艺术生高考数学专题讲义：考点29 等比数列

这是一份艺术生高考数学专题讲义：考点29 等比数列，共7页。试卷主要包含了等比数列的有关概念，等比数列的有关公式，等比数列的性质等内容，欢迎下载使用。
1．等比数列的有关概念
(1)定义：
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，eq \f(an＋1,an)＝q．
说明：等比数列中没有为0的项，其公比也不为0.
(2)等比中项：
如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab⇒G＝± eq \r(ab) ．
说明：任何两个实数都有等差中项，但与等差中项不同，只有同号的两个数才有等比中项．两个同号的数的等比中项有两个，它们互为相反数．
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1．
(2)前n项和公式：Sn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1（1－qn）,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))
3．等比数列的性质
已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．(m，n，p，q，r，k∈N*)
(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝aeq \\al(2,r)；
(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列；
(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．
典例剖析
题型一 等比数列中基本量解题
例1 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a3＝eq \f(3,2)，S3＝eq \f(9,2)，则公比q＝________.
答案 1或－eq \f(1,2)
解析 设数列的公比为q，∵a3＝eq \f(3,2)，S3＝eq \f(9,2)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q2＝eq \f(3,2)，, a1(1＋q＋q2)＝eq \f(9,2)，))
两式相除得eq \f(1＋q＋q2,q2)＝3，即2q2－q－1＝0.
∴q＝1或q＝－eq \f(1,2).
变式训练 在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81，则an＝________．
答案 3n－1
解析 设{an}的公比为q，依题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1q＝3，,a1q4＝81，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝1，,q＝3.))
因此an＝3n－1.
解题要点 在等比数列中，基本量是a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)使问题得解．
题型二 利用等比数列的性质解题
例2 已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10等于________.
答案 －7
解析 方法一 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a4＋a7＝a1q3＋a1q6＝2，,a5a6＝a1q4×a1q5＝a\\al(2,1)q9＝－8，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(q3＝－2，,a1＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(q3＝－\f(1,2)，,a1＝－8，))∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.
方法二 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a4＋a7＝2，,a5a6＝a4a7＝－8))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a4＝－2，,a7＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a4＝4，,a7＝－2.))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(q3＝－2，,a1＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(q3＝－\f(1,2)，,a1＝－8，))
∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.
变式训练 在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，则a41a42a43a44＝________.
答案 1 024
解析 (2)方法一 a1a2a3a4＝a1·a1q·a1q2·a1q3＝aeq \\al(4,1)·q6＝1，①
a13a14a15a16＝a1q12·a1q13·a1q14·a1q15＝aeq \\al(4,1)·q54＝8，②
②÷①：eq \f(a\\al(4,1)·q54,a\\al(4,1)·q6)＝q48＝8⇒q16＝2，
又a41a42a43a44＝a1q40·a1q41·a1q42·a1q43
＝aeq \\al(4,1)·q166＝aeq \\al(4,1)·q6·q160
＝(aeq \\al(4,1)·q6)·(q16)10＝1·210＝1 024.
方法二 由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为p，
设T1＝a1·a2·a3·a4＝1，
T4＝a13·a14·a15·a16＝8，
∴T4＝T1·p3＝1·p3＝8⇒p＝2.
∴T11＝a41·a42·a43·a44＝T1·p10＝210＝1 024.
解题要点 在数列问题中，要特别关注项数的特征，等比数列中项数和相等，则积相等，即“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，巧妙利用性质可以减少运算量，提高解题速度．
题型三 等比数列的前n项和及其性质
例3 若等比数列{an}满足a1＋a4＝10，a2＋a5＝20，则{an}的前n项和Sn＝________．
答案 eq \f(10,9)(2n－1)
解析 由题意a2＋a5＝q(a1＋a4)，得20＝q×10，故q＝2，代入a1＋a4＝a1＋a1q3＝10，得9a1＝10，得a1＝eq \f(10,9).
故Sn＝eq \f(\f(10,9)（1－2n）,1－2)＝eq \f(10,9)(2n－1)．
变式训练 已知数列{an}满足2an＋1＋an＝0，a2＝1，则数列{an}的前10项和S10为________.
答案 eq \f(4,3)(2－10－1)
解析 ∵2an＋1＋an＝0，∴eq \f(an＋1,an)＝－eq \f(1,2).
又a2＝1，∴a1＝－2，∴{an}是首项为－2，公比为q＝－eq \f(1,2)的等比数列，
∴S10＝eq \f(a1（1－q10）,1－q)＝eq \f(－2（1－2－10）,1＋\f(1,2))＝eq \f(4,3)(2－10－1).
例4 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6∶S3＝1∶2，则 S9∶S3等于________.
答案 3∶4
解析 由等比数列的性质知S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，于是(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，
将S6＝eq \f(1,2)S3代入得eq \f(S9,S3)＝eq \f(3,4).
变式训练 等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若eq \f(S10,S5)＝eq \f(31,32)，则公比q＝________.
答案 －eq \f(1,2)
解析 由eq \f(S10,S5)＝eq \f(31,32)，a1＝－1知公比q≠1，
则可得eq \f(S10－S5,S5)＝－eq \f(1,32).
由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，
故q5＝－eq \f(1,32)，q＝－eq \f(1,2).
解题要点 1. 运用等比数列的前n项和公式时，必须对q＝1与q≠1分类讨论．
2.注意性质的适用范围，公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn，当公比为－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S4n不一定构成等比数列．
当堂练习
1．(2015新课标II文)已知等比数列{an}满足a1＝eq \f(1,4)，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于________.
答案 eq \f(1,2)
解析 由{an}为等比数列，得a3a5＝aeq \\al(2,4)，所以aeq \\al(2,4)＝4(a4－1)，解得a4＝2，设等比数列{an}的公比为q，则a4＝a1q3，得2＝eq \f(1,4)q3，解得q＝2，所以a2＝a1q＝eq \f(1,2).
2．等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝________.
答案 eq \f(1,9)
解析 设数列{an}的公比为q，若q＝1，则由a5＝9，得a1＝9，此时S3＝27，而a2＋10a1＝99，不满足题意，因此q≠1.
∵q≠1时，S3＝eq \f(a11－q3,1－q)＝a1·q＋10a1，
∴eq \f(1－q3,1－q)＝q＋10，整理得q2＝9.
∵a5＝a1·q4＝9，即81a1＝9，∴a1＝eq \f(1,9).
3. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a3＝eq \f(3,2)，S3＝eq \f(9,2)，则公比q＝________.
答案 1或－eq \f(1,2)
解析 设数列的公比为q，∵a3＝eq \f(3,2)，S3＝eq \f(9,2)，∴a1q2＝eq \f(3,2)，a1(1＋q＋q2)＝eq \f(9,2).
两式相除得eq \f(1＋q＋q2,q2)＝3，即2q2－q－1＝0.∴q＝1或q＝－eq \f(1,2).
4．已知等比数列{an}，且a4＋a8＝2，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为________.
答案 4
解析 a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2a6·a6＋a6a10＝aeq \\al(2,4)＋2a4·a8＋aeq \\al(2,8)＝(a4＋a8)2＝4.
5．若{an}为等比数列，a2＋a3＝1，a3＋a4＝－2，则a5＋a6＋a7等于________.
答案 24
解析 由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q＋a1q2＝1，,a1q2＋a1q3＝－2.))
解得q＝－2，a1＝eq \f(1,2)，
∴a5＋a6＋a7＝a5(1＋q＋q2)＝a1q4(1＋q＋q2)＝24.
课后作业
填空题
1．已知各项为正的等比数列{an}满足a3·a9＝4aeq \\al(2,5)，a2＝1，则a1＝________.
答案 eq \f(1,2)
解析 ∵a3a9＝aeq \\al(2,6)＝4aeq \\al(2,5)，又q>0，∴q＝2，a1＝eq \f(a2,q)＝eq \f(1,2).
2．在等比数列{an}中，若a1＋a2＝1，a11＋a12＝4，则a21＋a22的值为________.
答案 16
解析 设{an}的公比为q，则a11＋a12＝q10(a1＋a2)，
所以4＝q10，a21＋a22＝q20(a1＋a2)＝16.
3．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则lg2a10等于________.
答案 5
解析 ∵a3·a11＝16，∴aeq \\al(2,7)＝16.
又∵等比数列{an}的各项都是正数，∴a7＝4.
又∵a10＝a7q3＝4×23＝25，∴lg2a10＝5.
4．在等比数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))中，a1＋a2＝324，a3＋a4＝36，则a5＋a6＝________.
答案 4
解析 ∵eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))为等比数列，∴a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6也成等比数列，
∴a5＋a6＝eq \f(a3＋a42,a1＋a2)＝eq \f(362,324)＝4.
5．(2015新课标II理)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝________.
答案 42
解析 设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.
6．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于________.
答案 30
解析 设S2n＝a，S4n＝b，由等比数列的性质知：
2(14－a)＝(a－2)2，解得a＝6或a＝－4(舍去)，
同理(6－2)(b－14)＝(14－6)2，所以b＝S4n＝30.
7．在等比数列{an}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值为________.
答案 1或－eq \f(1,2)
解析 根据已知条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q2＝7，①,a1＋a1q＋a1q2＝21，②))②÷①得eq \f(1＋q＋q2,q2)＝3.
整理得2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－eq \f(1,2).
8．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2aeq \\al(2,5)，a2＝1，则a1＝________.
答案 eq \f(\r(2),2)
解析 因为a3·a9＝2aeq \\al(2,5)，则由等比数列的性质有：a3·a9＝aeq \\al(2,6)＝2aeq \\al(2,5)，所以eq \f(a\\al(2,6),a\\al(2,5))＝2，即(eq \f(a6,a5))2＝q2＝2.因为公比为正数，故q＝eq \r(2).又因为a2＝1，所以a1＝eq \f(a2,q)＝eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2).
9．(2015浙江文)已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________.
答案 eq \f(2,3) －1
解析 因为a2，a3，a7成等比数列，所以aeq \\al(2,3)＝a2a7，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，∴a1＝－eq \f(2,3)d，∵2a1＋a2＝1，∴2a1＋a1＋d＝1即3a1＋d＝1，∴a1＝eq \f(2,3)，d＝－1.
10．(2015广东文)若三个正数a，b，c成等比数列，其中a＝5＋2eq \r(6)，c＝5－2eq \r(6)，则b＝________.
答案 1
解析 ∵三个正数a，b，c成等比数列，
∴b2＝ac＝(5＋2eq \r(6))(5－2eq \r(6))＝1.∵b为正数，∴b＝1.
11．(2015新课标Ⅰ文)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.
答案 6
解析 由an＋1＝2an知，数列{an}是以a1＝2为首项，公比q＝2的等比数列，由Sn＝eq \f(21－2n,1－2)＝126，解得n＝6.
二、解答题
12．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{bn}中的b3，b4，b5.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列{Sn＋eq \f(5,4)}是等比数列．
解析 (1)设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.
依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.
所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.
依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)．故{bn}的第3项为5，公比为2.由b3＝b1·22，即5＝b1×22，解得b1＝eq \f(5,4).
所以{bn}是以eq \f(5,4)为首项，以2为公比的等比数列，其通项公式为bn＝eq \f(5,4)×2n－1＝5×2n－3.
(2)证明：由(1)得数列{bn}的前n项和Sn＝eq \f(\f(5,4)1－2n,1－2)＝5×2n－2－eq \f(5,4)，即Sn＋eq \f(5,4)＝5×2n－2.
所以S1＋eq \f(5,4)＝eq \f(5,2)，eq \f(Sn＋1＋\f(5,4),Sn＋\f(5,4))＝eq \f(5×2n－1,5×2n－2)＝2.
因此{Sn＋eq \f(5,4)}是以eq \f(5,2)为首项，以2为公比的等比数列．
13．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.
解析 (1)∵S1＝a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列，∴Sn＝2n－1，又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2(2－1)＝2n－2，∴an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，n＝1，,2n－2，n≥2.))
(2)a3，a5，…，a2n＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列，∴a3＋a5…＋a2n＋1＝eq \f(21－4n,1－4)＝eq \f(24n－1,3).∴a1＋a3＋…＋a2n＋1＝1＋eq \f(24n－1,3)＝eq \f(22n＋1＋1,3).