湖南省长沙市中雅培粹学校2022-2023学年九年级上学期开学考试数学试题（原卷及解析版）

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一、选择题（每题3分，共30分）
1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
2. 二次函数的最大值是 （ ）
A. 2B. 2C. 1D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的性质进行判断．
【详解】解：二次函数的图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，图象有最高点，函数有最大值2．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质的应用，熟悉相关性质是解题的关键．
3. 直角三角形两直角边长为6和8，则此三角形斜边上的中线的长是（ ）
A. 10B. 5C. 4D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理求出AB，根据直角三角形斜边上中线性质得出CD=AB，代入求出即可．
【详解】解：在Rt△ACB中，AC=6，BC=8，由勾股定理得：AB==10，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴CD=AB=5，
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线性质和勾股定理，注意直角三角形斜边上中线等于斜边的一半．
4. 下列判断正确的是（ ）
A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形B. 两组邻边相等的四边形是平行四边形
C. 对角线相等的四边形是矩形D. 有一个角是直角的平行四边形是正方形
【答案】A
【解析】
【分析】利用特殊四边形的判定定理逐项判断即可.
【详解】A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，此项正确
B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，此项错误
C、对角线相等的平行四边形是矩形，此项错误
D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，此项错误
故选：A.
【点睛】本题考查了特殊四边形（平行四边形、菱形、矩形、正方形）的判定定理，掌握理解各判定定理是解题关键.
5. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．利用配方法进行变形即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
6. 下列关于一次函数的说法中，正确的是（ ）
A. 图象经过第一、二、四象限B. y随x的增大而减小
C. 当时，D. 图象与y轴交于点
【答案】D
【解析】
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：一次函数，，，
该函数图象经过第一、二、三象限，故选项A不符合题意；
随的增大而增大，故选项B不符合题意；
当时，，故选项C不符合题意；
当时，，则图象与轴交于点，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
7. 某小组6名同学积极参加班级组织的为灾区捐款活动，他们捐款的数额分别是（单位：元）：，，，，，．这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A. 40，50B. 45，50C. 50，50D. 50，70
【答案】C
【解析】
【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
【详解】解：把这组数据从小到大排列为：，，，，，，
最中间两个数的平均数是，
则中位数是；
出现了次，出现的次数最多，则众数是；
故选：C．
【点睛】本题考查了中位数和众数的定义，熟练掌握中位数和众数的定义是解题的关键．中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，在中间的一个数字(或者两个数字的平均值)叫做这组数据的中位数．众数：在一组数据中出现次数最多的数．
8. 正方形的一条对角线长为6，则正方形的面积是（ ）
A. 3B. 9C. 18D. 36
【答案】C
【解析】
【分析】根据正方形的面积=对角线的乘积的一半．
【详解】解：因为正方形的对角线互相垂直且相等，所以正方形的面积=对角线的乘积的一半=×6×6=18，
故选C．
【点睛】本题考查正方形的性质，记住正方形的面积=边长的平方=对角线乘积的一半．
9. 新型冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x人，则x为（ ）
A. 14B. 15C. 16D. 17
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程传播问题的公式列出方程计算即可；
【详解】设1人平均感染x人，
已题意可得：，
解得：，（不符合题意）；
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确方程计算是解题的关键．
10. 已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①：②；③；④；⑤．其中正确的个数有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①由图象得：抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴过x轴的正半轴，
∴，，，
∴，
∴，故此选项正确；
②当时，，即，故此选项错误；
③∵对称轴为直线，
∴当时，函数值大于0，
即，故此选项正确；
④当时函数值小于0，，且，
即，代入得，得：，故此选项正确；
⑤当时，的值最大．此时，，
而当时，，
所以，
故，即，故此选项正确．
故①③④⑤正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 因式分解：2a2﹣8=_____．
【答案】2（a+2）（a－2）．
【解析】
【分析】首先提取公因数2，进而利用平方差公式分解因式即可．
【详解】2a2－8=2（a2－4）=2（a+2）（a－2）．
故答案为2（a+2）（a－2）．
考点：因式分解．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
12. 已知菱形的两条对角线的长分别是10cm和24cm，那么菱形的每条边长是_____．
【答案】##13厘米
【解析】
【分析】因为菱形的对角线互相平分且垂直，所以是直角三角形，且易得．
【详解】解：如图，
∵四边形是菱形，
∴，
∵
∴
∴
∴菱形的边长为．
故答案为．
【点睛】本题考查了菱形的性质与勾股定理．掌握菱形的对角线互相垂直且互相平分是解答本题的关键．
13. 设是关于x的方程的两个根，且，则_______．
【答案】2
【解析】
【分析】先利用根与系数关系中两根之和等于3，求出该方程的两个根，再利用两根之积得到k的值即可．
【详解】解：由根与系数的关系可得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴;
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系，解决本题的关键是牢记公式，即对于一元二次方程，其两根之和为 ，两根之积为．
14. 如图，直线与直线交于点P，则不等式的解集为__________．

【答案】x＞1
【解析】
【分析】写出直线y=2x在直线y=kx+b上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：不等式2x＞kx+4解集为x＞1．
故答案为：x＞1．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
15. 把二次函数的图象先向左平移3个单位，向下平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据“把抛物线向上（）或向下（）平移个单位；再向左（）或向右（）平移个单位可得到的图象”进行解答即可得．
【详解】解：把二次函数的图象向左平移3个单位，得；
向下移5个单位，得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．
16. 如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F为AB上的一点，AF=2，P为AC上的一个动点，则PF＋PE 的最小值为______________
【答案】
【解析】
【分析】作点F关于AC对称点F′根据正方形ABCD是轴对称图形，AC是一条对称轴,可得点F关于AC的对称点在线段AD上，连结EF′，P为AC上的一个动点，PF=PF′，则PF+PE=PF′+PE≥EF′，PF+PE的最小值为EF′的长即可．
【详解】解：作点F关于AC对称点F′，
∵正方形ABCD是轴对称图形，AC是一条对称轴，
∴点F关于AC的对称点在线段AD上，连结EF′，
∵P为AC上的一个动点，
∴PF=PF′
则PF+PE=PF′+PE≥EF′，
PF+PE的最小值为EF′的长，
∵AB=4，AF=2，
∴AF′=AF=2，
∴EF′=．
【点睛】本题考查正方形性质，轴对称性质，两点之间线段最短，掌握正方形性质，轴对称性质，两点之间线段最短是解题关键．
三、解答题（共52分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，二次根式性质，以及去绝对值法则计算即可求出值．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握零指数幂、负整数指数幂法则，二次根式性质是解题的关键．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】,
【解析】
【分析】先算括号里异分母分式的减法，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式化简求值，分母有理化，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．
19. 如图，一次函数的图象与x轴交于点B，与过点A（3，0）的一次函数的图象交于点C（1，m）．
（1）求m的值；
（2）求一次函数图象相应的函数表达式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）把点代入即可求得；
（2）根据待定系数法即可求得；
【小问1详解】
点在一次函数的图象上，
；
【小问2详解】
设一次函数图象相应的函数表达式为，
把点，代入得
，
解得，
一次函数图象相应的函数表达式；
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，函数图象交点坐标等知识，难度适中．
20. 某校积极落实“双减”政策，将要开设拓展课程．为让学生可以根据自己的兴趣爱好选择最喜欢的课程，进行问卷调查，问卷设置以下四种选项：A（综合模型）、B（摄影艺术）、C（音乐鉴赏）、D（劳动实践），随机抽取了部分学生进行调查，每名学生必须且只能选择其中最喜欢的一种课程，并将调查结果整理绘制成如下不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生人数为________名；
（2）直接在答题卡中补全条形统计图；
（3）求拓展课程C（音乐鉴赏）所对应的扇形的∠1的度数；
（4）根据抽样调查结果，请你估计该校800名学生中，有多少名学生最喜欢D（劳动实践）拓展课程．
【答案】（1）120 （2）见解析
（3）拓展课程（音乐鉴赏）所对应的扇形的圆心角的度数是
（4）估计该校800名学生中，有160名学生最喜欢（劳动实践）拓展课程
【解析】
【分析】（1）根据选择人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的学生人数；
（2）根据条形统计图中的数据，即可计算出选择的人数，然后即可将条形统计图补充完整；
（3）用乘以C（音乐鉴赏）所占比例可得答案；
（4）用样本估计总体即可．
【小问1详解】
解：此次被调查的学生人数为：（名，
故答案：120；
【小问2详解】
选择的学生有：（名，
补全的条形统计图如图所示；
【小问3详解】
，
即拓展课程（音乐鉴赏）所对应的扇形的圆心角的度数是；
【小问4详解】
（名，
答：估计该校800名学生中，有160名学生最喜欢（劳动实践）拓展课程．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21. 已知关于x的方程
（1）若方程有两个实数根，求m的取值范围；
（2）是否存在m，使方程的两个实数根的平方和等于224．若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）方程有两两个的实数根，利用求出的范围．
（2）利用根与系数的关系，，，代入即可得到关于的方程，求出的值，再根据△来判断所求的的值是否满足原方程．
【小问1详解】
，，方程有两个实数根，
△，即△，
．
【小问2详解】
存在使方程的两个实数根的平方和等于224．
，
，
即：，
解得：，，
又，
∴
当=-2时，方程的两个实数根的平方和等于224．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，根据根与系数的关系结合求出m的值是解题的关键．
22. 如图，四边形是菱形，于点，于点．

（1）求证：；
（2）若，，求菱形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）菱形的面积为
【解析】
【分析】（1）由菱形的四条边相等、对角相等的性质知，；然后根据已知条件“，”知；最后由全等三角形的判定定理证明；
（2）由全等三角形的对应边相等知，然后根据菱形的四条边相等求得，设，已知，则，利用勾股定理即可求出菱形的边长及面积．
【小问1详解】
证明：四边形是菱形，
，，

，，
，
在和中，
，
；
【小问2详解】
解：设菱形的边长为，
，，
，
，
，
在中，根据勾股定理得，
，即，
解得，
菱形的边长是5．
∴菱形的面积为
【点睛】本题考查了菱形性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
23. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，，，抛物线经过点B，且与x轴交于点和点E．
（1）求抛物线的表达式：
（2）若P是第一象限抛物线上的一个动点，连接CP，PE，当四边形OCPE的面积最大时，求点P的坐标，此时四边形OCPE的最大面积是多少；
（3）若N是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在一点M，使以点C，D，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）y＝－x2＋3x＋4
（2）P（2，6）；四边形OCPE的面积最大为16
（3）存在； M1或M2或M3或M4
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质求出B点坐标，然后利用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）连接CE，过点P作PH⊥x轴，交BC于点F，交CE于点G，再求出E点坐标，然后利用待定系数法求出直线CE的解析式，设点P的横坐标为m，则P（m，－m2＋3m＋4），再表示出F、H、G点坐标，根据S四边形OCPE＝S△OCE＋S△PCE＝＋S△PCG＋S△PEG，建立函数关系式，根据二次函数的性质求最大值即可；
（3）先求出抛物线的对称轴，设点 ，然后分三种情况讨论，即① 当CD为矩形CDMN的边，且点M在点N的上方时，②当CD为矩形CDMN的边，且点M在点N的上方时，③ 当CD为矩形ABCD的对角线，根据 ，求得或 ，再分两种情况求解；利用中点坐标公式分别解答，即可得出结论．
【小问1详解】
解：∵在矩形OABC，OA＝3，OC＝4，
∴点B（3，4），
将B（3，4），D（－1，0）代入y＝ax2＋bx＋4可得，
，解得，
所以抛物线的表达式为y＝－x2＋3x＋4．
【小问2详解】
如答图1，连接CE，过点P作PH⊥x轴，交BC于点F，交CE于点G，
当y＝－x2＋3x＋4＝0时，
解得x1＝－1，x2＝4，
∴E（4，0），
设直线CE为y＝kx＋n，将C（0，4），E（4，0）代入可得，，
解得，
∴y＝－x＋4，
设点P的横坐标为m，则P（m，－m2＋3m＋4），
∵PH⊥x轴，点F在BC上，点G在CE上，
∴H（m，0），F（m，4），G（m，－m＋4），
∴S四边形OCPE＝S△OCE＋S△PCE＝＋S△PCG＋S△PEG，
＝＋＋
＝＋
＝＋
＝＋＝
＝＝．
∵－2＜0，∴函数有最大，当m＝2时，P（2，6）
此时四边形OCPE的面积最大为16．
【小问3详解】
存在，理由如下：如答图2，
抛物线y＝－x2＋3x＋4的对称轴为 ，
设点 ，
∵ ，
，
① 当CD为矩形CDMN的边，且点M在点N的上方时，有CN⊥CD，在Rt△DCN中，
，
即 ，
解得 ，
此时N点的坐标为，
设点M的坐标为 ，
在矩形CDMN中，由中点坐标公式得：
，
解得 ，
即点M的坐标为 ；
②当CD为矩形CDMN的边，且点M在点N的上方时有DN⊥CD，在Rt△DCN中，
，
即 ，
解得 ，
此时n的坐标为，
设点M的坐标为 ，
在矩形CDMN中，由中点坐标公式得：
，
解得 ，
即点M的坐标为 ；
③ 当CD为矩形ABCD的对角线，如答图3，
有CN⊥DN，在Rt△DCN中，由勾股定理得：
，
即 ，
解得或 ，
设点M的坐标为 ，当点N的坐标为，
在矩形CDMN中，由中点坐标公式得：
，
解得 ，
即点M的坐标为 ；
当点N的坐标为，
在矩形CDMN中，由中点坐标公式得：
，
解得 ，
即点M的坐标为
即点M的坐标为 ；
综上所述，M1或M2或M3或M4．
【点睛】本题考查了二次函数和面积的综合，二次函数与四边形的综合，矩形的性质，用待定系数法求函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，解题的关键是能综合运用函数知识和几何知识，以及分类讨论的思想．