重庆市綦江区2023-2024学年数学八年级第一学期期末质量检测试题【含解析】

这是一份重庆市綦江区2023-2024学年数学八年级第一学期期末质量检测试题【含解析】，共20页。试卷主要包含了若k＜＜k+1，如图，不是轴对称图形的是，关于一次函数，下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。

请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．下列四个多项式，能因式分解的是( )
A．a－1B．a2＋1
C．x2－4yD．x2－6x＋9
2．计算：（ ）
A．B．C．D．
3．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡x只，兔y只，可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
4．若k＜＜k+1（k是整数），则k=（ ）
A．6B．7C．8D．9
5．如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）
A．∠A=∠DB．AB=DCC．∠ACB=∠DBCD．AC=BD
6．如图，不是轴对称图形的是( )
A．B．C．D．
7．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝78°，∠C′＝48°，则∠B的度数为( )
A．48°B．54°C．74°D．78°
8．已知点关于x轴的对称点和点关于y轴的对称点相同，则点关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
9．关于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．图象过点（3，-1）B．图象不经过第四象限
C．y 随 x 的增大而增大D．函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积是 6
10．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E是AB的中点，点F在AD上，当△BEF周长最小时，点F的位置在（ ）
A．AD 的中点B．△ABC的重心
C．△ABC三条高线的交点D．△ABC三边中垂线的交点
11．如果x2+2ax+b是一个完全平方公式，那么a与b满足的关系是（ ）
A．b＝aB．a＝2bC．b＝2aD．b＝a2
12．某市道路改造中，需要铺设一条长为1200米的管道，为了尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时，工作效率比原计划提高了25%，结果提前了8天完成任务．设原计划每天铺设管道x米，根据题意，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C．D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．计算：=___________．
14．如图，在中， 是的垂直平分线，且分别交于点和，，则等于_______度．
15．已知9y2+my+1是完全平方式，则常数m的值是_______．
16．当x＝_____时，分式的值为零．
17．若三角形的三边满足a：b：c=5：12：13，则这个三角形中最大的角为_____度．
18．为中边上的中线，若，，则的取值范围是______．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，锐角，，点是边上的一点，以为边作，使，．
（1）过点作交于点，连接（如图①）
①请直接写出与的数量关系；
②试判断四边形的形状，并证明；
（2）若，过点作交于点，连接（如图②），那么（1）②中的结论是否任然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．
20．（8分）如图，在中，点分别在上，点在对角线上，且．求证：四边形是平行四边形．
21．（8分）如图1,为轴负半轴上一点,为轴正半轴上一点,点坐标为，点坐标为且．
（1）求两点的坐标；
（2）求；
（3）如图2,若点坐标为点坐标为,点为线段上一点，的延长线交线段于点,若，求出点坐标．
（4）如图3,若,点在轴正半轴上任意运动，的平分线交的延长线于点,在点的运动过程中，的值是否发生变化，若不变化,求出比值；若变化请说明理由．
22．（10分）某班为准备半期考表彰的奖品，计划从友谊超市购买笔记本和水笔共40件．在获知某网店有“双十一”促销活动后，决定从该网店购买这些奖品．已知笔记本和水笔在这两家商店的零售价分别如下表，且在友谊超市购买这些奖品需花费125元．
（1）班级购买的笔记本和水笔各多少件？
（2）求从网店购买这些奖品可节省多少元．
23．（10分）解决下列两个问题：
（1）如图（1），在中，，，垂直平分，点在直线上，直接写出的最小值，并在图中标出当取最小值时点的位置；
（2）如图（2），点，在的内部，请在的内部求作一点，使得点到两边的距离相等，且使．（尺规作图，保留作图痕迹，无需证明）．
24．（10分）已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角，CE、CF分别平分∠ACB 、∠ACD，EF∥BC，分别交AC、CF于点H、F求证：EH=HF
25．（12分）发现任意三个连续的整数中，最大数与最小数这两个数的平方差是4的倍数；
验证：（1） 的结果是4的几倍？
（2）设三个连续的整数中间的一个为n，计算最大数与最小数这两个数的平方差，并说明它是4的倍数；
延伸：说明任意三个连续的奇数中，最大的数与最小的数这两个数的平方差是8的倍数.
26．已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q.
（1）求证：BE=AD
（2）求的度数；
（3）若PQ=3，PE=1，求AD的长．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【解析】试题分析：利用平方差公式及完全平方公式的结构特征判断即可．
试题解析：x2-6x+9=（x-3）2．
故选D．
考点：2．因式分解-运用公式法；2．因式分解-提公因式法．
2、A
【分析】先进行二次根式的乘除运算，然后合并即可．
【详解】解：原式=
=
=
故选A．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3、D
【分析】等量关系为：鸡的只数+兔的只数=35，2×鸡的只数+4×兔的只数=94，把相关数值代入即可得到所求的方程组．
【详解】解：∵鸡有2只脚，兔有4只脚，
∴可列方程组为：，
故选D.
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组.如何列出二元一次方程组的关键点在于从题干中找出等量关系.
4、D
【分析】找到90左右两边相邻的两个平方数，即可估算的值.
【详解】本题考查二次根式的估值．∵，∴，∴．
一题多解：可将各个选项依次代入进行验证．如下表：
【点睛】
本题考查二次根式的估算，找到被开方数左右两边相邻的两个平方数是关键.
5、D
【解析】A．添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
B．添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
C．添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
D．添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意．
故选D．
6、A
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项进行分析即可得出结论．
【详解】A．不是轴对称图形，故本选项正确；
B．是轴对称图形，故本选项错误；
C．是轴对称图形，故本选项错误；
D．是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的概念是解答本题的关键．
7、B
【解析】由对称得到∠C=∠C′=48°，由三角形内角和定理得∠B=54°，由轴对称的性质知∠B=∠B′=54°．
解：∵在△ABC中，∠A=78°，∠C=∠C′=48°，
∴∠B=180°﹣78°﹣48°=54°
∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
∴∠B=∠B′=54°．
故选B．
8、B
【解析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，-y），关于y轴的对称点的坐标是（-x，y）∴P（-1-2a，5）关于x轴的对称点的坐标是（-1-2a，-5），Q（3，b）关于y轴的对称点的坐标是（-3，b），因而就得到关于a，b的方程，从而得到a，b的值．则A（a，b）关于x轴对称的点的坐标就可以得到．
【详解】∵P（-1-2a，5）关于x轴的对称点的坐标是（-1-2a，-5），
Q（3，b）关于y轴的对称点的坐标是（-3，b）；
∴-1-2a=-3，b=-5；
∴a=1，
∴点A的坐标是（1，-5）；
∴A关于x轴对称的点的坐标为（1，5）.
故选B．
【点睛】
本题比较容易，考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．是需要识记的内容．
9、D
【分析】根据一次函数的性质，依次分析各个选项，选出正确的选项即可．
【详解】解：A、令，则，则图像过点（3，1）；故A错误；
B、由，则一次函数经过第二、四象限，故B错误；
C、由，则y 随 x 的增大而减小；故C错误；
D、令，则，令，则，则面积为：；故D正确；
故选：D.
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和一次函数的性质，正确掌握一次函数的性质是解题的关键．
10、B
【分析】连接EC，与AD交于点P，由题意易得BD=DC，根据等腰三角形的“三线合一”可得当△BEF周长最小时，即为BE+CE的长，最后根据中线的交点可求解．
【详解】解：连接EC，与AD交于点P，如图所示：
△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，
BD=DC，
点F在AD上，当△BEF周长最小时，即BE+BF+EF为最小，
由轴对称的性质及两点之间线段最短可得：
BE+BF+EF为最小时即为BE+CE的长；
点F的位置即为点P的位置，
根据三角形的重心是三角形三条中线的交点；
故选B．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形及轴对称的性质和三角形的重心，熟练掌握等腰三角形及轴对称的性质和三角形的重心是解题的关键．
11、D
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．
【详解】解：∵x1+1ax+b是一个完全平方公式，
∴b＝a1．
故选D．
【点睛】
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
12、B
【解析】关键描述语为：“提前了1天完成任务”；等量关系为：原计划用时-实际用时=1．
【详解】原计划用时为天，而实际用时＝天．那么方程应该表示为．
故选B．
【点睛】
列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、7-4.
【分析】依据完全平方公式进行计算.
【详解】
【点睛】
此题考查完全平方公式以及二次根式的混合运算，熟记公式即可正确解答.
14、20
【分析】先根据三角形的内角和求出∠ABC的度数，再根据是的垂直平分线得出AE=BE，从而得出∠ABE=∠A=50°，再计算∠EBC即可.
【详解】∵，
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=70°，
∵是的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=50°，
∴∠EBC=70°-50°=20°.
故答案为20.
【点睛】
本题考查三角形的内角和定理和线段垂直平分线的性质，根据是的垂直平分线得出AE=BE是解题的关键.
15、±6
【分析】利用完全平方公式的结构特征确定出m的值即可．
【详解】∵9y2+my+1是完全平方式，
∴m=±2×3=±6，
故答案为：±6.
【点睛】
此题考查完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
16、1
【解析】直接利用分式的值为零可得分子为零进而得出答案．
【详解】解：∵分式的值为零，
∴x﹣1＝0，
解得：x＝1．
故答案为1．
【点睛】
此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分式的值为零的条件是解题关键．
17、1
【解析】设三角形的三边分别为5x，12x，13x，则
（5x）2+（12x）2=（13x）2，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，
则这个三角形中最大的角为1度，
故答案为：1．
18、
【分析】延长AD到E，使DE=AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=AB，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即可得解．
【详解】解：如图，延长AD到E，使DE=AD，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴AC=BE，
∵AB=6，AC=3，
∴6-3＜AE＜6+3，即3＜AE＜9，
∴1.1＜AD＜4.1．
故答案为：1.1＜AD＜4.1．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，遇中点加倍延，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）①； ② 平行四边形，证明见解析；（2）成立，证明见解析．
【分析】（1）①根据，两角有公共角，可证；
②连接EB，证明△EAB≌△DAC，可得,再结合平行线的性质和等腰三角形的判定定理可得EF=DC，由此可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形为平行四边形．
（2）根据，可证明△AED和△ABC为等边三角形，再根据ED∥FC结合等边三角形的性质，得出∠AFC=∠BDA，求证△ABD≌△CAF，得出ED=CF，进而求证四边形EDCF是平行四边形．
【详解】解：（1）①，理由如下：
∵，，,
∴，
∴；
②证明：如下图，连接EB,
在△EAB和△DAC中
∵
∴△EAB≌△DAC（SAS）
∴,
∵，
∴,
∴，
∵，
∴,
∴,
∴,
∴
∴四边形为平行四边形；
（2）成立；理由如下：
理由如下：
∵，
∴，
∵AE=AD，AB=AC，
∴△AED和△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，∠ADE=60°，AD=ED,
∵ED∥FC，
∴∠EDB=∠FCB，
∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°+∠BCF，∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB，
∴∠AFC=∠BDA，
在△ABD和△CAF中，
∴△ABD≌△CAF（AAS），
∴AD=FC，
∵AD=ED，
∴ED=CF，
又∵ED∥CF，
∴四边形EDCF是平行四边形．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，平行四边形的判定定理，平行线的性质．在做本题时可先以平行四边形的判定定理进行分析，在后两问中已知一组对边平行，所以只需证明这一组对边相等即可，一般证明线段相等就是证明相应的三角形全等．本题中是间接证明全等，在证明线段相等的过程中还应用到等腰三角形的判定定理（第（1）小题的第②问）和等边三角形的性质（第（2）小题），难度较大．
20、证明见解析.
【分析】根据SAS可以证明△MAE≌△NCF．从而得到EM=FN，∠AEM=∠CFN．根据等角的补角相等，可以证明∠FEM=∠EFN，则EM∥FN．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明.
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在与中：
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】
此题综合运用了平行四边形的性质和判定．能够根据已知条件和平行四边形的性质发现全等三角形是解题的关键.
21、（1）C（0，-2），D（-3，-2）；（2）3；（3）Q（，）；（4）值不变，且为
【分析】（1）根据中绝对值和算术平方根的非负性可求得a和b的值，从而得到C和D的坐标；
（2）求出CD的长度，再根据三角形的面积公式列式计算即可；
（3）根据可得△ABQ的面积等于△BOC的面积，求出△OBC的面积，再根据AB的长度可求得点Q的纵坐标，然后求出直线AC的表达式，代入点Q纵坐标即可求出点Q的横坐标；
（4）在△AOE和△BFC中，利用三角形内角和定理列式整理表示出∠ABC，然后相比即可得解.
【详解】解：（1）∵，
∴a+2=0，b+3=0，
∴a=-2，b=-3，
∴C（0，-2），D（-3，-2）；
（2）∵C（0，-2），D（-3，-2），
∴CD=3，且CD∥x轴，
∴=×3×2=3；
（3）∵，△OBP为公共部分，
∴S△ABQ=S△BOC，
∵B（2，0），C（0，-2）
∴S△BOC==2= S△ABQ，
∵A（-3，0），
∴AB=5,
S△ABQ==2，
∴，
设直线AC的表达式为y=kx+b，
将A，C坐标代入，
，
解得：，
∴直线AC的表达式为：，
令y=，
解得x=，
∴点Q的坐标为（，）；
（4）在△ACE中，设∠ADC=∠DAC=α，∠ACE=β，
∠E=∠DAC-∠ACE=α-β，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=∠ACE=β，
在△AFE和△BFC中，
∠E+∠EAF+∠AFE=180°，
∠ABC+∠BCF+∠BFC=180°，
∵CD∥x轴，
∴∠EAF=∠ADC=α，
又∵∠AFE=∠BFC，
∴∠E+∠EAF=∠ABC+∠BCF，
即α-β+α=∠ABC+β，
∴∠ABC=2（α-β），
∴==，为定值.
【点睛】
本题考查了坐标与图形的性质，三角形角平分线，三角形的面积，三角形内角和定理，待定系数法求一次函数解析式，属于综合体，熟记性质并准确识图是解题的关键.
22、（1）购买笔记本15件，水笔25件；（2）20元．
【分析】（1）由题意设购买笔记本x件，水笔y件并根据题意建立方程组求解即可；
（2）根据题意分别求出笔记本和水笔单个零售价的优惠价格再进行相加即可求得.
【详解】解：（1）设购买笔记本x件，水笔y件，
根据题意得：，
解得：，
答：购买笔记本15件，水笔25件．
（2）15×（5－4）+25×（2－1.8）=20，
答：从网店购买这些奖品可节省20元．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系并正确列出二元一次方程组进行求解.
23、（1）1，图见解析；（2）作图见解析
【分析】（1）根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值，求出AC长度即可得到结论．
（2）作∠AOB的平分线OE，作线段MN的垂直平分线GH，GH交OE于点P，点P即为所求．
【详解】解：（1）点P的位置如图所示：
∵EF垂直平分BC，
∴B、C关于EF对称，
设AC交EF于D，
∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，即最小值为1．
故答案为：1．
（2）如图，①作∠AOB的平分线OE，②作线段MN的垂直平分线GH，GH交OE于点P，则点P即为所求．
【点睛】
本题考查基本作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，学会利用两点之间线段最短解决最短问题．
24、见解析
【分析】由角平分线的定义可得∠BCE＝∠ACE，∠ACF＝∠DCF，由平行线的性质可得∠BCE＝∠CEF，∠CFE＝∠DCF，利用等量代换可得∠ACE＝∠CEF，∠CFE＝∠ACF，根据等角对等边即可求得EH=CH=HF，进而求得EH=HF．
【详解】∵CE、CF分别平分∠ACB、∠ACD，
∴∠BCE＝∠ACE，∠ACF＝∠DCF，
∵EF∥BC，
∴∠BCE＝∠CEF，∠CFE＝∠DCF，
∴∠ACE＝∠CEF，∠CFE＝∠ACF，
∴EH＝CH，CH=HF，
∴EH＝HF.
【点睛】
本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，根据等角对等边求解是解题关键.
25、验证：（1）详见解析；（2）详见解析；延伸：详见解析.
【分析】（1）计算出的值即可知结论；（2）设三个连续的整数中间的一个为n，则最大的数为，最小的数为，由题意可得，化简即可；延伸：设中间一个数为，则最大的奇数为，最小的奇数为，由题意可得，化简即可.
【详解】解：发现：
即的结果是4的倍；
(2) 设三个连续的整数中间的一个为n，则最大的数为，最小的数为
又∵n是整数，
∴任意三个连续的整数中，最大数与最小数这两个数的平方差是4的倍数；
延伸：设中间一个数为，则最大的奇数为，最小的奇数为

又∵n是整数
∴任意三个连续的奇数中，最大的数与最小的数这两个数的平方差是8的倍数
【点睛】
本题主要考查可乘法公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.
26、见解析
【分析】（1）根据题意只要能证明△ABE≌△CAD即可；（2）根据△ABE≌△CAD得∠EBA =∠CAD ，所以=∠EBA +∠BAD=∠CAD +∠BAD=∠CAB=60°;（3）因为=60°，BQ⊥AD，所以∠PBQ=30°,PB=2PQ=6,然后可求AD的长.
【详解】（1）证明：为等边三角形,
在△ABE和△CAD中
∴△ABE≌△CAD．
∴BE=AD
（2）证明：∵△ABE≌△CAD．
（3）∵
∴AD=7
考点：1.等边三角形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.直角三角形的性质.
选项
逐项分析
正误
A
若
×
B
若
×
C
若
×
D
若
√