高中数学2.1.3 方程组的解集学案

这是一份高中数学2.1.3 方程组的解集学案，共18页。

我国古代数学著作《张邱建算经》中记载了百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为x，y，z，则
x+y+z=100，5x+3y+13z=100．
问题 当z＝81时，x＝________，y＝________．
知识点 方程组的解集与其解法
1．方程组的解集
一般地，将多个方程联立， 就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集．
2．方程组的解法
求方程组解集的过程要不断应用等式的性质，常用的方法是消元法．
常用的消元法有哪几种？
[提示] 解方程组时常用的消元法有代入消元法和加减消元法．代入消元时一般需要把原式化简一下再代入；加减消元时，也需要把原方程组中的某一个或某些个转化后再进行加减消元．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)方程组x+y=3，x-y=1的解集为{2，1}．( )
(2)2+1x=yx=y是二元一次方程组．( )
(3)x=-3，y=4是方程组3x2-xy-4y2-3x+4y=0，x2+y2=25的一个解．( )
(4)解方程组时要用代入消元法把未知数逐渐变少．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
[提示] (1)因为x+y=3，x-y=1的解集为{(2，1)}，故错误．
(2)方程2＋1x＝y不是整式方程，故错误．
(3)x=-3，y=4代入方程组成立，故正确．
(4)解方程组消元的方法主要有代入消元法和加减消元法，故错误．
2．二元一次方程组4x+3y=6，2x+y=4的解集是________．
{(3，－2)} [由4x+3y=6，2x+y=4解得x=3，y=-2，所以原方程组的解集为{(3，－2)}．]
3．由方程组x-y=1，①x-12+y+12+4=0，②消去y后得到的方程是( )
A．2x2－2x－3＝0
B．2x2－2x＋5＝0
C．2x2＋2x＋1＝0
D．2x2＋2x＋9＝0
B [由①得y＝x－1， ③
把③代入②，
得(x－1)2＋x2＋4＝0．整理，得2x2－2x＋5＝0．]
类型1 二元一次方程组的解集
【例1】 (1)(多选)对于二元一次方程组的解x=-1，y=1，用集合表示正确的为( )
A．-1，1 B．-1，1
C．(－1，1)D．x，yx=-1y=1
(2)我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”大致意思是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”设绳子长x尺，木条长y尺，根据题意所列方程组正确的是( )
A．x-y=4.512x-y=1B．x-y=4.5y-12x=1
C．x+y=4.5y-12x=1D．x-y=4.5x-12y=1
(3)方程组x+y=12，①2x+y=20，②的解集为________．
(1)AD (2)B (3){(8，4)} [(1)方程组的解集为有序数对，列举法表示为-1，1，描述法表示为x，yx=-1y=1或{(x，y)|(－1，1)}．
(2)依题意有x-y=4.5，y-12x=1．
(3)(法一：代入法)由①得：y＝12－x，③
将③代入②得：2x＋12－x＝20，
解这个一元一次方程，得x＝8，
将x＝8代入③，得y＝4，
所以原方程组的解集是{(8，4)}．
(法二：加减法)②－①得x＝8，代入①得y＝4，
所以原方程组的解集是{(8，4)}．]
二元一次方程组的解法
(1)用代入法解二元一次方程组的一般步骤
①当方程组中的未知数系数不是1(或－1)时，常选择系数相对较小的未知数，用另一个未知数的代数式表示这个未知数．
②代入时要注意加括号．
③为了检查解答是否正确，可把所得解代入未变形的方程进行口算检验，不必写检验过程．
(2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤
①将其中一个未知数的系数化为相同(或互为相反数)．
②通过相减(或相加)消去这个未知数，得到一个一元一次方程．
③解这个一元一次方程，得到未知数的值．
④将求得的未知数的值代入原方程组中任何一个方程，求得另一个未知数的值．
⑤写出方程组的解．
⑥检验，但不必写出检验过程．
(3)选择消元法
根据原题的形式，适当选择消元的方法．如果原题中有一个方程的某一未知数系数为1，可以选择代入消元法；若原题中将方程适当加减后能消元，则选择加减消元法．
[跟进训练]
1．设k∈R，求关于x与y的二元一次方程组y=2x+1，y=kx+3的解集．
[解] 两式相减，得(2－k)x＝2．
当k≠2时，将x＝22-k代入方程y＝2x＋1，得y＝6-k2-k．此时，原方程组的解集为22-k，6-k2-k．
当k＝2时，方程(2－k)x＝2无解，从而原方程组无解，其解集为∅．
类型2 三元一次方程组的解法
【例2】 求三元一次方程组3x-y+z=4，2x+3y-z=12，的解集．x+y+z=6
[思路导引] 利用加减消元法可求出原方程组的解集．
[解] 3x-y+z=4，①2x+3y-z=12，②x+y+z=6，③
①＋②得5x＋2y＝16，④
③＋②得3x＋4y＝18，⑤
④×2－⑤，得7x＝14，解得x＝2，代入④式得5×2＋2y＝16，解得y＝3，
将其代入③得z＝1．
所以原方程组的解集为{(2，3，1)}．
解三元一次方程组的基本步骤
[跟进训练]
2．求方程组x+y=1，①y+z=6，②z+x=3 ③的解集．
[解] ①＋②＋③，得2(x＋y＋z)＝10，
即x＋y＋z＝5．④
④－①，得z＝4；
④－②，得x＝－1；
④－③，得y＝2．
所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(－1，2，4)}．
类型3 二元二次方程组的解集
【例3】 求下列方程组的解集．
(1)x+y=8，①xy=12．②
(2)x2-4xy+4y2+x-2y-2=0，①3x+2y-11=0．②
[解] (1)由①得y＝8－x，③
把③代入②，整理得x2－8x＋12＝0．
解得x1＝2，x2＝6．
把x1＝2代入③，得y1＝6．
把x2＝6代入③，得y2＝2．
所以原方程组的解集为{(x，y)|(2，6)，(6，2)}．
(2)由①得(x－2y)2＋(x－2y)－2＝0，
解得x－2y＝1或x－2y＝－2，
由x-2y=1，3x+2y-11=0，得x=3，y=1．
由x-2y=-2，3x+2y-11=0，得x=94，y=178．
所以原方程组的解集为x，y3，1，94，178．
解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤
[跟进训练]
3．解方程组x2-y2=5x+y，①x2+xy+y2=43．②
[解] 由①得(x＋y)(x－y)－5(x＋y)＝0，
即(x＋y)(x－y－5)＝0，
所以x＋y＝0或x－y－5＝0，
所以原方程组可化为两个方程组：
x-y-5=0，x2+xy+y2=43 或x+y=0，x2+xy+y2=43，
用代入法解这两个方程组，解得
x=-1，y=-6或x=6，y=1或x=43，y=-43或x=-43，y=43．
所以原方程组的解集是{(－1，－6)，(6，1)，(43，－43)，(－43，43)}．
类型4 方程组的实际应用
【例4】 某汽车在相距70 km的甲、乙两地往返行驶，行驶中有一坡度均匀的小山，该汽车从甲地到乙地需要2.5 h，从乙地到甲地需要2.3 h．假设该汽车在平路、上坡路、下坡路的行驶过程中时速分别是30 km，20 km，40 km，则从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？
[思路导引] 题中有三个等量关系：(1)上坡路长度＋平路长度＋下坡路长度＝70 km．(2)从甲地到乙地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.5 h．(3)从乙地到甲地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.3 h．
[解] 设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路分别是x km，y km和z km．
由题意得x+y+z=70，x20+y30+z40=2.5，z20+y30+x40=2.3，解得x=12，y=54，z=4，
故从甲地到乙地的过程中，上坡路是12 km，平路是54 km，下坡路是4 km．
列方程组解应用题的一般步骤
提醒：(1)一般来说，设几个未知数就应列出几个方程．
(2)设未知数及写结论时，都要写清单位名称．
[跟进训练]
4．甲、乙两人分别从相距30千米的A，B两地同时相向而行，经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B地所剩的路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度．
[解] 设甲的速度为每小时x千米，乙的速度为每小时y千米．
①当甲、乙两人相遇前相距3千米时，
得3x+3y=30-3，30-5x=230-5y，解得x=4，y=5．
②当甲、乙两人经过3小时相遇后又相距3千米时，得3x+3y=30+3，30-5x=230-5y，解得x=163，y=173．
故甲的速度为每小时4千米，乙的速度为每小时5千米或甲的速度为每小时163千米，乙的速度为每小时173千米．
1．下列六种表示法：①{x＝－1，y＝2}；②{(x，y)|x＝－1，y＝2}；③{－1，2}；④(－1，2)；⑤{(－1，2)}；⑥{(x，y)|x＝－1或y＝2}．其中能表示方程组2x+y=0，x-y+3=0的解集的是( )
A．①②③④⑤⑥ B．②③④⑤
C．②⑤D．②⑤⑥
C [方程组2x+y=0，x-y+3=0的解集为{(－1，2)}，
因此可以表示解集的是②{(x，y)|x＝－1，y＝2}；⑤{(－1，2)}．]
2．以方程组y-x=1，y+x=2的解为坐标的点(x，y)在( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
A [解方程组y-x=1，y+x=2得x=12，y=32，
所以点12，32在第一象限．故选A．]
3．《九章算术》记载了一个方程的问题，译为：今有上禾六束，减损其中之“实”十八升，与下禾十束之“实”相当；下禾十五束，减损其中之“实”五升，与上禾五束之“实”相当．问上、下禾每束之“实”各为多少升？设上、下禾每束之“实”各为x升和y升，则可列方程组为( )
A．6x+18=10y15y+5=5xB．6x-18=10y15y-5=5x
C．6x-18=15y15y-5=10xD．6x+18=15y15y+5=10x
B [已知上、下禾每束之“实”分别为x，y升，上禾6束有6x升，减损18升，即(6x－18)升，与下禾10束之“实”相当，即6x－18＝10y，同理有15y－5＝5x，所以方程组为6x-18=10y，15y-5=5x．故选B．]
4．方程组x-y=0，x2+y=2的解集是________．
{(－2，－2)，(1，1)} [x-y=0，①x2+y=2，②
②＋①，得x2＋x＝2，解得x1＝－2，x2＝1，
把x1＝－2代入①，得y1＝－2，
把x2＝1代入①，得y2＝1，
所以原方程组的解集为{(－2，－2)，(1，1)}．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．求解二元一次方程组、三元一次方程组的基本方法有哪两种？
[提示] 加减消元法与代入消元法．
2．求解二元二次方程组的基本思想与方法是什么？应注意什么问题？
[提示] 求二元二次方程组解集的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次．消元后求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一个未知数的值，不能代入二元二次方程，因为这样可能产生增根．
课时分层作业(十二) 方程组的解集
一、选择题
1．已知x，y满足方程组3x+y=3，5x-3y=4，则2x－4y的值是( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
C [3x+y=3，①5x-3y=4，②
②－①，得2x－4y＝1，故选C．]
2．(多选)方程组x2=1，y2=x的解有( )
A．x=1y=1B．x=1y=-1
C．x=-1y=-1D．x=-1y=1
AB [由x2＝1，得x＝±1，
当x＝1时，y2＝1，得y＝±1，
当x＝－1时，y2＝－1，无解．
故方程组x2=1，y2=x的解为x=1，y=1，或x=1，y=-1．]
3．已知方程组2x+y=5，x+3y=5，则x＋y的值为( )
A．－1B．0
C．2D．3
D [2x+y=5，①x+3y=5，②
②×2，得2x＋6y＝10，③
③－①，得5y＝5，解得y＝1，
把y＝1代入①，得2x＋1＝5，
解得x＝2，所以原方程组的解是x=2，y=1，
所以x＋y＝2＋1＝3．]
4．若二元一次方程3x－y＝7，2x＋3y＝1，y＝kx－9有公共解，则k的取值为( )
A．3B．－3
C．－4D．4
D [由3x-y=7，2x+3y=1得x=2，y=-1，代入y＝kx－9得－1＝2k－9，解得k＝4．故选D．]
5．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需64元，若购甲4件、乙10件、丙1件，共需79元．现购甲、乙、丙各1件，共需( )
A．32元B．33元
C．34元D．35元
C [设甲每件x元、乙每件y元、丙每件z元．根据题意列方程组得3x+7y+z=64，①4x+10y+z=79，②
①×3－②×2得x＋y＋z＝34．故选C．]
二、填空题
6．设计一个二元二次方程组，使得这个二元二次方程组的解是x=2，y=3和x=-3，y=-2．试写出符合要求的方程组________．
xy=6，x-y=-1(答案不唯一) [由于这两组解都有：xy＝2×3＝6，x－y＝－1，
故可组成方程组为xy=6，x-y=-1(答案不唯一)．]
7．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问：金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相等)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相等)，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计)，问：黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为________．
[答案] 9x=11y，10y+x-8x+y=13
8．已知方程组4x-5y+2z=0，x+4y=3z，则x∶y∶z＝________．
1∶2∶3 [把z看作已知数，解关于x，y的方程组即可．]
三、解答题
9．(1)阅读下列材料并填空：
对于二元一次方程组4x+3y=54，x+3y=36，我们可以将x，y的系数和相应的常数项排成一个二行三列的矩阵4 3 541 3 36，求得的一次方程组的解x=a，y=b用矩阵表示为1 0 a0 1 b．用矩阵可以简化表达解一次方程组的过程如下，请补全其中的空白：
上行下行 4 3 541 3 36 上行-下行 3 0 181 3 36 上行÷3
1 0 61 3 36 下行-上行 1 0 60 3 30 下行÷3 _____，
从而得到该方程组的解集为________；
(2)仿照(1)中矩阵的书写格式写出解方程组2x+3y=6，x+y=2的过程．
[解] (1)1 0 60 1 10 {(6，10)}
(2)上行下行2 3 61 1 2 下行×2 2 3 62 2 4 上行-下行 0 1 22 2 4 下行÷2
0 1 21 1 2 下行-上行 0 1 21 0 0 交换上、下行 1 0 00 1 2，所以原方程组的解集为{(0，2)}．
10．小林买了7本数学书和2本语文书共花了100元，小敏买了4本语文书和2本数学书共花了80元，则买2本数学书和1本语文书要花( )
A．25元B．30元
C．35元D．45元
C [设1本数学书的价格为x元，1本语文书的价格为y元，
根据题意，得7x+2y=100，2x+4y=80，解得x=10，y=15，
2x＋y＝2×10＋15＝35，即买2本数学书和1本语文书要花35元，故选C．]
11．(多选)方程组kx-y+2=0，x2+y2+2x-8=0的解集为{(x1，y1)，(x2，y2)}，若x1＋x2＝－3，则( )
A．k＝1或k＝13
B．y1＋y2＝－3或y1＋y2＝－1
C．y1＋y2＝1或y1＋y2＝3
D．x12+x22＝12或x12+x22＝15
AC [把y＝kx＋2代入x2＋y2＋2x－8＝0，整理得(1＋k2)x2＋(4k＋2)x－4＝0，由条件及根与系数的关系知，x1＋x2＝－4k+21+k2＝－3，即3k2－4k＋1＝0，解得k＝1或k＝13，故A正确；y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4＝－3k＋4，所以k＝1或k＝13时，y1＋y2＝1或3，故B错误，C正确；因为x1x2＝－41+k2，
所以x12+x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝-32＋81+k2，
则当k＝1或k＝13时，x12+x22＝13或x12+x22＝815，故D错误．]
12．小亮解得方程组2x+y=●，2x-y=12的解集为{(x，y)|(5，★)}，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回★这个数，★＝________．
－2 [把x＝5代入2x－y＝12得，2×5－y＝12，
解得y＝－2，所以★为－2．]
13．已知关于x，y的方程组x+2y=k，2x+3y=3k-1．给出下列结论：
①x=4，y=-1是方程组的一组解；
②当k＝12时，x，y的值互为相反数；
③若方程组的解也是方程x＋y＝4－k的解，则k＝1．
其中正确的序号是________．
①② [解方程组x+2y=k，2x+3y=3k-1，得x=3k-2，y=1-k，
①x=4，y=-1是方程组的一组解，结论正确；
②当k＝12时，x＝3k－2＝32－2＝－12，y＝1－k＝1－12＝12，x，y的值互为相反数，结论正确；
③∵x=3k-2，y=1-k也是方程x＋y＝4－k的解，
∴x＋y＝3k－2＋1－k＝－1＋2k＝4－k，
∴3k＝5，k＝53，结论不正确．]
14．已知x，y满足方程组3x2-2xy+12y2=47，2x2+xy+8y2=36．
(1)甲看了看说：这是二元一次方程组；乙想了想说：这不是二元一次方程组，甲、乙两人的说法正确的是________；
(2)求x2＋4y2的值；
(3)若已知1x+12y＝2y+x2xy和(2y＋x)2＝x2＋4y2＋4xy，求1x+12y的值．
[解] (1)乙．
(2)3x2-2xy+12y2=47，①2x2+xy+8y2=36，②
①＋②×2得，7x2＋28y2＝119，
整理得，x2＋4y2＝17．
(3)②×3－①×2得，7xy＝14，
解得，xy＝2，则(2y＋x)2＝x2＋4y2＋4xy＝25，
∴2y＋x＝±5，
∴1x+12y＝2y+x2xy＝±54．
15．善于思考的小军在解方程组2x+5y=3，①4x+11y=5 ②时，采用了一种“整体代换”的方法：
将方程②变形为4x＋10y＋y＝5，即2(2x＋5y)＋y＝5，③
将方程①代入③得2×3＋y＝5，∴y＝－1，
将y＝－1代入①得x＝4，
∴方程组的解为x=4，y=-1．
请你解决以下问题：
(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组3x-2y=5，9x-4y=19；
(2)已知x，y满足方程组3x2-2xy+12y2=47，2x2+xy+8y2=36，求整式x2＋4y2＋xy的值．
[解] (1)由题知方程组为3x-2y=5，①9x-4y=19，②
将方程②变形为9x－6y＋2y＝19，
即3(3x－2y)＋2y＝19，③
将方程①代入③得3×5＋2y＝19，解得y＝2，
将y＝2代入①得x＝3，
∴方程组的解为x=3，y=2．
(2)由题知方程组为
3x2-2xy+12y2=47，①2x2+xy+8y2=36，②
由①得3(x2＋4y2)＝47＋2xy，
即x2＋4y2＝47+2xy3，③
把方程③代入②得2×47+2xy3＋xy＝36，
解得xy＝2，
将xy＝2代入③得x2＋4y2＝17．
∴x2＋4y2＋xy＝17＋2＝19．学习
任务
1．理解方程组的解集的概念及表示方法．(数学抽象)
2．掌握用消元法求方程组解集的方法．(数学运算)
3．会利用方程组知识解决一些简单的实际问题．(数据分析、数学运算)
消元
把方程组中的一个方程与另外两个方程分别组成方程组，利用代入消元法或加减消元法，消去两个方程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组
求解
解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值
回代
将求得的两个未知数的值代入原方程组中系数比较简单的方程，得到一元一次方程
求解
解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值
写解集
把方程组的解用集合表示出来