艺术生高考数学专题讲义：考点20 正弦定理、余弦定理及解三角形

这是一份艺术生高考数学专题讲义：考点20 正弦定理、余弦定理及解三角形，共8页。试卷主要包含了正弦定理、余弦定理，三角形解的判断等内容，欢迎下载使用。
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
2.三角形面积公式：
S△ABC＝eq \f(1,2) ah(h表示边a上的高) ；
S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin B；
S△ABC＝eq \f(abc,4R)；
S△ABC＝eq \f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.
3．三角形解的判断
在△ABC中，已知a、b和A时，三角形解的情况如下：
典例剖析
题型一 利用正弦定理解三角形
例1 在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝eq \f(1,3)，则sin B＝________.
答案 eq \f(5,9)
解析 在△ABC中，由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(5×\f(1,3),3)＝eq \f(5,9).
变式训练 在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3eq \r(2)，则AC＝________．
答案 2eq \r(3)
解析 在△ABC中，eq \f(AC,sinB)＝eq \f(BC,sinA)，∴ AC＝eq \f(BC·sinB,sinA)＝eq \f(3\r(2)×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝2eq \r(3).
解题要点 如果已知两边一角或是两角一边解三角形时，通常用正弦定理．
题型二 利用余弦定理解题
例2 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝eq \f(π,3)，则△ABC的面积是________.
答案 eq \f(3\r(3),2)
解析 ∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①
∵C＝eq \f(π,3)，∴c2＝a2＋b2－2abcs eq \f(π,3)＝a2＋b2－ab.②
由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.
∴S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×6×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),2).
变式训练 在△ABC中，若AB＝eq \r(5)，AC＝5，且cs C＝eq \f(9,10)，则BC＝ .
答案 4或5
解析 设BC＝x，则由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcs C得5＝25＋x2－2·5·x·eq \f(9,10)，即x2－9x＋20＝0，解得x＝4或x＝5.
解题要点 如果已知两边一角或是已知三边解三角形时，通常用余弦定理．
题型三 综合利用正余弦定理解题
例3 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知(b－2a)cs C＋ccs B＝0.
(1)求C；
(2)若c＝eq \r(7)，b＝3a，求△ABC的面积．
解析 (1)由已知及正弦定理得：(sin B－2sin A)cs C＋sin Ccs B＝0，sin Bcs C＋cs Bsin C＝2sin Acs C，
sin(B＋C)＝2sin Acs C，∴sin A＝2sin Acs C.
又sin A≠0，得cs C＝eq \f(1,2).
又C∈(0，π)，∴C＝eq \f(π,3).
(2)由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcs C，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2－ab＝7，,b＝3a，))
解得a＝1，b＝3.
故△ABC的面积S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×1×3×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),4).
变式训练 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝eq \r(3)acs B.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．
解析 (1)由bsin A＝eq \r(3)acs B及正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得sin B＝eq \r(3)cs B.
所以tan B＝eq \r(3)，所以B＝eq \f(π,3).
(2)由sin C＝2sin A及eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，得c＝2a.
由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B，得9＝a2＋c2－ac.所以a＝eq \r(3)，c＝2eq \r(3).
解题要点 解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
当堂练习
1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝eq \f(π,3)，则△ABC的面积是________.
答案 eq \f(3\r(3),2)
解析 由c2＝(a－b)2＋6，可得a2＋b2－c2＝2ab－6.①
由余弦定理及C＝eq \f(π,3)，可得a2＋b2－c2＝ab.②
所以由①②得2ab－6＝ab，即ab＝6.
所以S△ABC＝eq \f(1,2)absineq \f(π,3)＝eq \f(1,2)×6×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),2).
2．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知b＝2，B＝30°，C＝15°，则a等于________.
答案 2eq \r(2)
解析 A＝180°－30°－15°＝135°，
由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得eq \f(a,\f(\r(2),2))＝eq \f(2,\f(1,2))，即a＝2eq \r(2).
3. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝eq \f(π,6)，C＝eq \f(π,4)，则△ABC的面积为________.
答案 eq \r(3)＋1
解析 A＝π－(B＋C)＝π－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(π,4)))＝eq \f(7π,12)，
由正弦定理得eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)，
则a＝eq \f(bsinA,sinB)＝eq \f(2sin\f(7π,12),sin\f(π,6))＝eq \r(6)＋eq \r(2)，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)absinC＝eq \f(1,2)×2×(eq \r(6)＋eq \r(2))×eq \f(\r(2),2)＝eq \r(3)＋1.
4．(2015重庆理)在△ABC中，B＝120°，AB＝eq \r(2)，A的角平分线AD＝eq \r(3)，则AC＝________.
答案 eq \r(6)
解析 由正弦定理得eq \f(AB,sin∠ADB)＝eq \f(AD,sin B)，即eq \f(\r(2),sin∠ADB)＝eq \f(\r(3),sin 120°)，解得sin∠ADB＝eq \f(\r(2),2)，∠ADB＝45°，从而∠BAD＝15°＝∠DAC，所以C＝180°－120°－30°＝30°，AC＝2ABcs 30°＝eq \r(6).
5．(2015江苏)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°.
(1)求BC的长；
(2)求sin 2C的值．
解析 (1)由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs A＝4＋9－2×2×3×eq \f(1,2)＝7，
所以BC＝eq \r(7).
(2)由正弦定理知，eq \f(AB,sin C)＝eq \f(BC,sin A)，
所以sin C＝eq \f(AB,BC)·sin A＝eq \f(2sin 60°,\r(7))＝eq \f(\r(21),7).
因为AB＜BC，所以C为锐角，
则cs C＝eq \r(1－sin2C)＝eq \r(1－\f(3,7))＝eq \f(2\r(7),7).
因此sin 2C＝2sin C·cs C＝2×eq \f(\r(21),7)×eq \f(2\r(7),7)＝eq \f(4\r(3),7).
课后作业
填空题
1． (2015广东文)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2eq \r(3)，cs A＝eq \f(\r(3),2)且b