艺术生高考数学专题讲义：考点9 幂函数

这是一份艺术生高考数学专题讲义：考点9 幂函数，共8页。试卷主要包含了幂函数的概念，五个简单幂函数的图象和性质，函数表示奇函数，，函数是偶函数等内容，欢迎下载使用。


1．幂函数的概念
如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．
注意区分幂函数与指数函数：
幂函数的一般形式是y＝xα，幂函数中自变量x处在底数位置，幂指数为常数；
指数函数的一般形式是y＝αx，指数函数中自变量x处在指数位置，底数为常数．
2．五个简单幂函数的图象和性质
(1)图象比较
(2)性质比较
典例剖析
题型一 幂函数的概念
例1 下列函数中是幂函数的是________．
y＝2x②y＝2x③y＝x2④y＝
答案 ③
解析 根据幂函数的定义y＝xα，α是常数，得出y＝x2是幂函数，
y＝2x、y＝2x、y＝不是幂函数．
变式训练 下列函数：①y＝x2+1；②；③y＝2x2；④；⑤，其中幂函数是________．
答案 ②④
解析 根据幂函数的定义y＝xα，α是常数，得出②④是幂函数，
例2 已知幂函数f(x)的图象经过(9，3)，则f(2)－f(1)＝________．
答案
解析 设幂函数f(x)＝xa，它的图象经过(9，3)，
所以3＝9a，∴a＝，幂函数为f(x)＝，
所以f(2)－f(1)＝
变式训练 函数y＝(m2－m+1)是幂函数，且f(－x)＝f(x)，则实数m的值为________．
答案 1
解析 因为函数y＝(m2－m+1)是幂函数，
所以m2－m+1＝1，解得m＝1或m＝0．
因为f(－x)＝f(x)，所以函数是偶函数，
当m＝0时，幂函数为y＝x－3．函数表示奇函数，
当m＝1时y＝x－4．函数是偶函数．
解题要点 (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．
(2)若幂函数y＝xα(α∈R)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．
题型二 幂函数的图象
例3 下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )
答案 ①②③④
解析 图①说明函数定义域为R，有，且观察图象可知图②为，则图①为；又图③中函数定义域为，所以其对应，
综上可知：①②③④.
变式训练 下列命题中正确的是________．
幂函数的图象一定过点(0，0)和点(1，1)
若函数f(x)＝xn是奇函数，则它在定义域上单调递增
幂函数的图象上的点一定不在第四象限
幂函数的图象不可能是直线
答案 ③
解析 幂函数y＝x－1的图象不过点(0，0)，它在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，于是①，②都不正确．幂函数y＝x的图象是直线，④不正确．当x>0时，f(x)＝xα>0必成立，所以，幂函数的图象上的点一定不在第四象限，答案为③．
解题要点 若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.熟记5个简单幂函数的图象是解题的关键．
题型三 幂函数有关的大小比较问题
例4 已知，则a，b，c从小到大用“﹤”号排列为
．
答案
解析 因为幂函数在单调递增，且，所以，即.又，又因为对数函数在单调递减，所以，因此.
变式训练 设，则的大小关系是________．
答案 a>c>b
解析 因为在上是增函数，所以又因为在上是减函数，所以.
解题要点 同底数的两个数比较大小，考虑用指数函数的单调性．同指数的两个数比较大小，考虑用幂函数的单调性：若指数大于0，对应的幂函数在上是增函数；若指数小于0，对应的幂函数在上是减函数．若指数和底数都不相同，则可借助中间值0或1比较．
当堂练习
1．已知幂函数y＝f(x)的图象过(4，2)点，则＝________．
答案
解析 ∵已知幂函数y＝xα的图象过点(4，2)，
则4α＝2，∴α＝，故函数的解析式为y＝f(x)＝，
∴ ＝.
2．当x∈(0，+∞)时，幂函数y＝(m2－m－1)x－5m－3为减函数，则实数m的值为________．
答案 m＝2
解析 因为函数y＝(m2－m－1)x－5m－3既是幂函数又是(0，+∞)的减函数，
所以解得：m＝2．
3. 设a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))，则a，b，c的大小关系是________．
答案 a>c>b
解析 ∵y＝x (x>0)为增函数，∴a>c.
∵y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))x(x∈R)为减函数，∴c>b，∴a>c>b.
4．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(\r(2),2)))，则f(4)的值为________．
答案 eq \f(1,2)
5．若幂函数的图象过点(2，eq \f(1,4))，则它的单调递增区间是________．
答案 (－∞，0)
解析 设y＝xa，则eq \f(1,4)＝2a，∴a＝－2，∴y＝x－2.
课后作业
填空题
1．在函数y，y＝2x2，y＝x2+x，y＝1中，幂函数的个数是 ．
答案 1
解析 ∵幂函数的定义是“形如y＝xα，α∈R的函数，叫做幂函数”，
∴在函数y＝，y＝2x2，y＝x2+x，y＝1中，
只有一个y＝＝x－2符合定义，是幂函数；
2．已知幂函数f(x)＝xm的图象经过点(4，2)，则f(16)＝ ．
答案 4
解析 由于知幂函数f(x)＝xm的图象经过点(4，2)，则有4m＝2，解得m＝，故f(16)＝4．
3．若函数是幂函数，则m的值为 ．
答案 －1
解析 ∵是幂函数，
∴2m+3＝1，∴m＝－1．
4．已知幂函数y＝f(x)的图象过(36，6)，则此函数的解析式是 ．
答案
解析 设幂函数y＝f(x)＝xα，由于它的图象过(36，6)，故有36α＝6，α＝，故此函数的解析式是．
5．在同一坐标系中，函数的图象可能是 ．
② ③ ④
答案 ④
解析 对①，没有幂函数的图象，不符合题目要求；对②，中中，不符合题意；对③，中中，不符合题意；对④，中中，符合题意.
6．设，则的大小关系是 ．
答案
解析 由函数的性质得到所以，.
7．已知幂函数y＝f(x)的图象过点()，则lg4f(2)的值为 ．
答案
解析 由设f(x)＝xa，图象过点()，
∴()a＝，解得a＝
∴lg4f(2)＝．
8．对于幂函数f(x)＝xα(α是有理数)给出以下三个命题：
① 存在图象关于原点中心对称的幂函数；
存在图象关于y轴轴对称的幂函数；
③ 存在图象与直线y＝x不重合，但关于直线y＝x对称的幂函数．
其中真命题的是 ．
答案 ③
解析 幂函数y＝x3是奇函数，所以，结论①正确；幂函数y＝x2是偶函数，所以，结论②正确； 幂函数y＝的图象关于直线y＝x对称，所以，结论③正确．
9．下列函数(1)y＝x3，(2)y＝x2，(3)y＝，(4)y＝ ，在(－∞，0)上是增函数的是 ．
答案 (1)
解析 由幂函数的图象和性质得
(1)是奇函数，在(－∞，0)上递增．
(2)是偶函数，在(－∞，0)上递减．
(3)奇函数，在(－∞，0)上递减．
(4)在(－∞，0)上无意义，故区间(－∞，0)不是函数的单调区间．
故答案是(1)．
10．函数f(x)＝xn+1恒过一个定点，这个定点坐标是 ．
答案 (1，2)
解析 由于函数y＝xn恒过一个定点(1，1)，故函数f(x)＝xn+1恒过一个定点(1，2)，
故答案为(1，2)．
11．比较大小(填“＞”“＜”或“＝”)：
(1) ；
(2)(－π)3 (－3)3．
答案 (1)＞ (2)＜
解析 (1)因为幂函数y＝x0.5在区间[0，+∞)上是增函数，又＞，所以＞；
(2)因为幂函数y＝x3在区间(－∞，+∞)上是增函数，又－π＜－3，所以(－π)3＜(－3)3．
二、解答题
12．比较大小：
(1) ；(2)(－1.2)3，(－1.25)3；
(3)5.25－1,5.26－1,5.26－2.
解析 (1)∵y＝x在[0，＋∞)上是增函数，1.5<1.7，
∴；
(2)∵y＝x3在R上是增函数，－1.2>－1.25，
∴(－1.2)3>(－1.25)3；
(3)∵y＝x－1在(0，＋∞)上是减函数，5.25<5.26，
∴5.25－1>5.26－1；
∵y＝5.26x是增函数，－1>－2，∴5.26－1>5.26－2.
综上，5.25－1>5.26－1>5.26－2.
13．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点A().
(1)求实数α的值;
(2)求证：f(x)在区间(0，+∞)内是减函数.
解析 (1)解：∵ f(x)＝ xα的图象经过点A()，∴()α＝，
即2－α＝，解得α＝－；
(2)证明：任取x1，x2∈(0，+∞)，且x1f(x2)－f(x1)＝.
∵x2>x1>0，∴x1－x2<0，，于是f(x2)－f(x1)<0.
即f(x2) 函数
特征
性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x∈R
且x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y∈R
且y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
增
x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减
增
增
x∈(0，＋∞) 时，减；x∈(－∞，0)时，减