重庆市实验外国语学校2023年八年级数学第一学期期末监测试题【含解析】

这是一份重庆市实验外国语学校2023年八年级数学第一学期期末监测试题【含解析】，共18页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，下列语句是命题的是，把分式方程化为整式方程正确的是，计算，下列运算正确的是，下列各式中，正确的有等内容，欢迎下载使用。
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．方格纸上有、两点，若以点为原点建立直角坐标系，则点坐标为，若以点为原点建立直角坐标系，则点坐标是( )
A．B．C．D．
2．如果代数式的值为3，那么代数式的值等于（ ）
A．11B．9C．13D．7
3．下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差：
根据表中数据，要从中选择一名成绩发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
4．下列语句是命题的是（ ）
（1）两点之间，线段最短；
（2）如果两个角的和是90度，那么这两个角互余.
（3）请画出两条互相平行的直线；
（4）过直线外一点作已知直线的垂线；
A．（1）（2）B．（3）（4）C．（2）（3）D．（1）（4）
5．以下列选项中的数为长度的三条线段中，不能组成直角三角形的是（ ）
A．8，15，17B．4，6，8C．3，4，5D．6，8，10
6．把分式方程化为整式方程正确的是( )
A．B．
C．D．
7．计算：的值是（ ）
A．0B．C．D．或
8．甲、乙两车从A地出发，匀速驶向B地．甲车以80km/h的速度行驶1h后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达B地并停留1h后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是120km/h；②m＝160；③点H的坐标是（7，80）；④n＝7.1．其中说法正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
9．下列运算正确的是（ ）
A．x2+x2＝2x4B．a2•a3＝a5
C．（﹣2a2）4＝16x6D．a6÷a2＝a3
10．下列各式中，正确的有（ ）
A．B．
C．D．a÷a＝a
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．直角坐标平面上有一点P（﹣2，3），它关于y轴的对称点P′的坐标是_____．
12．计算3的结果是___．
13．点，是直线上的两点，则_______0（填“＞”或“＜”）．
14．在等腰三角形中，有一个角等于40°，则这个等腰三角形的顶角的外角的度数为___
15．规定，若，则x的值是_____．
16．如图，中，平分，，，，，则__________．
17．若多项式是一个完全平方式，则______.
18．若分式的值为0，则x的值等于________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）命题：如果三角形一边上的中线与这条边所对内角的平分线重合，那么这个三角形是等腰三角形．请自己画图，写出已知、求证，并对命题进行证明．
已知：如图，
求证：
证明：
20．（6分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）说明BE=CF的理由；
（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的长．
21．（6分）某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨（含14吨），则每吨按政府补贴优惠价m元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价n元收费．小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元．
（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场价分别是多少？
（2）设每月用水量为x吨（x>14），应交水费为y元，请写出y与x之间的函数关系式；
22．（8分）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，已知点的坐标是．
（1）点 的坐标为（ ， ），点 的坐标为（ ， ）；
（2）的面积是 ；
（3）作点关于轴的对称点,那么、两点之间的距离是 ．
23．（8分）把下列多项式分解因式：
（1）
（2）
24．（8分）如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米．
（1）此时梯子顶端离地面多少米？
（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？
25．（10分）如图，在中，，于点，平分交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
26．（10分）如图，直线与轴、轴分别相交于点、，与直线相交于点.
（1）求点坐标；
（2）如果在轴上存在一点，使是以为底边的等腰三角形，求点坐标；
（3）在直线上是否存在点，使的面积等于6？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】明确A、B的坐标位置，即可判定坐标.
【详解】以B为原点建立平面直角坐标系，则A点的坐标为（3，4）；
若以A点为原点建立平面直角坐标系，则B点在A点左3个单位，下4个单位处．
故B点坐标为（-3，-4）．
故答案为C．
【点睛】
此题主要考查平面直角坐标系中用坐标表示位置，熟练掌握其性质，即可解题.
2、B
【分析】先由已知可得2x-y=2，然后将写成2（2x-y）+5，最后将2x-y=2代入计算即可．
【详解】解：∵代数式2x-y+1的值为3
∴2x-y=2
∴=2（2x-y）+5=2×2+5=1．
故答案为B．
【点睛】
本题主要考查了代数式求值，根据已知求出2x-y的值是解答本题的关键．
3、D
【分析】利用平均数和方差的意义进行判断．
【详解】解：丁的平均数最大且方差最小，成绩最稳当，
所以选丁运动员参加比赛．
故选：D．
【点睛】
本题考查平均数和方差在数据统计中的意义，理解掌握它们的意义是解答关键.
4、A
【分析】判断一件事情的语句叫命题，命题都由题设和结论两部分组成，依此对四个小题进行逐一分析即可；
【详解】（1）两点之间，线段最短符合命题定义，正确；
（2）如果两个角的和是90度，那么这两个角互余，符合命题定义，正确．
（3）请画出两条互相平行的直线只是做了陈述，不是命题，错误；
（4）过直线外一点作已知直线的垂线没有做出判断，不是命题，错误，
故选：A．
【点睛】
本题考查了命题的概念：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．注意命题是一个能够判断真假的陈述句．
5、B
【解析】试题解析：A. 故是直角三角形，故错误；
B. 故不是直角三角形，正确；
C. 故是直角三角形，故错误；
D. 故是直角三角形，故错误.
故选B.
点睛：如果三角形中两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
6、C
【解析】方程两边同乘最简公分母x(x+1)，得：2（x+1）-x2=x（x+1），
故选C.
7、D
【解析】试题分析：根据的性质进行化简．原式=，当1a－1≥0时，原式=1a－1+1a－1=4a－1；当1a－1≤0时，原式=1－1a+1－1a=1－4a．综合以上情况可得：原式=1－4a或4a－1．
考点：二次根式的性质
8、B
【分析】根据题意，两车距离为函数，由图象可知两车起始距离为80，从而得到乙车速度，根据图象变化规律和两车运动状态，得到相关未知量．
【详解】由图象可知，乙出发时，甲乙相距80km，2小时后，乙车追上甲．则说明乙每小时比甲快40km，则乙的速度为120km/h．①正确；
由图象第2﹣6小时，乙由相遇点到达B，用时4小时，每小时比甲快40km，则此时甲乙距离4×40=160km，则m=160，②正确；
当乙在B休息1h时，甲前进80km，则H点坐标为（7，80），③正确；
乙返回时，甲乙相距80km，到两车相遇用时80÷（120+80）=0.4小时，则n=6+1+0.4=7.4，④错误．
故选B．
【点睛】
本题以函数图象为背景，考查双动点条件下，两点距离与运动时间的函数关系，解答时既要注意图象变化趋势，又要关注动点的运动状态．
9、B
【分析】直接利用积的乘方运算以及同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．
【详解】A、x2+x2＝2x2，故此选项错误；
B、a2•a3＝a5，正确；
C、（﹣2a2）4＝16x8，故此选项错误；
D、a6÷a2＝a4，故此选项错误；
故选：B．
【点睛】
此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算法则．
10、C
【分析】A.根据合并同类项法则，a3与a2不是同类项不能合并即可得A选项不正确；
B.根据同底数幂乘法法则，即可得B选项不正确；
C.根据积的乘方与幂的乘方，C选项正确；
D.根据同底数幂除法，底数不变，指数相减即可得D选项不正确．
【详解】解：A. 不是同类项，不能合并，故A选项不正确；
B. ，故B选项不正确；
C. ，故C选项正确；
D. a÷a＝a6, 故D选项不正确.
故选：C．
【点睛】
本题考查了合并同类项、同底数幂乘除法、幂的乘方和积的乘方，解决本题的关键是熟练运用这些法则．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、（2，3）
【分析】关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．根据关于y轴对称的点的特点解答即可．
【详解】解：点P（﹣2，3）关于y轴的对称点P'的坐标是（2，3），
故答案为：（2，3）．
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系内，点关于y轴对称的点的坐标的特征，掌握关于y轴对称的点的特征是解题的关键．
12、．
【分析】首先化简二次根式进而计算得出答案．
【详解】原式＝32．故答案为．
【点睛】
本题考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
13、＞．
【分析】根据k＜0，一次函数的函数值y随x的增大而减小解答．
【详解】解：
∵直线的k＜0，
∴函数值y随x的增大而减小．
∵点，是直线上的两点，-1＜3，
∴y1＞y2，即
故答案为：＞．
【点睛】
本题考查一次函数图象上点的坐标特征。利用数形结合思想解题是关键．
14、140°或80°
【分析】分别讨论40°为顶角和底角的情况，求出即可.
【详解】①当40°为顶角时，则这个等腰三角形的顶角的外角的度数为180-40=140°，
②当40°为底角时，
顶角为=100°，
则这个等腰三角形的顶角的外角的度数为180-100=80°，
故答案为140°或80°.
【点睛】
本题是对等腰三角形角度转换的考查，分类讨论是解决本题的关键.
15、
【分析】根据题中的新定义化简所求式子，计算即可求出的值．
【详解】∵，
根据题意得到分式方程：，
整理，得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
故答案是：．
【点睛】
本题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．注意解分式方程需检验．
16、
【分析】根据题意延长CE交AB于K，由 ，平分，由等腰三角形的性质，三线合一得，利用角平分线性质定理，分对边的比等于邻边的比，结合外角平分性质和二倍角关系可得．
【详解】如图，延长CE交AB于K，
，平分，等腰三角形三线合一的判定得
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】
考查了三线合一判定等腰三角形，等腰三角形的性质，角平分线定理，外角的性质，以及二倍角的角度关系代换，熟记几何图形的性质，定理，判定是解题的关键．
17、-1或1
【分析】首末两项是x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和3积的2倍．
【详解】解：∵x2+mx+9=x2+mx+32，
∴mx=±2×3×x，
解得m=1或-1．
故答案为-1或1．
【点睛】
本题考查完全平方式，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
18、．
【分析】分式的值为零，分子等于零且分母不等于零．
【详解】解：由题意可得解得：
故答案为：．
【点睛】
本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为1；（2）分母不为1．这两个条件缺一不可．
三、解答题(共66分)
19、见解析
【分析】由角平分线的性质得出DE=DF，证明Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），得出∠B=∠C，即可得出结论．
【详解】已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AD平分∠BAC；
求证：AB=AC．
证明：作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如图所示：
则∠BED=∠CFD=90°，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定定理，证明三角形全等是解题的关键．
20、（1）见解析；（2）AE=1，BE=1.
【分析】（1）连接DB，DC，证明Rt△BED≌Rt△CFD，再运用全等三角形的性质即可证明；
（2）.先证明△AED≌△AFD得到AE=AF，设BE=x，则CF=x， 利用线段的和差即可完成解答.
【详解】（1）证明：连接BD，CD，
∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD=CD，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE=CF；
（2）解：在△AED和△AFD中，

∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE=AF，
设BE=x，则CF=x，
∵AB=5，AC=3，AE=AB﹣BE，AF=AC+CF，
∴5﹣x=3+x，解得：x=1，
∴BE=1，即AE=AB﹣BE=5﹣1=1．
【点睛】
本题主要考查三角形全等的判定和性质，掌握三角形全等的判定方法和灵活运用全等三角形的性质是解题本题的关键
21、（1）每吨水的政府补贴优惠价元，市场调节价为元；（2）
【分析】（1）设每吨水的政府补贴优惠价为元，市场调节价为元，列出相应二元一次方程组，求解出m,n的值即可．
（2）根据用水量和水费的关系，写出y与x之间的函数关系式．
【详解】解：（1）设每吨水的政府补贴优惠价为元，市场调节价为元．
，
解得：，
答：每吨水的政府补贴优惠价元，市场调节价为元．
（2）当时，，
【点睛】
本题考查了二元一次方程组和一次函数的实际应用，掌握解二元一次方程组和一次函数的方法是解题的关键．
22、（1）3，0；-2，5；（2）；（3）作点C关于y轴的对称点C'见解析；．
【分析】（1）直接利用坐标系得出各点坐标即可；
（2）利用梯形面积减去两个直角三角形的面积即可求得答案；
（3）利用关于坐标轴对称点的性质及两点间的距离公式即可得出答案．
【详解】（1）由图可得，，
故答案为：3，0；-2，5；
（2）如图，

=10；
（3）如图，顶点C关于y轴对称的点C'为所作，
点C'的坐标为（2，5），
∴．
【点睛】
本题主要考查了关于坐标轴对称点的性质、三角形面积公式以及勾股定理的运用，正确得出对应点位置是解题关键．
23、（1）；（2）
【分析】（1）提取公因式后用平方差公式分解即可.
（2）提取公因式后用完全平方公式分解即可.
【详解】（1）原式
（2）原式
【点睛】
本题考查的是分解因式，掌握分解因式的方法：提公因式法及公式法是关键.
24、（1）梯子顶端离地面24米（2）梯子底端将向左滑动了8米
【解析】试题分析：（1）构建数学模型，根据勾股定理可求解出梯子顶端离地面的距离；
（2）构建直角三角形，然后根据购股定理列方程求解即可.
试题解析：（1）如图，∵AB=25米，BE=7米，
梯子距离地面的高度AE==24米．
答：此时梯子顶端离地面24米；
（2）∵梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度CE=（24﹣4）=20米，
∴BD+BE=DE===15，
∴DE=15﹣7=8（米），即下端滑行了8米．
答：梯子底端将向左滑动了8米．
25、（1）证明见解析；（2）1．
【分析】（1）依据∠ACB=90°，CD⊥AB，即可得到∠ACD=∠B，再根据CE平分∠BCD，可得∠BCE=∠DCE，进而得出∠AEC=∠ACE．
（2）依据∠ACD=∠BCE=∠DCE，∠ACB=90°，即可得到∠ACD=10°即可解决问题．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
即．
（2）∵，，
∴．
又∵，，
∴．
又∵，
∴，．
∴中，，
∴中，，
∴．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理以及角平分线的定义，含10度角直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
26、（1）；（2）点坐标是；（3）存在；点的坐标是或
【分析】（1）联立方程组即可解答；
（2）设点坐标是，表达出OP=PA在解方程即可；
（3）对Q点分类讨论，①当点在线段上；②当点在的延长线上，表达出的面积即可求解．
【详解】解：（1）解方程组：，得
∴；
（2）设点坐标是，
∵是以为底边的等腰三角形，
∴，
∴
解得
∴点坐标是
（3）存在；
由直线可知，，
∵，
∴点有两个位置：在线段上和的延长线上
设点的坐标是，
①当点在线段上：作轴于点，如图①，则，
∴
∴，即
∴
把代人了，得7，
∵的坐标是
②当点在的延长线上：作轴于点，如图②，则，
∴
∴，即
∴
把代入，得，
∴的坐标是
综上所述：点的坐标是或

【点睛】
本题考查了一次函数与几何综合问题，解题的关键是灵活运用函数的图象与性质，熟知直角坐标系中不规则三角形面积的求法．
甲
乙
丙
丁
平均数（环）
9.1
9.1
9.1
9.1
方差
7.6
8.6
9.6
9.7