广东省广州市2024届高三下学期模拟预测数学试卷(含答案)

这是一份广东省广州市2024届高三下学期模拟预测数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．若,且是纯虚数,则( )
A.B.1C.D.2
3．小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为( )
A.48B.32C.24D.16
4．已知函数在R上为减函数，则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
5．在四面体OABC中,M点在线段OA上,且,G是的重心,已知,,,则等于( )
A.B.C.D.
6．已知三棱锥中三组相对的棱长分别相等,长度分别为,,,其中,,,则三棱锥的外接球的表面积的最小值为( )
A.B.C.D.
7．已知,,则( )
A.B.C.D.
8．已知双曲线的左,右焦点分别是,,点A,B是其右支上的两点,,,则该双曲线的离心率是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知平面向量,在由正方形组成的网格中位置如图所示（网格中面积最小的正方形边长为1）,则( )
A.
B.存在实数,使得.
C..
D.向量在方向上的投影向量为
10．已知等差数列的首项,公差,在中每相邻两项之间都插入k个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列,以下说法正确的是( )
A.
B.当时,
C.当时,不是数列中的项
D.若是数列中的项,则k的值可能为7
11．已知双曲线（,）,实轴长为8,虚半轴长为,,分别为双曲线左右焦点,点,P为双曲线在第一象限上任意一点,则下列说法正确的是( )
A.
B.内切圆圆心的横坐标为定值
C.若直线l交双曲线于A,B两点,且Q为AB中点,则直线l的方程为
D.的最小值为
三、填空题
12．函数的图象在点处的切线方程是________.
13．若角的终边经过点,则________.
14．用数学归纳法证明“”,需验证时的式子为________.
四、解答题
15．已知数列的首项,且满足.
（1）求证:数列为等比数列;
（2）若,求满足条件的最大整数n.
16．已知角的顶点是直角坐标系的原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点,且角是第三象限角.
（1）求的值;
（2）求的值.
17．若存在常数k,b使得函数与对于给定区间上的任意实数x,均有,则称是与的隔离直线.已知函数,.
（1）在实数范围内解不等式:;
（2）当时,写出一条与的隔离直线的方程并证明.
18．如图,在平行六面体中,,,,,,E是的中点,设,,.
（1）求AE的长;
（2）求异面直线AE和BC夹角的余弦值.
19．已知双曲线E的中心为坐标原点,上顶点为,离心率为.
（1）求双曲线E的方程;
（2）记双曲线E的上、下顶点为、,P为直线上一点,直线与双曲线E交于另一点M,直线与双曲线交于另一点N,求证:直线MN过定点,并求出定点坐标.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意可得:.
故选:B.
2．答案：B
解析：设,,
则
因为是纯虚数,可得,即,所以.
故选：B.
3．答案：C
解析：1与4相邻，共有种排法，
两个2之间插入1个数，
共有种排法，再把组合好的数全排列，共有种排法，
则总共有种密码.
故选：C.
4．答案：D
解析：由题意可得：，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：D.
5．答案：C
解析：因为G是的重心,
则,
由,得,
所以.
故选:C.
6．答案：C
解析：由题设知,三棱锥的四个顶点是一个长方体的四个顶点,如图.
因三棱锥中三组相对的棱长分别相等,长度分别为,,,
故该长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为1,a,b,且三棱锥的外接球即为长方体的外接球,
故外接球的直径长为长方体的体对角线长,设外接球半径为,
则三棱锥的外接球表面积为,
因,则,当且仅当时等号成立.
此时,,即时,.
故选:C.
7．答案：A
解析：因为,,
所以,,
所以
.
故选:A.
8．答案：B
解析：由,得,结合题设有,
由双曲线的定义知,,,又,
由,得,得,
在中,由余弦定理,得,
在中,由余弦定理,得,解得,
所以双曲线的离心率为.
故选:B
9．答案：AC
解析：,A正确;
由图可知,向量,不共线,故不存在实数,使得,B错误;
设网格中方向向右､向上的单位向量分别为,,且,则,,所以,C正确;
由图可知,向量在方向上的投影向量方向向右､模长为1,所以向量在方向上的投影向量为,D错误.
故选:AC.
10．答案：ABD
解析：对于A,由题意得,A正确;
对于B,新数列的首项为2,公差为2,故,B正确;
对于C,由B选项知,令,则,即是数列的第8项,C错误;
对于D,插入k个数,则,,,,…,
则等差数列中的项在新的等差数列中对应的下标是以1为首项,为公差的等差数列,
于是,而是数列的项,令,当时,,D正确.
故选:ABD
11．答案：ABD
解析：由题意可知:,,,双曲线方程为,
对于选项A:因为,且,
所以,故A正确;
对于选项B:设内切圆的圆心为I,内切圆与边,,分别切于点D,F,E,
可知:,,,
因为,
设点I的横坐标为,
由可知:点E的横坐标为,
则,即,
所以内切圆圆心的横坐标为定值4,故B正确;
对于选项C:设,,
若Q为AB中点,则,
可得,,
因为A,B在双曲线上,则,
两式相减得,
整理得,即,
所以直线l的方程为,即,
联立方程,消去y得,
计算,故C错误,
对于选项D:因为,则,
可得,
当且仅当P在线段上时,等号成立,故D正确.
故选:ABD.
12．答案：
解析：由知,,所以,
故所求切线方程为,即.
故答案为:
13．答案：/
解析：由任意角三角函数定义得,,
故,
由二倍角公式得.
故答案为:
14．答案：
解析：当,不等式左侧为,右侧为:,
需验证式子为.
故答案为:.
15．答案：（1）证明见解析
（2）2023
解析：（1）,,
可得,
又由,所以,则数列表示首项为,公比为的等比数列.
（2）由（1）可得,所以.
设数列的前n项和为,
则
,
若,即,因为函数为单调递增函数,
所以满足的最大整数n的值为2023.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）由为第三象限角,终边与单位圆交于点,得,,解得,
.
（2）,
.
17．答案：（1）
（2）,证明见解析
解析：（1）由,即,解得或.
在同一个平面直角坐标系中作出函数,的图象,如图,
由图可知,当时,函数单调递减,单调递增,且,
所以;
当时,函数单调递减,单调递增,且,
则;
当时,函数在上单调递减,在上单调递增,
单调递增,且,所以;
当时,函数单调递增,单调递增,且,,
所以不等式的解集为.
（2）一条隔离直线为.
证明:由（1）知,令,由解得,
当时,,即有公共点,
设与存在隔离直线函数,
则点在隔离直线函数上,则,即,
所以;
若当时有,即,
则在上恒成立,即,
由于,故此时只有时上式才成立,则.
下面证明,令,
即,故,当且仅当即时,等号成立,
所以,即为与的隔离直线函数.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意得,
又,,,,,
故
,
故;
（2）
,
设异面直线AE和BC夹角为,
则.
19．答案：（1）
（2）证明见解析,定点坐标为
解析：（1）设双曲线方程为,
因为该双曲线的上顶点坐标为,则,
则由可得,则,
因此,双曲线的方程为.
（2）证明:由（1）可得、,设、,
若直线MN的斜率不存在,则点M、N关于x轴对称,
从而可知,直线、关于x轴对称,则点P在x轴上,不合乎题意,
设直线MN的方程为,
联立可得,
则,
由韦达定理可得,,
所以,,
,
设,则,,所以,,
又,
得,所以,,
即,化简得,
解得,所以直线MN过定点.