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高中物理鲁科版 (2019)必修 第一册第5节 自由落体运动导学案
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这是一份高中物理鲁科版 (2019)必修 第一册第5节 自由落体运动导学案，共23页。
1．知道自由落体运动的条件、特点、性质。
2．知道自由落体运动是匀变速直线运动，知道重力加速度。
3．了解亚里士多德关于物体下落运动的观点和伽利略研究自由落体运动的实验及推理方法。
4．理解自由落体运动是理想化模型，理解自由落体运动的规律，能把相关的比例式应用到实际问题中。
5．在实验中，养成实事求是的科学态度，且有与他人合作的意愿；知道实验器材的改进能促进人类的认知发展。
知识点一 自由落体运动的特点
1．实验探究——牛顿管实验
(1)当玻璃管内有空气时，羽毛比硬币下落慢得多。
(2)抽去玻璃管内部分空气，还是羽毛比硬币下落得慢，但落底时间相差变小。
(3)继续抽取玻璃管内的空气，使其接近真空，羽毛与硬币下落的快慢几乎一样。
2．自由落体运动
实际上，物体下落过程中总会受到除重力之外的其他力(如阻力)影响，当其他力的影响相对重力可忽略时，物体的下落可视为自由落体运动。
1．思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)竖直下落的运动就是自由落体运动。(×)
(2)物体只在重力作用下的运动是自由落体运动。(×)
(3)高空雨滴下落的运动是自由落体运动。(×)
知识点二 自由落体运动的加速度
1．自由落体加速度
(1)定义：物体自由下落时的加速度源于物体所受的重力作用，也称为重力加速度，用字母g表示。
(2)大小
①在地球上同一地点，一切物体自由下落的加速度都相同。
②随着纬度升高，重力加速度增大，而同一地区高度越大，重力加速度越小，但变化都不大。
③一般的计算中，g通常取9.8 m/s2，在估算时，g还可以取10 m/s2。
(3)方向：地球上重力加速度的方向总是竖直向下。
2．自由落体运动的规律
(1)自由落体的特点：v0＝0，a＝g。
(2)速度公式：v＝gt。
(3)位移公式：h＝。
(4)速度—位移关系式：v2＝2gh。
①重力加速度的方向竖直向下，不能说成垂直向下，也不能说指向地心。
②不同星球其表面的重力加速度不同。
2．思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)重力加速度的方向总是垂直向下。(×)
(2)月球上的重力加速度也是9.8 m/s2。(×)
(3)自由落体运动的速度大小与时间成正比。(√)
知识点三 自由落体运动规律探索回眸
1．伽利略的贡献
(1)从逻辑推理上否定了亚里士多德关于重物体下落得快、轻物体下落得慢的论断。
(2)提出了“自由落体运动是一种最简单的变速运动——匀变速直线运动”的猜想。
(3)在当时的实验条件下测量短时间是有困难的，伽利略采用了间接验证的方法：运用数学推导的方法得出初速度为零的匀变速直线运动应有s∝t2。
2．斜面实验
3．伽利略研究自然规律的科学方法——数学推理和实验研究相结合。
伽利略在比萨斜塔上做过实验，发现重的铁球和轻的铁球几乎同时落地，这一现象说明什么？
提示：物体下落的快慢与质量大小无关。
3．思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)亚里士多德研究自然规律的方法是实验的方法。(×)
(2)伽利略研究自然规律的方法是猜想和假设、数学推理和科学实验相结合的方法。(√)
(3)理想斜面实验是通过“合理外推”得出自由落体运动的规律的，并没有直接验证自由落体运动的规律。(√)
人们用石块来估测水井的深度。你认为有何道理？请解释一下。
提示：把石子下落看作自由落体运动，测出石子下落时间，借助自由落体运动规律可求出井深。
考点1 自由落体运动的特点
1．自由落体运动是一种理想化物理模型
自由落体运动只能在没有空气的空间才能发生。生活中从静止开始的落体运动，若满足空气阻力远小于重力的条件，其产生的误差是可以忽略的，因此对落体运动进行理想化的处理是有实际意义的。
2．自由落体运动的加速度
(1)在同一地方，一切物体在自由落体运动中的加速度都相同。
(2)在地球表面上各处的重力加速度不同。
(3)在地球表面上同一地点，重力加速度随高度的增加而减小，在一般的高度内，可认为重力加速度的大小不变。
(4)重力加速度的方向总是竖直向下。
【典例1】 在真空中，将苹果和羽毛同时从同一高度由静止释放，下列频闪照片中符合事实的是( )
A B C D
C [在真空中物体只受重力作用，都做自由落体运动，根据h＝12gt2可知，苹果和羽毛从同一高度同时下落时，任意时刻都在同一高度，并且频闪间距不断变大，故C正确，A、B、D错误。]
自由落体运动的判断方法
(1)根据条件判定初速度为零只受重力 。
(2)根据题目中的一些暗示语来判定，例如，根据“忽略阻力”“阻力远小于重力”“月球上”等暗示语来判定。
[跟进训练]
1．关于重力加速度的说法错误的是( )
A．重力加速度g是标量，只有大小没有方向，通常计算中g取9.8 m/s2
B．在地面上不同的地方，g的大小不同，但它们相差不是很大
C．在地球上同一地点，一切物体在自由落体运动中的加速度都相同
D．在地球上的同一地方，离地面高度越大，重力加速度g越小
A [重力加速度是矢量，方向竖直向下，与重力的方向相同。在地球表面不同的地方，g的大小略有不同，但都在9.8 m/s2左右，所以选项A错误，选项B正确；在地球表面的同一地点，g的值都相同，但随着高度的增大，g的值逐渐变小，所以选项C、D正确。]
考点2 自由落体运动的规律及应用
1．自由落体运动的基本规律
2．自由落体运动的几个推论
3．关于自由落体运动的几个比例关系式
(1)第1 s末、第2 s末、第3 s末、……、第n s末速度之比为v1∶v2∶v3∶… ∶vn＝1∶2∶3∶… ∶n。
(2)前1 s内、前2 s内、前3 s内、……、前n s内的位移之比为h1∶h2∶h3∶… ∶hn＝1∶4∶9∶… ∶n2。
(3)连续相等时间内的位移之比为hⅠ∶hⅡ∶hⅢ∶… ∶hN＝1∶3∶5∶… ∶(2n－1)。
(4)连续相等位移上所用时间之比为t1∶t2∶t3∶… ∶tn＝1∶2-1∶3-2∶… ∶n- n-1。
【典例2】 屋檐每隔一定时间滴下一滴水，当第5滴正欲滴下时，第1滴刚好落到地面，而第3滴与第2滴分别位于高1 m的窗子的上、下沿，如图所示。求：(g取10 m/s2)
(1)此屋檐离地面多高？
(2)滴水的时间间隔是多少？
[解析] 方法一 用基本公式法求解
设屋檐离地面高为h，滴水的时间间隔为Δt。则
第2滴的位移h2＝12g(3Δt)2①
第3滴的位移h3＝12g(2Δt)2②
又由于h2－h3＝1 m③
由①②③得Δt＝0.2 s
屋檐高h＝12g(4Δt)2＝12×10×(4×0.2)2 m＝3.2 m。
方法二 用平均速度法求解
设滴水间隔为Δt，水滴经过窗子过程中的平均速度
v＝ΔhΔt＝1Δt
由v＝gt得，下落2.5Δt时的速度v＝2.5gΔt
由于v＝v，故1Δt＝2.5gΔt，则Δt＝0.2 s
屋檐高h＝12g(4Δt)2＝3.2 m。
方法三 用比例法求解
由于相邻的两水滴的时间间隔相等，设从上到下两相邻水滴的距离为h1、h2、h3、h4
则h1h3＝15，由题知h3＝1 m，则h1＝0.2 m
由h1＝12gt2得，t＝2h1g＝2×0.210 s＝0.2 s
t总＝4t＝0.8 s，则h总＝12gt总2＝3.2 m。
[答案] (1)3.2 m (2)0.2 s
应用自由落体运动规律解题的思路和方法
(1)首先将题目中的日常生活信息进行加工处理，选择有用的已知信息，排除干扰因素。
(2)在分析信息的基础之上进行科学的模型抽象，建立物理模型，将实际问题转化为理想的物理过程。
(3)根据已知条件和自由落体运动模型遵循的物理规律，选择准确的物理公式列方程，代入数值求解。
[跟进训练]
2．甲、乙两物体的质量之比为m甲∶m乙＝5∶1，甲从高H处自由落下的同时，乙从高2H处自由落下，若不计空气阻力，下列说法错误的是( )
A．在下落过程中，同一时刻二者速度相等
B．甲落地时，乙距地面的高度为H
C．甲落地时，乙的速度大小为2gH
D．甲、乙在空中运动的时间之比为1∶2
D [因为甲、乙物体同时做自由落体运动，它们的初速度为零，加速度为g，任意时刻的速度为v＝gt，所以两物体下落过程中，在同一时刻甲的速度与乙的速度相等，故A正确；甲落地时，甲、乙两物体运动的位移都为H，所以乙离地面的高度为2H－H＝H，故B正确；甲落地时，由位移速度关系式v2＝2gH，可得v＝2gH，甲、乙的速度相同，乙的速度大小也为2gH，故C正确；因为甲、乙物体均做自由落体运动，加速度为g，由h＝12gt2得，甲下落的时间为t＝2Hg，乙下落的时间为t′＝2×2Hg，所以甲、乙在空中运动的时间之比为1∶2，故D错误，D符合题意。]
考点3 伽利略对自由落体运动的研究
1．伽利略的科学方法
对现象的一般观察⇒提出假设⇒运用逻辑及数学推理 ⇒通过实验对推论进行检验 ⇒对假说进行修正和推广
2．伽利略科学方法的意义
伽利略对物体运动的研究，开创了数学推理和实验研究相结合探索自然规律的科学方法。这种方法到现在仍然是物理学乃至整个自然科学最基本的研究方法。这种方法的使用，不但标志着物理学的真正开始，也有力地推进了人类科学认识的发展，近代科学研究的大门从此打开。
【典例3】 伽利略做斜面实验时，有一页手稿中有三列数据，如表所示。表中第二列是时间，第三列是物体沿斜面运动的距离，第一列是伽利略在分析实验数据时添加的。根据表中的数据，伽利略可以得出的结论是( )
A．物体具有惯性
B．斜面倾角一定时，加速度与质量无关
C．物体运动的距离与时间的平方成正比
D．物体运动的加速度与重力加速度成正比
思路点拨：遇到这类题目首先要通过数据找出规律，从数据之间的关系入手，分析是成正比还是其他关系。
C [表中第一列数据明显是第二列数据的平方，而第三列数据中，物体沿斜面运动的距离之比非常接近第一列数据之比，所以可以得出结论：在误差允许的范围内，物体运动的距离与时间的平方成正比。故选项C正确。]
[跟进训练]
3．伽利略对自由落体运动的研究的实验，被评为十大最美物理实验。首先在斜面实验中发现物体运动的位移正比于所用时间的平方，改变斜面倾角时此规律仍然成立，于是伽利略认为自由落体运动也遵循同样的规律。下列说法正确的是( )
A．伽利略的做法是根据已有的论据凭直觉进行推论，缺乏严密的逻辑论证
B．伽利略在此过程中应用了合理外推这一科学推理方法
C．伽利略最终得出结论：自由落体运动是一种最简单的变速运动，其速度变化对于位移是均匀的
D．伽利略开创了以严密的数学演算为核心的近代科学
B [伽利略的做法经历了提出问题、猜想与假设、数学推理、实验验证、合理外推、得出结论等科学步骤，不是凭直觉进行的推论，故A错误，B正确；伽利略最终得出结论：自由落体运动是一种最简单的变速运动，其速度变化对于时间是均匀的，故C错误；伽利略开创了逻辑推理和实验验证相结合的近代科学，故D错误。故选B。]
1．许多物理学家的科学研究推动了人类文明的进程，关于伽利略对自由落体的研究，下列说法正确的是( )
A．伽利略通过“理想实验”否定了笛卡尔关于自由落体运动性质的论断
B．伽利略运用“归谬法”否定了亚里士多德关于重物体比轻物体下落得快的论断
C．伽利略通过“自由落体运动实验”证明了匀变速直线运动的加速度大小跟物体的质量无关
D．伽利略通过“斜面实验”直接证明了自由落体运动是匀变速直线运动
B [伽利略通过“理想实验”否定了亚里士多德的力是维持物体运动的原因的错误观点，不是否定笛卡尔的观点，故A错误；伽利略假设把大石块和小石块捆在一起，下落时大石块会被小石块拖住而下落速度减慢，即小于大石块单独下落的速度，但两石块捆在一起总重量比大石块重，下落速度要比大石块单独下落速度大，这样就否定了亚里士多德重物比轻物下落得快的论断，故B正确；伽利略通过小球沿斜面滚下的运动为匀加速直线运动，外推出当斜面倾角等于90°时小球的运动为自由落体运动，加速度不变，故C错误；伽利略将斜面实验结论合理外推，间接证明自由落体运动是匀变速直线运动，故D错误。]
2．关于自由落体运动，下列说法正确的是( )
A．物体竖直向下的运动就是自由落体运动
B．加速度等于重力加速度的运动就是自由落体运动
C．在自由落体运动过程中，不同质量的物体运动规律相同
D．物体做自由落体运动时位移与时间成反比
C [自由落体运动是指初速度为零，加速度为g的竖直向下的匀加速直线运动。A选项加速度不一定为g，故A错；B选项中物体的初速度不一定为0，运动方向也不一定竖直向下，不符合自由落体运动的定义，故B错；加速度g与质量无关，则运动规律也与质量无关，故C对；自由落体的位移h＝12gt2，h与t2成正比，故D错。]
3．唐代诗人李白的“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”描述了庐山瀑布的美景，如果三尺为1 m，则水落地时的速度约为(设初速度为0)( )
A．100 m/s B．1002 m/s
C．200 m/sD．2002 m/s
B [水下落高度h＝1 000 m，g取10 m/s2，由vt2＝2gh得vt＝2gh＝2×10×1 000 m/s＝1002 m/s，B项正确。]
4．(新情境题：以测量反应时间为背景，考查自由落体运动规律)甲乙两同学利用如图所示的方法估测反应时间。
(1)请设计测量方案。
(2)若乙同学的反应时间最长为0.4 s，则所用直尺的长度至少为多长(g取10 m/s2)?
[解析] (1)①首先，甲同学捏住直尺上端，使直尺保持竖直状态，直尺零刻度线位于乙同学的两指之间。
②当乙看见甲放开直尺时，立即用手指捏直尺，设捏住位置的刻度读数为x。
③由x＝12gt2，解得t＝2xg即反应时间。
(2)在人的反应时间内直尺做自由落体运动，有x＝12gt2，反应时间最长为0.4 s，需要直尺的长度为xm＝12×10×0.42 m＝0.8 m＝80 cm。
[答案] (1)见解析 (2)80 cm
回归本节知识，自我完成以下问题：
(1)做自由落体运动的物体，应满足什么条件？
提示：初速度为零，只受重力作用。
(2)物体做自由落体的加速度的大小和方向各有什么特点？
提示：在地球同一地点，一切物体自由下落的加速度都相同，其大小随纬度升高而增大，随高度的增加而减小，方向总是竖直向下。
微重力落塔
物体的自由落体运动在科研上可以应用于微重力科学等领域的研究。中国科学院力学研究所于2000年建成了微重力落塔(如图所示)，它是我国自行研制的地基微重力实验设施，是继德国Bremen落塔(ZARM)之后世界上第二座在地面上建成的超百米落塔。
中国科学院微重力落塔高116 m，能使自由落体实验获得3.60 s的微重力时间，微重力水平可达到10-5 g量级。落塔配有先进的测量、监测与控制设备，
为微重力研究提供了良好的模拟环境，可以开展我国空间计划重要项目的预先研究。
落塔可进行流体物理、非金属材料燃烧、液体管理等微重力实验研究，为航天飞行器载荷搭载实验及其防火技术预研提供了便利的实验手段。在某种程度上，中国科学院微重力落塔标志着我国在微重力科学和应用领域内的发展水平。
物体在微重力落塔中下落时其加速度是多大？在微重力3.60 s时间内大约下落多少米？
提示：加速度为g，下落高度约为h＝12gt2≈65 m。
课时分层作业(七) 自由落体运动
题组一 自由落体运动的特点
1．小丽同学在探究自由落体运动规律时，从生活情境中选出处于不同状态的四种物体进行探究，你认为哪一个选项中的物体所做运动是自由落体运动( )
A．枫叶的自由下落的运动
B．从桌边由静止开始滑落的钢笔的运动
C．被运动员推出去的铅球的运动
D．从水面自由落到水底的石子的运动
B [枫叶在自由下落时，所受到的空气阻力并不远小于其重力，阻力不能忽略不计，枫叶的下落不是自由落体运动，选项A错误；钢笔从桌边由静止开始滑落后，钢笔的运动是自由落体运动，因为其初速度为零且下落过程中的阻力远小于钢笔的重力，可忽略不计，选项B正确；被运动员推出去的铅球初速度不为零，不是自由落体运动，选项C错误；从水面自由落到水底的石子，除了自身重力外，还受水的浮力和阻力作用，不是自由落体运动，选项D错误。]
2．“自由落体”演示实验装置如图所示，当牛顿管被抽成真空后，将其迅速倒置，管内两个轻重不同的物体从顶部下落到底端，下列说法正确的是( )
A．真空环境下，物体的重力变为零
B．重的物体加速度大
C．轻的物体加速度大
D．两个物体加速度一样大
D [真空情况下物体仍受重力作用，重力不为零，故A错误；轻重不同的物体在真空管中，只受重力，不受阻力，做自由落体运动，所以加速度相同，都等于重力加速度，故B、C错误，D正确。]
题组二 自由落体运动的规律及应用
3．(多选)为了测出楼房的高度，让一石块从楼顶自由下落至地面(不计空气阻力，重力加速度为已知)，测出下列哪个物理量就可以计算出楼房的高度( )
A．石块下落到地面的总时间
B．石块落地前瞬间的速度
C．石块下落第1 s内的位移
D．石块通过最后1 m位移所用的时间
ABD [由公式h＝12gt2可知，选项A正确；根据v2＝2gh可知，选项B正确；根据h＝12gt2，知只测出第1 s内的位移，不能计算出总高度，选项C错误；根据h＝12gt2 和h－1 m＝12g(t－t′)2，可知选项D正确。]
4．(多选)下列四幅图中，能大致反映自由落体运动的图像是( )
A B
C D
AD [自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，它的v-t图像是一条过原点的倾斜直线，a-t图像是一条平行于时间轴的直线，故A、D正确，C错误；题图B中的图像表示物体匀速下落，故B错误。]
5．一名航天员在某星球上做自由落体运动实验，让一个小球从某一高度自由下落，测得小球在第4 s内的位移是14 m，则( )
A．小球在4 s末的速度是40 m/s
B．小球在第4 s内的平均速度是3.5 m/s
C．小球在第5 s内的位移是18 m
D．小球在前5 s内的位移是125 m
C [小球在第4 s内的位移是14 m，有12gt42-12gt32＝14 m，代入t4＝4 s，t3＝3 s，解得g＝4 m/s2，所以小球在4 s末的速度v4＝gt4＝16 m/s，故A错误；小球在第4 s内的平均速度是v＝Δh4t＝141 m/s＝14 m/s，故B错误；小球在前5 s内的位移h5＝12gt52＝12×4×52 m＝50 m，小球在第5 s内的位移x＝h5－12gt42＝50 m－12×4×42 m＝18 m，故C正确，D错误。]
6．某同学在实验室做了如图所示的实验，铁质小球被电磁铁吸附，断开电磁铁的电源，小球自由下落，已知小球的直径为0.5 cm，该同学从计时器上读出小球通过光电门的时间为1.00×10-3 s，g取10 m/s2，则小球开始下落的位置距光电门的距离h为( )
A．1 m B．1.25 m C．0.4 m D．1.5 m
B [小球通过光电门的时间很短，这段时间内的平均速度可看成瞬时速度，v＝dt＝5 m/s，由自由落体运动规律可知h＝v22g＝1.25 m，B正确。]
7．如图所示，在离地面7.2 m处，手提2.2 m长的绳子的上端，在绳子的上、下两端各拴一小球，放手后小球自由下落(绳子的质量不计，球的大小可忽略，g取10 m/s2)。问：
(1)两小球落地时间相差多少？
(2)B球落地时A球的速度多大？
[解析] (1)设B球落地所需时间为t1，因为h1＝12gt12
所以t1＝2h1g＝2×7.2-2.210 s＝1 s
设A球落地所需时间为t2，由h2＝12gt22得t2＝2h2g＝2×7.210 s＝1.2 s
所以两小球落地的时间差Δt＝t2－t1＝0.2 s。
(2)当B球落地时，A球的速度与B球的速度相等，即vA＝vB＝gt1＝10×1 m/s＝10 m/s。
[答案] (1)0.2 s (2)10 m/s
题组三 伽利略对自由落体运动的研究
8．伽利略对运动的研究，不仅确立了许多用于描述运动的基本概念，而且创造了一套对近代科学的发展极为有益的科学方法，或者说给出了科学研究过程的基本要素。关于这些要素的排列顺序应该是( )
A．提出假设→对现象的观察→运用逻辑得出推论→用实验检验推论→对假说进行修正和推广
B．对现象的观察→提出假设→运用逻辑得出推论→用实验检验推论→对假说进行修正和推广
C．提出假设→对现象的观察→对假说进行修正和推广→运用逻辑得出推论→用实验检验推论
D．对现象的观察→提出假设→运用逻辑得出推论→对假说进行修正和推广→用实验检验推论
B [这是依据思维程序排序的问题，这一套科学研究方法要符合逻辑顺序，即通过观察现象，提出假设，根据假设进行逻辑推理，然后对自己的逻辑推理进行实验验证，紧接着要对实验结论进行修正推广，故B正确。]
9．伽利略在研究自由落体运动时，做了如下实验：他让一个铜球从阻力很小(可忽略不计)的斜面上由静止开始滚下，并且做了上百次。假设某次实验伽利略是这样做的：在斜面上任取三个位置A、B、C，让小球分别由A、B、C滚下，如图所示。设A、B、C与斜面底端的距离分别为s1、s2、s3，小球由A、B、C运动到斜面底端的时间分别为t1、t2、t3，小球由A、B、C运动到斜面底端时的速度分别为v1、v2、v3，则下列关系式中正确并且是伽利略用来证明小球沿光滑斜面向下的运动是匀变速直线运动的是( )
A．v12＝v22＝v32 B．v1t1＝v2t2＝v3t3
C．s1－s2＝s2－s3D．s1t12＝s2t22＝s3t32
D [小球在斜面上三次运动的位移不同，末速度一定不同，故A错误；由v＝at可得，a＝vt，三次下落中的加速度相同，故公式正确，但不是伽利略用来证明匀变速直线运动的关系式，故B错误；由题图可知，s1－s2>s2－s3，故C错误；由运动学公式可知，s＝12at2，a＝2st2，故三次下落中位移与时间平方的比值一定为定值，伽利略正是用这一规律说明小球沿光滑斜面向下的运动为匀变速直线运动，故D正确。]
10．如图所示，水龙头开口A处的直径d1＝2 cm，A离地面B的高度h＝80 cm，当水龙头打开时，从A处流出的水流速度v1＝1 m/s，在空中形成一完整的水流束，不计空气阻力。则该水流束在地面B处的截面直径d2约为(g取10 m/s2)( )
A．2 cm
B．0.98 cm
C．4 cm
D．应大于2 cm，但无法计算
B [水流由A到B做匀加速直线运动，由vB2-v12＝2gh可得：vB＝17 m/s，由单位时间内通过任意横截面的水的体积均相等，可得：v1·Δt·14πd12＝vB·Δt·14πd22，解得：d2≈0.98 cm，故B正确。]
11．四个小球在离地面不同高度同时从静止释放，不计空气阻力，从开始运动时刻起每隔相等的时间间隔，小球依次碰到地面。下列各图中，能反映出刚开始运动时各小球相对地面的位置的是( )
A B C D
C [由每隔相等的时间间隔小球依次碰到地面，可以知道第一个小球经过T时间落地，第二个小球落地的时间为2T，第三、四个小球依次落地时间为3T、4T，相当于一个小球每经过相等时间所到达的位置。可以知道相等时间间隔内的位移越来越大，所以从下而上，相邻两个小球之间的竖直位移越来越大，而且它们下落的高度之比为1∶4∶9∶16，故选项C正确。]
12．空降兵某部官兵使用新装备进行超低空跳伞，若跳伞空降兵在离地面224 m高处，由静止开始在竖直方向做自由落体运动。一段时间后，立即打开降落伞，以12.5 m/s2的加速度匀减速下降，为了空降兵的安全，要求空降兵落地速度最大不得超过5 m/s(g取10 m/s2)。求：
(1)空降兵打开降落伞时离地的高度至少为多少米？
(2)如果空降兵落地的速度等于5 m/s，相当于从多高的地方做自由落体运动？
[解析] (1)设空降兵做自由落体运动的高度为h时速度为v，此时打开降落伞开始匀减速运动，落地时速度刚好为5 m/s，这种情况空降兵在空中运动时间最短，则有v2＝2gh，vt2－v2＝2a(H－h)
代入数据解得h＝125 m，v＝50 m/s
为使空降兵安全着地，他展开降落伞时的高度至少为
H－h＝224 m－125 m＝99 m。
(2)设当落地速度为5 m/s时，相当于从h′高处做自由落体运动，有
h′＝vt22g＝252×10 m＝1.25 m。
[答案] (1)99 m (2)1.25 m
13．如图所示，悬挂的直杆AB长为a，在B端以下h处有一长为b的无底圆柱筒CD，若将悬线剪断，问：
(1)直杆下端B穿过圆柱筒的时间是多少？
(2)整个直杆AB穿过圆柱筒的时间是多少？
[解析] (1)直杆下端B下落到C(自由下落h)开始进入圆柱筒，当直杆下端B下落到D(自由下落h＋b)时穿出圆柱筒。
由s＝12gt2得t＝2sg
则B端下落到C点所需时间为t1＝2hg
B端下落到D点所需时间t2＝2h+bg
则直杆下端B穿过圆柱筒的时间是
Δt1＝t2－t1＝2h+bg-2hg。
(2)整个直杆AB穿过圆柱筒，从B下落到C点(自由下落h)起到A下落到D点(自由下落h＋a＋b)止，A下落到D点所需要的时间t3＝2h+a+bg
则整个直杆AB穿过圆柱筒的时间是
Δt2＝2h+a+bg-2hg。
[答案] (1)2h+bg-2hg (2)2h+a+bg-2hg
定义
物体只在重力作用下从静止开始下落的运动
条件
①初速度为零；②只受重力作用
性质
自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动
匀变速直线运动
自由落体运动
速度公式
vt＝v0＋at
vt＝gt
位移公式
s＝v0t＋12at2
h＝12gt2
速度—位移关系式
vt2-v02＝2as
vt2＝2gh
匀变速直线运动
自由落体运动
中间时刻的速度
vt2＝v＝v0+vt2
vt2＝v＝vt2＝gt2
中间位置的速度
vs2＝v02+vt22
vs2＝vt22＝22gt
位移差公式
Δs＝aT2
Δh＝gT2
1
1
32
4
2
130
9
3
298
16
4
526
25
5
824
36
6
1 192
49
7
1 600
64
8
2 104
1．知道自由落体运动的条件、特点、性质。
2．知道自由落体运动是匀变速直线运动，知道重力加速度。
3．了解亚里士多德关于物体下落运动的观点和伽利略研究自由落体运动的实验及推理方法。
4．理解自由落体运动是理想化模型，理解自由落体运动的规律，能把相关的比例式应用到实际问题中。
5．在实验中，养成实事求是的科学态度，且有与他人合作的意愿；知道实验器材的改进能促进人类的认知发展。
知识点一 自由落体运动的特点
1．实验探究——牛顿管实验
(1)当玻璃管内有空气时，羽毛比硬币下落慢得多。
(2)抽去玻璃管内部分空气，还是羽毛比硬币下落得慢，但落底时间相差变小。
(3)继续抽取玻璃管内的空气，使其接近真空，羽毛与硬币下落的快慢几乎一样。
2．自由落体运动
实际上，物体下落过程中总会受到除重力之外的其他力(如阻力)影响，当其他力的影响相对重力可忽略时，物体的下落可视为自由落体运动。
1．思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)竖直下落的运动就是自由落体运动。(×)
(2)物体只在重力作用下的运动是自由落体运动。(×)
(3)高空雨滴下落的运动是自由落体运动。(×)
知识点二 自由落体运动的加速度
1．自由落体加速度
(1)定义：物体自由下落时的加速度源于物体所受的重力作用，也称为重力加速度，用字母g表示。
(2)大小
①在地球上同一地点，一切物体自由下落的加速度都相同。
②随着纬度升高，重力加速度增大，而同一地区高度越大，重力加速度越小，但变化都不大。
③一般的计算中，g通常取9.8 m/s2，在估算时，g还可以取10 m/s2。
(3)方向：地球上重力加速度的方向总是竖直向下。
2．自由落体运动的规律
(1)自由落体的特点：v0＝0，a＝g。
(2)速度公式：v＝gt。
(3)位移公式：h＝。
(4)速度—位移关系式：v2＝2gh。
①重力加速度的方向竖直向下，不能说成垂直向下，也不能说指向地心。
②不同星球其表面的重力加速度不同。
2．思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)重力加速度的方向总是垂直向下。(×)
(2)月球上的重力加速度也是9.8 m/s2。(×)
(3)自由落体运动的速度大小与时间成正比。(√)
知识点三 自由落体运动规律探索回眸
1．伽利略的贡献
(1)从逻辑推理上否定了亚里士多德关于重物体下落得快、轻物体下落得慢的论断。
(2)提出了“自由落体运动是一种最简单的变速运动——匀变速直线运动”的猜想。
(3)在当时的实验条件下测量短时间是有困难的，伽利略采用了间接验证的方法：运用数学推导的方法得出初速度为零的匀变速直线运动应有s∝t2。
2．斜面实验
3．伽利略研究自然规律的科学方法——数学推理和实验研究相结合。
伽利略在比萨斜塔上做过实验，发现重的铁球和轻的铁球几乎同时落地，这一现象说明什么？
提示：物体下落的快慢与质量大小无关。
3．思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)亚里士多德研究自然规律的方法是实验的方法。(×)
(2)伽利略研究自然规律的方法是猜想和假设、数学推理和科学实验相结合的方法。(√)
(3)理想斜面实验是通过“合理外推”得出自由落体运动的规律的，并没有直接验证自由落体运动的规律。(√)
人们用石块来估测水井的深度。你认为有何道理？请解释一下。
提示：把石子下落看作自由落体运动，测出石子下落时间，借助自由落体运动规律可求出井深。
考点1 自由落体运动的特点
1．自由落体运动是一种理想化物理模型
自由落体运动只能在没有空气的空间才能发生。生活中从静止开始的落体运动，若满足空气阻力远小于重力的条件，其产生的误差是可以忽略的，因此对落体运动进行理想化的处理是有实际意义的。
2．自由落体运动的加速度
(1)在同一地方，一切物体在自由落体运动中的加速度都相同。
(2)在地球表面上各处的重力加速度不同。
(3)在地球表面上同一地点，重力加速度随高度的增加而减小，在一般的高度内，可认为重力加速度的大小不变。
(4)重力加速度的方向总是竖直向下。
【典例1】 在真空中，将苹果和羽毛同时从同一高度由静止释放，下列频闪照片中符合事实的是( )
A B C D
C [在真空中物体只受重力作用，都做自由落体运动，根据h＝12gt2可知，苹果和羽毛从同一高度同时下落时，任意时刻都在同一高度，并且频闪间距不断变大，故C正确，A、B、D错误。]
自由落体运动的判断方法
(1)根据条件判定初速度为零只受重力 。
(2)根据题目中的一些暗示语来判定，例如，根据“忽略阻力”“阻力远小于重力”“月球上”等暗示语来判定。
[跟进训练]
1．关于重力加速度的说法错误的是( )
A．重力加速度g是标量，只有大小没有方向，通常计算中g取9.8 m/s2
B．在地面上不同的地方，g的大小不同，但它们相差不是很大
C．在地球上同一地点，一切物体在自由落体运动中的加速度都相同
D．在地球上的同一地方，离地面高度越大，重力加速度g越小
A [重力加速度是矢量，方向竖直向下，与重力的方向相同。在地球表面不同的地方，g的大小略有不同，但都在9.8 m/s2左右，所以选项A错误，选项B正确；在地球表面的同一地点，g的值都相同，但随着高度的增大，g的值逐渐变小，所以选项C、D正确。]
考点2 自由落体运动的规律及应用
1．自由落体运动的基本规律
2．自由落体运动的几个推论
3．关于自由落体运动的几个比例关系式
(1)第1 s末、第2 s末、第3 s末、……、第n s末速度之比为v1∶v2∶v3∶… ∶vn＝1∶2∶3∶… ∶n。
(2)前1 s内、前2 s内、前3 s内、……、前n s内的位移之比为h1∶h2∶h3∶… ∶hn＝1∶4∶9∶… ∶n2。
(3)连续相等时间内的位移之比为hⅠ∶hⅡ∶hⅢ∶… ∶hN＝1∶3∶5∶… ∶(2n－1)。
(4)连续相等位移上所用时间之比为t1∶t2∶t3∶… ∶tn＝1∶2-1∶3-2∶… ∶n- n-1。
【典例2】 屋檐每隔一定时间滴下一滴水，当第5滴正欲滴下时，第1滴刚好落到地面，而第3滴与第2滴分别位于高1 m的窗子的上、下沿，如图所示。求：(g取10 m/s2)
(1)此屋檐离地面多高？
(2)滴水的时间间隔是多少？
[解析] 方法一 用基本公式法求解
设屋檐离地面高为h，滴水的时间间隔为Δt。则
第2滴的位移h2＝12g(3Δt)2①
第3滴的位移h3＝12g(2Δt)2②
又由于h2－h3＝1 m③
由①②③得Δt＝0.2 s
屋檐高h＝12g(4Δt)2＝12×10×(4×0.2)2 m＝3.2 m。
方法二 用平均速度法求解
设滴水间隔为Δt，水滴经过窗子过程中的平均速度
v＝ΔhΔt＝1Δt
由v＝gt得，下落2.5Δt时的速度v＝2.5gΔt
由于v＝v，故1Δt＝2.5gΔt，则Δt＝0.2 s
屋檐高h＝12g(4Δt)2＝3.2 m。
方法三 用比例法求解
由于相邻的两水滴的时间间隔相等，设从上到下两相邻水滴的距离为h1、h2、h3、h4
则h1h3＝15，由题知h3＝1 m，则h1＝0.2 m
由h1＝12gt2得，t＝2h1g＝2×0.210 s＝0.2 s
t总＝4t＝0.8 s，则h总＝12gt总2＝3.2 m。
[答案] (1)3.2 m (2)0.2 s
应用自由落体运动规律解题的思路和方法
(1)首先将题目中的日常生活信息进行加工处理，选择有用的已知信息，排除干扰因素。
(2)在分析信息的基础之上进行科学的模型抽象，建立物理模型，将实际问题转化为理想的物理过程。
(3)根据已知条件和自由落体运动模型遵循的物理规律，选择准确的物理公式列方程，代入数值求解。
[跟进训练]
2．甲、乙两物体的质量之比为m甲∶m乙＝5∶1，甲从高H处自由落下的同时，乙从高2H处自由落下，若不计空气阻力，下列说法错误的是( )
A．在下落过程中，同一时刻二者速度相等
B．甲落地时，乙距地面的高度为H
C．甲落地时，乙的速度大小为2gH
D．甲、乙在空中运动的时间之比为1∶2
D [因为甲、乙物体同时做自由落体运动，它们的初速度为零，加速度为g，任意时刻的速度为v＝gt，所以两物体下落过程中，在同一时刻甲的速度与乙的速度相等，故A正确；甲落地时，甲、乙两物体运动的位移都为H，所以乙离地面的高度为2H－H＝H，故B正确；甲落地时，由位移速度关系式v2＝2gH，可得v＝2gH，甲、乙的速度相同，乙的速度大小也为2gH，故C正确；因为甲、乙物体均做自由落体运动，加速度为g，由h＝12gt2得，甲下落的时间为t＝2Hg，乙下落的时间为t′＝2×2Hg，所以甲、乙在空中运动的时间之比为1∶2，故D错误，D符合题意。]
考点3 伽利略对自由落体运动的研究
1．伽利略的科学方法
对现象的一般观察⇒提出假设⇒运用逻辑及数学推理 ⇒通过实验对推论进行检验 ⇒对假说进行修正和推广
2．伽利略科学方法的意义
伽利略对物体运动的研究，开创了数学推理和实验研究相结合探索自然规律的科学方法。这种方法到现在仍然是物理学乃至整个自然科学最基本的研究方法。这种方法的使用，不但标志着物理学的真正开始，也有力地推进了人类科学认识的发展，近代科学研究的大门从此打开。
【典例3】 伽利略做斜面实验时，有一页手稿中有三列数据，如表所示。表中第二列是时间，第三列是物体沿斜面运动的距离，第一列是伽利略在分析实验数据时添加的。根据表中的数据，伽利略可以得出的结论是( )
A．物体具有惯性
B．斜面倾角一定时，加速度与质量无关
C．物体运动的距离与时间的平方成正比
D．物体运动的加速度与重力加速度成正比
思路点拨：遇到这类题目首先要通过数据找出规律，从数据之间的关系入手，分析是成正比还是其他关系。
C [表中第一列数据明显是第二列数据的平方，而第三列数据中，物体沿斜面运动的距离之比非常接近第一列数据之比，所以可以得出结论：在误差允许的范围内，物体运动的距离与时间的平方成正比。故选项C正确。]
[跟进训练]
3．伽利略对自由落体运动的研究的实验，被评为十大最美物理实验。首先在斜面实验中发现物体运动的位移正比于所用时间的平方，改变斜面倾角时此规律仍然成立，于是伽利略认为自由落体运动也遵循同样的规律。下列说法正确的是( )
A．伽利略的做法是根据已有的论据凭直觉进行推论，缺乏严密的逻辑论证
B．伽利略在此过程中应用了合理外推这一科学推理方法
C．伽利略最终得出结论：自由落体运动是一种最简单的变速运动，其速度变化对于位移是均匀的
D．伽利略开创了以严密的数学演算为核心的近代科学
B [伽利略的做法经历了提出问题、猜想与假设、数学推理、实验验证、合理外推、得出结论等科学步骤，不是凭直觉进行的推论，故A错误，B正确；伽利略最终得出结论：自由落体运动是一种最简单的变速运动，其速度变化对于时间是均匀的，故C错误；伽利略开创了逻辑推理和实验验证相结合的近代科学，故D错误。故选B。]
1．许多物理学家的科学研究推动了人类文明的进程，关于伽利略对自由落体的研究，下列说法正确的是( )
A．伽利略通过“理想实验”否定了笛卡尔关于自由落体运动性质的论断
B．伽利略运用“归谬法”否定了亚里士多德关于重物体比轻物体下落得快的论断
C．伽利略通过“自由落体运动实验”证明了匀变速直线运动的加速度大小跟物体的质量无关
D．伽利略通过“斜面实验”直接证明了自由落体运动是匀变速直线运动
B [伽利略通过“理想实验”否定了亚里士多德的力是维持物体运动的原因的错误观点，不是否定笛卡尔的观点，故A错误；伽利略假设把大石块和小石块捆在一起，下落时大石块会被小石块拖住而下落速度减慢，即小于大石块单独下落的速度，但两石块捆在一起总重量比大石块重，下落速度要比大石块单独下落速度大，这样就否定了亚里士多德重物比轻物下落得快的论断，故B正确；伽利略通过小球沿斜面滚下的运动为匀加速直线运动，外推出当斜面倾角等于90°时小球的运动为自由落体运动，加速度不变，故C错误；伽利略将斜面实验结论合理外推，间接证明自由落体运动是匀变速直线运动，故D错误。]
2．关于自由落体运动，下列说法正确的是( )
A．物体竖直向下的运动就是自由落体运动
B．加速度等于重力加速度的运动就是自由落体运动
C．在自由落体运动过程中，不同质量的物体运动规律相同
D．物体做自由落体运动时位移与时间成反比
C [自由落体运动是指初速度为零，加速度为g的竖直向下的匀加速直线运动。A选项加速度不一定为g，故A错；B选项中物体的初速度不一定为0，运动方向也不一定竖直向下，不符合自由落体运动的定义，故B错；加速度g与质量无关，则运动规律也与质量无关，故C对；自由落体的位移h＝12gt2，h与t2成正比，故D错。]
3．唐代诗人李白的“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”描述了庐山瀑布的美景，如果三尺为1 m，则水落地时的速度约为(设初速度为0)( )
A．100 m/s B．1002 m/s
C．200 m/sD．2002 m/s
B [水下落高度h＝1 000 m，g取10 m/s2，由vt2＝2gh得vt＝2gh＝2×10×1 000 m/s＝1002 m/s，B项正确。]
4．(新情境题：以测量反应时间为背景，考查自由落体运动规律)甲乙两同学利用如图所示的方法估测反应时间。
(1)请设计测量方案。
(2)若乙同学的反应时间最长为0.4 s，则所用直尺的长度至少为多长(g取10 m/s2)?
[解析] (1)①首先，甲同学捏住直尺上端，使直尺保持竖直状态，直尺零刻度线位于乙同学的两指之间。
②当乙看见甲放开直尺时，立即用手指捏直尺，设捏住位置的刻度读数为x。
③由x＝12gt2，解得t＝2xg即反应时间。
(2)在人的反应时间内直尺做自由落体运动，有x＝12gt2，反应时间最长为0.4 s，需要直尺的长度为xm＝12×10×0.42 m＝0.8 m＝80 cm。
[答案] (1)见解析 (2)80 cm
回归本节知识，自我完成以下问题：
(1)做自由落体运动的物体，应满足什么条件？
提示：初速度为零，只受重力作用。
(2)物体做自由落体的加速度的大小和方向各有什么特点？
提示：在地球同一地点，一切物体自由下落的加速度都相同，其大小随纬度升高而增大，随高度的增加而减小，方向总是竖直向下。
微重力落塔
物体的自由落体运动在科研上可以应用于微重力科学等领域的研究。中国科学院力学研究所于2000年建成了微重力落塔(如图所示)，它是我国自行研制的地基微重力实验设施，是继德国Bremen落塔(ZARM)之后世界上第二座在地面上建成的超百米落塔。
中国科学院微重力落塔高116 m，能使自由落体实验获得3.60 s的微重力时间，微重力水平可达到10-5 g量级。落塔配有先进的测量、监测与控制设备，
为微重力研究提供了良好的模拟环境，可以开展我国空间计划重要项目的预先研究。
落塔可进行流体物理、非金属材料燃烧、液体管理等微重力实验研究，为航天飞行器载荷搭载实验及其防火技术预研提供了便利的实验手段。在某种程度上，中国科学院微重力落塔标志着我国在微重力科学和应用领域内的发展水平。
物体在微重力落塔中下落时其加速度是多大？在微重力3.60 s时间内大约下落多少米？
提示：加速度为g，下落高度约为h＝12gt2≈65 m。
课时分层作业(七) 自由落体运动
题组一 自由落体运动的特点
1．小丽同学在探究自由落体运动规律时，从生活情境中选出处于不同状态的四种物体进行探究，你认为哪一个选项中的物体所做运动是自由落体运动( )
A．枫叶的自由下落的运动
B．从桌边由静止开始滑落的钢笔的运动
C．被运动员推出去的铅球的运动
D．从水面自由落到水底的石子的运动
B [枫叶在自由下落时，所受到的空气阻力并不远小于其重力，阻力不能忽略不计，枫叶的下落不是自由落体运动，选项A错误；钢笔从桌边由静止开始滑落后，钢笔的运动是自由落体运动，因为其初速度为零且下落过程中的阻力远小于钢笔的重力，可忽略不计，选项B正确；被运动员推出去的铅球初速度不为零，不是自由落体运动，选项C错误；从水面自由落到水底的石子，除了自身重力外，还受水的浮力和阻力作用，不是自由落体运动，选项D错误。]
2．“自由落体”演示实验装置如图所示，当牛顿管被抽成真空后，将其迅速倒置，管内两个轻重不同的物体从顶部下落到底端，下列说法正确的是( )
A．真空环境下，物体的重力变为零
B．重的物体加速度大
C．轻的物体加速度大
D．两个物体加速度一样大
D [真空情况下物体仍受重力作用，重力不为零，故A错误；轻重不同的物体在真空管中，只受重力，不受阻力，做自由落体运动，所以加速度相同，都等于重力加速度，故B、C错误，D正确。]
题组二 自由落体运动的规律及应用
3．(多选)为了测出楼房的高度，让一石块从楼顶自由下落至地面(不计空气阻力，重力加速度为已知)，测出下列哪个物理量就可以计算出楼房的高度( )
A．石块下落到地面的总时间
B．石块落地前瞬间的速度
C．石块下落第1 s内的位移
D．石块通过最后1 m位移所用的时间
ABD [由公式h＝12gt2可知，选项A正确；根据v2＝2gh可知，选项B正确；根据h＝12gt2，知只测出第1 s内的位移，不能计算出总高度，选项C错误；根据h＝12gt2 和h－1 m＝12g(t－t′)2，可知选项D正确。]
4．(多选)下列四幅图中，能大致反映自由落体运动的图像是( )
A B
C D
AD [自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，它的v-t图像是一条过原点的倾斜直线，a-t图像是一条平行于时间轴的直线，故A、D正确，C错误；题图B中的图像表示物体匀速下落，故B错误。]
5．一名航天员在某星球上做自由落体运动实验，让一个小球从某一高度自由下落，测得小球在第4 s内的位移是14 m，则( )
A．小球在4 s末的速度是40 m/s
B．小球在第4 s内的平均速度是3.5 m/s
C．小球在第5 s内的位移是18 m
D．小球在前5 s内的位移是125 m
C [小球在第4 s内的位移是14 m，有12gt42-12gt32＝14 m，代入t4＝4 s，t3＝3 s，解得g＝4 m/s2，所以小球在4 s末的速度v4＝gt4＝16 m/s，故A错误；小球在第4 s内的平均速度是v＝Δh4t＝141 m/s＝14 m/s，故B错误；小球在前5 s内的位移h5＝12gt52＝12×4×52 m＝50 m，小球在第5 s内的位移x＝h5－12gt42＝50 m－12×4×42 m＝18 m，故C正确，D错误。]
6．某同学在实验室做了如图所示的实验，铁质小球被电磁铁吸附，断开电磁铁的电源，小球自由下落，已知小球的直径为0.5 cm，该同学从计时器上读出小球通过光电门的时间为1.00×10-3 s，g取10 m/s2，则小球开始下落的位置距光电门的距离h为( )
A．1 m B．1.25 m C．0.4 m D．1.5 m
B [小球通过光电门的时间很短，这段时间内的平均速度可看成瞬时速度，v＝dt＝5 m/s，由自由落体运动规律可知h＝v22g＝1.25 m，B正确。]
7．如图所示，在离地面7.2 m处，手提2.2 m长的绳子的上端，在绳子的上、下两端各拴一小球，放手后小球自由下落(绳子的质量不计，球的大小可忽略，g取10 m/s2)。问：
(1)两小球落地时间相差多少？
(2)B球落地时A球的速度多大？
[解析] (1)设B球落地所需时间为t1，因为h1＝12gt12
所以t1＝2h1g＝2×7.2-2.210 s＝1 s
设A球落地所需时间为t2，由h2＝12gt22得t2＝2h2g＝2×7.210 s＝1.2 s
所以两小球落地的时间差Δt＝t2－t1＝0.2 s。
(2)当B球落地时，A球的速度与B球的速度相等，即vA＝vB＝gt1＝10×1 m/s＝10 m/s。
[答案] (1)0.2 s (2)10 m/s
题组三 伽利略对自由落体运动的研究
8．伽利略对运动的研究，不仅确立了许多用于描述运动的基本概念，而且创造了一套对近代科学的发展极为有益的科学方法，或者说给出了科学研究过程的基本要素。关于这些要素的排列顺序应该是( )
A．提出假设→对现象的观察→运用逻辑得出推论→用实验检验推论→对假说进行修正和推广
B．对现象的观察→提出假设→运用逻辑得出推论→用实验检验推论→对假说进行修正和推广
C．提出假设→对现象的观察→对假说进行修正和推广→运用逻辑得出推论→用实验检验推论
D．对现象的观察→提出假设→运用逻辑得出推论→对假说进行修正和推广→用实验检验推论
B [这是依据思维程序排序的问题，这一套科学研究方法要符合逻辑顺序，即通过观察现象，提出假设，根据假设进行逻辑推理，然后对自己的逻辑推理进行实验验证，紧接着要对实验结论进行修正推广，故B正确。]
9．伽利略在研究自由落体运动时，做了如下实验：他让一个铜球从阻力很小(可忽略不计)的斜面上由静止开始滚下，并且做了上百次。假设某次实验伽利略是这样做的：在斜面上任取三个位置A、B、C，让小球分别由A、B、C滚下，如图所示。设A、B、C与斜面底端的距离分别为s1、s2、s3，小球由A、B、C运动到斜面底端的时间分别为t1、t2、t3，小球由A、B、C运动到斜面底端时的速度分别为v1、v2、v3，则下列关系式中正确并且是伽利略用来证明小球沿光滑斜面向下的运动是匀变速直线运动的是( )
A．v12＝v22＝v32 B．v1t1＝v2t2＝v3t3
C．s1－s2＝s2－s3D．s1t12＝s2t22＝s3t32
D [小球在斜面上三次运动的位移不同，末速度一定不同，故A错误；由v＝at可得，a＝vt，三次下落中的加速度相同，故公式正确，但不是伽利略用来证明匀变速直线运动的关系式，故B错误；由题图可知，s1－s2>s2－s3，故C错误；由运动学公式可知，s＝12at2，a＝2st2，故三次下落中位移与时间平方的比值一定为定值，伽利略正是用这一规律说明小球沿光滑斜面向下的运动为匀变速直线运动，故D正确。]
10．如图所示，水龙头开口A处的直径d1＝2 cm，A离地面B的高度h＝80 cm，当水龙头打开时，从A处流出的水流速度v1＝1 m/s，在空中形成一完整的水流束，不计空气阻力。则该水流束在地面B处的截面直径d2约为(g取10 m/s2)( )
A．2 cm
B．0.98 cm
C．4 cm
D．应大于2 cm，但无法计算
B [水流由A到B做匀加速直线运动，由vB2-v12＝2gh可得：vB＝17 m/s，由单位时间内通过任意横截面的水的体积均相等，可得：v1·Δt·14πd12＝vB·Δt·14πd22，解得：d2≈0.98 cm，故B正确。]
11．四个小球在离地面不同高度同时从静止释放，不计空气阻力，从开始运动时刻起每隔相等的时间间隔，小球依次碰到地面。下列各图中，能反映出刚开始运动时各小球相对地面的位置的是( )
A B C D
C [由每隔相等的时间间隔小球依次碰到地面，可以知道第一个小球经过T时间落地，第二个小球落地的时间为2T，第三、四个小球依次落地时间为3T、4T，相当于一个小球每经过相等时间所到达的位置。可以知道相等时间间隔内的位移越来越大，所以从下而上，相邻两个小球之间的竖直位移越来越大，而且它们下落的高度之比为1∶4∶9∶16，故选项C正确。]
12．空降兵某部官兵使用新装备进行超低空跳伞，若跳伞空降兵在离地面224 m高处，由静止开始在竖直方向做自由落体运动。一段时间后，立即打开降落伞，以12.5 m/s2的加速度匀减速下降，为了空降兵的安全，要求空降兵落地速度最大不得超过5 m/s(g取10 m/s2)。求：
(1)空降兵打开降落伞时离地的高度至少为多少米？
(2)如果空降兵落地的速度等于5 m/s，相当于从多高的地方做自由落体运动？
[解析] (1)设空降兵做自由落体运动的高度为h时速度为v，此时打开降落伞开始匀减速运动，落地时速度刚好为5 m/s，这种情况空降兵在空中运动时间最短，则有v2＝2gh，vt2－v2＝2a(H－h)
代入数据解得h＝125 m，v＝50 m/s
为使空降兵安全着地，他展开降落伞时的高度至少为
H－h＝224 m－125 m＝99 m。
(2)设当落地速度为5 m/s时，相当于从h′高处做自由落体运动，有
h′＝vt22g＝252×10 m＝1.25 m。
[答案] (1)99 m (2)1.25 m
13．如图所示，悬挂的直杆AB长为a，在B端以下h处有一长为b的无底圆柱筒CD，若将悬线剪断，问：
(1)直杆下端B穿过圆柱筒的时间是多少？
(2)整个直杆AB穿过圆柱筒的时间是多少？
[解析] (1)直杆下端B下落到C(自由下落h)开始进入圆柱筒，当直杆下端B下落到D(自由下落h＋b)时穿出圆柱筒。
由s＝12gt2得t＝2sg
则B端下落到C点所需时间为t1＝2hg
B端下落到D点所需时间t2＝2h+bg
则直杆下端B穿过圆柱筒的时间是
Δt1＝t2－t1＝2h+bg-2hg。
(2)整个直杆AB穿过圆柱筒，从B下落到C点(自由下落h)起到A下落到D点(自由下落h＋a＋b)止，A下落到D点所需要的时间t3＝2h+a+bg
则整个直杆AB穿过圆柱筒的时间是
Δt2＝2h+a+bg-2hg。
[答案] (1)2h+bg-2hg (2)2h+a+bg-2hg
定义
物体只在重力作用下从静止开始下落的运动
条件
①初速度为零；②只受重力作用
性质
自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动
匀变速直线运动
自由落体运动
速度公式
vt＝v0＋at
vt＝gt
位移公式
s＝v0t＋12at2
h＝12gt2
速度—位移关系式
vt2-v02＝2as
vt2＝2gh
匀变速直线运动
自由落体运动
中间时刻的速度
vt2＝v＝v0+vt2
vt2＝v＝vt2＝gt2
中间位置的速度
vs2＝v02+vt22
vs2＝vt22＝22gt
位移差公式
Δs＝aT2
Δh＝gT2
1
1
32
4
2
130
9
3
298
16
4
526
25
5
824
36
6
1 192
49
7
1 600
64
8
2 104
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