重庆市双福育才中学2023-2024学年数学八年级第一学期期末联考试题【含解析】

这是一份重庆市双福育才中学2023-2024学年数学八年级第一学期期末联考试题【含解析】，共19页。试卷主要包含了下列因式分解正确的是，如图，在中，，，求证，已知，则a+b+c的值是，若关于的分式方程无解，则的值是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在处的处，折痕为.如果，，，那么下列式子中正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知，且，则代数式的值等于（ ）
A．B．C．D．
3．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，且∠B=40°，∠C=60°，则∠ADE的度数为（ ）
A．80°B．30°C．40°D．50°
4．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2+2x+1=x(x+2)+1B．(x2-4)x=x3-4xC．ax+bx=(a+b)xD．m2-2mn+n2=(m+n)2
5．如图，在中，，，求证：.当用反证法证明时，第一步应假设（ ）
A．B．C．D．
6．如图，为内一点，平分，，，若，，则的长为( )
A．5B．4C．3D．2
7．下列各组数中,以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A．6,8,10B．8,15,16C．4,3，D．7,24,25
8．如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是15cm2，AB＝9cm，BC＝6cm，则DE＝（ ）cm．
A．1B．2C．3D．4
9．已知，则a+b+c的值是（ ）
A．2B．4C．±4D．±2
10．若关于的分式方程无解，则的值是（ ）．
A．2B．3C．4D．5
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．某学生数学学科课堂表现为分，平时作业为分，期末考试为分，若这三项成绩分别按，，的比例计入总评成绩，则该学生数学学科总评成绩是_______分．
12．如图：已知AB⊥BC，AE⊥DE，且AB=AE，∠ACD=∠ADC=50°，∠BAD=100°，则∠BAE= _________．
13．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为8cm，面积是48，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为___________．
14．甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做4个，甲做60个所用的时间比乙做40个所用的时间相等，则乙每小时所做零件的个数为_____．
15．已知，则的值为____．
16．观察下列图形的排列规律（其中△，○，☆，□分别表示三角形，圆，五角星，正方形）：□○△☆□○△☆□○……，则第2019个图形是________．（填图形名称）
17．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第_____块．
18．已知函数y＝3xn-1是正比例函数，则n的值为_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．
求证：AD=BC．
20．（6分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中A（0，4），B(-2，2)，C((-1，1)，先将△ABC向右平移3个单位，再向下平移1个单位到△A1B1C1，△A1B1C1和△A2B2C2关于x轴对称．
（1）画出△A1B1C1和△A2B2C2，并写出A2，B2，C2的坐标；
（2）在x轴上确定一点P，使BP＋A1P的值最小，请在图中画出点P；
（3）点Q在y轴上且满足△ACQ为等腰三角形，则这样的Q点有 个．
21．（6分）如图，在中，是的角平分线，，交于点，，，求的度数
22．（8分）如图，在中，，，，平分交于，求的度数．
23．（8分）（1）计算：
①；
②
（2）因式分解：
①
②
（3）解方程：
①
②
24．（8分）如图，在中,，点为边上的动点，点从点出发，沿边向点运动，当运动到点时停止，若设点运动的时间为秒，点运动的速度为每秒2个单位长度．

（1）当时，= ，= ；
（2）求当为何值时，是直角三角形，说明理由;
（3）求当为何值时，，并说明理由．
25．（10分）小明在学习三角形知识时，发现如下三个有趣的结论：在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一点，ME⊥BC，垂足为E，∠AME的平分线交直线AB于点F．
（1）如图①，M为边AC上一点，则BD、MF的位置关系是 ；
如图②，M为边AC反向延长线上一点，则BD、MF的位置关系是 ；
如图③，M为边AC延长线上一点，则BD、MF的位置关系是 ；
（2）请就图①、图②、或图③中的一种情况，给出证明.
26．（10分）如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）若∠CAE=25°，求∠ACF的度数．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【详解】分析:根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论.
详解:
由折叠得：∠A=∠A'，
∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，
∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，
∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，
故选A.
点睛：本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键.
2、C
【分析】先将因式分解，再将与代入计算即可．
【详解】解：，
故答案为：C．
【点睛】
本题考查了代数式求值问题，涉及了利用平方差公式进行因式分解，解题的关键是熟记平方差公式．
3、C
【解析】根据三角形的内角和可知∠BAC=180°-∠B-∠C=80°，然后根据角平分线的性质可知可得∠EAD=∠CAD=40°，再由平行线的性质（两直线平行，内错角相等）可得∠ADE=∠DAC=40°.
故选C.
4、C
【分析】直接利用因式分解法的定义以及提取公因式法和公式法分解因式得出即可．
【详解】解：A、x2+2x+1=x（x+2）+1，不是因式分解，故此选项错误；
B、（x2﹣4）x=x3﹣4x，不是因式分解，故此选项错误；
C、ax+bx=（a+b）x，是因式分解，故此选项正确；
D、m2﹣2mn+n2=（m﹣n）2，故此选项错误．
故选C．
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式等知识，正确把握因式分解的方法是解题关键．
5、B
【分析】根据反证法的概念，即可得到答案．
【详解】用反证法证明时，第一步应假设命题的结论不成立，即：．
故选B．
【点睛】
本题主要考查反证法，掌握用反证法证明时，第一步应假设命题的结论不成立，是解题的关键．
6、A
【分析】根据已知条件，延长BD与AC交于点F，可证明△BDC≌△FDC，根据全等三角形的性质得到BD=DF,再根据得AF=BF ,即可AC．
【详解】解：延长BD,与AC交于点F,
∵
∴∠BDC＝∠FDC=90°
∵平分，
∴∠BCD＝∠FCD
在△BDC和△FDC中
∴△BDC≌△FDC
∴BD=FD =1 BC=FC=3
∵
∴AF=BF
∵，，
∴AC=AF+FC=BF+BC=2BD+BC=2+3=5
故选：A
【点睛】
本题考查的是三角形的判定和性质，全等三角形的对应边相等，是求线段长的依据，本题的AC=AF+FC,AF,FC用已知线段来代替．
7、B
【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A、∵62+82=100=102，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵82+152=289=172≠162，∴不能构成直角三角形，故本选项符合题意；
C、∵+32=16=42，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵72+242=625=252，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选B．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
8、B
【分析】过D作DF⊥BC于F，由角平分线的性质得DE=DF，根据即可解得DE的长．
【详解】过D作DF⊥BC于F，
∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，
∴DF=DE，
∵△ABC的面积是15cm2，AB＝9cm，BC＝6cm，
又，
∴，
解得：DE=2，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质定理、三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质定理，作出相应的辅助线是解答本题的关键．
9、D
【分析】先计算(a+b+c)2，再将代入即可求解．
【详解】∵
∴
∴
=4
∴a+b+c=±2
故选：D
【点睛】
本题考查了代数式的求值，其中用到了．
10、C
【分析】分式方程无解有两种情况一是增根,二是分式方程的根是分式的形式,分母为0无意义.
【详解】方程两边同乘以得，
∴，∴，
若，则原方程分母，此时方程无解，
∴，∴时方程无解．
故选：C．
【点睛】
本题的关键是分式方程无解有两种情况，要分别进行讨论.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、92.1
【分析】根据加权平均数的计算方法可以求得该生数学学科总评成绩，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
95×30%+92×30%+90×40%=92.1（分），
故答案为：92.1.
【点睛】
本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
12、120°
【分析】
先由题意求得∠CAD，再证明△ABC与△AED全等即可求解．
【详解】
解：∵∠ACD=∠ADC=50°，
∴∠CAD=180°-50°-50°=80°，AC=AD，
又AB⊥BC，AE⊥DE，
∴∠B=∠E=90°，
∵AB=AE，
∴Rt△ABCRt△AED，
∴∠BAC=∠EAD，
∴∠BAE=∠BAC+∠CAD+∠EAD=2∠BAC+∠CAD，
∵∠BAD=100°，
∴∠BAC=∠BAD-∠CAD=20°，
∴∠BAE=120°；
故答案为：120°．
【点睛】
此题考查三角形全等及等腰三角形的性质，难度一般．
13、16cm（没单位扣1分）．
【分析】连接AD交EF于点，连接AM，由线段垂直平分线的性质可知AM=MB，则，故此当A、M、D在一条直线上时，有最小值，然后依据三角形三线合一的性质可证明AD为△ABC底边上的高线，依据三角形的面积为48可求得AD的长；
【详解】连接AD交EF于点，连接AM，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AM=MB，
∴，
∴当点M位于时，有最小值，最小值为6，
∴△BDM的周长的最小值为；
故答案是16cm．
【点睛】
本题主要考查了三角形综合，结合垂直平分线的性质计算是关键．
14、1
【详解】解：设乙每小时做x个，则甲每小时做（x+4）个，
甲做60个所用的时间为，乙做40个所用的时间为，
列方程为：=，
解得：x=1，
经检验：x=1是原分式方程的解，且符合题意，
所以乙每小时做1个，
故答案为1．
【点睛】
本题考查了列分式方程解实际问题的运用，解答时甲做60个零件所用的时间与乙做90个零件所用的时间相等建立方程是关键．
15、1
【分析】根据已知得到，代入所求式子中计算即可．
【详解】∵，
∴，
∴．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了求分式的值，利用已知得到，再整体代入是解题的关键．
16、三角形
【分析】根据图形的变化规律：每四个图形为一组，按照正方形、圆、三角形、五角星的顺序循环变化即可求解．
【详解】观察图形的变化可知：
每四个图形为一组，按照正方形、圆、三角形、五角星的顺序循环变化，
2019÷4＝504…3
所以第2019个图形是三角形．
故答案为：三角形．
【点睛】
本题考查了图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．
17、1
【分析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．
【详解】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第1块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
18、1
【分析】根据正比例函数：正比例函数y＝kx的定义条件是：k为常数且k≠0，可得答案．
【详解】解：∵函数y＝3xn﹣1是正比例函数，
∴n﹣1＝1，
则n＝1．
故答案是：1．
【点睛】
本题主要考查正比例函数的概念，掌握正比例函数的概念是解题的关键.
三、解答题(共66分)
19、证明见解析．
【解析】由等腰三角形性质及三角形内角和定理，可求出∠ABD=∠C=BDC. 再据等角对等边，及等量代换即可求解.
试题解析：∵AB=AC， ∠A=36°∴∠ABC=∠C= (180°-∠A)= ×(180°-36°)=72°，又∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=×72°=36°， ∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°， ∴∠C=∠BDC， ∠A=AB，
∴AD=BD=BC.
20、（1）作图见解析，A2，B2，C2的坐标分别为A2(3，-3)，B2(1，-1)，C2(2，0)；（2）见解析；（3）1．
【分析】（1）△ABC向右平移3个单位，再向下平移1个单位到△A1B1C1，△A1B1C1和△A2B2C2关于x轴对称，根据平移的性质和轴对称的性质先找出对应顶点的坐标，顺次连接即可；
（2）依据轴对称的性质，连接BA2，交x轴于点P，此时BP+A1P的值最小；
（3）在平面直角坐标系中，作线段AC的垂直平分线，与y轴有1个交点，分别以A，C为圆心，AC长为半径画弧，与y轴的交点有3个，即可得到Q点的数量．
【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1和△A2B2C2即为所求，
根据图形可得，A2，B2，C2的坐标分别为A2(3，-3)，B2(1，-1)，C2(2，0)；
（2）如图所示，连接BA2，交x轴于点P，则点P即为所求；
（3）根据点Q在y轴上且满足△ACQ为等腰三角形，在平面直角坐标系中，作线段AC的垂直平分线，与y轴有1个交点，分别以A，C为圆心，AC长为半径画弧，与y轴的交点有3个，可得这样的Q点有1个．
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了利用平移以及轴对称变换进行作图以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，多数情况要作点关于某直线的对称点．
21、110°
【分析】由三角形的外角性质得出∠ABD＝35，由角平分线的定义求出∠ABC＝2∠ABD＝70，再由平行线的性质得出同旁内角互补∠BED＋∠ABC＝180，即可得出结果．
【详解】解：∵∠A+∠ABD=∠BDC,∠A=,∠BDC=
∴ ∠ABD=
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD= ∠CBD
又 ∵DE∥BC
∴∠CBD=∠BDE
∴∠BDE=∠ABD=
∴∠BED=-∠ABD -∠BDE=.
【点睛】
本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质；熟练掌握平行线的性质，运用三角形的外角性质求出∠ABD的度数是解决问题的关键．
22、15°
【分析】首先根据三角形的外角的性质求得∠3，再根据已知条件求得∠2，进而根据三角形的内角和定理求得∠ABD，再根据角平分线的定义求得∠ABE，最后根据三角形的外角的性质求得∠1．
【详解】解：∵∠1=∠3+∠C，∠1=100°，∠C=80°，
∴∠3=20°，
∵∠2=∠3，
∴∠2=10°，
∴∠ABC=180°-100°-10°=70°，
∵BE平分∠BAC，
∴∠ABE=35°，
∵∠1=∠2+∠ABE，
∴∠1=15°．
【点睛】
本题考查了角平分线定义、三角形内角和定理和三角形外角性质，能求出∠ABE的度数是解此题的关键．
23、（1）①5；②3xy+y2；（2）①ab(a+1)(a-1)；②-y(3x-y)2；（2）①x=9；②x=-
【分析】(1) ①先计算负整数指数、乘方和零指数幂，然后按实数的计算法则加减即可；
②先根据多项式乘以多项式法则和平方差公式进行计算，再合并同类项即可．
(2) ①首先找出公因式，进而利用平方差公式分解因式即可，
②找出公因式，进而利用完全平方公式分解因式即可；
(3) ①方程两边同时乘以x(x−3)，然后求解即可，注意，最后需要检验；
②方程两边同时乘以(2x−5)(2x+5)，然后求解即可，注意，最后需要检验；
【详解】解：(1) ①原式=4-8×0.125+1+1=4-1+1+1=5
②原式=4x2+3xy-4x2+y2=3xy+y2
(2) ①=ab(a2-1)= ab(a+1)(a-1)
②=-y(-6xy+9x2+y2)= -y(3x-y)2
(3) ①方程两边同乘x(x−3)得：2x=3x-9，
解得：x=9，
检验：当x=9时，x(x−3)≠0，
∴x=9是原方程的解；
②方程两边同乘(2x−5)(2x+5)得：2x(2x+5)-2(2x-5)= (2x−5)(2x+5)
解得：x=-，
检验：当x=-时，(2x−5)(2x+5) ≠0，
∴x=-是原方程的解．
【点睛】
本题考查实数的计算、因式分解和分式的加减，多项式乘以多项式法则，解分式方程，掌握运算顺序与运算法则和因式分解的方法是解题的关键．
24、（1）CD=4，AD=16；（2）当t=3.6或10秒时，是直角三角形，理由见解析；（3）当t=7.2秒时，，理由见解析
【分析】（1）根据CD=速度×时间列式计算即可得解，利用勾股定理列式求出AC，再根据AD=AC-CD代入数据进行计算即可得解；
（2）分①∠CDB=90°时，利用△ABC的面积列式计算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根据时间=路程÷速度计算；②∠CBD=90°时，点D和点A重合，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解；
（3）过点B作BF⊥AC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CF，再由（2）的结论解答．
【详解】解：（1）t=2时，CD=2×2=4，
∵∠ABC=90°，AB=16，BC=12，
∴AD=AC-CD=20-4=16；
（2）①∠CDB=90°时，
∴解得BD=9.6，
∴
t=7.2÷2=3.6秒；
②∠CBD=90°时，点D和点A重合，
t=20÷2=10秒，
综上所述，当t=3.6或10秒时，是直角三角形；
（3）如图，过点B作BF⊥AC于F，
由（2）①得：CF=7.2，
∵BD=BC，
∴CD=2CF=7.2×2=14.4，
∴t=14.4÷2=7.2，
∴当t=7.2秒时，，
【点睛】
本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握相关的知识是解题的关键
25、（1）BD∥MF，BD⊥MF，BD⊥MF；（2）证明见解析．
【详解】试题分析：（1）平行；垂直；垂直；
（2）选① 证明BD∥MF
理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，
∴∠ABC+∠AME=360°﹣90°×2=180°，
∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，
∴∠ABD=∠ABC，∠AMF=∠AME，
∴∠ABD+∠AMF=（∠ABC+∠AME）=90°，
又∵∠AFM+∠AMF=90°，
∴∠ABD=∠AFM，
∴BD∥MF．
选② 证明BD⊥MF．
理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，
∴∠ABC+∠C=∠AME+∠C=90°，
∴∠ABC=∠AME，
∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，
∴∠ABD=∠AMF，
∵∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠AMF+∠ADB=90°，
∴BD⊥MF．
选③ 证明BD⊥MF．
理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，
∴∠ABC+∠ACB=∠AME+∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠AME，
∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，
∴∠ABD=∠AMF，
∵∠AMF+∠F=90°，
∴∠ABD+∠F=90°，
∴BD⊥MF．
考点：1．平行线的判定；2．角平分线的性质
26、（1）详见解析；（2）65°．
【分析】（1）运用HL定理直接证明△ABE≌△CBF，即可解决问题．
（2）证明∠BAE=∠BCF=25°；求出∠ACB=45°，即可解决问题．
【详解】证明：（1）在Rt△ABE与Rt△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（HL）．
（2）∵△ABE≌△CBF，
∴∠BAE=∠BCF=20°；
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ACB=45°，
∴∠ACF=65°．
【点睛】
该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；准确找出图形中隐含的相等或全等关系是解题的关键．