艺术生高考数学专题讲义：考点28 等差数列

这是一份艺术生高考数学专题讲义：考点28 等差数列，共7页。试卷主要包含了数列的定义，数列的通项公式，数列的分类，等差数列的定义，等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，等差中项，等差数列的常用性质等内容，欢迎下载使用。
1．数列的定义
按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．
2．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的函数关系可以用一个式子表示成an＝f(n)，那么这个式子叫作这个数列的通项公式．
3．已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1( S1 n＝1,Sn－Sn－1 n≥2)).
4．数列的分类
5．等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d表示．
6．等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.
说明：等差数列{an}的通项公式可以化为an＝pn＋q(其中p，q为常数)的形式，即等差数列的通项公式是关于n的一次表达式，反之，若某数列的通项公式为关于n的一次表达式，则该数列为等差数列.
7．等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn，则
Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝na1＋eq \f(nn－1,2)d.
说明：数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)．这表明d≠1时，等差数列的前n项和公式是关于n的二次表达式，并且没有常数项.
8．等差中项
如果A＝eq \f(a＋b,2)，那么A叫作a与b的等差中项．
9．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差为md的等差数列．
(6) 若{an}是等差数列，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…(k∈N＋) 也是等差数列．
10．等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1>0，d0，d0,5a8＝8a13，则前n项和Sn取最大值时，n的值为________．
答案 21
解析 由5a8＝8a13得5(a1＋7d)＝8(a1＋12d)⇒d＝－eq \f(3,61)a1，由an＝a1＋(n－1)d＝a1＋(n－1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,61)a1))≥0，得n≤eq \f(64,3)＝21eq \f(1,3)，∴数列{an}前21项都是正数，以后各项都是负数，故Sn取最大值时，n的值为21.
9．(2015安徽文)已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋eq \f(1,2)(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．
答案 27
解析 由已知数列{an}是以1为首项，以eq \f(1,2)为公差的等差数列．
∴S9＝9×1＋eq \f(9×8,2)×eq \f(1,2)＝9＋18＝27.
10．(2015广东理)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.
答案 10
解析 因为{an}是等差数列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，即a5＝5，a2＋a8＝2a5＝10.
11．(2015陕西理)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．
答案 5
解析 由题意设首项为a1，则a1＋2 015＝2×1 010＝2 020，
∴a1＝5.
二、解答题
12． (2015四川文)设数列{an}(n＝1,2,3，…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))的前n项和为Tn，求Tn.
解析 (1)由已知Sn＝2an－a1，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)，
从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2(a2＋1)，
所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2，
所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故an＝2n.
(2)由(1)得eq \f(1,an)＝eq \f(1,2n)，所以Tn＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,22)＋…＋eq \f(1,2n)＝eq \f(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n)),1－\f(1,2))＝1－eq \f(1,2n).
13．等差数列{an}满足a3＝3，a6＝－3，求数列{an}的前n项和Sn的最大值.
解析 法一 由a3＝3，a6＝－3得，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋2d＝3，,a1＋5d＝－3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝7，,d＝－2.))
∴Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d＝－n2＋8n＝－(n－4)2＋16.
∴当n＝4时Sn有最大值16.
法二 由a3＝3，a6＝－3得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋2d＝3，,a1＋5d＝－3，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝7，,d＝－2，))所以an＝9－2n.
则n≤4时，an>0，当n≥5时，anan
其中
n∈N＋
递减数列
an＋1