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江苏省南通市名校联盟2025届新高三暑期学习（全国普通高考调研模拟测试）数学试题（原卷版）
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这是一份江苏省南通市名校联盟2025届新高三暑期学习（全国普通高考调研模拟测试）数学试题（原卷版），共5页。试卷主要包含了作答时，将答案写在答题卡上，考试结束后，请将答题卡交回，请认真阅读考试说明等内容，欢迎下载使用。
全卷满分150分，限时120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的考试号填写在答题卡上．
2．作答时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，请将答题卡交回．
4．请认真阅读考试说明．
★预祝考试顺利★
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合，，则的元素个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
2. 已知，，则点B到直线AC的距离为（ ）
A. B. C. 2D. 3
3. 设，函数与直线交于点．若曲线与轴上方（不含轴）的正三角形的两条边相切，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
4. 现有一份由连续正整数（可重复）组成的样本，其容量为m，满足上四分位数为28，第80百分位数为30，则m的最小值为（ ）
A. 24B. 25C. 28D. 29
5. 在递增数列中，，．已知表示前n项和的最小值，则（ ）
A. B. C. D.
6. 在锐角中，已知，则B，C的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 无法确定
7. 已知标准椭圆上P，Q两点切线方程分别为，，则直线PQ的斜率为（ ）
A. B. C. 2D.
8. 若满足在上恒成立的a唯一，则整数b的值为（ ）
A 3B. C. 4D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知的外接圆圆心在AC边上，内切圆半径为，且．设D为AC边上动点，将沿BD向上翻折，得到四面体ABCD，记为M，其体积为V．则（ ）
A. 的外接圆面积为4π
B. M不可能是正三棱锥
C. M的外接球球心不可能在其棱上
D. V取最大值时，
10. 已知抛物线Γ：焦点为F，P为Γ上一动点．过F且斜率大于0的直线与Γ交于不同的两点A，B，且满足，．则下列说法错误的是（ ）
A. 直线AB的倾斜角大于60°
B. 若，则
C. 点P可能在第一象限
D. 直线PB的横截距不可能是
11. 已知函数，记时的极值点为（且的值均不同）．则下列说法错误的是（ ）
A. 满足有唯一零点的唯一B. 无论取何值，都没有过原点的切线
C. 若，则D. 若，则
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知复数，若，则______．
13. 甲和乙玩小游戏测试他们的默契度．在一轮游戏中，他们各写下一个三位数，分别记为A和B．当以下任一条件成立时，他们“不默契”，否则“心有灵犀”：
①A、B中相同的数字少于两个（如147和289）
②A、B中相同的数字不少于两个，但不都在相同的数位上（如147和174）
根据以上内容判断：在本轮游戏中，甲和乙“心有灵犀”的概率为______．
14. 给定一种有穷正整数列的延伸机制Ξ，如图所示：
记经Ξ延伸后得到的无穷数列为，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 俱乐部是具有某种相同兴趣的人进行社会交际、文化娱乐等活动的团体和场所．一些顶尖的俱乐部不仅对会员的要求非常严苛，加入也要经过现任会员邀请并接受资格测试和对个人素养、社会地位等的综合考察．研究人员通过模型预测某俱乐部标准资格测试的参试成绩（总计100份），绘制成下表（已知B卷难度更大）：
某俱乐部标准资格测试参试成绩预测
（1）若至少有5%的把握认为及格率与试卷难度无关，求a的最小值；
（2）在预测的40份B卷参试成绩中随机挑选3份，记不及格的份数为X
①求X的分布列及数学期望；
②人教A版选择性必修第三册第80页上写道：对于不放回抽样，当n远远小于N时…此时，超几何分布可以用二项分布近似．近似指的是期望还是方差？试判断并说明理由．
附：，其中．
16. 已知定义在上的函数，．
（1）分别说明，的单调性；
（2）若函数存在唯一极小值点，求的取值范围．
17. 已知无限高圆柱．如图，四边形内接于其底面⊙O，P其内一动点（包括表面），且平面平面，．
（1）是否存在点使得直线平面？试判断并说明理由．
（2）若，二面角的大小为，求最大时直线与平面所成角的余弦值．
18. 已知焦点为F的抛物线Γ：，圆F与Γ在第一象限的交点为P，与x正，负半轴分别交于点H，G．直线PH，直线PF与Γ的另一交点分别为M，N，直线MN与直线PG交于点T．
（1）若，证明：；
（2）若，求的取值范围．
19. 小学我们都学过质数与合数，每一个合数都能分解为若干个质数的积，比如，等等，分解出来的质数称为这个合数的质因子，如2，3都是6的质因子．在研究某两个整数的关系时，我们称它们是互质的，如果它们没有相同的质因子．例如25的质因子只有5，而36的质因子只有2，3，所以25，36是互质的．为方便表示，对于任意的正整数，我们将比小且与互质的正整数的个数记为．例如，小于10且与10互质的数有1，3，7，9，所以，同理有．
（1）求，；
（2）求所有，，使得是奇数；
（3）若正整数，其中表示互不相同的质数．证明：.
不及格
及格
良好
优秀
A卷
a
b
16
4
B卷
20
12
6
2
α
0.050
0.025
0010
0.005
0.001
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
全卷满分150分，限时120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的考试号填写在答题卡上．
2．作答时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，请将答题卡交回．
4．请认真阅读考试说明．
★预祝考试顺利★
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合，，则的元素个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
2. 已知，，则点B到直线AC的距离为（ ）
A. B. C. 2D. 3
3. 设，函数与直线交于点．若曲线与轴上方（不含轴）的正三角形的两条边相切，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
4. 现有一份由连续正整数（可重复）组成的样本，其容量为m，满足上四分位数为28，第80百分位数为30，则m的最小值为（ ）
A. 24B. 25C. 28D. 29
5. 在递增数列中，，．已知表示前n项和的最小值，则（ ）
A. B. C. D.
6. 在锐角中，已知，则B，C的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 无法确定
7. 已知标准椭圆上P，Q两点切线方程分别为，，则直线PQ的斜率为（ ）
A. B. C. 2D.
8. 若满足在上恒成立的a唯一，则整数b的值为（ ）
A 3B. C. 4D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知的外接圆圆心在AC边上，内切圆半径为，且．设D为AC边上动点，将沿BD向上翻折，得到四面体ABCD，记为M，其体积为V．则（ ）
A. 的外接圆面积为4π
B. M不可能是正三棱锥
C. M的外接球球心不可能在其棱上
D. V取最大值时，
10. 已知抛物线Γ：焦点为F，P为Γ上一动点．过F且斜率大于0的直线与Γ交于不同的两点A，B，且满足，．则下列说法错误的是（ ）
A. 直线AB的倾斜角大于60°
B. 若，则
C. 点P可能在第一象限
D. 直线PB的横截距不可能是
11. 已知函数，记时的极值点为（且的值均不同）．则下列说法错误的是（ ）
A. 满足有唯一零点的唯一B. 无论取何值，都没有过原点的切线
C. 若，则D. 若，则
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知复数，若，则______．
13. 甲和乙玩小游戏测试他们的默契度．在一轮游戏中，他们各写下一个三位数，分别记为A和B．当以下任一条件成立时，他们“不默契”，否则“心有灵犀”：
①A、B中相同的数字少于两个（如147和289）
②A、B中相同的数字不少于两个，但不都在相同的数位上（如147和174）
根据以上内容判断：在本轮游戏中，甲和乙“心有灵犀”的概率为______．
14. 给定一种有穷正整数列的延伸机制Ξ，如图所示：
记经Ξ延伸后得到的无穷数列为，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 俱乐部是具有某种相同兴趣的人进行社会交际、文化娱乐等活动的团体和场所．一些顶尖的俱乐部不仅对会员的要求非常严苛，加入也要经过现任会员邀请并接受资格测试和对个人素养、社会地位等的综合考察．研究人员通过模型预测某俱乐部标准资格测试的参试成绩（总计100份），绘制成下表（已知B卷难度更大）：
某俱乐部标准资格测试参试成绩预测
（1）若至少有5%的把握认为及格率与试卷难度无关，求a的最小值；
（2）在预测的40份B卷参试成绩中随机挑选3份，记不及格的份数为X
①求X的分布列及数学期望；
②人教A版选择性必修第三册第80页上写道：对于不放回抽样，当n远远小于N时…此时，超几何分布可以用二项分布近似．近似指的是期望还是方差？试判断并说明理由．
附：，其中．
16. 已知定义在上的函数，．
（1）分别说明，的单调性；
（2）若函数存在唯一极小值点，求的取值范围．
17. 已知无限高圆柱．如图，四边形内接于其底面⊙O，P其内一动点（包括表面），且平面平面，．
（1）是否存在点使得直线平面？试判断并说明理由．
（2）若，二面角的大小为，求最大时直线与平面所成角的余弦值．
18. 已知焦点为F的抛物线Γ：，圆F与Γ在第一象限的交点为P，与x正，负半轴分别交于点H，G．直线PH，直线PF与Γ的另一交点分别为M，N，直线MN与直线PG交于点T．
（1）若，证明：；
（2）若，求的取值范围．
19. 小学我们都学过质数与合数，每一个合数都能分解为若干个质数的积，比如，等等，分解出来的质数称为这个合数的质因子，如2，3都是6的质因子．在研究某两个整数的关系时，我们称它们是互质的，如果它们没有相同的质因子．例如25的质因子只有5，而36的质因子只有2，3，所以25，36是互质的．为方便表示，对于任意的正整数，我们将比小且与互质的正整数的个数记为．例如，小于10且与10互质的数有1，3，7，9，所以，同理有．
（1）求，；
（2）求所有，，使得是奇数；
（3）若正整数，其中表示互不相同的质数．证明：.
不及格
及格
良好
优秀
A卷
a
b
16
4
B卷
20
12
6
2
α
0.050
0.025
0010
0.005
0.001
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
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