石首市第一中学2024届高三上学期三模数学试卷(含答案)

这是一份石首市第一中学2024届高三上学期三模数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设i为虚数单位，若复数z满足，则在复平面内对应的点在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2．已知向量,,则“”是“和的夹角是锐角”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件
3．点声源在空中传播时,衰减量单位：与传播距离单位：米)之间的关系为若传播距离从20米变化到40米,则衰减量的增加值约为参考数据：( )
A.B.C.D.
4．已知等差数列的前n项和为,,,则( )
A.18B.21C.24D.27
5．如图是一块高尔顿板的示意图,在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉,小木钉之间留有适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入,小球下落的过程中,每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下,最后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别为,用X表示小球最后落入格子的号码,若,则( )
A.4B. 5C. 6D.7
6．已知的角A,B,C对应的边分别为a,b,c,,的平分线交边BC于点D,若,则的最小值为( )
A.B.4C.D.
7．在平面直角坐标系xOy中,过点的直线l与双曲线的两条渐近线相交于两点,若线段AB的中点是,则C的离心率为( )
A.B.C.D.
8．已知函数及其导函数的定义域为R,记,若,都为奇函数,,则( )
A.0B.C.2D.-2
二、多项选择题
9．在某次数学练习中,高三(1)班的男生数学平均分为120,方差为2,女生数学平均分为112,方差为1,已知该班级男女生人数分别为25、15,则下列说法正确的有( )
A.该班级此次练习数学成绩的均分为118
B.该班级此次练习数学成绩的方差为
C.利用分层抽样的方法从该班级抽取8人,则应抽取5名男生
D.从该班级随机选择2人参加某项活动,则至少有1名女生的概率为
10．定义表示x,y中的最小者,设函数,则( )
A.有且仅有一个极小值点为B.有且仅有一个极大值点为3
C.,D.,恒成立
11．在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线,过点作斜率为k的直线l与x轴相交于点M,与C交于A,B两点,且,则( )
A.
B.
C.以AB为直径的圆与抛物线的准线有公共点
D.以AB为直径的圆与抛物线的准线没有公共点
三、填空题
12．的展开式中的系数为__________.
13．设A,B是一个随机试验中的两个事件,且,,则__________.
14．在平面直角坐标系xOy中,设,若沿直线把平面直角坐标系折成大小为的二面角后,,则的余弦值为__________.
四、解答题
15．已知函数在上单调递增,在上单调递减,设为曲线的对称中心．
求;
记的角A,B,C对应的边分别为a,b,c,若,,求BC边上的高AD长的最大值．
16．已知函数.
讨论的单调性;
当时,证明：
17．如图,已知斜三棱柱的侧面是菱形,,,,.
(1)求证：;
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
18．现有甲、乙两个盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球．从两个盒子中各任取一个球交换,记为一次操作．重复进行次操作后,记甲盒子中黑球个数为,甲盒中恰有1个黑球的概率为,恰有2个黑球的概率为
求随机变量的分布列;
求数列的通项公式;
求证：.
19．已知平面直角坐标系xOy中,椭圆与双曲线
(1)若E的长轴长为8,短轴长为4,直线与C有唯一的公共点M,过M且与l垂直的直线分别交x轴,y轴于点,两点,当M运动时,求点的轨迹方程;
(2)若E的长轴长为4,短轴长为2,过E的左焦点作直线与E相交于P,Q两点在x轴上方),分别过P,Q作E的切线,两切线交于点N,求面积的最小值．
参考答案
1．答案：C
解析：因为，
所以，所以，对应的点为，
所以在复平面内对应的点在第三象限.
故选：C
2．答案：B
解析：由题设：,
当与的夹角为锐角时,,且与不同向,可得,即,
所以x的取值范围是,
所以“”是“与夹角为锐角”的必要不充分条件.
3．答案：B
解析：衰减量单位：与传播距离单位：米)的关系式为,
则d从20米变化到40米时衰减量的增加值为,
4．答案：A
解析：设等差数列的公差为d,由题意,,解得
则,
5．答案：B
解析：每下落一层向左或向右落下等可能,概率均为,
每一层均要乘以,共做10次选择,X服从二项分布,,
又,所以,
若,则
6．答案：C
解析：根据题意,,
因为的平分线交边BC于点D,且,
所以,,
而,
所以 ,化简得,即,
则,
当且仅当时取等号,即最小值为
7．答案：D
解析：由题意可知直线l的斜率存在且不为0,设直线,
双曲线的两条渐近线方程分别为,,联立
解得,不妨令
联立,解得,则,
因为线段AB的中点为,所以,即,
②式两边分别平方得③将①代入③并化简可得,
所以离心率,
故选：D.
8．答案：C
解析：因为为奇函数,所以,
即,令,
则,
可得,其中c为常数,因为,
所以,
即,可得,
因为为奇函数,所以,
则,可得,
则函数是周期为4的周期函数,
可得
9．答案：BCD
解析：对于A,该班级此次练习数学成绩的均分,
对于B,该班级此次练习数学成绩的方差,故B正确;
对于C,利用分层抽样的方法从该班级抽取8人,则应抽取的男生人数为,
对于D,从该班级随机选择2人参加某项活动,则至少有1名女生的概率,故D正确.
10．答案：ACD
解析：由题意得,
作出函数的图象如图所示,
由图象可知,有且仅有一个极小值点为,故A正确;
函数有两个极大值点1,3,故B错误;
当时,,故C正确;
由图象可知,,恒成立,故D正确.
11．答案：AD
解析：设直线方程为,则,,,
由,消去y可得,整理得,则,
则,
由可得,,则,整理得,
所以,解得,故A正确,B错误.
由题,准线方程为,
由A,,则,
则以AB为直径的圆的圆心D坐标为,半径为则圆心D到准线的距离为,
则,
所以,即,
所以以AB为直径的圆与抛物线的准线没有公共点,C错误,D正确.
12．答案：14
解析： 的展开式通项公式为,
其中 ,,,
故二项式 的展开式中的系数为：
13．答案：
解析：由题知,,,,
,即,则.
因,所以 ,则.
14．答案：
解析：在平面直角坐标系中,过点B作于点C,
可知,,,,
沿直线把平面直角坐标系折成大小为的二面角后,
仍有,,
则,由,
可得,
即,
即,可得
15．答案：(1),
(2)
解析：(1)因为在上单调递增,在上单调递减,
所以且,所以,,可知,,
又由,可知,所以,故,
由,,可得,即,,
(2),
化简得,
因为,所以,
所以,
又,所以,当且仅当时取等号,
所以,
所以,故AD长的最大值为
16．答案：(1)当时,在区间上单调递增;当时,在区间上单调递增,在区间上单调递减
(2)见解析
解析：(1),的定义域为,且
当时,,恒成立,
所以在区间上单调递增;
当时,令,解得,
当时,,在区间上单调递增,
当时,,在区间上单调递减.
综上所述,当时,在区间上单调递增;当时,在区间上单调递增,在区间上单调递减.
(2)当时,因为,所以要证,只要证明即可,
即要证,等价于,
首先,设,则,
在区间上,,单调递减;
在区间上,,单调递增,
所以,所以当且仅当时等号成立),
所以成立,当且仅当时,等号成立.
又在上单调递增,,,
所以存在,使得成立.
综上所述,原不等式成立.
17．答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)取BC的中点O,连接,
因为侧面是菱形,,所以是正三角形,
因为O是BC中点,所以
因为O是BC中点,,所以,
又因为,平面,平面,所以平面
因为平面,所以
因为斜三棱柱,所以,所以
(2)因为,,,
平面,平面,
所以平面,因为平面,所以
又因为,,平面ABC,平面ABC,
所以平面
以O为原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,因为,所以点
设平面的一个法向量为,
则即
取,则,,所以
设平面的一个法向量为,
则即取,则,,所以,
又,
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．答案：(1)见解析
(2)
(3)
解析：(1)由题可知的可能取值为0,1,2,
根据相互独立事件的概率乘法公式得到：,
,
,
的分布列为：
(2)由全概率公式可知：
,
即,即,
,又,
所以数列是以为首项,以为公比的等比数列,
,即的通项公式;
(3)
,
所以.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)E的长轴长为8,短轴长为4,则,,所以
联立与,得
与C有唯一的公共点M,所以,即,且
过M且与垂直的直线为,则,,
于是D的轨迹方程为
(2)依题意,,左焦点当斜率为0时,P,Q分别为椭圆的左、右顶点,此时切线平行无交点;
当斜率不为0时,故设,
由得,
设,,则,,
椭圆在x轴上方对应方程为,,
则P处切线斜率为,得切线方程为
同理可得Q处的切线方程为
由得,
代入①得,所以
所以,而,所以,即
又,
所以
令,则,
令,则,所以在单调递增,
则当时,.
0
1
2
P