高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.1 不等式及其性质导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.1 不等式及其性质导学案，共19页。


如图，在日常生活中，我们经常看到下列标志：
其含义分别为
①最低限速：限制行驶速度v不得低于50 km/h．
②限制质量：装载总质量m不得超过10 t．
③限制高度：装载高度h不得超过3.5 m．
④限制宽度：装载宽度a不得超过3 m．
⑤时间范围：t∈[7.5，10]．
问题 你能用含不等号的数学式子表示上述关系吗？
知识点1 不等关系与不等式
1．不等式的定义
我们用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式．
2．比较两个实数(代数式)的大小
作差法的理论依据：
a－b＜0⇔a＜b；
a－b＝0⇔a＝b；
a－b＞0⇔a＞b．
3．比较两个实数大小的方法
比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a－b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式等．
知识点2 不等式的性质与推论
(1)推论2可以推广为更一般的结论：有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向．推论2是同向不等式相加法则的依据．
(2)同向不等式可以相加但不能相减，即由a>b，c>d，可以得到a＋c>b＋d，但不能得到a－c>b－d．
如果性质4中的不等式带有等号，那么结论是否仍然成立？
[提示] (1)如果性质4中的两个不等式只有一个带有等号，那么等号是传递不过去的．例如：如果a≥b且b>c，那么a>c；如果a>b且b≥c，那么a>c．
(2)如果两个不等式都带有等号，那么有：若a≥b且b≥c，则a≥c．其中a＝c时，必有a＝b且b＝c．
知识点3 证明问题的常用方法
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、定理、公理、事实等矛盾．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a＞b，c＜d，则a－c＞b－d．( )
(2)若a＞b，则1a＜1b．( )
(3)若a＞b＞0，c＞d＞0，则ad＞bc．( )
(4)已知a＞b，e＞f，c＞0，则f－ac＜e－bc．( )
(5)综合法是从结论向已知的逆推证法．( )
(6)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件的过程．分析法的推理过程实际上是寻求使结论成立的充分条件的过程．( )
(7)用反证法证明结论“a＞b”时，应假设“a≤b”．( )
(8)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)×
(6)√ (7)√ (8)×
2．(1)已知t＝a＋4b，s＝a＋b2＋4，则t和s的大小关系是( )
A．t＞s B．t≥s C．t＜s D．t≤s
(2)设a，b＞0，P＝a+b，Q＝a+b，则P与Q的大小关系是( )
A．P≥QB．P≤Q
C．P＞QD．P＜Q
(1)D (2)C [(1)∵s－t＝a＋b2＋4－(a＋4b)＝b2－4b＋4＝(b－2)2≥0，∴t≤s．
(2)P2＝(a+b)2＝a＋b＋2ab，Q2＝(a+b)2＝a＋b．∵a，b＞0，∴P2＞Q2．∴P＞Q．]
3．用不等号“<”或“>”填空：
(1)如果a>b，c>0，则d＋ac________d＋bc；
(2)如果a>b，c<0，则c(d－a)________c(d－b)；
(3)如果a>b，d>e，c<0，则d－ac________e－bc．
(1)> (2)> (3)> [(1)因为a>b，c>0，所以ac>bc，所以d＋ac>d＋bc．
(2)因为a>b，所以－a<－b，所以d－a因为c<0，所以c(d－a)>c(d－b)．
(3)因为a>b，c<0，所以ac－bc，
因为d>e，所以d－ac>e－bc．]
类型1 作差法比较两数(式)的大小
【例1】 (1)设m≠n，x＝m4－m3n，y＝n3m－n4，比较x与y的大小．
(2)已知x>1，比较x3－1与2x2－2x的大小．
[解] (1)x－y＝(m4－m3n)－(n3m－n4)＝(m－n)m3－n3(m－n)＝(m－n)(m3－n3)＝(m－n)2(m2＋mn＋n2)，∵m≠n，∴(m－n)2>0．
又∵m2＋mn＋n2＝m+n22+3n24>0，
∴(m-n)2(m2＋mn＋n2)>0．∴x－y>0，∴x>y．
(2)x3－1－(2x2－2x)＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1)＝(x－1)(x2＋x＋1－2x)
＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)x-122+34 ．
∵x>1，∴x－1>0．
又x-122＋34>0，
∴(x－1)x-122+34 >0．
∴x3－1>2x2－2x．
作差比较法的步骤及作差变形的方法
(1)作差法比较大小的步骤：作差→变形→定号→结论．
(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④平方差、立方差(和)公式；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论．
[跟进训练]
1．若x∈R，则x1+x2与12的大小关系为________．
x1+x2≤12 [∵x1+x2-12＝2x-1-x221+x2＝-x-1221+x2≤0，∴x1+x2≤12．]
类型2 不等式性质的应用
【例2】 给出下列命题：
①若ab>0，a>b，则1a<1b；
②若a>|b|，则a2>b2；
③若a>b，c>d，则a－c>b－d；
④对于正数a，b，m，若a其中真命题的序号是________．
①②④ [对于①，若ab>0，则1ab>0，
又a>b，所以aab>bab，所以1a<1b，所以①正确；
对于②，若a>|b|≥0，则a2>b2，所以②正确；
对于③，若a>b，c>d，则－c<－d，
所以－d>－c，所以a－d>b－c，
所以a－c>b－d不成立，③错误；
对于④，对于正数a，b，m，
若a即a(b＋m)所以a综上，正确的命题序号是①②④．]
利用不等式性质判断命题真假的注意点
(1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质．
(2)解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
[跟进训练]
2．已知a，b，c，d∈R，则下列命题必成立的是( )
A．若a>b，c>b，则a>c
B．若a>－b，则c－aC．若a>b，cbd
D．若a2>b2，则－a<－b
B [选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立；选项C不满足倒数不等式的条件，如a>b>0，c<0 类型3 不等式的证明
【例3】 用分析法证明a+6+a+7>a+8+a+5．
[证明] 要证a+6+a+7>a+8+a+5，
只需证(a+6+a+7)2>(a+8+a+5)2，
只需证2a＋13＋2a+6a+7>
2a＋13＋2a+8a+5，
只需证a2＋13a＋42>a2＋13a＋40，
只需证42>40，
因为42>40显然成立，
所以a+6+a+7>a+8+a+5成立．
[母题探究]
(变条件)若将本例改为“用反证法证明a+6+a+7>a+8+a+5”，应如何证明？
[证明] 假设a+6+a+7≤a+8+a+5，
则(a+6+a+7)2≤(a+8+a+5)2，
即2a＋13＋2a+6a+7≤2a＋13＋2a+8a+5，
即42≤40，
这与42>40矛盾，所以假设不成立．
所以a+6+a+7>a+8+a+5．
1．分析综合法的解题思路
根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证．
2．反证法证明问题的3个步骤
(1)假设结论的否定成立．
(2)推理得到矛盾．
(3)得出假设不成立．
[跟进训练]
3．设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2．(请用分析法和综合法两种方法证明)
[证明] (法一：综合法)3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b)．
因为a≥b>0，所以a－b≥0，3a2－2b2>0，
从而(3a2－2b2)(a－b)≥0，
所以3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2．
(法二：分析法)要证3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，
只需证3a2(a－b)－2b2(a－b)≥0，
只需证(3a2－2b2)(a－b)≥0，
因为a≥b>0，
所以a－b≥0，3a2－2b2>2a2－2b2≥0，
所以(3a2－2b2)(a－b)≥0成立，
所以原不等式得证．
1．设M＝(a＋1)(a－3)，N＝2a(a－2)，则( )
A．M＞N B．M≥N
C．M＜ND．M≤N
C [N－M＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝2a2－4a－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，即M＜N，故选C．]
2．用反证法证明某命题时，对结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设是( )
A．自然数a，b，c中至少有两个偶数
B．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
C．自然数a，b，c都是奇数
D．自然数a，b，c都是偶数
B [反证法证明命题时，反设是设结论的反面成立，即否定结论，故B正确．]
3．(多选)下列命题中，不正确的是( )
A．若a＜b＜0，则1a-b＞1a
B．若ac＞bc，则a＞b
C．若ac2＜bc2，则a＜b
D．若a>b，c>d，则ac>bd
ABD [由不等式的性质可知选项ABD不正确．]
4．若－1＜α＜β＜1，则下列各式中恒成立的是( )
A．－2＜α－β＜0
B．－2＜α－β＜－1
C．－1＜α－β＜0
D．－1＜α－β＜1
A [由－1＜α＜1，－1＜β＜1，得－1＜－β＜1．
所以－2＜α－β＜2，但α＜β．
故知－2＜α－β＜0．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．作差比较法的四个步骤是什么？
[提示] (1)作差：对要比较大小的两个式子作差．
(2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方、有理化等方法进行变形．
(3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号．
(4)作出结论．
上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键．
2．利用不等式的性质判断命题真假有哪两种方法？
[提示] (1)直接法：对于真命题，要利用不等式的相关性质证明；对于假命题只需举出一个反例即可．
(2)特殊值法：对于假命题常采用特殊值法举反例．
3．证明不等式的常用方法有哪些？
[提示] 证明不等式常用的方法有：作差(商)比较法、综合法、分析法、反证法．
课时分层作业(十三) 不等式及其性质
一、选择题
1．(多选)若a>b，则下列各式不正确的是( )
A．a－2>b－2 B．2－a>2－b
C．－2a>－2bD．a2>b2
BCD [因为a>b，所以a－2>b－2，故选项A正确，2－a<2－b，故选项B错误，－2a<－2b，故选项C错误．a2，b2无法比较大小，故选项D错误．故选BCD．]
2．已知a∈R，p＝a2－4a＋5，q＝(a－2)2，则p与q的大小关系为( )
A．p≤qB．p≥q
C．pq
D [因为p－q＝a2－4a＋5－(a－2)2＝1>0，
所以p>q，故选D．]
3．设xA．x2ax>a2
C．x2a2>ax
B [因为xa2．
因为x2－ax＝x(x－a)>0，所以x2>ax．
又ax－a2＝a(x－a)>0，所以ax>a2．
所以x2>ax>a2．故选B．]
4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证b2-ac＜3a”索的因应是( )
A．a－b＞0B．a－c＞0
C．(a－b)(a－c)＞0D．(a－b)(a－c)＜0
C [由a＞b＞c，且a＋b＋c＝0可得b＝－a－c，a＞0，c＜0．
要证b2-ac＜3a，只要证(－a－c)2－ac＜3a2，即证a2－ac＋a2－c2＞0，即证a(a－c)＋(a＋c)(a－c)＞0，即证a(a－c)－b(a－c)＞0，
也就是证(a－c)(a－b)＞0．
故求证b2-ac＜3a索的因应是(a－c)(a－b)＞0．]
5．设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：
a∧b＝a，a≤b，b，a＞b，a∨b＝b，a≤b，a，a＞b．
若正数a，b，c，d满足ab≥4，c＋d≤4，则( )
A．a∧b≥2，c∧d≤2B．a∧b≥2，c∨d≥2
C．a∨b≥2，c∧d≤2D．a∨b≥2，c∨d≥2
C [事实上本题的“∧”和“∨”运算就是取最小值和最大值运算，而ab≥4，则a，b中至少有一个大于或等于2，否则ab＜4，∴a∨b≥2；同理，c＋d≤4，则c，d中至少有一个小于或等于2，∴c∧d≤2．故选C．]
二、填空题
6．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤．
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，所以∠A＝∠B＝90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°．
其正确顺序为________．
③①② [用反证法证明命题的步骤是：先假设命题不成立，然后通过推理得出矛盾，最后否定假设，从而得到正确的命题．故填③①②．]
7．若a，b同时满足下列两个条件：
①a＋b>ab；②1a+b>1ab．
请写出一组a，b的值：________．
a＝－1，b＝2(答案不唯一) [容易发现，若将①式转化为②式，需使(a＋b)ab<0，即a＋b与ab异号，显然应使a＋b>0，ab<0．当a<0，b>0时，需使a＋b>0，则|a|<|b|，可取a＝－1，b＝2；当a>0，b<0时，需使a＋b>0，则|a|>|b|，可取a＝2，b＝－1．综上，取任意异号两数，且正数的绝对值大于负数的绝对值皆为合理答案．]
8．若x>1，－1y<－y<－xy1，－1所以0<－y所以－y<－xy，因为x－(－xy)＝x(1＋y)>0，
所以－xy三、解答题
9．设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．
[解] ∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)
＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1
＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，
∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，
当且仅当x＝y＝12且z＝1时取等号．
10．有外表一样，质量不同的四个小球，它们的质量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋cA．d>b>a>cB．b>c>d>a
C．d>b>c>aD．c>a>d>b
A [因为a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，所以2a>2c，
即a>c．因此b0，所以a11．(多选)设a，b为正实数，下列命题中正确的为( )
A．若a2－b2＝1，则a－b<1
B．若1b-1a＝1，则a－b<1
C．若|a-b|＝1，则|a－b|<1
D．若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1
AD [对于A，由题意a，b为正实数，则a2－b2＝1⇒a－b＝1a+b⇒a－b>0⇒a>b>0，故a＋b>a－b>0．若a－b≥1，则1a+b≥1⇒a＋b≤1≤a－b，这与a＋b>a－b>0矛盾，故a－b<1成立．
对于B，取特殊值，a＝3，b＝34，则a－b>1．
对于C，取特殊值，a＝9，b＝4时，|a－b|>1．
对于D，∵|a3－b3|＝1，a>0，b>0，
∴a≠b，不妨设a>b>0．
∴a2＋ab＋b2>a2－2ab＋b2>0，
∴(a－b)(a2＋ab＋b2)>(a－b)(a－b)2．
即a3－b3>(a－b)3>0，
∴1＝|a3－b3|>(a－b)3>0，
∴012．已知1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，则4a－2b的取值范围为________．
[－2，10] [(法一)设u＝a＋b，v＝a－b得a＝u+v2，b＝u-v2，
∴4a－2b＝2u＋2v－u＋v＝u＋3v．
∵1≤u≤4，－1≤v≤2，
∴－3≤3v≤6．
则－2≤u＋3v≤10，即－2≤4a－2b≤10．
(法二)令4a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)，
∴4a－2b＝(x＋y)a＋(x－y)b．
∴x+y=4，x-y=-2，∴x=1，y=3．
又1≤a+b≤4，-3≤3a-b≤6．
∴－2≤4a－2b≤10．]
13．某校的一个志愿者服务队由高中部学生组成，成员同时满足以下三个条件：
(1)高一学生人数多于高二学生人数；
(2)高二学生人数多于高三学生人数；
(3)高三学生人数的3倍多于高一、高二学生人数之和．
若高一学生人数为7，则该志愿者服务队总人数为________．
18 [设高二学生人数为x，高三学生人数为y(x，y∈N*)，则
y7+x， ②∴3y>7＋x>7＋y，即3y>7＋y，∴2y>7，即y>72．∵y∈N*，∴y≥4，结合①可知，5≤x≤6，(x，y)共有3种取法，分别为(5，4)，(6，4)，(6，5)，逐一代入②验证，可得只有(6，5)满足题意，∴x＝6，y＝5，该志愿者服务队总人数为7＋6＋5＝18．]
14．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
[解] 设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元．
当n取不同的正整数值时，比较y1与y2的大小．
由题意，y1＝x＋34x·(n－1)＝14x＋34nx，y2＝45nx．
因为y1－y2＝14x＋34nx－45nx＝14x－120nx＝14x1-n5，
当n＝5时，y1＝y2；当n>5时，y1y2．
即当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．
15．若a＞b＞0，c＜d＜0，|b|＞|c|．
(1)求证：b＋c＞0．
(2)求证：b+ca-c2＜a+db-d2．
(3)在(2)中的不等式中，能否找到一个代数式，满足b+ca-c2＜所求式＜a+db-d2？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由．
[解] (1)证明：因为|b|>|c|，且b＞0，c＜0，
所以b＞－c，
所以b＋c＞0．
(2)证明：因为c＜d＜0，
所以－c＞－d＞0．
又因为a＞b＞0，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得a－c＞b－d＞0，
所以(a－c)2＞(b－d)2＞0．
所以0＜1a-c2＜1b-d2．①
因为a＞b，d＞c，
所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得a＋d＞b＋c．
所以a＋d＞b＋c＞0．②
所以由两边都是正数的同向不等式的相乘性可将不等式①②相乘得b+ca-c2＜a+db-d2．
(3)能．因为a＋d＞b＋c＞0，
0＜1a-c2＜1b-d2，
所以b+ca-c2＜b+cb-d2＜a+db-d2，或b+ca-c2＜a+da-c2＜a+db-d2．(只要写出其中一个即可)
学习任务
1．了解现实世界和日常生活中的不等关系，理解不等式的概念．(数学抽象)
2．理解实数比较大小的基本事实，初步学会用作差法比较两个实数的大小．(逻辑推理、数学运算)
3．认识并证明不等式的性质及推论，能利用不等式的性质证明简单的不等式．(数学抽象、逻辑推理)
方法
依据
结论
画数轴
比较法
实数与数轴上的点一一对应；如果点P对应的数为x，则称x为点P的坐标，并记作P(x)
数轴上的点往数轴的正方向运动时，它所对应的实数会变大
作差
比较法
如果a－b>0，那么a>b；
如果a－b<0，那么a如果a－b＝0，那么a＝b
确定任意两个实数a，b的大小关系，只需确定它们的差a－b与0的大小关系
项目
别名
内容
注意
性质1
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
可逆
性质2
可乘性
a>bc>0⇒ ac>bc
c的
符号
性质3
a>bc<0⇒ac性质4
传递性
a>b，b>c⇒a>c
同向
性质5
对称性
a>b⇔b可逆
推论1
移项法则
a＋b>c⇔a>c－b
可逆
推论2
同向可加性
a>bc>d⇒a＋c>b＋d
同向
推论3
同向同正可乘性
a>b>0c>d>0⇒ac>bd
同向同正
推论4
可乘方性
a>b>0⇒an>bn
(n∈N，n>1)
同正
推论5
可开方性
a>b>0⇒a>b
同正
方法
定义
综合法
从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法
分析法
从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止
反证法
首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立．反证法是一种间接证明的方法