数学拓展模块一（下册）第6章 三角计算精品单元测试当堂达标检测题

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1．sin45°cs15°+cs45°sin15°=（ ）
A．-32B．-12C．12D．32
【答案】D
【分析】根据两角和的正弦公式和特殊角三角函数求解.
【详解】sin45°cs15°+cs45°sin15°=sin45°+15°=sin60°=32.
故选：D.
2．cs72°cs12°+sin72°sin12°=（ ）
A．-12B．12C．-32D．32
【答案】B
【分析】逆用两角差的余弦公式求解即可.
【详解】cs72°cs12°+sin72°sin12°=cs72°-12°=cs60°=12，
故选：B
3．已知sinα=35,α是第一象限角，且tan(α+β)=1，则tanβ的值为（ ）
A．-17B．17C．-34D．34
【答案】B
【分析】先根据平方关系及商数关系求出tanα，再根据tanβ=tanα+β-α利用两角差的正切公式即可得解.
【详解】因为sinα=35,α是第一象限角，所以csα=1-sin2α=45，
所以tanα=34，
所以tanβ=tanα+β-α=1-341+34=17.
故选：B.
4．sin75°cs75°=（ ）
A．18B．14C．12D．1
【答案】B
【分析】利用二倍角的正弦公式求解即可.
【详解】由二倍角的正弦公式可得：
sin75°cs75°=12×2sin75°cs75°=12sin150°=12sin30°=14.
故选：B.
5．已知sinα=45，α∈π2,π，则cs2α的值为 （ ）
A．725B．2425C．-2425D．-725
【答案】D
【分析】利用二倍角余弦公式可求得cs2α的值.
【详解】由题意知，
cs2α=1-2sin2α=1-2×1625=-725，
故选：D.
6．为了得到函数y=3sin2x的图象，只需把函数y=3sin2x+π4图象上所有的点（ ）
A．向左平移π4个单位长度B．向右平移π4个单位长度
C．向左平移π8个单位长度D．向右平移π8个单位长度
【答案】D
【分析】y=3sin2x+π4=3sin2x+π8,根据三角函数的图象变换即可求解.
【详解】y=3sin2x+π4=3sin2x+π8，
将函数y=3sin2x的图象向左平移π8个单位长度得到函数y=3sin2x+π4的图象，
故将函数y=3sin2x+π4的图象向右平移π8个单位长度，得到函数y=3sin2x的图象.
故选:D.
7．在△ABC中，sinA:sinB:sinC=4:3:2，那么csC的值为（）
A．14B．78C．-14D．1116
【答案】B
【分析】由sinA:sinB:sinC=4:3:2及正弦定理可得三边之比,代入余弦定理即可求解.
【详解】∵sinA:sinB:sinC=4:3:2，
∴由正弦定理可得a:b:c=4:3:2，可得:a=4b3，c=2b3，
由余弦定理可得csC=a2+b2-c22ab =16b29+b2-4b292×4b3×b=78.
故选：B
8．已知△ABC的面积为32且b=2,c=3，则（ ）
A．A=30°B．A=60°C．A=30°或150°D．A=60°或120°
【答案】D
【分析】直接根据面积公式S=12bcsinA，代入数据计算可得答案.
【详解】∵S=12bcsinA，S=32,b=2,c=3
∴32=12×2×3×sinA
解得sinA=32，
∴A=60°或A=120°.
故选：D
9．已知△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a=1,b=3,A=30°，则B=（ ）
A．30°B．30°或150°
C．60°D．60°或120°
【答案】D
【分析】利用正弦定理求出sinB，从而求出B.
【详解】由正弦定理asinA=bsinB，得1sin30°=3sinB，解得sinB=32，
又0°故选：D
10．化简：2sinπ-α+sin2α2cs2α2=（ ）
A．sinαB．sin2αC．2sinαD．sinα2
【答案】C
【分析】利用诱导公式和二倍角的正弦和余弦公式化简，即可得出结果.
【详解】根据题意，利用诱导公式可得
2sinπ-α+sin2α2cs2α2=2sinα+sin2α2cs2α2，
再由二倍角的正弦和余弦公式可得，
2sinα+sin2α2cs2α2=2sinα1+csα2cs2α2=2sinα1+csα1+csα=2sinα，
即2sinπ-α+sin2α2cs2α2=2sinα.
故选：C
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．若tanα=12，tan(α-β)=-34，则tanβ= .
【答案】2
【分析】由tanβ=tan[α-(α-β)]，结合已知，应用正切的两角差公式即可求tanβ.
【详解】tanβ=tan[α-(α-β)] =tanα-tan(α-β)1+tan(α-β)tanα=12+341-12×34=2，
故答案为：2.
12．若3sinα+2csα2sinα-csα=83，则tanα+π4= .
【答案】-3
【分析】根据同角三角函数的基本关系将弦化切，即可求出tanα，再由两角和的正切公式计算可得.
【详解】∵3sinα+2csα2sinα-csα=83，
∴3tanα+22tanα-1=83，解得tanα=2，
∴tanα+π4=tanα+tanπ41-tanαtanπ4=2+11-2×1=-3.
故答案为：-3.
13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a:b:c=5:6:8，则△ABC的形状是 三角形（填“锐角”、“钝角”、“直角”中的一个）．
【答案】钝角
【分析】根据大边对大角，余弦定理的推论即可解出．
【详解】设a=5x，则b=6x,c=8xx>0，显然c>b>a，根据大边对大角，
因为csC=a2+b2-c22ab=52+62-822×5×6=-120<0，所以角C为钝角，
故△ABC的形状是钝角三角形．
故答案为：钝角．
14．在△ABC中，三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=1,A=π4,B=π6，则b= .
【答案】22
【分析】根据正弦定理计算可得.
【详解】由正弦定理asinA=bsinB，即122=b12，解得b=22.
故答案为：22
15．已知△ABC的三边长AB=4cm,BC=2cm,AC=3cm，则△ABC的面积为 cm2.
【答案】3154/3415
【分析】先利用余弦定理求出一角，再利用三角形的面积公式即可得解.
【详解】由余弦定理有csA=AB2+AC2-BC22AB⋅AC=42+32-222×4×3=78，
又A∈0,π，所以sinA=158，
所以△ABC的面积S=12AB⋅AC⋅sinA=12×4×3×158=3154.
故答案为：3154.
三、解答题（共6小题，共60分）
16．已知sinα=-35，csβ=513，且α，β均为第四象限角，求下列各式的值：
(1)csα+β；
(2)csα-β．
【答案】(1)-1665；
(2)5665
【分析】（1）先根据同角三角函数的平方关系及α，β所在象限求出csα=45，sinβ=-1213，进而求出csα+β；（2）利用第一问的结论求出csα-β.
【详解】（1）因为α，β均为第四象限角，所以csα=1-sin2α=45，sinβ=-1-cs2β=-1213，所以csα+β=csαcsβ-sinαsinβ=45×513--35×-1213=2065-3665=-1665
（2）由第一问知：csα=45，sinβ=-1213，所以csα-β=csαcsβ+sinαsinβ=45×513+-35×-1213=2065+3665=5665
17．已知α，β为锐角，csα+β=1213，cs2α+β=35，求csα的值.
【答案】5665
【解析】由同角公式可得∴sinα+β=513，∴sin2α+β=45，再根据α=2α+β-α+β，以及两角差的余弦公式计算可得.
【详解】∵α，β为锐角，
∴0<α+β<π，0<2α+β<3π2.
又∵csα+β=1213，
∴sinα+β=513.
又∵cs2α+β=35>0，
∴0<2α+β<π2，
∴sin2α+β=45，
∴csα=cs2α+β-α+β
=cs2α+βcsα+β+sin2α+βsinα+β
=35×1213+45×513=5665.
【点睛】本题考查了同角公式，考查了两角差的余弦公式，属于基础题.
18．已知函数f(x)=12sin2x-32cs2x,求f(x)的最大值及取得最大值时x的值.
【答案】x=5π12+kπ(k∈Z)时，最大值为1
【分析】利用正弦函数的图像与性质求函数的最大值以及取得最大值时x的值.
【详解】f(x)=12sin2x-32cs2x=sin(2x-π3).
当2x-π3=π2+2kπ(k∈Z),
即x=5π12+kπ(k∈Z)时，函数f(x)取最大值，且最大值为1.
19．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知a=7,c=8.
(1)若sinC=47，求角A的大小；
(2)若b=5，求AC边上的高.
【答案】(1)π6
(2)43
【分析】（1）由正弦定理求得sinA，再判断角A的范围,即可求得角A；
（2）先由余弦定理求出角C，再借助于直角三角形中三角函数的定义计算即得.
【详解】（1）由正弦定理，asinA=csinC，即sinA=asinCc=7×478=12，
因a（2）
如图，由余弦定理，csC=a2+b2-c22ab=49+25-6470=17，
知角C是锐角，则sinC=1-cs2C=473，
作BH⊥AC于点H，在Rt△BCH中，BH=asinC=7×473=43,
即AC边上的高是43.
20．在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，已知已知a2=b2+c2-bc.
(1)求角A的大小；
(2)若b=2，c=3，求a的值；
(3)若a2=bc，判断△ABC的形状．
【答案】(1)π3；
(2)7；
(3)正三角形．
【分析】（1）利用余弦定理求出A的大小作答.
（2）代入给定等式计算作答.
（3）根据已知条件可得b=c，再结合（1）确定三角形的形状作答.
【详解】（1）在△ABC中，由a2=b2+c2-bc及余弦定理得csA=b2+c2-a22bc=12，而0所以A=π3.
（2）由b=2，c=3及a2=b2+c2-bc，得a2=22+32-2×3=7，
所以a=7.
（3）由a2=b2+c2-bc及a2=bc，得b-c2=0，则b=c，由（1）知A=π3，
所以△ABC为正三角形.
21．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD=75°，∠BDC=45°，CD=20m，在点C测得塔顶A的仰角为30°，求塔高AB.
【答案】2023m
【分析】利用正弦定理求得BC，解直角三角形求得AB.
【详解】∠CBD=180°-75°-45°=60°，
由正弦定理得20sin60°=BCsin45°,BC=20×sin45°sin60°=2063，
在直角三角形ABC中，tan30°=AB2063，AB=2063×33=2023m.