人教B版高中数学必修第一册第1章章末综合提升学案

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类型1　方程、不等式与集合运算的综合应用结合集合运算考查方程、不等式的知识是高考考查的热点题型，解决集合与方程、不等式综合考查的参数问题时，要特别注意两点：(1)不要忽略集合中元素的互异性，即求出参数后应满足集合中的元素是互异的，尤其要注意含参数的方程的解的集合．(2)空集是一个特殊的集合，它不含任何元素，是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集．当题设中隐含有空集参与的集合关系与运算时，其特殊性容易被忽略，如解决有关A⊆B，A∩B＝∅，A∪B＝B等集合问题时，应先考虑空集的情况．【例1】　已知三个集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|(x－1)[x－(a－1)]＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0}，同时满足BA，C⊆A的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，请说明理由．[解]　A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，∵B＝{x|(x－1)[x－(a－1)]＝0}，∴1∈B．又BA，∴a－1＝1，即a＝2．∵C＝{x|x2－bx＋2＝0}，且C⊆A，∴C＝∅或{1}或{2}或{1，2}．当C＝{1，2}时，b＝3；当C＝{1}或{2}时，Δ＝b2－8＝0，即b＝±22，此时x＝±2，与C＝{1}或{2}矛盾，故舍去；当C＝∅时，Δ＝b2－8<0，即－224；③若a1，a2∈N*，则{a1，a2}不可能是“复活集”．其中所有正确结论的序号为________．①③　[①-1+52×-1-52＝-1+52+-1-52＝－1，故①正确．②不妨设a1＋a2＝a1a2＝t，则由根与系数的关系知a1，a2是一元二次方程x2－tx＋t＝0的两个不相等的实数根，由Δ>0，可得t2－4t>0，解得t<0或t>4，故②错误．③根据集合中元素的互异性知a1≠a2，不妨设a13，即m>2．所以实数m的取值范围为(2，＋∞)．(2)因为x∈B是x∈A成立的一个充分不必要条件，所以BA．当B＝∅时，m＋1≤－1，即m≤－2，符合题意；当B≠∅时，m+1>-1，m+1<3，解得－20，xx-1>0的否定¬p是(　　)A．∃x>0，xx-1≤0 B．∃x>0，0≤x≤1C．∀x>0，xx-1≤0 D．∀x<0，0≤x≤1(2)已知命题p：∀x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，且¬p是假命题，则实数a的取值范围是________．(1)B　(2)[－3，1]　[(1)由题意得命题p：∀x>0，xx-1>0，即p：∀x>0，x<0或x>1，所以命题p的否定¬p：∃x>0，0≤x≤1．故选B．(2)因为¬p是假命题，所以p是真命题．又∀x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，所以{x|－3≤x≤2}⊆{x|a－4≤x≤a＋5}，则a-4≤-3，a+5≥2，解得－3≤a≤1．即实数a的取值范围是[－3，1]．]章末综合测评(一)　集合与常用逻辑用语(时间：120分钟　满分：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2023·全国乙卷)设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪∁UN＝(　　)A．{0，2，4，6，8}　 B．{0，1，4，6，8}C．{1，2，4，6，8} D．UA　[由题意知，∁UN＝{2，4，8}，所以M∪∁UN＝{0，2，4，6，8}．故选A．]2．(2024·全国甲卷)若集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|x＋1∈A}，则A∩B＝(　　)A．{1，3，4} B．{2，3，4}C．{1，2，3，4} D．{0，1，2，3，4，9}C　[依题意得，对于集合B中的元素x，满足x＋1＝1，2，3，4，5，9，则x可能的取值为0，1，2，3，4，8，即B＝{0，1，2，3，4，8}，于是A∩B＝{1，2，3，4}．故选C.]3．下列命题中，真命题是(　　)A．集合{(x，y)|y＝x2}与集合{y|y＝x2}表示不同的集合B．∀x∈R，2x>x2C．a＋b＝0的充要条件是ab＝－1D．∃x∈R，x2＋2≤0A　[对于A选项，由描述法的概念可知集合{(x，y)|y＝x2}与集合{y|y＝x2}分别表示点的集合与数的集合，显然表示不同的集合，故A正确；当x＝2时，2x＝x2，故B错误；当a＝b＝0时，满足a＋b＝0，但ab＝－1不成立，故C错误；∀x∈R，x2＋2>0，故∃x∈R，x2＋2≤0错误．故选A．]4．命题p：存在一个整数n，使n2＋1是4的倍数．则p的否定是(　　)A．∀n∈Z，n2＋1不是4的倍数B．∀n∈Z，n2＋1是4的倍数C．∃n∈Z，n2＋1不是4的倍数D．∃n∈Z，n2＋1是4的倍数A　[存在量词命题的否定是全称量词命题，因此命题p的否定是“∀n∈Z，n2＋1不是4的倍数”．]5．集合A＝{x|3x＋2>m}，若－1∉A，则实数m的取值范围是(　　)A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞)C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1]C　[∵集合A＝{x|3x＋2>m}，－1∉A，∴3×(－1)＋2≤m，即m≥－1，故选C．]6．如图所示，I是全集，A，B，C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是(　　)A．(∁IA∩B)∩C B．(∁IB∪A)∩CC．(A∩B)∩∁IC D．(A∩∁IB)∩CD　[补集∁IB画成维恩图如图①，交集A∩∁IB画成维恩图如图②，而(A∩∁IB)∩C画成维恩图就是题目的维恩图．　图①　　　　　　　　图②]7．“x>0，y>0”是“1xy>0”的(　　)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件A　[∵x>0，y>0⇒1xy>0，1xy>0⇒x>0，y>0或x<0，y<0，∴“x>0，y>0”是“1xy>0”的充分不必要条件．故选A．]8．已知集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0}，若集合A有且仅有两个子集，则实数a的取值为(　　)A．-18，+∞ B．-18，+∞C．-18 D．-18，1D　[若A恰有两个子集，所以关于x的方程恰有一个实数解，讨论：①当a＝1时，x＝23，满足题意；②当a≠1时，Δ＝8a＋1＝0，所以a＝－18．综上所述，a＝－18或1．]二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列命题中是真命题的为(　　)A．“a>1b>1”是“a＋b>2”的充要条件B．“x2＝1”是“x＝－1”的必要不充分条件C．“a≠0或b≠0”是“ab≠0”的充要条件D．“集合A＝∅”是“A∩B＝A”的充分不必要条件BD　[对于A选项，当a>1，b>1 时，a＋b>2，但反之，a＋b>2不能得到a>1，b>1，故错误；对于B选项，x2＝1不一定得到x＝－1，反之x＝－1能够得到x2＝1，故正确；对于C选项，“a≠0且b≠0”是“ab≠0”的充要条件，故错误；对于D选项，由A∩B＝A得A⊆B，所以A＝∅能够推出A∩B＝A，反之，不一定成立，故正确．]10．对于集合A，B，定义集合运算A－B＝{x|x∈A且x∉B}，则下列说法正确的是(　　)A．若A＝{1，2，3}，B＝{3，4}，则A－B＝{1，2}，B－A＝{4}B．(A－B)∩(B－A)＝∅C．(A－B)∪(B－A)＝A∪BD．若A＝B，则A－B＝∅ABD　[对于A，若A＝{1，2，3}，B＝{3，4}，可得A－B＝{x|x∈A且x∉B}＝{1，2}，B－A＝{x|x∈B且x∉A}＝{4}，所以A正确；对于B，由A－B＝{x|x∈A且x∉B}，B－A＝{x|x∈B且x∉A}，所以(A－B)∩(B－A)＝∅，所以B正确；对于C，如维恩图所示，由A－B＝{x|x∈A且x∉B}，B－A＝{x|x∈B且x∉A}，根据集合的运算，可得(A－B)∪(B－A)＝∁A∪B(A∩B)≠A∪B，所以C不正确；对于D，若A＝B，可得A－B＝{x|x∈A且x∉A}＝∅，所以D正确．故选ABD．]11．将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是(　　)A．M＝{x|x<0}，N＝{x|x>0}是一个戴德金分割B．M没有最大元素，N有一个最小元素C．M有一个最大元素，N有一个最小元素D．M没有最大元素，N也没有最小元素BD　[对选项A，因为M＝{x|x<0}，N＝{x|x>0}，M∪N＝{x|x≠0}≠Q，故A错误；对选项B，设M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x≥0}，满足戴德金分割，则M中没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确；对选项C，若M有一个最大元素，N有一个最小元素，则不能同时满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，故C错误；对选项D，设M＝{x∈Q|x<2}，N＝{x∈Q|x≥2}，满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确．故选BD．]三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若集合A＝{－1，3}，B＝{x|ax－2＝0}，且A∪B＝A，则由实数a的取值构成的集合C＝________．-2，0，23　[由A∪B＝A，即B⊆A，故B＝∅，{－1}，{3}．若B＝∅时，方程ax－2＝0无解，a＝0；若B＝-1，则 －a－2＝0，所以a＝－2；若B＝{3}，则3a－2＝0，所以a＝23．综上，a＝0或a＝－2或a＝23．]13．设p：－m≤x≤m(m>0)，q：－1≤x≤4，若p是q的充分条件，则m的最大值为________，若p是q的必要条件，则m的最小值为________．(本小题第一空2分，第二空3分)1　4　[设A＝[－m，m]，B＝[－1，4]，若p是q的充分条件，则A⊆B，所以-m≥-1，m≤4所以00}，若(A∪B)⊆C，则实数m的取值范围为________．-12，1　[由题意，A∪B＝(－1，2)，集合C＝{x|mx＋1>0}，(A∪B)⊆C．①m<0，x<－1m，所以－1m≥2，所以m≥－12，所以－12≤m<0；②m＝0时，成立；③m>0，x>－1m，所以－1m≤－1，所以0－2．又m－2≥2或2m≤1，即m≥4或m≤12， 所以m≥4或－25}，∁UB＝{x|x≤1或x≥3}，因此，(∁UA)∩(∁UB)＝{x|x≤1或x>5}．(2)易知集合B＝{x|a－1