艺术生高考数学专题讲义：考点27 平面向量的数量积

这是一份艺术生高考数学专题讲义：考点27 平面向量的数量积，共7页。试卷主要包含了两个向量的夹角，平面向量的数量积，平面向量数量积的几何意义，平面向量数量积的重要性质，平面向量数量积满足的运算律，平面向量数量积的坐标运算，已知向量a＝)，b＝等内容，欢迎下载使用。
1．两个向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角，记作< a，b>．当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；当θ＝90°时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.
2．平面向量的数量积
已知两个向量a和b，它们的夹角为θ，我们把|a||b|cs θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs θ.
3．平面向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的射影|b|cs θ的乘积或b的长度|b|与a在b方向上的射影|a|cs θ的乘积．
注意：b在a方向上的投影为|b|cs θ＝eq \f(a·b,|a|)，而a在b方向上的投影为|a|cs θ＝eq \f(a·b,|b|)，投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以为0.
4．平面向量数量积的重要性质
(1)e·a＝a·e＝|a|cs θ；
(2) a⊥b⇔a·b＝0；
(3)当a和b同向时，a·b＝|a||b|；当a和b反向时，a·b＝﹣|a||b|；特别地，a·a ＝|a|2，|a|＝eq \r(a·a)；
(4)cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)；
(5)|a·b|≤|a||b|.
5．平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
6．平面向量数量积的坐标运算
设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
(1) a·b＝x1x2＋y1y2
(2) |a|2＝x12＋y12或|a|＝eq \r(x12＋y12).
(3) a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
(4) cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2, eq \r(x12＋y12) · eq \r(x22＋y22) )
典例剖析
题型一 平面向量数量积的计算
例1 已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝eq \r(3)，则向量a和向量b的数量积a·b＝____.
答案 3
解析 a·b＝|a||b|cs〈a，b〉＝2×eq \r(3)×cs30°＝2×eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝3.
变式训练 在△ABC中，三边长均为1，设eq \(AB,\s\up6(→))＝c，eq \(BC,\s\up6(→))＝a，eq \(CA,\s\up6(→))＝b，求a·b＋b·c＋c·a的值．
解析 ∵|a|＝|b|＝|c|＝1，
∴＝120°，＝120°，＝120°，
∴a·b＝|a||b|cs120°＝－eq \f(1,2)，
b·c＝|b||c|cs120°＝－eq \f(1,2)，
c·a＝|c||a|cs120°＝－eq \f(1,2)，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－eq \f(3,2).
解题要点 在用定义求解两向量数量积时，要特别注意两向量的夹角，求夹角时，应将两向量平移至同一起点，再观察其夹角的大小.
题型二 利用数量积求射影
例2 若|a|＝4，|b|＝2，a和b的夹角为30°，则a在b方向上的投影为________.
答案 2eq \r(3)
解析 a在b方向上的投影为|a|cs＝4×cs30°＝2eq \r(3).
变式训练 已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量eq \(AB,\s\up6(→))在eq \(CD,\s\up6(→))方向上的投影为________.
答案 eq \f(3\r(2),2)
解析 由已知得eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，1)，eq \(CD,\s\up6(→))＝(5，5)，因此eq \(AB,\s\up6(→))在eq \(CD,\s\up6(→))方向上的投影为eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(CD,\s\up6(→)),|\(CD,\s\up6(→))|)＝eq \f(15,5\r(2))＝eq \f(3\r(2),2).
题型三 利用数量积求模长
例3 已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a－b|＝________．
答案 eq \r(3)
解析 |a－b|＝eq \r(（a－b）2)＝eq \r(a2＋b2－2a·b)＝eq \r(12＋22－2×1×2cs60°)＝eq \r(3).
变式训练 已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cs α＝eq \f(1,3)，若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝________．
答案 3
解析 |a|2＝a·a＝(3e1－2e2)·(3e1－2e2)＝9|e1|2－12e1·e2＋4|e2|2＝9－12×1×1×eq \f(1,3)＋4＝9.∴|a|＝3.
解题要点 一般来说，求模长，通常要平方，即利用公式：|a|2＝a2＝a·a，常见利用数量积求解模长的处理方法：
(1)|a|2＝a2＝a·a；
(2)|a±b|2＝a2±2a·b＋b2；
(3)若a＝(x，y)，则|a|＝eq \r(x2＋y2).
题型四 利用数量积求夹角
例4 若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，(a＋b)·b＝eq \f(3,2)，则向量a，b的夹角为________.
答案 60°
解析 ∵(a＋b)·b＝b2＋a·b＝1＋a·b＝eq \f(3,2)，
∴a·b＝|a||b|cs〈a，b〉＝eq \f(1,2)，cs〈a，b〉＝eq \f(1,2)，〈a，b〉＝60°.
变式训练 若e1，e2是平面内夹角为60°的两个单位向量，则向量a＝2e1＋e2，b＝－3e1＋2e2的夹角为________.
答案 120°
解析 a·b＝－6eeq \\al(2,1)＋2eeq \\al(2,2)＋e1·e2＝－6＋2＋eq \f(1,2)＝－eq \f(7,2)，
又|a|＝eq \r(2e1＋e22)＝ eq \r(5＋4×\f(1,2))＝eq \r(7)，
|b|＝ eq \r(－3e1＋2e22)＝ eq \r(13－12×\f(1,2))＝eq \r(7)，
∴a与b的夹角θ满足：csθ＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝eq \f(－\f(7,2),\r(7)×\r(7))＝－eq \f(1,2)，
又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.
解题要点 求两个非零向量的夹角时要注意：
(1)向量的数量积不满足结合律；
(2)数量积大于0说明不共线的两个向量的夹角为锐角；数量积等于0说明两个向量的夹角为直角；数量积小于0且两个向量不能共线时两个向量的夹角就是钝角．
题型五 利用数量积求解垂直问题
例5 (1)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝________.
(2) 已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝________.
答案 (1) －3 (2) 3
解析 (1)∵m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，又(m＋n)⊥(m－n)，∴－2λ－3－3＝0，得λ＝－3.
(2) 因为2a－3b＝(2k－3，－6)，(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3，
变式训练 已知a＝(csα，sinα)，b＝(csβ，sinβ)，0