高中第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.3 一元二次不等式的解法学案及答案

这是一份高中第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.3 一元二次不等式的解法学案及答案，共18页。

某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册．经过调查，若价格每提高0.2元，发行量就减少5 000册．要使杂志社的销售收入大于22.4万元，每本杂志的价格应定在怎样的范围内？
知识点1 一元二次不等式的概念
一般地，形如ax2＋bx＋c＞0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0．一元二次不等式中的不等号也可以是“＜”“≥”“≤”等．
一元二次不等式的二次项系数a有a＞0和a＜0两种，注意a≠0．当a＜0时，我们通常将不等式两边同乘以－1，化为二次项系数大于0的一元二次不等式，但要注意不等号要改变方向，这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式．
知识点2 一元二次不等式的解法
1．因式分解法解一元二次不等式
一般地，如果x1＜x2，则不等式(x－x1)(x－x2)＜0的解集是(x1，x2)；不等式(x－x1)(x－x2)＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)．
2．配方法解一元二次不等式
一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2＞k或(x－h)2＜k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集．
[拓展] 一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2＞k或(x－h)2＜k的形式．
(1)当k≥0时，(x－h)2＞k的解集为(－∞，h－k)∪(h＋k，＋∞)；(x－h)2＜k的解集为(h－k，h＋k)．
(2)当k＜0时，(x－h)2＞k的解集为R；(x－h)2＜k的解集为∅．
知识点3 简单的分式不等式的解法
1．分式不等式的概念
分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．各种分式不等式经过同解变形，都可化为标准形式y'y″>0(≥0)或y'y″<0(≤0)(其中y′，y″为整式且y″不0)．
2．分式不等式的解法
解分式不等式的思路——转化为整式不等式求解．
化分式不等式为标准型的方法：移项，通分，右边化为0，左边化为y'y″的形式．
当分式不等式中含有等号，等价转化为整式不等式时，其分母不为零最容易被忽略，这一点一定要注意．(易错点)
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若方程ax2＋bx＋c＝0可以变形为a(x－1)(x＋1)＝0，则ax2＋bx＋c<0的解集为(－1，1)．( )
(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2(3)若集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝{x|－1[答案] (1)× (2)√ (3)×
[提示] (1)当a>0时，ax2＋bx＋c<0的解集为(－1，1)．
(3)由x2－x－2>0，得(x－2)(x＋1)>0，解得x>2或x<－1，所以A＝{x|x<－1或x>2}，
所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}．
2．不等式2x≤x2＋1的解集为( )
A．∅ B．R
C．(－∞，1)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B [2x≤x2＋1⇔x2－2x＋1≥0⇔(x－1)2≥0，
所以x∈R．]
3．不等式x-12x+1≥0的解集为( )
A．x-12＜x≤1B．x-12≤x≤1
C．xx＜-12或x≥1D．xx≤-12或x≥1
C [原不等式等价于(x－1)(2x＋1)＞0或x－1＝0，解得x＜－12或x＞1或x＝1，所以原不等式的解集为xx＜-12或x≥1．]
类型1 解一元二次不等式
解不含参数的一元二次不等式
【例1】 求下列不等式的解集．
(1)x2－5x＋6≤0；
(2)－2x2＋5x－3≤0；
(3)x2－6x＋9>0；
(4)x2＋x＋1>0．
[解] (1)原不等式即为(x－2)(x－3)≤0，解得2≤x≤3，故原不等式的解集为{x|2≤x≤3}．
(2)将原不等式变形为2x2－5x＋3≥0，即(2x－3)·(x－1)≥0，解得x≤1或x≥32，
故原不等式的解集为xx≤1或x≥32．
(3)将原不等式变形为(x－3)2>0，解得x≠3，故原不等式的解集为{x|x≠3}．
(4)对于不等式x2＋x＋1>0，Δ＝1－4<0，故原不等式的解集为R．
解一元二次不等式的一般方法和步骤
[跟进训练]
1．已知集合A＝{x|x2－x－6＞0}，则∁RA＝( )
A．{x|－2＜x＜3}B．{x|－2≤x≤3}
C．xx<-2或x>3D．xx≤-2或x≥3
B [(法一)由x2－x－6＞0左边因式分解得(x＋2)(x－3)＞0，解得x＜－2或x＞3，则A＝{x|x＜－2或x＞3}，所以∁RA＝{x|－2≤x≤3}．
(法二)由x2－x－6＞0左边配方可得x-122－254＞0，即x-122＞254，两边开方得x-12 ＞52，
所以x＞3或x＜－2，
所以∁RA＝{x|－2≤x≤3}．]
解含参数的一元二次不等式
【例2】 设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0．
[解] (1)当a＝0时，不等式可化为x－2>0，解得x>2，即原不等式的解集为{x|x>2}．
(2)当a≠0时，方程ax2＋(1－2a)x－2＝0的两根分别为2和－1a．
①当a<－12时，解不等式得－1a即原不等式的解集为x-1a②当a＝－12时，不等式无解，即原不等式的解集为∅；
③当－12即原不等式的解集为x2④当a>0时，解不等式得x<－1a或x>2，
即原不等式的解集为xx<-1a或x>2．
解含参数的一元二次不等式的一般步骤
提醒：对参数进行分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．
[跟进训练]
2．求关于x的不等式2x2＋kx－k≤0的解集．
[解] 由题意知，Δ＝k2＋8k＝k(k＋8)．
当Δ>0，即k<－8或k>0时，方程2x2＋kx－k＝0有两个不相等的实数根，所以不等式2x2＋kx－k≤0的解集是x-k-kk+84≤x≤-k+kk+84．
当Δ＝0，即k＝－8或k＝0时，方程2x2＋kx－k＝0有两个相等的实数根，所以不等式2x2＋kx－k≤0的解集是-k4．即当k＝－8时，不等式2x2＋kx－k≤0的解集为{2}；当k＝0时，不等式2x2＋kx－k≤0的解集为{0}．
当Δ<0，即－8 类型2 解简单的分式不等式
【例3】 (1)若关于x的不等式ax－b＞0的解集是(2，＋∞)，则关于x的不等式ax+bx-2＞0的解集是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－2，2)
D．(－1，2)
(2)不等式2-xx+4＞1的解集是________．
[思路导引] (1)根据不等式及解集，可判断a的符号及ba＝2．将所求不等式变形，结合一元二次不等式解法即可求得解集．(2)先把分式不等式化为等价的整式不等式后再求解．
(1)B (2){x|－4＜x＜－1} [(1)由x的不等式ax－b＞0，变形可得ax＞b，因为关于x的不等式ax＞b的解集是(2，＋∞)，所以a＞0且ba＝2，则不等式ax+bx-2＞0可化为ax+bax-2＞0，即ax+2x-2＞0，等价于a(x＋2)(x－2)＞0，
因为a＞0，解得x＜－2或x＞2，
即x∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
(2)因为2-xx+4＞1，
所以2-xx+4－1＞0，即2-x-x-4x+4＞0，所以2x+1x+4＜0．
所以(x＋1)(x＋4)＜0，故－4＜x＜－1．]
[母题探究]
1．(变条件)将本例(1)中ax+bx-2＞0，改为ax+bx-2＜0，其他条件不变，求不等式的解集．
[解] 由题意，可得a＞0且ba＝2．
不等式ax+bx-2＜0可化为ax+bax-2＜0，
即ax+2x-2＜0，等价于a(x＋2)(x－2)＜0，
因为a＞0，解得－2＜x＜2，即x∈(－2，2)．
2．(变条件)将本例(2)中不等式改为2-xx+4≤1，求不等式的解集．
[解] 由本例(2)解析知，
因为2-xx+4≤1，
所以(x＋1)(x＋4)≥0，
且x＋4≠0，故x≥－1或x＜－4，
即x∈(－∞，－4)∪[－1，＋∞)．
解分式不等式的步骤
类型3 两个“二次”间的关系
【例4】 已知一元二次不等式x2＋bx＋c<0的解集为(1，2)，求实数b，c的值以及不等式bx2－5x＋c≤0的解集．
[解] 由题意，可知一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个根是1和2．利用根与系数的关系，得b＝－(1＋2)＝－3，c＝1×2＝2．
将b，c的值代入不等式bx2－5x＋c≤0，
得－3x2－5x＋2≤0，即3x2＋5x－2≥0，
也就是(3x－1)(x＋2)≥0，
其解集为(－∞，－2]∪13，+∞．
一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及两个“二次”之间的关系解题的思想
(1)求解方法：由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集．
(2)解题思想：一元二次不等式与其对应的方程之间存在着密切的联系，即给出了一元二次不等式的解集，则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根．在解决具体的数学问题时，要注意两者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．
[跟进训练]
3．已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求不等式cx2－bx＋a＞0的解集．
[解] 由题意知2+3=-ba，2×3=ca，a＜0，即b=-5a，c=6a，a＜0．
代入不等式cx2－bx＋a＞0，得6ax2＋5ax＋a＞0(a＜0)．即6x2＋5x＋1＜0，解得－12＜x＜－13，所以所求不等式的解集为x-12＜x＜-13．
1．下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4x<0；②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④2x2－1<0．其中一定为一元二次不等式的有( )
A．1个B．2个
C．3个 D．4个
B [②④一定是一元二次不等式．]
2．不等式x-1x+2＜0的解集为( )
A．{x|x＞1}B．{x|x＜－2}
C．{x|－2＜x＜1}D．{x|x＞1或x＜－2}
C [原不等式等价于(x－1)(x＋2)＜0，解得－2＜x＜1．]
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值表如下：
则a＝________；不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为________．
1 {x|x＜－2或x＞3} [由表知x＝－2时，y＝0，x＝3时，y＝0，
所以二次函数y＝ax2＋bx＋c可化为：
y＝a(x＋2)(x－3)，
又因为x＝1时，y＝－6，
所以a＝1，图象开口向上．
结合二次函数的图象可得不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|x＜－2或x＞3}．]
4．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，则m＝________．
2 [因为ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，
所以a>0，
所以原不等式可化为a(x－1)(x－m)<0，
即(x－1)(x－m)<0，
1，m是相应方程ax2－6x＋a2＝0的两根，
所以1+m=6a，m=a，解得m＝2．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．解一元二次不等式有哪些方法？
[提示] (1)因式分解法：若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为两个一次因式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集．
(2)配方法：若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得．
(3)求根公式法：若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法．
(4)两个“二次”间的关系法：不等式解集的端点恰好是一元二次方程的根．
2．含参数的一元二次不等式的解题步骤是怎样的？
[提示]
3．解分式不等式应注意哪些问题？
[提示] (1)注意每一步都要作同解变形．
(2)注意x2的系数的正负，尤其为负数时，可化负为正后再求解，否则易将范围求错．
(3)解集用集合或区间书写．
(4)解fxgx≥0(≤0)型的分式不等式，转化为整式不等式后，应注意分子可取零，而分母不能取零．
课时分层作业(十五) 一元二次不等式的解法
一、选择题
1．不等式x2＋x－2>0的解集为( )
A．{x|－2B．{x|－1C．{x|x<－2或x>1}
D．{x|x<－1或x>2}
C [由x2＋x－2>0可得(x＋2)(x－1)>0，
所以x<－2或x>1，
故不等式的解集为{x|x<－2或x>1}，
故选C．]
2．不等式2x-1x+3>0的解集是( )
A．12，+∞
B．(4，＋∞)
C．(－∞，－3)∪(4，＋∞)
D．(－∞，－3)∪12，+∞
D [2x-1x+3>0⇔(2x－1)(x＋3)>0⇒x<－3或x>12．故选D．]
3．(多选)下列四个不等式：
①－x2＋x＋1≥0；②x2－25x＋5＞0；③x2＋6x＋10＞0；④－2x2＋3x－4＜0．
其中解集为R的是( )
A．①B．②
C．③D．④
CD [①显然不可能；②中Δ＝(－25)2－4×5＞0，解集不为R；③可化为(x＋3)2＞－1．满足条件；④可化为x2－32x＋2＞0，所以x-342＞－2316，满足条件，故选CD．]
4．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是( )
A．{x|x<－n或x>m}
B．{x|－nC．{x|x<－m或x>n}
D．{x|－mB [方程(m－x)(n＋x)＝0的两根为m，－n，因为m＋n>0，所以m>－n，结合函数y＝(m－x)(n＋x)的图象(图略)，得不等式的解集是{x|－n5．(多选)某城市对一种每件售价为160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若年销售量为30-52R万件，要使附加税不少于128万元，则R的值可以是( )
A．3B．4
C．7D．8
BCD [根据题意，要使附加税不少于128万元，需30-52R×160×R%≥128，整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4，8]，所以R的值可以是4，7，8．]
二、填空题
6．(2024·上海卷)不等式x2－2x－3<0的解集为________．
(－1，3) [由x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)<0，得－17．已知关于x的不等式2x2＋ax－a2＞0的解集中的一个元素为2，则实数a的取值范围为________．
(－2，4) [因为关于x的不等式2x2＋ax－a2＞0的解集中的一个元素为2，所以8＋2a－a2＞0，即(a－4)(a＋2)＜0，解得－2＜a＜4．]
8．若关于x的不等式－12x2＋2x＞mx的解集是{x|0＜x＜2}，则实数m的值是________．
1 [将原不等式化为12x2＋(m－2)x＜0，
即x(x＋2m－4)＜0，
故0，2是对应方程x(x＋2m－4)＝0的两个根，代入得m＝1．]
三、解答题
9．解不等式－1＜x2＋2x－1≤2．
[解] 原不等式可化为x2+2x-1＞-1，x2+2x-1≤2，
即x2+2x＞0，x2+2x-3≤0，即xx+2＞0，x+3x-1≤0，所以x＜-2或x＞0，-3≤x≤1．
如图，结合数轴，可得原不等式的解集为{x|－3≤x＜－2或0＜x≤1}．
10．(多选)已知关于x的不等式x2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－2或x>3}，则( )
A．b＝－1
B．不等式bx＋c>0的解集是{x|x<－6}
C．b＋c＝5
D．不等式cx2－bx＋1<0的解集是xx<-13或x>12
ABD [由条件知x2＋bx＋c＝0的两根为x＝－2或x＝3，所以b＝－1，c＝－6，故A正确，C错误；－x－6>0的解集为{x|x<－6}，故B正确；-6x2＋x＋1<0，即6x2－x－1>0，解得x<－13或x>12，故D正确．]
11．关于x的不等式(ax－1)2A．a-32B．a-32C．a-32D．a-32B [(ax－1)2所以(a＋1)(a－1)>0，解得a>1或a<－1．
①当a>1时，不等式的解为1a+1②当a<－1时，不等式的解为1a+1则－3≤1a+1<－2，即－2(a＋1)<1≤－3(a＋1)，解得－32综上所述，实数a的取值范围为a-3212．关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为{x|x152 [由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝52．]
13．对于实数x，当且仅当n≤x[2，8) [由4[x]2－36[x]＋45<0，得32<[x]<152，所以[x]＝2，3，4，5，6，7，又当且仅当n≤x14．解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0．
[解] 当a＝0时，原不等式可化为x>1．
当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0．
当a<0时，不等式可化为x-1a(x－1)>0，
因为1a<1，所以x<1a或x>1．
当a>0时，原不等式可化为x-1a(x－1)<0．
若1a<1，即a>1，则1a1，即0综上所述，当a<0时，原不等式的解集为xx<1a或x>1；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；当01时，原不等式的解集为x1a15．已知集合A＝{x|－2＜x≤1}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4＜0}，C＝{x||x－m|＜2}，D＝x2x-mx-2＜0．
(1)当m＝1时，求A∪∁RB；
(2)从集合B，C，D中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
已知p：x∈A，q：x∈________，则p是q的充分不必要条件．若存在实数m，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
[解] (1)当m＝1时，B＝{x|x2－2x－3＜0}＝{x|－1＜x＜3}，所以∁RB＝{x|x≤－1或x≥3}，故A∪∁RB＝{x|x≤1或x≥3}．
(2)若选B：B＝{x|x2－2mx＋m2－4＜0}＝{x|m－2＜x＜m＋2}，由于p是q的充分不必要条件，所以AB，
所以-2≥m-2，1＜m+2，解得－1＜m≤0，故实数m的取值范围为(－1，0]．
若选C：C＝{x||x－m|＜2}＝{x|m－2＜x＜m＋2}，由于p是q的充分不必要条件，所以AC，所以-2≥m-2，1＜m+2，解得－1＜m≤0，故实数m的取值范围为(－1，0]．
若选D：D＝x2x-mx-2＜0，
由于p是q的充分不必要条件，所以AD，
若m＞4，则D＝x2x-mx-2＜0＝x2＜x＜m2，
此时不满足条件；
若m＝4，则D＝∅，此时不满足条件；
若m＜4，则D＝x2x-mx-2＜0＝xm2＜x＜2，
所以m2≤－2，解得m≤－4，故实数m的取值范围为(－∞，－4]．学习任务
1．理解一元二次不等式及其解集的概念．(数学抽象)
2．能够利用因式分解法和配方法解一元二次不等式．(数学运算、逻辑推理)
3．了解简单的分式不等式，并会求其解集．(数学抽象、逻辑推理)
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
0
－4
－6
－6
－4
0
6
讨论二次
项系数
二次项系数若含有参数，应讨论是小于0，还是大于0，若小于0，则将不等式转化为二次项系数为正的形式
判断方程
根的个数
判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系
写出解集
确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式
提醒：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算