人教B版高中数学必修第一册第3章3-1-2第2课时函数的平均变化率学案

这是一份人教B版高中数学必修第一册第3章3-1-2第2课时函数的平均变化率学案，共16页。

第2课时　函数的平均变化率科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考察，如图是某天气温随时间的变化曲线．请根据曲线图思考下列问题：问题　(1)在区间[6，17]对应的曲线上任取不同两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，ΔyΔx＝y2-y1x2-x1一定大于零吗？(2)如果在区间[2，10]对应的曲线上任取不同两点C(x3，y3)，D(x4，y4)，ΔyΔx＝y4-y3x4-x3一定大于零吗？知识点1　直线的斜率(1)定义：给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，称y2-y1x2-x1为直线AB的斜率；(若记Δx＝x2－x1，相应的Δy＝y2－y1，当Δx≠0时，斜率记为ΔyΔx)，当x1＝x2时，称直线AB的斜率不存在．(2)作用：直线AB的斜率反映了直线相对于 x轴的倾斜程度．知识点2　平均变化率与函数单调性若区间I是函数y＝f (x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f (x1)，y2＝f (x2)，ΔyΔx＝y2-y1x2-x1即ΔyΔx=fx2-fx1x2-x1，则：(1)y＝f (x)在区间I上是增函数的充要条件是ΔyΔx＞0在区间I上恒成立．(2)y＝f (x)在区间I上是减函数的充要条件是ΔyΔx＜0在区间I上恒成立．当x1≠x2时，称ΔyΔx＝fx2-fx1x2-x1为函数y＝f (x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的平均变化率．通常称Δx为自变量的改变量，Δy为因变量的改变量．(1)Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负．(2)注意自变量与函数值的对应关系，公式中，若Δx＝x2－x1，则Δy＝f (x2)－f (x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f (x1)－f (x2)．(3)平均变化率可正可负，也可为零．但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等．比如，f (x)＝x2在区间[－2，2]上的平均变化率为0，但f (x)＝x2在[－2，2]上的图象先下降后上升，值域是[0，4]．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一次函数y＝ax＋b(a≠0)从x1到x2的平均变化率为a． (　　)(2)函数y＝f (x)的平均变化率ΔyΔx＝fx2-fx1x2-x1的几何意义是函数y＝f (x)图象上两点A(x1，f (x1))，B(x2，f (x2))所在直线的斜率． (　　)(3)直线不一定有斜率，过函数图象上任意两点的直线也不一定有斜率． (　　)[答案]　(1)√　(2)√　(3)×[提示]　(1)一次函数y＝ax＋b(a≠0)从x1到x2的平均变化率为ΔyΔx＝ax2+b-ax1+bx2-x1＝ax2-x1x2-x1＝a．(2)由平均变化率的几何意义可知ΔyΔx＝fx2-fx1x2-x1表示过函数y＝f (x)图象上两点A(x1，f (x1))，B(x2，f (x2))所在直线的斜率．(3)过函数图象上任意两点的直线一定有斜率，因为根据函数的定义，一定有x1≠x2．2．(1)过函数图象上两点A(－1，3)，B(2，3)的斜率ΔyΔx＝________．(2)过点M(－1，m)，N(m＋1，4)的直线的斜率为1，则m的值为________．(1)0　(2)1　[(1)ΔyΔx＝3-32+1＝0．(2)由直线的斜率公式得4-mm+1--1＝1，即4-mm+2＝1，解得m＝1．]3．一次函数y＝－2x＋3在R上是________(选填“增”或“减”)函数．减　[任取x1，x2∈R且x1≠x2，∴y1＝－2x1＋3，y2＝－2x2＋3，∴ΔyΔx＝y1-y2x1-x2＝－2＜0，故y＝－2x＋3在R上是减函数．] 类型1　平均变化率的计算【例1】　一正方形铁板在0 ℃时边长为10 cm，加热后会膨胀，当温度为t ℃时，边长变为10(1＋at)cm，a为常数．试求铁板面积对温度的平均膨胀率．[思路导引]　由正方形的边长与面积关系列出函数表达式，再求面积的平均变化率．[解]　设温度的增量为Δt，则铁板面积S的增量为ΔS＝102[1＋a(t＋Δt)]2－102(1＋at)2＝200(a＋a2t)Δt＋100a2(Δt)2，所以平均膨胀率ΔSΔt＝200(a＋a2t)＋100a2Δt．　求平均变化率的3个步骤(1)求出或者设出自变量的改变量．(2)根据自变量的改变量求出函数值的改变量．(3)求出函数值的改变量与自变量的改变量的比值．[跟进训练]1．如图是函数y＝f (x)的图象．(1)函数f (x)在区间[－1，1]上的平均变化率为________．(2)函数f (x)在区间[0，2]上的平均变化率为________．(1)12　(2)34　[(1)函数f (x)在区间[－1，1]上的平均变化率为f1-f-11--1＝2-12＝12．(2)由函数f (x)的图象知，f (x)＝x+32，-1≤x≤1，x+1，10，则f (x)在区间I上是增函数；若ΔfxΔx<0，则f (x)在区间I上是减函数．[跟进训练]2．已知函数f (x)＝1－3x+2，x∈[3，5]，判断函数f (x)的单调性，并证明．[解]　由于y＝x＋2在[3，5]上是增函数，且恒大于零，因此，由复合函数单调性的判定方法知f (x)＝1－3x+2在[3，5]上为增函数．证明过程如下：任取x1，x2∈[3，5]且x1＜x2，即Δx＝x2－x1＞0，则Δy＝f (x2)－f (x1)＝1－3x2+2-1-3x1+2＝3x1+2-3x2+2＝3x2-x1x1+2x2+2．∵(x1＋2)(x2＋2)＞0，∴Δy＞0，∴ΔyΔx＞0，故函数f (x)在[3，5]上是增函数． 类型3　二次函数的单调性、最值问题【例3】　已知函数f (x)＝x2－ax＋1，求f (x)在[0，1]上的最大值．[解]　因为函数f (x)＝x2－ax＋1的图象开口向上，其对称轴为x＝a2，当a2≤12，即a≤1时，f (x)的最大值为f (1)＝2－a；当a2>12，即a>1时，f (x)的最大值为f (0)＝1．[母题探究]1．(变结论)在题设条件不变的情况下，求f (x)在[0，1]上的最小值．[解]　①当a2≤0，即a≤0时，f (x)在[0，1]上单调递增，∴f (x)的最小值为f (0)＝1．②当a2≥1，即a≥2时，f (x)在[0，1]上单调递减，∴f (x)的最小值为f (1)＝2－a．③当0b．②最大值：f (x)max＝fa，m≥a+b2，fb，m0，设a＝f (π)，b＝f (2)，则(　　)A．a>bB．a＝bC．a2，∴f (π)0)在(－∞，0]上的最小值是(　　)A．4 B．－4C．与m的取值有关 D．无最小值A　[f (x)＝x2－mx＋4的图象的对称轴为直线x＝m2，∵m>0，∴f (x)在(－∞，0]上单调递减，∴f (x)min＝f (0)＝4．]二、填空题6．过曲线y＝x2上两点A(2，4)和B(2＋Δx，4＋Δy)作割线，当Δx＝0.1时，割线AB的斜率为________．4．1　[因为割线AB的斜率kAB＝ΔyΔx＝Δx+22-22Δx＝Δx2+4ΔxΔx＝Δx＋4，所以当Δx＝0.1时，割线AB的斜率为4.1．]7．已知函数f (x)＝-x2+x，0≤x≤2，-x2-x，-1≤x<0，f (x)的最大值为m，f (x)的最小值为n，则m＋n＝________．－74　[当0≤x≤2时，f (x)＝－x2＋x＝-x-122＋14，此时f (x)max＝f 12＝14，fxmin＝f 2＝－2．当－1≤x<0时，f (x)＝－x2－x＝－x+122＋14，此时f (x)max＝f -12＝14，f (x)min＝f (－1)＝0．综上所述，f (x)max＝14，f (x)min＝－2，即m＝14，n＝－2，所以m＋n＝－74．]8．设f (x)＝x2－2ax＋a2，x∈[0，2]．当a＝－1时，f (x)的最小值是________．若f (0)是f (x)的最小值，则a的取值范围为________．1　(－∞，0]　[当a＝－1时，f (x)＝x2＋2x＋1，其图象开口向上，对称轴为直线x＝－1，所以函数f (x)＝x2＋2x＋1在[0，2]上单调递增，所以函数f (x)在[0，2]上的最小值为f (0)＝1．若f (0)是f (x)的最小值，说明f (x)图象的对称轴，即直线x＝a在y轴左侧或与y轴重合，则a≤0，所以a的取值范围为(－∞，0]．]三、解答题9．已知函数f (x)＝2x2＋3x－5．(1)当x1＝4，且Δx＝1时，求函数值的改变量Δy和平均变化率ΔyΔx；(2)当x1＝4，且Δx＝0.1时，求函数值的改变量Δy和平均变化率ΔyΔx；(3)分析(1)(2)中的平均变化率的几何意义．[解]　∵f (x)＝2x2＋3x－5，∴Δy＝f (x1＋Δx)－f (x1)＝2x1+Δx2+3x1+Δx-5-(2x12＋3x1－5)＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx．(1)当x1＝4，且Δx＝1时，Δy＝2×12＋(4×4＋3)×1＝21，则ΔyΔx＝211＝21．(2)当x1＝4，且Δx＝0.1时，Δy＝2×0.12＋(4×4＋3)×0.1＝0.02＋1.9＝1.92，则ΔyΔx＝1.920.1＝19.2．(3)在(1)中，ΔyΔx＝f5-f45-4，它表示抛物线上的点A(4，39)与点B(5，60)连线所在直线的斜率；在(2)中，ΔyΔx＝f4.1-f44.1-4，它表示抛物线上的点A(4，39)与点C(4.1，40.92)连线所在直线的斜率．10．(多选)下列各选项正确的有(　　)A．若x1，x2∈I，当x1≠x2时，ΔyΔx＝fx2-fx1x2-x1>0在区间I上成立，则y＝f (x)在区间I上是增函数B．函数y＝x2在R上是增函数C．函数y＝－1x在定义域上不是增函数D．函数y＝x2的单调递减区间为(－∞，0]CD　[A中，没强调x1，x2是区间I上的任意两个数，故不正确；B中，y＝x2在x≥0时是增函数，在x<0时是减函数，从而y＝x2在整个定义域上不具有单调性，故不正确；C中，y＝－1x在整个定义域内不具有单调性，故正确；D正确．]11．设函数f (x)＝ax2＋bx－c(a≠0)对任意实数t都有f (2＋t)＝f (2－t)成立，在数值f (－1)，f (1)，f (2)，f (5)中最小的一个不可能是(　　)A．f (－1) B．f (1)C．f (2) D．f (5)B　[因为f (2＋t)＝f (2－t)，所以该二次函数的对称轴为x＝2，该二次函数的图象是抛物线，当a>0时，抛物线的开口向上，当x>2时，该函数单调递增，当x<2时，该函数单调递减，所以f (2)是最小值；当a<0时，抛物线的开口向下，当x>2时，该函数单调递减，当x<2时，该函数单调递增，所以有f (2)>f (1)>f (－1)＝f (5)，此时f (－1)，f (5)最小．故选B．]12．已知曲线y＝1x－1上两点A2，-12，B2+Δx，-12+Δy，当Δx＝1时，割线AB的斜率为________．－16　[∵Δy＝12+Δx-1-12-1＝12+Δx-12＝2-2+Δx22+Δx＝-Δx22+Δx，∴ΔyΔx＝-Δx22+ΔxΔx＝-122+Δx，即k＝ΔyΔx＝－122+Δx．∴当Δx＝1时，k＝－12×2+1＝－16．]13．已知函数f (x)＝mx2－mx－1．若对于x∈[1，3]，f (x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围为________．-∞，67　[要使f (x)<－m＋5在x∈[1，3]上恒成立，即mx-122＋34m－6<0在x∈[1，3]上恒成立．令g(x)＝mx-122＋34m－6，x∈[1，3]．当m>0时，g(x)在[1，3]上单调递增，所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，所以m<67，所以0