资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩10页未读，
继续阅读
数学高教版（2021·十四五）第7章 数列精品随堂练习题
展开
这是一份数学高教版（2021·十四五）第7章 数列精品随堂练习题，文件包含串讲02数列考点串讲原卷版-docx、串讲02数列考点串讲解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。
二、常考题型
三、知识梳理
知识点一：数列的概念
1.数列及其有关概念
1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项．
注：数列的第n项与项数n：数列{an}的第n项为an，an在数列{an}中的项数为n
2.数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．
3.对数列概念的理解
（1）数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．
（2）数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．
（3）数列是一种特殊的函数
数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集和正整数集的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点.
2.数列的分类
注：(1)如果组成两个数列的数相同，但顺序不同，它们是不同的数列；(2)同一个数可以在数列中重复出现；(3){an}表示一个数列，an表示数列中的第n项．(4)判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断．
(5)判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外．
3.数列的表示方法
1．列表法
列出表格来表示数列{an}的第n项与序号n之间的关系．见下表：
2．图象法
在平面直角坐标系中，数列的图象是一系列横坐标为正整数的孤立的点(n，an)．
3．通项公式法
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数的表达式．
注：通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．
4．递推公式法
如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
注：常见数列的通项
(1)1，2，3，4，…的一个通项公式为an＝n.
(2)2，4，6，8，…的一个通项公式为an＝2n.
(3)3，5，7，9，…的一个通项公式为an＝2n＋1.
(4)2，4，8，16，…的一个通项公式为an＝2n.
(5)－1，1，－1，1，…的一个通项公式为an＝(－1)n.
(6)1，0，1，0，…的一个通项公式为an＝eq \f(1＋（－1）n－1,2).
(7)a，b，a，b，…的一个通项公式为an＝eq \f(（a＋b）＋（－1）n－1（a－b）,2).
(8)9，99，999，…的一个通项公式为an＝10n－1.
4.数列的前n项和Sn与an的关系
1.把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即
Sn＝a1＋a2＋…＋an.
2．数列的前项和和通项的关系：则
特别地，若a1满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则不需要分段．
分类标准
类型
含义
按项数
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
按项的
变化趋势
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列，即恒有an＋1>an(n∈N*)
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列，即恒有an＋1常数列
各项都相等的数列，即恒有an＋1＝an(n∈N*)
按其他
标准
周期数列
一般地，对于数列{an}，若存在一个固定的正整数T，使得an＋T＝an恒成立，则称{an}是周期为T的周期数列
按其他
标准
有界(无界)数列
任一项的绝对值都小于某一正数的数列称为有界数列，即∃M∈R，|an|≤M，否则称为无界数列
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
序号n
1
2
3
…
n
…
项an
a1
a2
a3
…
an
…
5.数列的性质
（1）数列的单调性----递增数列、递减数列或是常数列；
在数列{an}中，若an最大，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≥an－1，,an≥an＋1；))若an最小，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≤an－1，,an≤an＋1.))
（2）数列的周期性.
根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和．
注：由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n}这一条件．
知识点二：等差数列
1.等差数列定义：
2.等差数列的通项公式：
3.等差数列的四种判断方法
4.等差数列的常用性质
5.等差中项的概念：
定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中 .
，，成等差数列.
注：在等差数列{an}中，从第二项起，每一项都是它前后两项的等差中项，即{an}成等差数列⇔an＋1＋an－1＝2ann≥2.
6.等差数列的前n和公式
注：（1）等差数列的前n和公式的推导
对于一般的等差数列{an}，如何求其前n项和Sn？设其首项为a1，公差为d.(倒序相加法)
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，,Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a1，))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Sn＝a1＋a1＋d＋a1＋2d＋…＋a1＋n－1d，,Sn＝an＋an－d＋an－2d＋…＋an－n－1d，))
两式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝eq \f(na1＋an,2)，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等．
（2）等差数列{an}的前n项和公式的函数特征
Sn＝eq \f(na1＋an,2) eq \(――→,\s\up7(an＝a1＋n－1d),\s\d5( ))Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n⇒当d≠0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝eq \f(d,2)x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))x上横坐标为正整数的一系列孤立的点．且d>0时图象开口向上，d<0时图象开口向下.
（3）公式一反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和；
7.等差数列前n项和的性质
（1）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 成等差数列，公差为n2d；
（2）设数列是等差数列，且公差为，
（Ⅰ）若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(an,an＋1)；
（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则S2n－1＝(2n－1)an；(中间项)；②.
等差数列中，,则,.
注：在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n)
（4）若与为等差数列，且前项和分别为与，则.
（5）若{an}是等差数列，则eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的eq \f(1,2)；
8.等差数列的前n项和的最值
(1)利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．
在等差数列{an}中，
当，时，有最大值(即所有非负项之和)；，时，有最小值(即所有非正项之和)；
若已知，则最值时的值（）则当，，满足的项数使得取最大值，当，时，满足的项数使得取最小值.
(2)利用等差数列的前n项和：Sn＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n((为常数, ))，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值．当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值,通过配方或借助图像，二次函数的性质等，将等差数列的前n项和最值问题转化为二次函数的最值的方法求解.
注：当a1>0，d>0时Sn有最小值S1，当a1<0，d<0时Sn有最大值S1；(2)Sn取得最大或最小值时的n不一定唯一．
知识点三：等比数列
等比数列定义
等比数列通项公式为：
（an＝a1qn－1an＝am·qn－m），通项公式还可以写成，它与指数函数有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列．
3．等比中项
如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项，即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab．
注：①只有当两个数同号时，这两数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数.
②在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等比中项；
③与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列中， ．
④等比中项与等差中项的异同，对比如下表：
4.等比数列的性质
在等比数列中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列， 如：，，，，……；，，，，……；
注：若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列．
（2）在等比数列中，对任意，，；
（3）在等比数列中，若，，，且，则,特殊地， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 时，则 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT ， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 是 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 的等比中项. 也就是：，如图所示：.
注：(1)性质的推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，有amanap＝axayaz；
(2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同；
(3)在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，即a1·an＝a2·an－1＝….
(4)等比数列下标为奇数的项正负相同，下标为偶数的项正负相同；
（4）若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))，{aeq \\al(2,n)}，{an·bn}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,bn)))仍是等比数列．
（5）在等比数列{an}中按序号从小到大取出若干项：若k1，k2，k3，…，kn，…成等差数列，那么是等比数列.
（6）公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即，，，…成等比数列，且公比为.
（7）等比数列的单调性
当或时，为递增数列，当或时，为递减数列．
5.等差数列与等比数列的区分与联系
(1)如果数列成等差数列，那么数列(总有意义)必成等比数列．
(2)如果数列成等比数列，且，那么数列 (，且)必成等差数列．
(3)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列．数列是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件．
(4)如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构成什么样的新数列．
6.等比数列的前n项和公式
（2）在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个.(和各已知三个可求第四个
（3）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆；
（4）应用求和公式时，必要时应讨论的情况.在应用公式求和时，应注意到Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)的使用条件为q≠1，而当q＝1时应按常数列求和，即Sn＝na1.
四、常考题型探究
考点一 数列的概念
1．已知数列，则该数列的第项为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知各项可知数列的通项公式，代入即可.
【详解】由题意知：该数列的通项公式为，.
故选：A.
2．在数列中，，，则（ ）
A．B．C．5D．
【答案】C
【分析】根据递推关系求得是周期数列，由此求得.
【详解】依题意，，，
，，……，
所以数列是周期为的周期数列，所以.
故选：C
3．数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】数列9，99，999，9999，…的一个通项公式是，则数列0.9，0.99，0.999，0.9999，…的一个通项公式是，则数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是，故选：C．
4．数列的一个通项公式可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据各项的分子和分母特征进行求解判断即可.
【详解】分母2，4，6，8是序号n的2倍，分母加1是分子.
故选：D．
5．已知数列的通项公式为，则33是这个数列的（ ）
A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项
【答案】C
【解析】令，解得，故选：C．
6．数列的前项和，则取最大值时的值为（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质计算可得.
【详解】对于函数对称轴为，开口向下，
所以当时函数取得最大值，
所以当时取得最大值.
故选：B
7．如果数列的通项公式为，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？
【答案】是数列中的项，是第10项
【分析】由求出的值，再判断是否为正整数即可.
【详解】由，解得或，
因为，所以，
所以120是这个数列的项，是第10项.
8．已知数列的通项公式为，，则它的第项是 .
【答案】
【分析】将代入通项公式即可.
【详解】，.
故答案为：.
考点二 等差数列
9．下列数列中，不成等差数列的是（ ）．
A．2，5，8，11B．1.1，1.01，1.001，1.0001
C．a，a，a，aD．，，，
【答案】B
【解析】对于A，因为第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数3，所以此数列是等差数列，所以A不合题意，
对于B，因为，，即，所以此数列不是等差数，所以B符合题意，
对于C，因为第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数0，所以此数列是等差数列，所以C不合题意，
对于D，数列，，，可表示为，，，，因为第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数1，所以此数列是等差数列，所以D不合题意，
故选：B
10．已知等差数列的前n项和为S，且，，则（ ）
A．-2B．2C．4D．6
【答案】B
【分析】设出公差，利用题目条件得到方程组，求出首项和公差，得到.
【详解】设公差为，则，，
联立可得，故.
故选：B
11．设为实数，首项为、公差为的等差数列的前项和为，且满足：，的最小值为（ ）
A．6B．8C．9D．10
【答案】B
【分析】将等差数列前n项和公式代入，整理为关于的二次方程，由判别式求得的最小值.
【详解】因为，所以，
所以，因为为实数，所以，所以.
故选：B.
12．数列满足，且，则它的通项公式 ．
【答案】
【解析】因数列满足，即，因此数列是首项为1，公差为的等差数列，
所以数列的通项公式为，故答案为：.
13．在等差数列中，，，则数列的公差 _.
【答案】2
【解析】由题意得，解得，故答案为：2.
14．在等差数列中，若，则的值为（ ）
A．90B．100C．180D．200
【答案】C
【解析】因为为等差数列，故，故，
而，故选：C.
12．记等差数列的前n项和为,若,则（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】C
【解析】解:由题知,即,,，故选:C
15．在等差数列中，首项为，公差为，则（ ）
A．2B．0C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，利用等差数列的通项公式，即可求解.
【详解】由等差数列中，首项为，公差为，
则.
故选：D.
16．已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．120B．60C．160D．80
【答案】A
【解析】为等差数列，，
，，解得.
.故选：A.
17．已知数列与均为等差数列，且，，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【解析】因为，，所以，即 ，根据等差数列的性质可知，所以，故选:B.
18．已知等差数列是递增数列，且其前三项之和为21，前三项之积为231，求数列的通项公式．
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，则其前三项分别为，，，
则，解得或．因为数列为递增数列，所以，
所以等差数列的通项公式为．
19．已知为等差数列，，前10项和，则（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】D
【分析】直接根据等差数列的求和公式计算.
【详解】根据等差数列的求和公式，，解得.
故选：D
20．若是等差数列的前n项和，有，，则（ ）．
A．230B．420C．450D．540
【答案】B
【分析】由等差数列求和公式直接计算可得.
【详解】由等差数列的求和公式得：.
故选：B.
21．已知数列的前项和为，，则（ ）
A．48B．32C．16D．8
【答案】C
【分析】直接根据数列的项和前项和与项之间的关系求解即可．
【详解】数列的前项和为，，
则，
故选：C．
22．在等差数列中，若，则 .
【答案】
【分析】根据等差中项的性质可求得的值.
【详解】在等差数列中，，
解得.
故答案为：.
23．已知等差数列的通项公式是，则其公差是 ．
【答案】3
【分析】根据已知条件，结合等差数列的定义，即可求解．
【详解】设等差数列的公差为，
则
故答案为：3．
考点三 等比数列
24．下列各组数成等比数列的是（ ）
①，，， ②，，， ③，，， ④，，，
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
【答案】C
【解析】①首项为1，公比为，是等比数列； ②首项为，公比为，是等比数列；③当时，不是等比数列；④首项为，公比为，是等比数列，所以①②④成等比数列，故选：C.
25．在等比数列中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据等比中项的性质计算可得.
【详解】由，∴．
故选：D
26．在等比数列中，如果，那么（ ）
A．40B．36C．54D．128
【答案】D
【解析】设公比为，由，，所以，所以，故选：D.
27．正项等比数列中，是与的等差中项，若，则（ ）
A．4B．8C．32D．64
【答案】D
【解析】由题意可知，是与的等差中项，所以，即，
所以，或（舍），所以，，故选：D.
28．在等比数列中，若，则的公比（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】B
【分析】根据等比数列的性质求得正确答案.
【详解】是等比数列，
依题意，，所以.
故选：B
29．数1与4的等差中项，等比中项分别是（ ）
A．，B．，2C．，2D．，
【答案】D
【分析】利用等差中项与等比中项的定义分别进行求解即可.
【详解】根据等差中项的定义可知，1与4的等差中项为；
根据等比中项的定义可得，1与4的等比中项G满足G2＝1×4＝4，G＝±2.
故选：D.
30．在正项等比数列中，，则______．
【答案】2
【解析】在正项等比数列中，，所以，所以，，
．故答案为：2.
31．等比数列的公比，前n项和为，，，则 ．
【答案】31
【分析】根据等比数列通项公式基本量计算出公比，进而利用等比数列求和公式计算即可.
【详解】由题意得，解得或，
因为，所以，故.
故答案为：31
32．在等比数列中，，则 .
【答案】
【分析】利用等比数列的性质根据已知条件列方程求解即可
【详解】因为等比数列中，，
所以，解得，
故答案为：
33．已知数列的前n项和为，在各项均为正数的等比数列中，，，求数列与的通项公式.
【答案】，
【解析】解：时，；
时，，两式相减得，适合，所以；
设等比数列的公比为，由题得，所以. 所以.
34．为等比数列，且，，求.
【答案】或
【解析】因为数列为等比数列，则，解得或.
由等比中项的性质可得，则.
若，则；若，则，综上所述，或.
35．已知正项等比数列首项为1，且成等差数列，则前6项和为（ ）
A．31B．C．D．63
【答案】C
【解析】∵成等差数列，∴，∴，即，解得 或 ，又∵，∴，∴，故选：C
36．若各项均为正数的等比数列满足.求：公比q
【答案】3
【分析】根据给定等式，结合等比数列意义列出方程求解作答.
【详解】各项均为正数的等比数列满足，则有，
整理得，而，解得，
所以.
37．已知是等比数列，，且，求
【答案】
【分析】根据等比数列的性质求得正确答案.
【详解】根据等比数列的性质可知：
，
由于，所以.定义
一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或.
注意事项
(1)要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．
(2)注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别
(3)等差数列（通常可称为数列）的单调性：在公差为d的等差数列{an}中：①d＞0⇔{an}为递增数列；②d＝0⇔{an}为常数列；③d<0⇔{an}为递减数列.
从函数角度认识等差数列{an}
若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，
则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．
(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d ；
(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d.
通项公式
；⇒当d≠0时，an是关于n的一次函数模型．
变形及推广
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则
①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，
②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，
③d＝eq \f(an－am,n－m)(m，n∈N*，且m≠n)．
其中，①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上．
②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1.
③可用来由等差数列任两项求公差．
方法
解读
适合题型
定义法
对于数列，若(常数)⇔{an}是等差数列
解答题
中的证
明问题
等差中项法
对于数列{an},2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)（）成立⇔{an}是等差数列
通项公式法
(为常数,)⇔{an}是等差数列
选择、
填空题
中的判
断问题
前n项和公式法
Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，Sn为数列{an}的前n项和)⇔{an}是等差数列
是等差数列⇔是等差数列.
提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件.
常用性质
（1）通项公式的推广：在等差数列中，对任意，，，；
（2）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 时，则 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT ， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 是 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 的等差中项.
（3）ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)；
（4）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列，{pan＋qbn}也是等差数列
（5）若数列是等差数列,则仍为等差数列．
（6）如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．
已知量
首项，末项与项数
首项，公差与项数
求和公式
Sn＝eq \f(na1＋an,2)
Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d
定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：.
注意事项
(1)定义的符号表示：eq \f(an,an－1)＝q(n∈N*且n≥2)或eq \f(an＋1,an)＝q(n∈N*)；
(2)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项；
(3)比必须是同一个常数；(4)等比数列中任意一项都不能为0；
(5)公比可以为正数、负数，但不能为0.
对比项
等差中项
等比中项
定义
若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项
若a，G，b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项
定义式
A－a＝b－A
eq \f(G,a)＝eq \f(b,G)
公式
A＝eq \f(a＋b,2)
G＝±eq \r(ab)
个数
a与b的等差中项唯一
a与b的等比中项有两个，且互为相反数
备注
任意两个数a与b都有等差中项
只有当ab＞0时，a与b才有等比中项
已知量
首项a1，项数n与公比q
首项a1，末项an与公比q
公式
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)，q≠1))
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)，q≠1))
二、常考题型
三、知识梳理
知识点一：数列的概念
1.数列及其有关概念
1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项．
注：数列的第n项与项数n：数列{an}的第n项为an，an在数列{an}中的项数为n
2.数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．
3.对数列概念的理解
（1）数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．
（2）数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．
（3）数列是一种特殊的函数
数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集和正整数集的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点.
2.数列的分类
注：(1)如果组成两个数列的数相同，但顺序不同，它们是不同的数列；(2)同一个数可以在数列中重复出现；(3){an}表示一个数列，an表示数列中的第n项．(4)判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断．
(5)判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外．
3.数列的表示方法
1．列表法
列出表格来表示数列{an}的第n项与序号n之间的关系．见下表：
2．图象法
在平面直角坐标系中，数列的图象是一系列横坐标为正整数的孤立的点(n，an)．
3．通项公式法
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数的表达式．
注：通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．
4．递推公式法
如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
注：常见数列的通项
(1)1，2，3，4，…的一个通项公式为an＝n.
(2)2，4，6，8，…的一个通项公式为an＝2n.
(3)3，5，7，9，…的一个通项公式为an＝2n＋1.
(4)2，4，8，16，…的一个通项公式为an＝2n.
(5)－1，1，－1，1，…的一个通项公式为an＝(－1)n.
(6)1，0，1，0，…的一个通项公式为an＝eq \f(1＋（－1）n－1,2).
(7)a，b，a，b，…的一个通项公式为an＝eq \f(（a＋b）＋（－1）n－1（a－b）,2).
(8)9，99，999，…的一个通项公式为an＝10n－1.
4.数列的前n项和Sn与an的关系
1.把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即
Sn＝a1＋a2＋…＋an.
2．数列的前项和和通项的关系：则
特别地，若a1满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则不需要分段．
分类标准
类型
含义
按项数
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
按项的
变化趋势
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列，即恒有an＋1>an(n∈N*)
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列，即恒有an＋1
各项都相等的数列，即恒有an＋1＝an(n∈N*)
按其他
标准
周期数列
一般地，对于数列{an}，若存在一个固定的正整数T，使得an＋T＝an恒成立，则称{an}是周期为T的周期数列
按其他
标准
有界(无界)数列
任一项的绝对值都小于某一正数的数列称为有界数列，即∃M∈R，|an|≤M，否则称为无界数列
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
序号n
1
2
3
…
n
…
项an
a1
a2
a3
…
an
…
5.数列的性质
（1）数列的单调性----递增数列、递减数列或是常数列；
在数列{an}中，若an最大，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≥an－1，,an≥an＋1；))若an最小，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≤an－1，,an≤an＋1.))
（2）数列的周期性.
根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和．
注：由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n}这一条件．
知识点二：等差数列
1.等差数列定义：
2.等差数列的通项公式：
3.等差数列的四种判断方法
4.等差数列的常用性质
5.等差中项的概念：
定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中 .
，，成等差数列.
注：在等差数列{an}中，从第二项起，每一项都是它前后两项的等差中项，即{an}成等差数列⇔an＋1＋an－1＝2ann≥2.
6.等差数列的前n和公式
注：（1）等差数列的前n和公式的推导
对于一般的等差数列{an}，如何求其前n项和Sn？设其首项为a1，公差为d.(倒序相加法)
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，,Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a1，))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Sn＝a1＋a1＋d＋a1＋2d＋…＋a1＋n－1d，,Sn＝an＋an－d＋an－2d＋…＋an－n－1d，))
两式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝eq \f(na1＋an,2)，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等．
（2）等差数列{an}的前n项和公式的函数特征
Sn＝eq \f(na1＋an,2) eq \(――→,\s\up7(an＝a1＋n－1d),\s\d5( ))Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n⇒当d≠0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝eq \f(d,2)x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))x上横坐标为正整数的一系列孤立的点．且d>0时图象开口向上，d<0时图象开口向下.
（3）公式一反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和；
7.等差数列前n项和的性质
（1）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 成等差数列，公差为n2d；
（2）设数列是等差数列，且公差为，
（Ⅰ）若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(an,an＋1)；
（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则S2n－1＝(2n－1)an；(中间项)；②.
等差数列中，,则,.
注：在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n)
（4）若与为等差数列，且前项和分别为与，则.
（5）若{an}是等差数列，则eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的eq \f(1,2)；
8.等差数列的前n项和的最值
(1)利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．
在等差数列{an}中，
当，时，有最大值(即所有非负项之和)；，时，有最小值(即所有非正项之和)；
若已知，则最值时的值（）则当，，满足的项数使得取最大值，当，时，满足的项数使得取最小值.
(2)利用等差数列的前n项和：Sn＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n((为常数, ))，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值．当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值,通过配方或借助图像，二次函数的性质等，将等差数列的前n项和最值问题转化为二次函数的最值的方法求解.
注：当a1>0，d>0时Sn有最小值S1，当a1<0，d<0时Sn有最大值S1；(2)Sn取得最大或最小值时的n不一定唯一．
知识点三：等比数列
等比数列定义
等比数列通项公式为：
（an＝a1qn－1an＝am·qn－m），通项公式还可以写成，它与指数函数有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列．
3．等比中项
如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项，即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab．
注：①只有当两个数同号时，这两数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数.
②在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等比中项；
③与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列中， ．
④等比中项与等差中项的异同，对比如下表：
4.等比数列的性质
在等比数列中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列， 如：，，，，……；，，，，……；
注：若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列．
（2）在等比数列中，对任意，，；
（3）在等比数列中，若，，，且，则,特殊地， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 时，则 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT ， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 是 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 的等比中项. 也就是：，如图所示：.
注：(1)性质的推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，有amanap＝axayaz；
(2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同；
(3)在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，即a1·an＝a2·an－1＝….
(4)等比数列下标为奇数的项正负相同，下标为偶数的项正负相同；
（4）若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))，{aeq \\al(2,n)}，{an·bn}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,bn)))仍是等比数列．
（5）在等比数列{an}中按序号从小到大取出若干项：若k1，k2，k3，…，kn，…成等差数列，那么是等比数列.
（6）公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即，，，…成等比数列，且公比为.
（7）等比数列的单调性
当或时，为递增数列，当或时，为递减数列．
5.等差数列与等比数列的区分与联系
(1)如果数列成等差数列，那么数列(总有意义)必成等比数列．
(2)如果数列成等比数列，且，那么数列 (，且)必成等差数列．
(3)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列．数列是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件．
(4)如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构成什么样的新数列．
6.等比数列的前n项和公式
（2）在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个.(和各已知三个可求第四个
（3）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆；
（4）应用求和公式时，必要时应讨论的情况.在应用公式求和时，应注意到Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)的使用条件为q≠1，而当q＝1时应按常数列求和，即Sn＝na1.
四、常考题型探究
考点一 数列的概念
1．已知数列，则该数列的第项为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知各项可知数列的通项公式，代入即可.
【详解】由题意知：该数列的通项公式为，.
故选：A.
2．在数列中，，，则（ ）
A．B．C．5D．
【答案】C
【分析】根据递推关系求得是周期数列，由此求得.
【详解】依题意，，，
，，……，
所以数列是周期为的周期数列，所以.
故选：C
3．数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】数列9，99，999，9999，…的一个通项公式是，则数列0.9，0.99，0.999，0.9999，…的一个通项公式是，则数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是，故选：C．
4．数列的一个通项公式可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据各项的分子和分母特征进行求解判断即可.
【详解】分母2，4，6，8是序号n的2倍，分母加1是分子.
故选：D．
5．已知数列的通项公式为，则33是这个数列的（ ）
A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项
【答案】C
【解析】令，解得，故选：C．
6．数列的前项和，则取最大值时的值为（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质计算可得.
【详解】对于函数对称轴为，开口向下，
所以当时函数取得最大值，
所以当时取得最大值.
故选：B
7．如果数列的通项公式为，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？
【答案】是数列中的项，是第10项
【分析】由求出的值，再判断是否为正整数即可.
【详解】由，解得或，
因为，所以，
所以120是这个数列的项，是第10项.
8．已知数列的通项公式为，，则它的第项是 .
【答案】
【分析】将代入通项公式即可.
【详解】，.
故答案为：.
考点二 等差数列
9．下列数列中，不成等差数列的是（ ）．
A．2，5，8，11B．1.1，1.01，1.001，1.0001
C．a，a，a，aD．，，，
【答案】B
【解析】对于A，因为第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数3，所以此数列是等差数列，所以A不合题意，
对于B，因为，，即，所以此数列不是等差数，所以B符合题意，
对于C，因为第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数0，所以此数列是等差数列，所以C不合题意，
对于D，数列，，，可表示为，，，，因为第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数1，所以此数列是等差数列，所以D不合题意，
故选：B
10．已知等差数列的前n项和为S，且，，则（ ）
A．-2B．2C．4D．6
【答案】B
【分析】设出公差，利用题目条件得到方程组，求出首项和公差，得到.
【详解】设公差为，则，，
联立可得，故.
故选：B
11．设为实数，首项为、公差为的等差数列的前项和为，且满足：，的最小值为（ ）
A．6B．8C．9D．10
【答案】B
【分析】将等差数列前n项和公式代入，整理为关于的二次方程，由判别式求得的最小值.
【详解】因为，所以，
所以，因为为实数，所以，所以.
故选：B.
12．数列满足，且，则它的通项公式 ．
【答案】
【解析】因数列满足，即，因此数列是首项为1，公差为的等差数列，
所以数列的通项公式为，故答案为：.
13．在等差数列中，，，则数列的公差 _.
【答案】2
【解析】由题意得，解得，故答案为：2.
14．在等差数列中，若，则的值为（ ）
A．90B．100C．180D．200
【答案】C
【解析】因为为等差数列，故，故，
而，故选：C.
12．记等差数列的前n项和为,若,则（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】C
【解析】解:由题知,即,,，故选:C
15．在等差数列中，首项为，公差为，则（ ）
A．2B．0C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，利用等差数列的通项公式，即可求解.
【详解】由等差数列中，首项为，公差为，
则.
故选：D.
16．已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．120B．60C．160D．80
【答案】A
【解析】为等差数列，，
，，解得.
.故选：A.
17．已知数列与均为等差数列，且，，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【解析】因为，，所以，即 ，根据等差数列的性质可知，所以，故选:B.
18．已知等差数列是递增数列，且其前三项之和为21，前三项之积为231，求数列的通项公式．
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，则其前三项分别为，，，
则，解得或．因为数列为递增数列，所以，
所以等差数列的通项公式为．
19．已知为等差数列，，前10项和，则（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】D
【分析】直接根据等差数列的求和公式计算.
【详解】根据等差数列的求和公式，，解得.
故选：D
20．若是等差数列的前n项和，有，，则（ ）．
A．230B．420C．450D．540
【答案】B
【分析】由等差数列求和公式直接计算可得.
【详解】由等差数列的求和公式得：.
故选：B.
21．已知数列的前项和为，，则（ ）
A．48B．32C．16D．8
【答案】C
【分析】直接根据数列的项和前项和与项之间的关系求解即可．
【详解】数列的前项和为，，
则，
故选：C．
22．在等差数列中，若，则 .
【答案】
【分析】根据等差中项的性质可求得的值.
【详解】在等差数列中，，
解得.
故答案为：.
23．已知等差数列的通项公式是，则其公差是 ．
【答案】3
【分析】根据已知条件，结合等差数列的定义，即可求解．
【详解】设等差数列的公差为，
则
故答案为：3．
考点三 等比数列
24．下列各组数成等比数列的是（ ）
①，，， ②，，， ③，，， ④，，，
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
【答案】C
【解析】①首项为1，公比为，是等比数列； ②首项为，公比为，是等比数列；③当时，不是等比数列；④首项为，公比为，是等比数列，所以①②④成等比数列，故选：C.
25．在等比数列中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据等比中项的性质计算可得.
【详解】由，∴．
故选：D
26．在等比数列中，如果，那么（ ）
A．40B．36C．54D．128
【答案】D
【解析】设公比为，由，，所以，所以，故选：D.
27．正项等比数列中，是与的等差中项，若，则（ ）
A．4B．8C．32D．64
【答案】D
【解析】由题意可知，是与的等差中项，所以，即，
所以，或（舍），所以，，故选：D.
28．在等比数列中，若，则的公比（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】B
【分析】根据等比数列的性质求得正确答案.
【详解】是等比数列，
依题意，，所以.
故选：B
29．数1与4的等差中项，等比中项分别是（ ）
A．，B．，2C．，2D．，
【答案】D
【分析】利用等差中项与等比中项的定义分别进行求解即可.
【详解】根据等差中项的定义可知，1与4的等差中项为；
根据等比中项的定义可得，1与4的等比中项G满足G2＝1×4＝4，G＝±2.
故选：D.
30．在正项等比数列中，，则______．
【答案】2
【解析】在正项等比数列中，，所以，所以，，
．故答案为：2.
31．等比数列的公比，前n项和为，，，则 ．
【答案】31
【分析】根据等比数列通项公式基本量计算出公比，进而利用等比数列求和公式计算即可.
【详解】由题意得，解得或，
因为，所以，故.
故答案为：31
32．在等比数列中，，则 .
【答案】
【分析】利用等比数列的性质根据已知条件列方程求解即可
【详解】因为等比数列中，，
所以，解得，
故答案为：
33．已知数列的前n项和为，在各项均为正数的等比数列中，，，求数列与的通项公式.
【答案】，
【解析】解：时，；
时，，两式相减得，适合，所以；
设等比数列的公比为，由题得，所以. 所以.
34．为等比数列，且，，求.
【答案】或
【解析】因为数列为等比数列，则，解得或.
由等比中项的性质可得，则.
若，则；若，则，综上所述，或.
35．已知正项等比数列首项为1，且成等差数列，则前6项和为（ ）
A．31B．C．D．63
【答案】C
【解析】∵成等差数列，∴，∴，即，解得 或 ，又∵，∴，∴，故选：C
36．若各项均为正数的等比数列满足.求：公比q
【答案】3
【分析】根据给定等式，结合等比数列意义列出方程求解作答.
【详解】各项均为正数的等比数列满足，则有，
整理得，而，解得，
所以.
37．已知是等比数列，，且，求
【答案】
【分析】根据等比数列的性质求得正确答案.
【详解】根据等比数列的性质可知：
，
由于，所以.定义
一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或.
注意事项
(1)要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．
(2)注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别
(3)等差数列（通常可称为数列）的单调性：在公差为d的等差数列{an}中：①d＞0⇔{an}为递增数列；②d＝0⇔{an}为常数列；③d<0⇔{an}为递减数列.
从函数角度认识等差数列{an}
若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，
则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．
(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d ；
(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d.
通项公式
；⇒当d≠0时，an是关于n的一次函数模型．
变形及推广
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则
①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，
②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，
③d＝eq \f(an－am,n－m)(m，n∈N*，且m≠n)．
其中，①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上．
②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1.
③可用来由等差数列任两项求公差．
方法
解读
适合题型
定义法
对于数列，若(常数)⇔{an}是等差数列
解答题
中的证
明问题
等差中项法
对于数列{an},2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)（）成立⇔{an}是等差数列
通项公式法
(为常数,)⇔{an}是等差数列
选择、
填空题
中的判
断问题
前n项和公式法
Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，Sn为数列{an}的前n项和)⇔{an}是等差数列
是等差数列⇔是等差数列.
提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件.
常用性质
（1）通项公式的推广：在等差数列中，对任意，，，；
（2）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 时，则 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT ， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 是 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 的等差中项.
（3）ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)；
（4）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列，{pan＋qbn}也是等差数列
（5）若数列是等差数列,则仍为等差数列．
（6）如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．
已知量
首项，末项与项数
首项，公差与项数
求和公式
Sn＝eq \f(na1＋an,2)
Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d
定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：.
注意事项
(1)定义的符号表示：eq \f(an,an－1)＝q(n∈N*且n≥2)或eq \f(an＋1,an)＝q(n∈N*)；
(2)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项；
(3)比必须是同一个常数；(4)等比数列中任意一项都不能为0；
(5)公比可以为正数、负数，但不能为0.
对比项
等差中项
等比中项
定义
若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项
若a，G，b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项
定义式
A－a＝b－A
eq \f(G,a)＝eq \f(b,G)
公式
A＝eq \f(a＋b,2)
G＝±eq \r(ab)
个数
a与b的等差中项唯一
a与b的等比中项有两个，且互为相反数
备注
任意两个数a与b都有等差中项
只有当ab＞0时，a与b才有等比中项
已知量
首项a1，项数n与公比q
首项a1，末项an与公比q
公式
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)，q≠1))
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)，q≠1))
相关试卷
高教版（2021·十四五）拓展模块一（下册）第7章 数列优秀练习： 这是一份高教版（2021·十四五）拓展模块一（下册）<a href="/sx/tb_c4053682_t7/?tag_id=28" target="_blank">第7章 数列优秀练习</a>，文件包含专题02数列专题测试高教版2021·拓展模块下册原卷版docx、专题02数列专题测试高教版2021·拓展模块下册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共12页， 欢迎下载使用。
中职数学高教版（2021·十四五）拓展模块一（下册）第7章 数列优秀课时作业： 这是一份中职数学高教版（2021·十四五）拓展模块一（下册）<a href="/sx/tb_c4053682_t7/?tag_id=28" target="_blank">第7章 数列优秀课时作业</a>，文件包含专题02数列考点串讲+7热考题型高教版2021·拓展模块下册原卷版docx、专题02数列考点串讲+7热考题型高教版2021·拓展模块下册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共16页， 欢迎下载使用。
高教版（2021·十四五）拓展模块一（下册）第10章 统计优秀课时训练： 这是一份高教版（2021·十四五）拓展模块一（下册）<a href="/sx/tb_c4053696_t7/?tag_id=28" target="_blank">第10章 统计优秀课时训练</a>，文件包含串讲05统计考点串讲原卷版docx、串讲05统计考点串讲解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共16页， 欢迎下载使用。
