人教B版 (2019)必修 第一册2.1.1 等式的性质与方程的解集学案设计

这是一份人教B版 (2019)必修 第一册2.1.1 等式的性质与方程的解集学案设计，共16页。

在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)(如图①)，将余下的部分剪接拼成一个长方形(如图②)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证是你已经学习过的哪个等式？
知识点1 等式的性质
性质(1)：等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立．
用字母表示为：如果a＝b，则对任意的c，都有a＋c＝b＋c．
性质(2)：等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立．
用字母表示为：如果a＝b，则对任意的不为零的c，都有ac＝bc．
等式还具有如下性质：
(1)对称性：等式左右两边互换，所得结果仍是等式，即如果a＝b，那么b＝a．
(2)传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c(也叫等量代换)．
知识点2 恒等式
1．恒等式的含义
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．
2．常见的代数恒等式
(1)(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a－b)2＝a2－2ab＋b2．
(2)a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
(3)a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)，
a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)．
(4)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca．
3．十字相乘法
(1)给定式子x2＋Cx＋D，如果能找到a和b，使得D＝ab且C＝a＋b，则x2＋Cx＋D＝(x＋a)(x＋b)．为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用图来表示：，其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”．
代数式x2＋Cx＋D能进行因式分解的条件是C2－4D≥0．
(2)用“十字相乘法”分解因式：
①直接利用公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)进行分解；
②利用公式acx2＋(ad＋bc)x＋bd＝(ax＋b)(cx＋d)进行分解．
1．十字相乘法分解因式的关键是什么？
[提示] 把二次项和常数项分解，交叉相乘，得到两个因数，再把两个因数相加，看它们的和是不是正好等于一次项系数．
知识点3 方程的解集
1．方程的有关概念
2．一元一次方程
2．把方程通过适当变换后，求出的未知数的值都是这个方程的解(根)吗？
[提示] 把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的根，也可能是这个方程的增根．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若xa＝ya，则x＝y．( )
(2)若x＝y，则xa＝yb．( )
(3)若x＋a＝y－a，则x＝y．( )
(4)若x＝y，则ax＝by．( )
(5)若x－m＝y－m，则x＝y．( )
(6)用因式分解法解方程时部分过程为：
(x＋2)(x－3)＝6，所以x＋2＝3或x－3＝2．( )
(7)计算(2a＋5)(2a－5)＝2a2－25．( )
(8)因式分解过程为：x2－3xy－4y2＝(x＋y)·(x－4)．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)× (7)× (8)×
2．式子x2＋3x－18分解因式的结果是( )
A．(x－6)(x＋3) B．(x＋6)(x－3)
C．(x－2)(x＋9)D．(x＋2)(x－9)
B [因为6×(－3)＝－18，6＋(－3)＝3，所以x2＋3x－18＝(x＋6)(x－3)．]
3．已知三角形两边长分别为4和7，第三边的长是方程x2－17x＋66＝0的根，则第三边的长为________．
6 [由方程x2－17x＋66＝0得，
(x－6)(x－11)＝0，解得x＝6或x＝11，
当x＝6时，三边长为4，6，7，符合题意；
当x＝11时，以4，7，11为三边构不成三角形，不合题意，舍去，则第三边长为6．]
类型1 恒等式的化简与求值
【例1】 (1)(多选)若x2＋xy－2y2＝0，则x2+3xy+y2x2+y2的值可以为( )
A．－52B．－15
C．15 D．52
(2)若多项式x2＋kx－24可以因式分解为(x－3)·(x＋8)，则实数k的值为( )
A．5B．－5
C．11D．－11
(3)计算(x＋3y)2－(3x＋y)2的结果是( )
A．8x2－8y2B．8y2－8x2
C．8(x＋y)2D．8(x－y)2
(1)BD (2)A (3)B [(1)由x2＋xy－2y2＝0得(x＋2y)(x－y)＝0，
所以x＝－2y或x＝y．当x＝－2y时，x2+3xy+y2x2+y2＝4y2-6y2+y24y2+y2＝－15；
当x＝y时，x2+3xy+y2x2+y2＝y2+3y2+y2y2+y2＝52．
(2)由题意得x2＋kx－24＝(x－3)(x＋8)＝x2＋5x－24．故选A．
(3)(法一)(x＋3y)2－(3x＋y)2
＝x2＋6xy＋9y2－(9x2＋6xy＋y2)
＝x2＋6xy＋9y2－9x2－6xy－y2＝8y2－8x2．
(法二)(x＋3y)2－(3x＋y)2
＝[(x＋3y)＋(3x＋y)][(x＋3y)－(3x＋y)]
＝(x＋3y＋3x＋y)(x＋3y－3x－y)
＝(4x＋4y)(－2x＋2y)＝4(x＋y)×2(－x＋y)
＝8y2－8x2．]
利用恒等式进行因式分解的步骤
一提：先看能否提公因式；
二套：再看能否套用公式；
三检查：再检查因式分解是否彻底；
四检验：最后用多项式乘法检验分解是否正确．
[跟进训练]
1．(1)计算：(x＋1)(x－1)(x2－x＋1)(x2＋x＋1)．
(2)已知a＋b＋c＝4，ab＋bc＋ac＝4，求a2＋b2＋c2的值．
[解] (1)(法一)原式＝(x2－1)[(x2＋1)2－x2]
＝(x2－1)(x4＋x2＋1)＝x6－1．
(法二)原式＝(x＋1)(x2－x＋1)(x－1)(x2＋x＋1)＝(x3＋1)(x3－1)＝x6－1．
(2)a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ac)＝8．
类型2 十字相乘法分解因式
【例2】 十字相乘法分解因式：
(1)x2－x－56；(2)x2－10x＋16；(3)6x2＋11x－7．
[解] (1)因为，
所以原式＝(x＋7)(x－8)．
(2)因为，
所以原式＝(x－2)(x－8)．
(3)因为，所以原式＝(2x－1)(3x＋7)．
十字相乘法分解因式的方法
(1)对于二次项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)进行因式分解．
(2)尝试把某些二次三项式如ax2＋bx＋c分解因式，先把a分解成a＝a1a2，把c分解成c＝c1c2，并且排列如下：
这里按斜线交叉相乘的积的和就是a1c2＋a2c1，如果它正好等于二次三项式ax2＋bx＋c中一次项的系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)，其中a1，c1是图中上面一行的两个数，a2，c2是下面一行的两个数．
[跟进训练]
2．将y2－5y＋4因式分解的结果是( )
A．(y＋1)(y＋4)B．(y＋1)(y－4)
C．(y－1)(y＋4)D．(y－1)(y－4)
D [因式分解，可得y2－5y＋4＝(y－1)(y－4)，故选D．]
类型3 求方程的解集
【例3】 求下列方程的解集．
(1)x(x－2)＋x－2＝0；
(2)关于x的方程ax2－(a＋1)x＋1＝0．
[解] (1)把方程左边因式分解，得(x－2)(x＋1)＝0，从而，得x－2＝0或x＋1＝0，所以x1＝2，x2＝－1．所以方程的解集为{－1，2}．
(2)当a＝0时，原方程可化为－x＋1＝0，所以x＝1．
当a≠0时，对于ax2－(a＋1)x＋1来说，因为a×1＝a，(－1)×(－1)＝1，a×(－1)＋1×(－1)＝－(a＋1)．
如图所示．
所以ax2－(a＋1)x＋1＝(ax－1)(x－1)，
所以原方程可化为(ax－1)(x－1)＝0，
所以ax－1＝0或x－1＝0，所以x＝1a或x＝1．
当a＝1时，1a＝1，
综上，当a＝0或a＝1时，方程的解集为{1}；
当a≠0且a≠1时，方程的解集为1a，1．
用“十字相乘法”求一元二次方程的解集的一般步骤
(1)移项，将一元二次方程的右边化为0．
(2)化积，利用提取公因式法、公式法等将一元二次方程的左边分解为两个一次因式的积．
(3)转化，两个因式分别为0，转化为两个一元一次方程．
(4)求解，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
(5)将其解写成集合的形式．
[跟进训练]
3．若x＝－2是关于x的一元二次方程x2－52ax＋a2＝0的一个根，则a的值为( )
A．1或4B．－1或－4
C．－1或4D．1或－4
B [∵x＝－2是关于x的一元二次方程x2－52ax＋a2＝0的一个根，∴4＋5a＋a2＝0，
∴(a＋1)(a＋4)＝0, 解得a＝－1或a＝－4．]
1．下列变形正确的是( )
A．若ax＝bx，则a＝b
B．若(a＋1)x＝a＋1，则x＝1
C．若x＝y，则x－5＝5－y
D．若x＝y，则xa2+1＝ya2+1
D [等式的性质中两边同除以一个不为0的数，等式成立，应找不为0的式子，而A，B中字母都可取0，而D中a2＋1>0，故D正确．]
2．(多选)下列等式中，是恒等式的是( )
A．(x－2)(x＋2)＝x2－4
B．(a＋b)c＝ac＋bc
C．(－3＋m)(3＋m)＝m2－9
D．16x2－9＝24x
ABC [A中，(x－2)(x＋2)＝x2－4，使用平方差公式化简，是恒等式；B中，(a＋b)c＝ac＋bc是恒等式；C中，(－3＋m)(3＋m)＝(m－3)(m＋3)＝m2－9，平方差公式化简，是恒等式；D中，16x2－9＝24x是方程，不是恒等式．]
3．方程2x－1＝0的解集是________．
12 [由2x－1＝0，解得x＝12，所以方程的解集是12．]
4．因式分解：(a－b)2＋11(a－b)＋28＝________．
(a－b＋4)(a－b＋7) [把a－b看作一个整体．
因为，
所以原式＝(a－b＋4)(a－b＋7)．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．用因式分解法解一元二次方程的步骤是怎样的？
[提示] (1)将方程右边化为0．
(2)将方程的左边分解为两个一次因式的积．
(3)令每个因式等于0，得两个一元一次方程，再求解．
提醒：①用因式分解法解一元二次方程，经常会遇到方程两边含有相同因式的情况，此时不能将其约去，而应当移项将方程右边化为零，再提取公因式，若约去则会使方程失根．②对于较复杂的一元二次方程，应灵活根据方程的特点分解因式．
2．因式分解常用的方法有哪些？
[提示] 提取公因式法、公式法、分组法、十字相乘法．
课时分层作业(十) 等式的性质与方程的解集
一、选择题
1．如图，天平上的物体a，b，c使天平处于平衡状态(标有相同字母的物体质量相同)，则物体a与物体c的质量关系是( )
A．2a＝3c B．4a＝9c
C．a＝2cD．a＝c
B [由题图可知，2a＝3b，2b＝3c，根据等式的性质得4a＝6b，6b＝9c，所以4a＝6b＝9c，即4a＝9c．]
2．(多选)下列属于恒等式的有( )
A．a2＝|a|
B．(a＋b)(a－b)＝a2－b2
C．4x＝2 024
D．(x－1)2＝0
AB [A、B属于恒等式；只有当x＝506时，等式4x＝2 024才成立；只有当x＝1时，等式(x－1)2＝0才成立，所以C、D不是恒等式．故选AB．]
3．将4x2＋1分别加上下列各项，其中不能化成(a＋b)2形式的是( )
A．4xB．－4x
C．4x4 D．16x
D [对于A，4x2＋1＋4x＝(2x＋1)2，故此选项不符合题意；
对于B，4x2＋1－4x＝(2x－1)2，故此选项不符合题意；
对于C，4x4＋4x2＋1＝(2x2＋1)2，故此选项不符合题意；
对于D，4x2＋1＋16x，不能运用完全平方公式分解因式，故此选项符合题意．故选D．]
4．代数式5x2－4xy＋y2＋6x＋25的最小值为( )
A．－16B．16
C．－8 D．8
B [5x2－4xy＋y2＋6x＋25＝4x2－4xy＋y2＋x2＋6x＋9＋16＝(2x－y)2＋(x＋3)2＋16，而(2x－y)2＋(x＋3)2≥0，
所以代数式5x2－4xy＋y2＋6x＋25的最小值是16．故选B．]
5．已知x2－3x＋1＝0，则x3＋1x3＝( )
A．－18B．18
C．－9D．9
B [因为x2－3x＋1＝0，所以x≠0，所以x＋1x＝3．
原式＝x+1xx2-1+1x2
＝x+1xx+1x2-3＝3(32－3)＝18．]
二、填空题
6．当x＝－7时，代数式(2x＋5)(x＋1)－(x－3)(x＋1)的值为________．
－6 [因为(2x＋5)(x＋1)－(x－3)(x＋1)＝2x2＋7x＋5－(x2－2x－3)＝x2＋9x＋8，又因为x＝－7，
所以原式＝(－7)2＋9×(－7)＋8＝－6．]
7．若2x2＋3x＋5＝a(2x＋1)(x＋1)＋b恒成立，则a＋b的值为________．
5 [因为2x2＋3x＋5＝a(2x＋1)(x＋1)＋b，
即2x2＋3x＋5＝2ax2＋3ax＋a＋b恒成立，
所以2=2a，3=3a，5=a+b，所以a＋b＝5．]
8．设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，集合B＝{x|ax－1＝0}，若B⊆A，则实数a取值集合的真子集的个数为________．
7 [A＝{x|x2－8x＋15＝0}＝{3，5}，因为B⊆A，当B＝∅时，a＝0，
当B≠∅时，即a≠0时，由ax－1＝0，解得x＝1a，
则1a＝3或1a＝5，则对应实数a的值为13，15，则实数a组成的集合的元素有3个，
所以实数a组成的集合的真子集个数有23－1＝7．]
三、解答题
9．分解因式：
(1)8x3＋4x2－2x－1；
(2)a3＋a2c＋b2c－abc＋b3．
[解] (1)原式＝8x3－1＋2x(2x－1)＝(2x－1)·(4x2＋2x＋1)＋2x(2x－1)＝(2x－1)(4x2＋4x＋1)＝(2x－1)(2x＋1)2．
(2)原式＝a3＋b3＋c(a2－ab＋b2)＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＋c(a2－ab＋b2)＝(a2－ab＋b2)(a＋b＋c)．
10．小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是2y－1＝y－●，怎么办呢？小明想了想便翻看了书后的答案，此方程的解是y＝－3，很快补好了这个常数，这个常数应是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
D [设所缺的部分为x，则2y－1＝y－x，把y＝－3代入，求得x＝4．故选D．]
11．(多选)已知集合M＝{x|12x2＋11x＋2＝0}，N＝{x|mx＝2}，且NM，则实数m的值可以是( )
A．0B．－3
C．－8D．3
ABC [M＝{x|12x2＋11x＋2＝0}＝-23，-14．
∵NM，
∴当m＝0时，N＝∅，符合题意；
当m≠0时，N＝2m．
当2m＝－23或2m＝－14时，
m＝－3或m＝－8．]
12．我国古代数学著作《田亩比类乘除捷法》中有这样一个问题：“给银八百六十四两，只云所得银之两数比总分人数，其银多十二两．问：总是几人，每人各得几两？”其意思是：现一共有银子八百六十四两，只知道每个人分到的银子数目的两倍比总人数多十二，则一共有________人，每个人分得________两银子．
36 24 [设共有x人，则每人分得864x两银子，
因为每个人分到的银子数目的两倍比总人数多十二，
所以864x·2－x＝12，即x2＋12x－1 728＝0，
解得x＝36或x＝－48(舍去)，
所以一共有36人，每人分得24两银子．]
13．将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线记成a bc d，定义a bc d＝ad－bc，上述记号就叫做2阶行列式．若x-1 x-11-x x+1＝12，则x＝________．
3或－2 [由题意得(x－1)(x＋1)－(x－1)(1－x)＝12．整理得x2－x－6＝0，因式分解得(x－3)·(x＋2)＝0，所以x－3＝0或x＋2＝0，解得x＝3或x＝－2．]
14．已知关于x的一元二次方程x2－4x＋2k＝0．
(1)若方程有实数根，求实数k的取值范围；
(2)如果k是满足(1)的最大整数，且方程x2－4x＋2k＝0的根是一元二次方程x2－2mx＋3m－1＝0的一个根，求m的值及这个方程的另一个根．
[解] (1)由题意得Δ≥0，所以16－8k≥0，解得k≤2．
(2)由(1)可知k＝2，所以方程x2－4x＋2k＝0的根x1＝x2＝2．
所以方程x2－2mx＋3m－1＝0的一个根为2，
所以4－4m＋3m－1＝0，解得m＝3．
所以方程x2－2mx＋3m－1＝x2－6x＋8＝0，解得x＝2或x＝4．所以方程x2－2mx＋3m－1＝0的另一根为4．
15．常用的分解因式方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解，如x2－4y2－2x＋4y，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：
x2－4y2－2x＋4y＝(x2－4y2)－(2x－4y)
＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y)
＝(x－2y)(x＋2y－2)．
这种分解因式的方法叫做分组分解法．利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式x2－2xy＋y2－25；
(2)△ABC三边a，b，c满足a2－ab－ac＋bc＝0，判断△ABC的形状．
[解] (1)x2－2xy＋y2－25＝(x－y)2－25＝(x－y＋5)(x－y－5)．
(2)因为a2－ab－ac＋bc＝0，所以a(a－b)－c(a－b)＝(a－b)(a－c)＝0，所以a＝b或a＝c，所以△ABC的形状为等腰三角形．学习任务
1．能够从具体实例中探索等式的性质并会应用．(逻辑推理)
2．理解恒等式的概念，会进行恒等变形．(数学运算)
3．会用十字相乘法分解因式，会求方程的解集．(数学运算)
方程
含有未知数的等式叫方程
方程的解(或根)
能使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解(或根)
方程的解集
把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集
解方程
求方程的解的过程叫解方程
一元一次
方程
方程两边都是整式，都只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫一元一次方程
满足的
条件
①必须是整式方程；
②只含有一个未知数；
③未知数的次数都是1
表示形式
ax＋b＝0(a≠0)或ax＝b(a≠0)