高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.1.1 等式的性质与方程的解集教课课件ppt

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.1.1 等式的性质与方程的解集教课课件ppt，共36页。PPT课件主要包含了ac＝bc，a＋c＝b＋c，任意实数，a2＋2ab＋b2，a＋ba－b，x＋ax＋b，等于C，未知数等内容，欢迎下载使用。
必备知识·情境导学探新知
在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)(如图①)，将余下的部分剪接拼成一个长方形(如图②)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证是你已经学习过的哪个等式？
知识点1　等式的性质性质(1)：等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立．用字母表示为：如果a＝b，则对任意的c，都有______________．性质(2)：等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立．用字母表示为：如果a＝b，则对任意的不为零的c，都有________．
提醒　等式还具有如下性质：(1)对称性：等式左右两边互换，所得结果仍是等式，即如果a＝b，那么b＝a．(2)传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c(也叫等量代换)．
知识点2　恒等式1．恒等式的含义一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取________时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．
2．常见的代数恒等式(1)(a＋b)2＝_____________，(a－b)2＝a2－2ab＋b2．(2)a2－b2＝______________．(3)a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)，a3－b3＝___________________．(4)(a＋b＋c)2＝__________________________．
(a－b)(a2＋ab＋b2)
a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca
3．十字相乘法(1)给定式子x2＋Cx＋D，如果能找到a和b，使得D＝ab且C＝a＋b，则x2＋Cx＋D＝_____________．为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用图来表示： ，其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要______，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”．代数式x2＋Cx＋D能进行因式分解的条件是C2－4D≥0．
(2)用“十字相乘法”分解因式：①直接利用公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)进行分解；②利用公式acx2＋(ad＋bc)x＋bd＝(ax＋b)(cx＋d)进行分解．
思考　1．十字相乘法分解因式的关键是什么？
[提示]　把二次项和常数项分解，交叉相乘，得到两个因数，再把两个因数相加，看它们的和是不是正好等于一次项系数．
知识点3　方程的解集1．方程的有关概念
思考　2．把方程通过适当变换后，求出的未知数的值都是这个方程的解(根)吗？
[提示]　把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的根，也可能是这个方程的增根．
(6)用因式分解法解方程时部分过程为：(x＋2)(x－3)＝6，所以x＋2＝3或x－3＝2．(　　)(7)计算(2a＋5)(2a－5)＝2a2－25．(　　)(8)因式分解过程为：x2－3xy－4y2＝(x＋y)·(x－4)．(　　)
2．式子x2＋3x－18分解因式的结果是(　　)A．(x－6)(x＋3)　　B．(x＋6)(x－3)C．(x－2)(x＋9)D．(x＋2)(x－9)
B　[因为6×(－3)＝－18，6＋(－3)＝3，所以x2＋3x－18＝(x＋6)(x－3)．]
3．已知三角形两边长分别为4和7，第三边的长是方程x2－17x＋66＝0的根，则第三边的长为________．
6　[由方程x2－17x＋66＝0得，(x－6)(x－11)＝0，解得x＝6或x＝11，当x＝6时，三边长为4，6，7，符合题意；当x＝11时，以4，7，11为三边构不成三角形，不合题意，舍去，则第三边长为6．]
关键能力·合作探究释疑难
(3)(法一)(x＋3y)2－(3x＋y)2＝x2＋6xy＋9y2－(9x2＋6xy＋y2)＝x2＋6xy＋9y2－9x2－6xy－y2＝8y2－8x2．(法二)(x＋3y)2－(3x＋y)2＝[(x＋3y)＋(3x＋y)][(x＋3y)－(3x＋y)]＝(x＋3y＋3x＋y)(x＋3y－3x－y)＝(4x＋4y)(－2x＋2y)＝4(x＋y)×2(－x＋y)＝8y2－8x2．]
反思领悟　利用恒等式进行因式分解的步骤一提：先看能否提公因式；二套：再看能否套用公式；三检查：再检查因式分解是否彻底；四检验：最后用多项式乘法检验分解是否正确．
[跟进训练]1．(1)计算：(x＋1)(x－1)(x2－x＋1)(x2＋x＋1)．(2)已知a＋b＋c＝4，ab＋bc＋ac＝4，求a2＋b2＋c2的值．
[解]　(1)(法一)原式＝(x2－1)[(x2＋1)2－x2]＝(x2－1)(x4＋x2＋1)＝x6－1．(法二)原式＝(x＋1)(x2－x＋1)(x－1)(x2＋x＋1)＝(x3＋1)(x3－1)＝x6－1．(2)a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ac)＝8．
[解]　(1)因为 ，所以原式＝(x＋7)(x－8)．(2)因为 ，所以原式＝(x－2)(x－8)．(3)因为 ，所以原式＝(2x－1)(3x＋7)．
类型2　十字相乘法分解因式【例2】　十字相乘法分解因式：(1)x2－x－56；(2)x2－10x＋16；(3)6x2＋11x－7．
反思领悟　十字相乘法分解因式的方法(1)对于二次项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)进行因式分解．(2)尝试把某些二次三项式如ax2＋bx＋c分解因式，先把a分解成a＝a1a2，把c分解成c＝c1c2，并且排列如下：这里按斜线交叉相乘的积的和就是a1c2＋a2c1，如果它正好等于二次三项式ax2＋bx＋c中一次项的系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)，其中a1，c1是图中上面一行的两个数，a2，c2是下面一行的两个数．
[跟进训练]2．将y2－5y＋4因式分解的结果是(　　)A．(y＋1)(y＋4)B．(y＋1)(y－4)C．(y－1)(y＋4)D．(y－1)(y－4)
D　[因式分解，可得y2－5y＋4＝(y－1)(y－4)，故选D．]
类型3　求方程的解集【例3】　求下列方程的解集．(1)x(x－2)＋x－2＝0；(2)关于x的方程ax2－(a＋1)x＋1＝0．
[解]　(1)把方程左边因式分解，得(x－2)(x＋1)＝0，从而，得x－2＝0或x＋1＝0，所以x1＝2，x2＝－1．所以方程的解集为{－1，2}．
发现规律　用“十字相乘法”求一元二次方程的解集的一般步骤(1)移项，将一元二次方程的____化为0．(2)化积，利用提取公因式法、公式法等将一元二次方程的左边分解为两个一次因式的积．(3)转化，两个因式分别为_，转化为两个一元一次方程．(4)求解，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．(5)将其解写成____的形式．
学习效果·课堂评估夯基础
D　[等式的性质中两边同除以一个不为0的数，等式成立，应找不为0的式子，而A，B中字母都可取0，而D中a2＋1>0，故D正确．]
ABC　[A中，(x－2)(x＋2)＝x2－4，使用平方差公式化简，是恒等式；B中，(a＋b)c＝ac＋bc是恒等式；C中，(－3＋m)(3＋m)＝(m－3)(m＋3)＝m2－9，平方差公式化简，是恒等式；D中，16x2－9＝24x是方程，不是恒等式．]
2．(多选)下列等式中，是恒等式的是(　　)A．(x－2)(x＋2)＝x2－4B．(a＋b)c＝ac＋bcC．(－3＋m)(3＋m)＝m2－9D．16x2－9＝24x
3．方程2x－1＝0的解集是________．
(a－b＋4)(a－b＋7)　[把a－b看作一个整体．因为 ，所以原式＝(a－b＋4)(a－b＋7)．]
4．因式分解：(a－b)2＋11(a－b)＋28＝___________________．
(a－b＋4)(a－b＋7)
[提示]　(1)将方程右边化为0．(2)将方程的左边分解为两个一次因式的积．(3)令每个因式等于0，得两个一元一次方程，再求解．
回顾本节知识，自主完成以下问题：1．用因式分解法解一元二次方程的步骤是怎样的？
提醒：①用因式分解法解一元二次方程，经常会遇到方程两边含有相同因式的情况，此时不能将其约去，而应当移项将方程右边化为零，再提取公因式，若约去则会使方程失根．②对于较复杂的一元二次方程，应灵活根据方程的特点分解因式．