湘教版数学九上 第4章学情评估

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第4章学情评估一、选择题(每题3分，共30分)1．3tan 30° 的值为(　　)A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(3 \r(3),2) C.eq \r(3) D.eq \f(3,2)2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则(　　)A．c＝bsinB B．b＝ctanB C．a＝btanB D．b＝csinB(第2题)　　(第3题)3．如图，在Rt△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝45°，AB＝8，则BC的长为(　　)A.eq \f(4 \r(2),3) B．4 C．8 eq \r(2) D．4 eq \r(2)4．如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的正切值是(　　)(第4题)A．2 B.eq \f(2 \r(5),5) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(5),5)5．如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根A到刮断点P的长度是4 m，折断部分PB与地面成40°的夹角，那么原来树的高度是 (　　)(第5题)A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(4,cos 40°))) m B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(4,sin 40°))) mC．(4＋4sin 40°) m D．(4＋4cos 40°) m6．已知△ABC中，AB＝AC，tan B＝eq \r(3)，则cos C的值为(　　)A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),2)7．如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示tan α的值中错误的是(　　)A.eq \f(CD,BD) B.eq \f(AC,BC) C.eq \f(CD,AC) D.eq \f(AD,CD)(第7题)8．关于x的一元二次方程x2－eq \r(2)x＋sin α＝0有两个相等的实数根，则锐角α 等于(　　)A．15° B．30° C．45° D．60°9．如图，在△ABC中，∠A＝30°，tan B＝eq \f(\r(3),2)，AC＝2 eq \r(3)，则AB的长是(　　)A．4 B．3＋eq \r(3) C．5 D．2＋2 eq \r(3)(第9题)　　　(第10题)10．如图，在▱ABCD中，CD＝4，∠B＝60°，分别以点A，B为圆心，大于eq \f(1,2) AB的长为半径作弧，两弧交点的连线交BC于点E，连接AE，若BE∶EC＝2∶1，则▱ABCD的面积为(　　)A．12 B．12 eq \r(2) C．12 eq \r(3) D．12 eq \r(5)二、填空题(每题3分，共18分)11．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝eq \f(2,3)，则cos B＝______．(第11题)　　　(第12题)12．如图，菱形ABCD的对角线AC＝6，BD＝8，∠ABD＝α，则tan α＝________．13．课外活动小组想测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的影长BC为 24米，则旗杆AB的高度是________米(结果保留根号)．(第13题)14．如图，平面直角坐标系中有一个正方形ABCD，点B的坐标为(0，eq \r(3))，∠BAO＝60°，那么点C的坐标为____________．　　 　　　　(第14题)　　　　　　　　(第15题)15．如图①是一款可调节的笔记本电脑支架，其侧面示意图如图②，调节杆BC＝eq \r(2)a，AB＝b，AB的最大仰角为α.当∠C＝45°时，则点A到桌面的最大高度是________．16．若AD是△ABC的高，CD＝1，AD＝BD＝eq \r(3)，则∠BAC＝________．三、解答题(17，18题每题8分，19～21题每题10分，22题12分，23题14分，共72分)17．计算：(1)eq \f(1,4) tan245°＋eq \f(1,sin230°)－3cos230°；(2)eq \r(9)×(－1)2 025＋2sin 45°－cos 30°＋sin 60°＋tan260°.18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知BC＝3 eq \r(2)，AC＝3 eq \r(6)，解这个直角三角形．(第18题)19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是边AC上一点，N是边AB上一点，∠CMN＋∠B＝180°，AN＝3，AM＝4，求cos B的值．(第19题)20．如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行到B地．已知B地位于A地北偏东67°方向，且距离A地520 km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成A，C两地直达高铁，求A地到C地之间直达高铁线路的长．(结果保留整数，参考数据：sin 67°≈eq \f(12,13)，cos 67°≈eq \f(5,13)，tan 67°≈eq \f(12,5)，eq \r(3)≈1.73)(第20题)21．根据以下材料，完成项目任务．22．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，DE∥AC，cos C＝eq \f(4,5)，AC＝10，BE＝2AE.(第22题)(1)求BD的长；(2)求△BDE的面积．23．沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形ABCD.高DH＝12 m，斜坡CD的坡度i＝1∶1.此处大堤的正上方有高压电线穿过，PD表示高压线上的点与堤面AD的最近距离(P，D，H在同一直线上)，在点C处测得∠DCP＝26°.(1)求斜坡CD的坡角α；(2)电力部门要求此处高压线离堤面AD的安全距离不低于18 m，请问此次改造是否符合电力部门的安全要求？(参考数据：sin 26°≈0.44，tan 26°≈0.49，sin 71°≈0.95，tan 71°≈2.90)(第23题)答案一、1.C　2.D　3.D　4.A　5.B　6.B　7.C8．B　思路点睛：根据方程有两个相等的实数根得出Δ＝0，即可得到关于sin α的一元一次方程，解出此一元一次方程，然后根据特殊三角函数值即可得解．9．C　10.C二、11.eq \f(2,3)　12.eq \f(3,4)　13.8 eq \r(3)　14．(－eq \r(3)，eq \r(3)＋1)　15.a＋bsin α16．75°或15°　易错点睛：本题分高AD在△ABC内部和高AD在△ABC外部两种情况，易因考虑不全面而漏解．三、17.解：(1)原式＝eq \f(1,4)×12＋eq \f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))－3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,4)＋4－eq \f(9,4)＝2.(2)原式＝3×(－1)＋2×eq \f(\r(2),2)－eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(3),2)＋(eq \r(3))2＝－3＋eq \r(2)＋3＝eq \r(2).18．解：由题意，得AB＝eq \r(BC2＋AC2)＝eq \r(（3 \r(2)）2＋（3 \r(6)）2)＝6 eq \r(2).∵tan A＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(3 \r(2),3 \r(6))＝eq \f(\r(3),3)，∴∠A＝30°，∴∠B＝90°－∠A＝60°.19．解：∵∠CMN＋∠B＝180°，∠AMN＋∠CMN＝180°，∴∠B＝∠AMN.又∵∠A＝∠A，∴∠ANM＝∠C＝90°.∵AN＝3，AM＝4，∴MN＝eq \r(AM2－AN2)＝eq \r(7)，∴cos∠AMN＝eq \f(MN,AM)＝eq \f(\r(7),4)，∴cos B＝cos∠AMN＝eq \f(\r(7),4).20．解：过点B作BD⊥AC于点D.在Rt△ABD中，∵∠ABD＝67°，AB＝520 km，∴AD＝AB·sin 67°≈520×eq \f(12,13)＝480(km)，BD＝AB·cos 67°≈520×eq \f(5,13)＝200(km)．在Rt△BCD中，∵∠CBD＝30°，∴CD＝BD·tan 30°≈200×eq \f(\r(3),3)≈200×eq \f(1.73,3)≈115.3(km)，∴AC＝AD＋CD≈480＋115.3＝595.3≈595(km)．答：A地到C地之间直达高铁线路的长约是595 km.21．解：(1)延长AC交PQ于点E，则易得四边形CDQE是矩形，∴QE＝CD＝1.5 m，依题意得∠PCE＝45°，∠PAE＝32°，AC＝BD＝9 m.在Rt△PCE中，由∠PCE＝45°，得CE＝PE.在Rt△PAE中，由tan∠PAE＝eq \f(PE,AE)＝tan 32°，得PE＝AE·tan 32°＝(AC＋CE)·tan 32°，解得PE≈15 m，∴PQ＝PE＋EQ≈15＋1.5＝16.5(m)．答：古塔的高度约为16.5 m.(2)在矩形CDQE中，由(1)知DQ＝CE＝PE≈15 m.∵DG＝12.9 m，∴GQ≈15－12.9＝2.1 (m)．答：古塔底面圆的半径约为2.1 m.22．解：(1)∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵cos C＝eq \f(4,5)，AC＝10，∴cos C＝eq \f(CD,AC)＝eq \f(CD,10)＝eq \f(4,5)，∴CD＝8.∵DE∥AC，∴eq \f(BD,CD)＝eq \f(BE,AE).又∵BE＝2AE，∴eq \f(BE,AE)＝2.∴eq \f(BD,8)＝2，∴BD＝16.(2)在Rt△ACD中，由勾股定理得AD＝eq \r(AC2－CD2)＝eq \r(102－82)＝6.∵BE＝2AE，∴易得S△BDE＝eq \f(2,3)S△ABD＝eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AD·BD))＝eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×6×16))＝32.23．解：(1)∵斜坡CD的坡度i＝1∶1，∴tan α＝1∶1＝1，∴α＝45°.答：斜坡CD的坡角α为45°.(2)∵斜坡CD的坡度i＝1∶1，∴CH＝DH＝12 m.∵α＝45°，∠DCP＝26°，∴∠PCH＝26°＋45°＝71°，∴tan∠PCH＝tan 71°＝eq \f(PH,CH)＝eq \f(PD＋12,12)≈2.90，∴PD≈22.8 m，∵22.8＞18，∴此次改造符合电力部门的安全要求．题序12345678910答案项目测量古塔的高度及古塔底面圆的半径测量工具测角仪、皮尺等测量说明：如图，点Q为古塔底面圆的圆心，测角仪高度AB＝CD＝1.5 m，在B、D处分别测得古塔顶端的仰角为32°、45°，BD＝9 m，测角仪CD所在位置与古塔底部边缘距离DG＝12.9 m，点B、D、G、Q在同一条直线上参考数据sin 32°≈0.530，cos 32°≈0.848，tan 32°≈0.625项目任务(1)求出古塔的高度；(2)求出古塔底面圆的半径.