初中数学青岛版九年级下册5.3二次函数课后复习题

这是一份初中数学青岛版九年级下册5.3二次函数课后复习题，共9页。

二次函数与几何图形的综合
类型一 线段最值问题
1.(2023山东潍坊二模)如图,已知抛物线y=ax2+bx-4(a≠0)交x轴于点A(4,0)和点B(-2,0),交y轴于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是抛物线上位于直线AC下方的动点,过点P分别作x轴、y轴的平行线,交直线AC于点D,交x轴于点E,当PD+PE取最大值时,求点P的坐标.
类型二 周长与面积最值问题
2.(2023湖南张家界中考)如图,在平面直角坐标系中,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(-2,0)和点B(6,0),与y轴交于点C(0,6).D为线段BC上的一动点.
(1)求二次函数的表达式;
(2)如图1,求△AOD周长的最小值;
(3)如图2,过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P,连接PA,PB,记△PAD与△PBD的面积和为S,当S取得最大值时,求点P的坐标,并求出此时S的最大值.

类型三 特殊三角形存在性问题
3.(2023山东莘县二模)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx-8与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,直线l经过坐标原点O,与抛物线的一个交点为D,与抛物线的对称轴交于点E,连接CE,已知点A,D的坐标分别为(-2,0),(6,-8).
(1)求抛物线的函数表达式,并分别求出点B和点E的坐标;
(2)试探究抛物线上是否存在点F,使△FOE≌△FCE,若存在,请直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若点P是y轴负半轴上的一个动点,设其坐标为(0,m),直线PB与直线l交于点Q.试探究:当m为何值时,△OPQ是等腰三角形.
类型四 特殊四边形存在性问题
4.(2023山东东阿一模)如图,抛物线y=ax2+bx-4(a≠0)与x轴交于A(4,0)和B(-1,0)两点,与y轴交于点C,点P是直线AC下方的抛物线上一动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点P作PD⊥x轴于点D,交直线AC于点E,求线段PE的最大值及此时点P的坐标;
(3)取(2)中PE最大值时的P点,在坐标平面内是否存在点Q,使得以A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

答案全解全析
1.解析 (1)∵抛物线y=ax2+bx-4(a≠0)经过点A(4,0)和点B(-2,0),
∴16a+4b-4=0,4a-2b-4=0,解得a=12,b=-1,
∴抛物线的解析式为y=12x2-x-4.
(2)由(1)知抛物线的解析式为y=12x2-x-4,
∴C(0,-4),
设直线AC的解析式为y=kx-4(k≠0),
将A(4,0)代入,得0=4k-4,解得k=1,
∴直线AC的解析式为y=x-4,∵OA=OC=4,
∴∠OAC=45°,
设P(m,n),则n=12m2-m-4(0∵PD平行于x轴,PE平行于y轴,
∴D(n+4,n),E(m,0),∴PD=m-4-n,PE=-n,
∴PD+PE=m-4-n-n=m-4-212m2-m-4
=-m2+3m+4=-m-322+254,
∵-1<0,∴当m=32时,PD+PE取得最大值,此时n=12×322-32-4=-358,
∴点P的坐标为32,-358.
2.解析 (1)将A(-2,0),B(6,0),C(0,6)三点坐标代入y=ax2+bx+c,得4a-2b+c=0,36a+6b+c=0,c=6,解得a=-12,b=2,c=6,
∴抛物线的表达式为y=-12x2+2x+6.
(2)作点O关于直线BC的对称点E,连接EC、EB,
∵B(6,0),C(0,6),∴OB=OC=6,
∵O、E关于直线BC对称,∠BOC=90°,
∴四边形OBEC为正方形,∴E(6,6),
连接AE,交BC于点D,由对称性知DE=DO,
此时DO+DA有最小值,最小值为AE的长,
AE=AB2+BE2=82+62=10,
∵△AOD的周长=DA+DO+AO,AO=2,DA+DO的最小值为10,
∴△AOD的周长的最小值为10+2=12.
(3)设直线BC的表达式为y=kx+n(k≠0),
将B(6,0),C(0,6)代入得,6k+n=0,n=6,解得k=-1,n=6,
∴直线BC的表达式为y=-x+6,
同理可得,直线AC的表达式为y=3x+6,
∵PD∥AC,∴可设直线PD的表达式为y=3x+q,
设Pm,-12m2+2m+6(0∴直线PD的表达式为y=3x-12m2-m+6,
由y=-x+6,y=3x-12m2-m+6,得x=18m2+14m,y=-18m2-14m+6,
∴D18m2+14m,-18m2-14m+6,
∵P,D都在第一象限,
∴S=S△PAD+S△PBD=S△PAB-S△DAB
=12·AB·yP-12·AB·yD
=12·AB·-12m2+2m+6--18m2-14m+6
=4×-38m2+94m=-32m2+9m=-32(m-3)2+272,
∵-32<0,∴当m=3时,S取得最大值,为272,此时P点坐标为3,152.
3.解析 (1)将A(-2,0),D(6,-8)代入y=ax2+bx-8,得4a-2b-8=0,36a+6b-8=-8,
解得a=12,b=-3,
∴抛物线的函数表达式为y=12x2-3x-8,
∵y=12x2-3x-8=12(x-3)2-252,
∴抛物线的对称轴为直线x=3.
∵抛物线与x轴交于A,B两点,点A的坐标为(-2,0),
∴点B的坐标为(8,0),
设直线l的函数表达式为y=kx(k≠0),
将D(6,-8)代入,得6k=-8,解得k=-43,
∴直线l的函数表达式为y=-43x.
∵点E为直线l和抛物线对称轴的交点,
∴点E的横坐标为3,∴纵坐标为-43×3=-4,
∴点E的坐标为(3,-4).
(2)抛物线上存在点F,使△FOE≌△FCE.点F的坐标为(3-17,-4)或(3+17,-4).
(3)由题意知分两种情况:
①当OP=OQ时,△OPQ是等腰三角形.
∵点E的坐标为(3,-4),∴OE=32+42=5,
过点E作直线ME∥PB,交y轴于点M,交x轴于点H,则OMOP=OEOQ,∴OM=OE=5,
∴点M的坐标为(0,-5).
设直线ME的函数表达式为y=k1x-5(k1≠0),
将E(3,-4)代入得3k1-5=-4,解得k1=13,
∴直线ME的函数表达式为y=13x-5,
令y=0,得13x-5=0,解得x=15,
∴点H的坐标为(15,0),
∵MH∥PB,∴OPOM=OBOH,即-m5=815,解得m=-83.
②当QO=QP时,△OPQ是等腰三角形.
∵当x=0时,y=12x2-3x-8=-8,
∴点C的坐标为(0,-8),
∴CE=32+(8-4)2=5,∴OE=CE,∴∠1=∠2,
∵QO=QP,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴CE∥PB,
设直线CE交x轴于点N,则可设其函数表达式为y=k2x-8(k2≠0),
将E(3,-4)代入得3k2-8=-4,解得k2=43,
∴直线CE的函数表达式为y=43x-8,
令y=0,得43x-8=0,解得x=6,
∴点N的坐标为(6,0),
∵CN∥PB,∴OPOC=OBON,即-m8=86,解得m=-323.
综上所述,当m的值为-83或-323时,△OPQ是等腰三角形.
4.解析 (1)把A(4,0),B(-1,0)代入y=ax2+bx-4,得16a+4b-4=0,a-b-4=0,
解得a=1,b=-3,
∴抛物线的解析式为y=x2-3x-4.
(2)由题意可得C(0,-4),则OC=4,
设直线AC的函数解析式为y=kx+b1,
依题意得0=4k+b1,-4=b1,解得k=1,b1=-4,
∴直线AC的函数解析式为y=x-4,
设P(m,m2-3m-4)(0∴PE=(m-4)-(m2-3m-4)=-m2+4m=-(m-2)2+4,
∵-1<0,∴当m=2时,PE有最大值,为4,
此时P(2,-6).
(3)存在.点Q的坐标为(2,2)或(6,-2)或(-2,-10).
详解:设Q(c,n),
①当AC、PQ为平行四边形的对角线时,AC与PQ的中点重合,则c+2=4+0,n-6=0-4,解得c=2,n=2,
∴Q(2,2);
②当AP、CQ为平行四边形的对角线时,AP与CQ的中点重合,则c+0=4+2,n-4=0-6,解得c=6,n=-2,
∴Q(6,-2);
③当AQ、CP为平行四边形的对角线时,AQ与CP的中点重合,则c+4=0+2,n+0=-4-6,解得c=-2,n=-10,
∴Q(-2,-10).
综上所述,点Q的坐标为(2,2)或(6,-2)或(-2,-10).