.27
-0.44
…