四川省绵阳市2024届高三上学期第一次诊断性考试数学（理）试卷(含答案)

这是一份四川省绵阳市2024届高三上学期第一次诊断性考试数学（理）试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．集合,集合,则集合中元素的个数为( )
A.2B.3C.4D.5
2．已知平面向量与的夹角为,且,则( )
A.B.-2C.2D.
3．已知,则下列关系式正确的是( )
A.若,则B.若,则
C.若且,则D.若,则
4．已知,则( )
A.B.C.D.2
5．已知函数的定义域为R,“为偶函数”是“为偶函数”的( )
A.充分必要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
6．已知为第三象限角,若,则( )
A.B.C.D.
7．已知等比数列的前n项和为,且,则( )
A.3B.5C.30D.45
8．已知函数,且,则其大致图象为( )
A.B.
C.D.
9．若函数与函数在公共点处有相同的切线,则实数( )
A.-2B.-1C.eD.
10．命题“若与满足：,,,则.已知命题p是真命题,则x的值不可以是( )
A.1B.2C.D.
11．从社会效益和经济效益出发,某企业追加投入资金进行新兴产业进一步优化建设.根据规划,本年度追加投入4000万元,以后每年追加投入将比上年减少,本年度企业在新兴产业上的收入估计为2000万元,由于该项建设对新兴产业的促进作用,预计今后的新兴产业收入每年会比上一年增加1000万元,则至少经过_______新兴产业的总收入才会超过追加的总投入( )
A.6B.5C.4D.3
12．已知函数，在区间上的最小值恰为，则所有满足条件的的积属于区间( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．“更相减损术”的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》,该算法的程序框图如图所示,若输入的a,b分别为21,14,则输出的__________.
14．已知点,,若向量与的方向相反,则__________.
15．已知函数，若关于x的方程恰有2个不等实根，则整数a的最小值是__________．
16．已知函数,的定义域为R,且,,若为奇函数,,则__________.
三、解答题
17．已知等差数列的公差为2,且,,成等比数列.
（1）求数列的前n项和;
（2）若数列的首项,,求数列的通项公式.
18．已知函数的最小正周期为,且.
（1）求函数的解析式;
（2）函数的图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到,若,求的最小值.
19．函数.
（1）若为奇函数,求实数m的值;
（2）已知仅有两个零点,证明：函数仅有一个零点.
20．在斜三角形中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知.
（1）证明：;
（2）若的面积,求的最小值.
21．已知函数.
（1）当时,求的单调性;
（2）若,求实数a的取值范围.
22．已知曲线,的参数方程分别为（t为参数）,（为参数）.
（1）将,的参数方程化为普通方程;
（2）以坐标原点O为极点,以x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系.若射线：与曲线,分别交于A,B两点（异于极点）,点,求的面积.
23．已知函数.
（1）求不等式的解集M;
（2）若m是的最小值,且正数a,b,c满足,证明：.
参考答案
1．答案：B
解析：集合,集合,
则集合 中元素的个数为 3 .
故选：B.
2．答案：C
解析：已知平面向量与的夹角为,,
且,
则,即,
即,
则.
故选:C.
3．答案：D
解析：
4．答案：A
解析：
则 ,故,
故选:A.
5．答案：C
解析：令显然不是偶函数,
但是偶函数,
所以, "为偶函数" 不是 "为偶函数" 的充分条件;
若为偶函数, 则有,
令,
则,
所以,为偶函数, 即为偶函数,
所以, " 为偶函数"是"为偶函数"的必要条件.
综上所述, "为偶函数"是"为偶函数"的必要不充分条件.
故选:C.
6．答案：A
解析：由已知可得,所以.
又,所以, 解得.
又为第三象限角.
所以,,
所以,.
故选:A.
7．答案：D
解析：若公比,则,,
右边, 等式不成立,故,
则,
显然,所以,解得 ,
又因为,代入得,
所以,
故选:D.
8．答案：B
解析：
9．答案：B
解析：
10．答案：D
解析：
11．答案：C
解析：
12．答案：C
解析：当时，因为此时的最小值为，
所以，即.
若，此时能取到最小值，即，
代入可得，满足要求；
若取不到最小值，则需满足，即，
在上单调递减，所以存在唯一符合题意；
所以或者，所以所有满足条件的的积属于区间，
故选：C.
13．答案：7
解析：
14．答案：
解析：由题意,点,则,
向量 与的方向相反,即与共线,
,解得:或,
当时,,
,与的方向相同,故舍去,
当时,,,与的方向相反,所以,
,
故答案为:.
15．答案：9
解析：令，
由已知可知关于直线对称，且在处取得最小值9.
关于x的方程恰有2个不等实根，
等价于恰有2个不等实根.
又因为，所以.
显然应有，即.
又a为整数，
若，则，
显然满足题意.
故答案为：9.
16．答案：1
解析：
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由,,成等比数列,则,
,
可解得,
数列的前n项和;
（2）当时,,可得,
可得②,
由②式-①式,得,
.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）,则,
又,,
,
;
（2）由题意,,
由,得
,,
,,又,
的最小值为.
19．答案：（1）2
（2）仅有一个零点
解析：（1）为奇函数,
,解得：.
（2）当时,,
函数不可能有两个零点.
当时,由,解得：或,
要使得仅有两个零点,则,
即,此方程无解.
故,即,
令,则,
,解得：或,解得：,
故在,上递增,在上递减,
又,
故函数仅有一个零点.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）
又为斜三角形,则,
,
,又A,B为的内角,
;
（2）由的面积,
,则,即,
由,则,即,
由（1）知则,
又
令,令,
又因为,即,
当时,取最小值,且,
综上所述：的最小值为.
21．答案：（1）的单调递减区间为：和;单调递增区间为：
（2）
解析：（1）当时,,
,
令得：;令得：或,
的单调递减区间为：和;单调递增区间为：.
（2）等价于（*）
令,则,
在上递减,在上递增.
的最小值为,即：,
（*）式化为：,当时,显然成立.
当时,,令,则,
,当时,易知,
故易得：在上单调递增,在上单调递减,
,
实数a的取值范围为：.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）曲线的参数方程为（t为参数）,
由得的普通方程为：;
曲线的参数方程为（为参数）,
所以的普通方程为：;
（2）曲线的极坐标方程为：,
,
由得：,
射线：与曲线交于,
曲线的极坐标方程为,
由得：,
射线：与曲线交于,
则.
23．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）
或或,
解得或或,
不等式的解集为;
（2）证明：由,可得的最小值为-6,
则,,
,当且仅当时,等号成立,
.