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初中数学12.3 角的平分线的性质课时作业
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这是一份初中数学12.3 角的平分线的性质课时作业，文件包含123角平分线的性质原卷doc、123角平分线的性质解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共51页， 欢迎下载使用。
1．用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．
作法：
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．
③画射线OC．射线OC即为所求．
如图所示：
作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）．
2．角的平分线的性质和判定恰好是条件和结论互换，由角的平分线的性质可证明线段相等，由判定可证明角相等，二者互为逆定理，即点在角平分线上点到角的两边的距离相等．
【题型1】角平分线的性质
例1
（2024•西安校级一模）如图，中，平分，，于，，则的长为
A．8B．10C．D．
【答案】
【分析】过点作于，则由角平分线的性质可得，由三线合一定理得到，利用勾股定理求出，则．
【解答】解：如图所示，过点作于，
平分，，，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
故选：．
【变式1】 （2024春•陈仓区期末）如图，是的角平分线，，，，则点到射线的距离是
A．5B．3C．2D．无法计算
【变式2】 （2024春•益阳期末）如图，在中，，的平分线交于点，，，为上一动点，则的最小值为
A．6B．4.5C．4D．5
【变式3】 （2024•古浪县二模）如图，平分，于点，点是射线上的一个动点．若，则的长不可能是
A．4B．3.5C．2D．1.5
【题型2】角平分线的判定
例2
（2024•常州）如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点在的平分线上，则
A．与一定相等B．与一定不相等
C．与一定相等D．与一定不相等
【答案】
【分析】根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上判断即可．
【解答】解：根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可知：当点在的平分线上时，与一定相等，
故选：．
【变式1】 （2024春•市南区期末）如图，中，，，，将进行平移得到，若点到三边的距离相等，则平移后重叠部分图形的周长为
A．B．C．D．
【变式2】 （2024春•印江县月考）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
【变式3】 （2024春•焦作期末）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上修建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三个内角的角平分线的交点
C．三角形三条边上的高的交点
D．三角形三条中线的交点
【题型3】尺规作图
例3
（2023秋•安顺期末）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是
A．12B．18C．24D．36
【答案】
【分析】过点作于点，根据题意得，是的角平分线，得，根据三角形面积公式，即可求出的面积．
【解答】解：过点作于点，
根据题意得，是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
故选：．
【变式1】 （2020秋•鼓楼区校级期中）三牧中学初二某班开展探究活动，研究如何“作的角平分线”，几位同学整理出了几种思路，希望得到角平分线上的点
①以为圆心，以为半径，依次交，于，两点，再以为半径，依次交，于，两点，连接，交于点；
②将直线，平移相同的距离，在的内部交于点；
③以为圆心，任意长度为半径，依次交，于，两点，分别过，作，的垂线，交于点；
④作直线，分别交，于，，再分别作出和的角平分线，交于点．
其中，能说明平分的说法是 ．（填序号）
【变式2】 （2023秋•峄城区期末）下列画图的语句中，正确的为
A．画直线
B．画射线
C．延长射线到，使
D．过直线外一点画一条直线和直线相交
【变式3】 （2023秋•诸暨市校级月考）如图所示，已知，用直尺和圆规作：（保留作图痕迹，不要求写作法）
的角平分线
【题型4】利用角平分线的性质解决线段或周长问题
例4
（2024春•新郑市期中）如图，在中，，，分别平分，，，于点，若的周长为，的面积为，则的长为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】过作于，于，由角平分线的性质，得到，由的面积的面积的面积的面积，得到，因此，根据即可求出．
【解答】解：过作于，于，
，，分别平分，，，，
，
的面积的面积的面积的面积，
，
，
的周长为，
，
，
．
故选：．
【变式1】 （2023秋•霸州市期末）如图，在中，，的角平分线交于点，于点，若与的周长分别为13和3，则的长为
A．10B．16C．8D．5
【变式2】 （2023秋•晋江市期末）如图，在中，，的平分线交于点，，垂足为，若，，则的周长是 ．
【变式3】 （2022秋•滨城区校级期末）如图，在中，平分，，于点，点在上，．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
【题型5】利用角平分线的性质解决面积问题
例5
（2023秋•武安市期末）如图，在中，是的角平分线，于点．若，，则的面积为
A．8B．16C．24D．32
【答案】
【分析】过作于，由角平分线的性质推出，而，由三角形面积甘肃省即可求出的面积．
【解答】解：过作于，
是的角平分线，于点，
，
，
的面积．
故选：．
【变式1】 （2024春•九龙坡区校级期中）如图，在中，平分，过点作的垂线，交于点，交于点，若面积为，的面积为，则的面积为 ．
A．3B．4C．D．
【变式2】 （2024春•本溪期末）如图，点是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，关于，，之间的大小关系，正确的是
A．B．C．D．
【变式3】 （2024春•张店区期末）如图，在中，，，是的角平分线．若的面积为1，则的面积为 ．
【题型6】角平分线性质的实际应用
例6
（2024春•郓城县期末）如图，，和分别平分和，过点，且与垂直，若，，则的长为
A．12B．13C．D．
【答案】
【分析】过点作于，如图，根据平行线的性质得到，，再根据角平分线的性质得到，，，则可计算出，所以，接着利用勾股定理计算出，然后利用面积法计算出，从而得到的长．
【解答】解：过点作于，如图，
，，
，，
和分别平分和，
，，，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
【变式1】 （2024春•东平县期末）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，于，于，则下列结论：①平分；②；③；④．其中正确结论的个数是
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2】 （2024春•宿城区期中）在四边形中，的平分线交边于点，的平分线交直线于点．
（1）当点在四边形的内部时．
①如图①，若，，，则 ，
（2）如图②，试探索、和之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，当点在四边形的外部时，请你直接写出、和之间的数量关系．
【变式3】 （2024春•成都校级期中）如图，在中，，是的平分线，过点作于点，延长交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
1．角平分线的概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线．
2．角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
3．角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
4．证明几何命题的一般步骤：
①明确命题中的已知和求证；
②根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；
③经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．
◄ 点拨 ►
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
①这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；
②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形；
③使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直；
④角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论．
◄ 点拨 ►
1．角平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上．
2．当题目中出现角内的一点到角两边的距离相等时，可以考虑应用角的平分线的判定方法证明两个角相等．
◄ 点拨 ►
1．尺规作图中的“尺”指没有刻度的直尺，其用途是作直线，“规”指圆规，其用途是作长度相等的线段．
2．作法中第3步“画射线OC”不能说成“连接OC”，因为角平分线是一条射线，不是一条线段．
◄ 点拨 ►
遇到已知一个点在某个角的平分线上时，一般过该点向角的两边作垂线，运用“角的平分线上的点到角两边的距离相等”寻找线段的相等关系，有时可结合全等三角形建立未知线段与已知线段的关系，从而求出待求线段．
◄ 点拨 ►
1．第一步：三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等，连接这个交点与各个顶点，将角平分线的交点到三边的距离转化为三个小三角形的高．
2．第二步：等高三角形的面积比等于底边长的比．
◄ 点拨 ►
1．角平分线的性质，及逆定理在应用时都涉及两个垂直条件，如果题中未给出或未证明两个垂直，则不能运用该性质或判定定理．
2．利用角平分线的性质解决实际问题的关键是确定符合条件的点的位置．
3．角的平分线的性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形的性质来证明线段相等．
1．用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．
作法：
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．
③画射线OC．射线OC即为所求．
如图所示：
作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）．
2．角的平分线的性质和判定恰好是条件和结论互换，由角的平分线的性质可证明线段相等，由判定可证明角相等，二者互为逆定理，即点在角平分线上点到角的两边的距离相等．
【题型1】角平分线的性质
例1
（2024•西安校级一模）如图，中，平分，，于，，则的长为
A．8B．10C．D．
【答案】
【分析】过点作于，则由角平分线的性质可得，由三线合一定理得到，利用勾股定理求出，则．
【解答】解：如图所示，过点作于，
平分，，，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
故选：．
【变式1】 （2024春•陈仓区期末）如图，是的角平分线，，，，则点到射线的距离是
A．5B．3C．2D．无法计算
【变式2】 （2024春•益阳期末）如图，在中，，的平分线交于点，，，为上一动点，则的最小值为
A．6B．4.5C．4D．5
【变式3】 （2024•古浪县二模）如图，平分，于点，点是射线上的一个动点．若，则的长不可能是
A．4B．3.5C．2D．1.5
【题型2】角平分线的判定
例2
（2024•常州）如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点在的平分线上，则
A．与一定相等B．与一定不相等
C．与一定相等D．与一定不相等
【答案】
【分析】根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上判断即可．
【解答】解：根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可知：当点在的平分线上时，与一定相等，
故选：．
【变式1】 （2024春•市南区期末）如图，中，，，，将进行平移得到，若点到三边的距离相等，则平移后重叠部分图形的周长为
A．B．C．D．
【变式2】 （2024春•印江县月考）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
【变式3】 （2024春•焦作期末）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上修建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三个内角的角平分线的交点
C．三角形三条边上的高的交点
D．三角形三条中线的交点
【题型3】尺规作图
例3
（2023秋•安顺期末）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是
A．12B．18C．24D．36
【答案】
【分析】过点作于点，根据题意得，是的角平分线，得，根据三角形面积公式，即可求出的面积．
【解答】解：过点作于点，
根据题意得，是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
故选：．
【变式1】 （2020秋•鼓楼区校级期中）三牧中学初二某班开展探究活动，研究如何“作的角平分线”，几位同学整理出了几种思路，希望得到角平分线上的点
①以为圆心，以为半径，依次交，于，两点，再以为半径，依次交，于，两点，连接，交于点；
②将直线，平移相同的距离，在的内部交于点；
③以为圆心，任意长度为半径，依次交，于，两点，分别过，作，的垂线，交于点；
④作直线，分别交，于，，再分别作出和的角平分线，交于点．
其中，能说明平分的说法是 ．（填序号）
【变式2】 （2023秋•峄城区期末）下列画图的语句中，正确的为
A．画直线
B．画射线
C．延长射线到，使
D．过直线外一点画一条直线和直线相交
【变式3】 （2023秋•诸暨市校级月考）如图所示，已知，用直尺和圆规作：（保留作图痕迹，不要求写作法）
的角平分线
【题型4】利用角平分线的性质解决线段或周长问题
例4
（2024春•新郑市期中）如图，在中，，，分别平分，，，于点，若的周长为，的面积为，则的长为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】过作于，于，由角平分线的性质，得到，由的面积的面积的面积的面积，得到，因此，根据即可求出．
【解答】解：过作于，于，
，，分别平分，，，，
，
的面积的面积的面积的面积，
，
，
的周长为，
，
，
．
故选：．
【变式1】 （2023秋•霸州市期末）如图，在中，，的角平分线交于点，于点，若与的周长分别为13和3，则的长为
A．10B．16C．8D．5
【变式2】 （2023秋•晋江市期末）如图，在中，，的平分线交于点，，垂足为，若，，则的周长是 ．
【变式3】 （2022秋•滨城区校级期末）如图，在中，平分，，于点，点在上，．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
【题型5】利用角平分线的性质解决面积问题
例5
（2023秋•武安市期末）如图，在中，是的角平分线，于点．若，，则的面积为
A．8B．16C．24D．32
【答案】
【分析】过作于，由角平分线的性质推出，而，由三角形面积甘肃省即可求出的面积．
【解答】解：过作于，
是的角平分线，于点，
，
，
的面积．
故选：．
【变式1】 （2024春•九龙坡区校级期中）如图，在中，平分，过点作的垂线，交于点，交于点，若面积为，的面积为，则的面积为 ．
A．3B．4C．D．
【变式2】 （2024春•本溪期末）如图，点是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，关于，，之间的大小关系，正确的是
A．B．C．D．
【变式3】 （2024春•张店区期末）如图，在中，，，是的角平分线．若的面积为1，则的面积为 ．
【题型6】角平分线性质的实际应用
例6
（2024春•郓城县期末）如图，，和分别平分和，过点，且与垂直，若，，则的长为
A．12B．13C．D．
【答案】
【分析】过点作于，如图，根据平行线的性质得到，，再根据角平分线的性质得到，，，则可计算出，所以，接着利用勾股定理计算出，然后利用面积法计算出，从而得到的长．
【解答】解：过点作于，如图，
，，
，，
和分别平分和，
，，，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
【变式1】 （2024春•东平县期末）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，于，于，则下列结论：①平分；②；③；④．其中正确结论的个数是
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2】 （2024春•宿城区期中）在四边形中，的平分线交边于点，的平分线交直线于点．
（1）当点在四边形的内部时．
①如图①，若，，，则 ，
（2）如图②，试探索、和之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，当点在四边形的外部时，请你直接写出、和之间的数量关系．
【变式3】 （2024春•成都校级期中）如图，在中，，是的平分线，过点作于点，延长交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
1．角平分线的概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线．
2．角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
3．角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
4．证明几何命题的一般步骤：
①明确命题中的已知和求证；
②根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；
③经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．
◄ 点拨 ►
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
①这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；
②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形；
③使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直；
④角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论．
◄ 点拨 ►
1．角平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上．
2．当题目中出现角内的一点到角两边的距离相等时，可以考虑应用角的平分线的判定方法证明两个角相等．
◄ 点拨 ►
1．尺规作图中的“尺”指没有刻度的直尺，其用途是作直线，“规”指圆规，其用途是作长度相等的线段．
2．作法中第3步“画射线OC”不能说成“连接OC”，因为角平分线是一条射线，不是一条线段．
◄ 点拨 ►
遇到已知一个点在某个角的平分线上时，一般过该点向角的两边作垂线，运用“角的平分线上的点到角两边的距离相等”寻找线段的相等关系，有时可结合全等三角形建立未知线段与已知线段的关系，从而求出待求线段．
◄ 点拨 ►
1．第一步：三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等，连接这个交点与各个顶点，将角平分线的交点到三边的距离转化为三个小三角形的高．
2．第二步：等高三角形的面积比等于底边长的比．
◄ 点拨 ►
1．角平分线的性质，及逆定理在应用时都涉及两个垂直条件，如果题中未给出或未证明两个垂直，则不能运用该性质或判定定理．
2．利用角平分线的性质解决实际问题的关键是确定符合条件的点的位置．
3．角的平分线的性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形的性质来证明线段相等．
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