重庆市巫溪县2023-2024学年数学八年级第一学期期末经典试题【含解析】

这是一份重庆市巫溪县2023-2024学年数学八年级第一学期期末经典试题【含解析】，共21页。试卷主要包含了如图，在中，过点作于，则的长是，下列代数式中，属于分式的是，下列各式的变形中，正确的是，下列四个分式方程中无解的是，下列命题属于真命题的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，在等边中，是边上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，若，，则有以下四个结论：①是等边三角形；②；③的周长是10；④．其中正确结论的序号是（ ）
A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③
2．若一组数据，0，2，4，的极差为7，则的值是( ).
A．B．6C．7D．6或
3．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°，则∠C的度数是（ ）
A．36°B．77°C．64°D．38.5°
4．已知一次函数y＝kx﹣b（k≠0）图象如图所示，则kx﹣1＜b的解集为（ ）
A．x＞2B．x＜2C．x＞0D．x＜0
5．如图，在中，过点作于，则的长是（ ）
A．B．C．D．
6．下列代数式中，属于分式的是（ ）
A．5xB．C．D．
7．下列各式的变形中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．B．
C．D．
9．下列四个分式方程中无解的是（ ）．
A．B．
C．D．
10．下列命题属于真命题的是（ ）
A．同旁内角相等，两直线平行B．相等的角是对顶角
C．平行于同一条直线的两条直线平行D．同位角相等
11．如图，在中，，D是AB上的点，过点D作 交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，，则下列结论正确的有（ ）
①∠DCB=∠B；②CD=AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E=30°，则DE=EF+CF．
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
12．如图，在Rt△PQR中，∠PRQ＝90°，RP＝RQ，边QR在数轴上．点Q表示的数为1，点R表示的数为3，以Q为圆心，QP的长为半径画弧交数轴负半轴于点P1，则P1表示的数是( )
A．－2B．－2C．1－2D．2－1
二、填空题（每题4分，共24分）
13．在平面直角坐标系中，若点和点关于轴对称，则的值为_______．
14．等腰三角形ABC的顶角为120°，腰长为20，则底边上的高AD的长为_____．
15．如图所示，在△ABC中，∠B=∠C=50°，BD=CF，BE=CD，则∠EDF的度数是_____.
16．如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC，BE⊥AC，P为AD上一动点，则PE+PC的最小值为__________．
17．我国的纸伞工艺十分巧妙，如图，伞不论张开还是缩拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC和∠EDF，使与始终全等，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动，则的理由是_____．
18．如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C落在AB边上的点G处，点D落在点H处．若∠1＝62°，则图中∠BEG的度数为_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）先化简，再求值：，在a＝±2，±1中，选择一个恰当的数，求原式的值．
20．（8分）甲、乙两车分别从相距420km的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，两车分别以各自的速度匀速行驶，途经C地（A、B、C三地在同一条直线上）．甲车到达C地后因有事立即按原路原速返回A地，乙车从B地直达A地，甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车行驶所用的时间x（小时）的关系如图所示，结合图象信息回答下列问题：
（1）甲车的速度是 千米/时，乙车的速度是 千米/时；
（2）求甲车距它出发地的路程y（千米）与它行驶所用的时间x（小时）之间的函数关系式；
（3）甲车出发多长时间后两车相距90千米？请你直接写出答案．
21．（8分）2018年10月，吉州区井冈蜜柚节迎来了四方游客，游客李先生选购了井冈蜜柚和井冈板栗各一箱需要200元．他还准备给4位朋友每人送同样的井冈蜜柚一箱，6位同事每人送同样的井冈板栗一箱，就还需要1040元．
（1）求每箱井冈蜜柚和每箱井冈板栗各需要多少元？
（2）李先生到收银台才得知井冈蜜柚节期间，井冈蜜柚可以享受6折优惠，井冈板栗可以享受8折优惠，此时李先生比预计的付款少付了多少元？
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（﹣2，4），B（﹣4，2），C（﹣3，1），按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1（点A、C分布对应A1、C1）；
（2）请在y轴上找出一点P，满足线段AP+B1P的值最小．
23．（10分）如图1,在和中, ,, .
(1)若三点在同一直线上,连接交于点,求证: .
(2)在第(1)问的条件下,求证: ；
(3)将绕点顺时针旋转得到图2,那么第(2)问中的结论是否依然成立?若成立,请证明你的结论:若不成立,请说明理由.
24．（10分）如图，AB=AC，， 求证：BD=CE．
25．（12分）画图
（1）请你把先向右平移3格得到，再把绕点顺时针旋转得到.
（2）在数轴上画出表示的点．
26．如图，已知AC平分∠BAD，∠B＝∠D．求证：△ABC≌△ADC．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】先由△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，可知：BD=BE，∠DBE=60°，则可判断△BDE是等边三角形；根据等边三角形的性质得BA=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，再根据旋转的性质得到∠BAE=∠BCD=60°，从而得∠BAE=∠ABC=60°，根据平行线的判定方法即可得到AE∥BC；根据等边三角形的性质得∠BDE=60°，而∠BDC>60°，则可判断∠ADE≠∠BDC；由△BDE是等边三角形得到DE=BD=4，再利用△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，则AE=CD，△AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+BD=BC+BD=1．
【详解】∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴BD=BE，∠DBE=60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴①正确；
∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，
∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴∠BAE=∠BCD=60°，
∴∠BAE=∠ABC，
∴AE∥BC，
∴②正确；
∵△BDE是等边三角形，
∴DE=BD=4，
∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴AE=CD，
∴△AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+BD=BC+BD=6+4=1，
∴③正确；
∵△BDE是等边三角形，
∴∠BDE=60°，
∵∠BDC=∠BAC+∠ABD＞60°，
∴∠ADE=180°-∠BDE-∠BDC＜60°，
∴∠ADE≠∠BDC，
∴④错误．
故选D．
【点睛】
本题主要考查旋转得性质，等边三角形的判定和性质定理，掌握旋转的性质以及等边三角形的性质定理，是解题的关键．
2、D
【详解】解：根据极差的计算法则可得：x－(－1)=7或4－x=7，
解得：x=6或x=－3.
故选D
3、D
【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠B＝∠ADB，根据等边对等角可得∠C＝∠CAD，然后利用三角形内角和定理列式进行计算即可解答．
【详解】∵AB＝AD，∠BAD＝26°，
∴∠B=（180°－∠BAD）＝（180°－26°）＝77°，
∵AD＝DC，
∴∠C＝∠CAD，
在△ABC中，∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，
即26°＋∠C＋∠C＋77°＝180°，
解得：∠C＝38.5°，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质：等腰三角形两底角相等、等边对等角，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
4、C
【分析】将kx-1＜b转换为kx-b＜1，再根据函数图像求解.
【详解】由kx-1＜b得到：kx-b＜1．
∵从图象可知：直线与y轴交点的坐标为（2，1），
∴不等式kx-b＜1的解集是x＞2，
∴kx-1＜b的解集为x＞2．
故选C．
【点睛】
本题考查的是一次函数的图像，熟练掌握函数图像是解题的关键.
5、C
【分析】由余角性质可知∠BCD=∠A,根据BD=1可以得到CD的长度，进一步得到AD的长度．
【详解】由题意，∠BCD和∠A都与∠B互余，∴∠BCD=∠A=
∴BC=2BD=2,CD=BD=,AC=2CD=2,AD=CD=×=1．
故选C．
【点睛】
本题考查直角三角形的性质，熟练掌握角的对边、邻边与斜边的关系是解题关键．
6、C
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，从而得出答案．
【详解】根据分式的定义
A．是整式，答案错误；
B．是整式，答案错误；
C．是分式，答案正确；
D．是根式，答案错误；
故选C．
【点睛】
本题考查了分式的定义，在解题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．
7、C
【分析】根据分式的性质逐项进行判断即可得.
【详解】A中的x不是分子、分母的因式，故A错误；
B、分子、分母乘的数不同，故B错误；
C、（a≠0），故C正确；
D、分式的分子、分母同时减去同一个非0的a，分式的值改变，故D错误，
故选C．
【点睛】
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键.
8、A
【分析】在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2-b2；因为拼成的长方形的长为a+b，宽为a-b，根据“长方形的面积=长×宽”可得：(a+b)(a-b)，因为面积相等，进而得出结论．
【详解】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2-b2；
拼成的长方形的面积：(a+b)(a-b)，
∴．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是求出第一个图的阴影部分面积，进而根据长方形的面积计算公式求出拼成的长方形的面积，根据面积不变得出结论．
9、D
【分析】分别把四个分式方程解出来并检验是否为分式方程的增根，即可得出答案．
【详解】A中，解得 ，经检验，是原分式方程的解，故不符合题意；
B中，解得 ，经检验，是原分式方程的解，故不符合题意；
C中，解得 ，经检验，是原分式方程的解，故不符合题意；
D中，解得 ，经检验，是原分式方程的增根，所以原分式方程无解，故符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查分式方程，掌握分式方程的解法并检验是否为分式方程的增根是解题的关键．
10、C
【解析】要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项．
【详解】A、同旁内角互补，两直线平行，是假命题；
B、相等的角不一定是对顶角，是假命题；
C、平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题；
D、两直线平行，同位角相等，是假命题；
故选C．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
11、B
【解析】由在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AB，根据等角的余角相等，可得①∠DCB=∠B正确；
由①可证得AD=BD=CD，即可得②CD=AB正确；
易得③△ADC是等腰三角形，但不能证得△ADC是等边三角形；
由若∠E=30°，易求得∠FDC=∠FCD=30°，则可证得DF=CF，继而证得DE=EF+CF．
【详解】在△ABC中，∵∠ACB=90°，DE⊥AB，∴∠ADE=∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∠ACD+∠DCB=90°．
∵∠DCA=∠DAC，∴AD=CD，∠DCB=∠B；故①正确；
∴CD=BD．
∵AD=BD，∴CD=AB；故②正确；
∠DCA=∠DAC，∴AD=CD，但不能判定△ADC是等边三角形；故③错误；
∵∠E=30°，∴∠A=60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC=30°．
∵∠ADE=∠ACB=90°，∴∠EDC=∠BCD=∠B=30°，∴CF=DF，∴DE=EF+DF=EF+CF．故④正确．
故选B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定以及直角三角形的性质．注意证得D是AB的中点是解答此题的关键．
12、C
【分析】首先利用勾股定理计算出QP的长，进而可得出QP1的长度，再由Q点表示的数为1可得答案.
【详解】根据题意可得QP==2，
∵Q表示的数为1,
∴P1表示的数为1-2.
故选C.
【点睛】
此题主要考查了用数轴表示无理数，关键是利用勾股定理求出直角三角形的斜边长.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】由关于x轴对称横坐标相同可列出关于m的一元一次方程，求解即可.
【详解】解：由点和点关于轴对称可得点P与点Q的横坐标相同即，解得.
所以的值为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系中的轴对称，灵活利用点关于坐标轴对称的特点是解题的关键.
14、1
【分析】画出图形，结合条件可求得该三角形的底角为30°，再结合直角三角形的性质可求得底边上的高．
【详解】解：如图所示：
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴，
∴Rt△ABD中，，
即底边上的高为1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了含30度角的直角三角形的性质：30度角所对的直角边是斜边的一半.
15、50°
【分析】由题中条件可得△BDE≌△CFD，即∠BDE=∠CFD，∠EDF可由180°与∠BDE、∠CDF的差表示，进而求解即可．
【详解】解：如图，在△BDE与△CFD中，
，
∴△BDE≌△CFD（SAS），
∴∠BDE=∠CFD，
∠EDF=180°﹣（∠BDE+∠CDF）=180°﹣（∠CFD+∠CDF）=180°﹣（180°﹣∠C）=50°，
∴∠EDF=50°，
故答案是：50°．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定及性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
16、
【解析】根据题意作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于P，连接EF，过C作CN⊥AB于N，根据三线合一定理求出BD的长和AD⊥BC，根据勾股定理求出AD，根据三角形面积公式求出CN，根据对称性质求出CP+EP=CM，根据垂线段最短得出CP+EP≥，即可得出答案．
【详解】作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于P，连接EP，过C作CN⊥AB于N，
∵AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线，
∴BD=DC=5，AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴M在AB上，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD==12，
∴S△ABC=×BC×AD=×AB×CN，
∴CN==，
∵E关于AD的对称点M，
∴EP=PM，
∴CP+EP=CP+PM=CM，
根据垂线段最短得出：CM≥CN，
即CP+EP≥，
即CP+EP的最小值是，
故答案为.
【点睛】
本题考查了平面展开﹣最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性．
17、ASA
【分析】根据确定三角形全等的条件进行判定即可得解．
【详解】解：由题意可知：
伞柄AP平分∠BAC，∴∠BAP=∠CAP，
伞柄AP平分∠EDF，∴∠EDA=∠FDA，
且AD=AD，
∴△AED≌△AFD(ASA)，
故答案为：ASA．
【点睛】
本题考查了全等三角形的应用，理解题意确定出全等的三角形以及全等的条件是解题的关键．
18、56°
【解析】根据矩形的性质可得AD//BC，继而可得∠FEC=∠1=62°，由折叠的性质可得∠GEF=∠FEC=62°，再根据平角的定义进行求解即可得.
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠FEC=∠1=62°，
∵将一张矩形纸片ABCD沿 EF折叠后，点C落在AB边上的点 G 处，
∴∠GEF=∠FEC=62°，
∴∠BEG=180°-∠GEF-∠FEC=56°，
故答案为56°.
【点睛】
本题考查了矩形的性质、折叠的性质，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质是解题的关键.
三、解答题（共78分）
19、，
【分析】对括号内的分式通分化简、用平方差公式因式分解，再根据整式的乘法和整式的除法法则进行计算，再代入的值进行计算.
【详解】
当时，
原式.
【点睛】
本题考查的是分式的混合运算－化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则.
20、（1）105，60；（2）y＝；（3）时，时或时．
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以得到甲乙两车的速度；
（2）根据题意和函数图象中的数据可以求得甲车距它出发地的路程y（千米）与它行驶所用的时间x（小时）之间的函数关系式；
（3）根据题意可知甲乙两车相距90千米分两种情况，从而可以解答本题．
【详解】（1）由图可得，
甲车的速度为：（210×2）÷4＝420÷4＝105千米/时，
乙车的速度为：60千米/时，
故答案为105，60；
（2）由图可知，点M的坐标为（2，210），
当0≤x≤2时，设y＝k1x，
∵M（2，210）在该函数图象上，
2k1＝210，
解得，k1＝105，
∴y＝105x（0≤x≤2）；
当2＜x≤4时，设y＝k2x+b，
∵M（2，210）和点N（4，0）在该函数图象上，
∴，得，
∴y＝﹣105x+420（2＜x≤4），
综上所述：甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式为：y＝；
（3）设甲车出发a小时时两车相距90千米，
当甲从A地到C地时，
105a+60（a+1）+90＝420，
解得，a＝，
当甲从C地返回A地时，
（210﹣60×3）+（105﹣60）×（a﹣2）＝90，
解得，a＝，
当甲到达A地后，
420﹣60（a+1）＝90，
解得，a＝，
答：甲车出发时，时或时，两车相距90千米．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
21、（1）每箱井冈蜜柚需要81元，每箱井冈板栗需要121元；（2）李先生比预计的付款少付了328元
【分析】（1）、根据“井冈蜜柚和井冈板栗各一箱需要211元，4箱井冈蜜柚和6箱井冈板栗需要1141元”列二元一次方程组，解之即可得.
（2）根据节省的钱数＝原价×数量﹣打折后的价格×数量，即可求出结论．
【详解】解：（1）设每箱井冈蜜柚需要x元，每箱井冈板栗需要y元，
依题意，得：，
解得：．
答：每箱井冈蜜柚需要81元，每箱井冈板栗需要121元．
（2）211+1141﹣81×1．6×（4+1）﹣121×1．8×（6+1）＝328（元）．
答：李先生比预计的付款少付了328元．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
22、（1）作图见解析；（2）作图见解析．
【分析】（1）利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用轴对称求最短路线的方法得出答案．
【详解】（1）如图所示：
（2）如图所示：点P即为所求．
【点睛】
此题主要考查了轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键．
23、（1）见解析；（2）见解析；（3）成立，理由见解析
【分析】（1）根据SAS得出△BAD≌△CAE；
（2）根据△BAD≌△CAE，得出∠ABD=∠ACE，根据直角三角形两锐角互余和对顶角相等即可得出答案；
（3）延长BD交CE于点M，交AC于点F．根据SAS证明ΔBAD≌ΔCAE，得出∠ABD=∠ACE，根据直角三角形两锐角互余和对顶角相等即可得出答案．
【详解】（1）∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE．
∵AB=AC，AD=AE，
∴ΔBAD≌ΔCAE．
（2）∵ΔBAD≌ΔCAE，
∴∠ABD=∠ACE．
∵∠BAC=90°，
∴∠ABD+∠AFB=90°．
∵∠AFB=∠CFD，
∴∠ACE+∠CFD=90°，
∴∠CDF=90°，
∴BD⊥CE．
（3）成立．理由如下：
延长BD交CE于点M，交AC于点F．
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，
即∠BAD=∠CAE．
∵AB=AC，AD=AE，
∴ΔBAD≌ΔCAE，
∴∠ABD=∠ACE．
∵∠BAC=90°，
∴∠ABD+∠AFB=90°．
∵∠AFB=∠CFM，
∴∠CMF=90°，
∴BD⊥CE．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质和三角形内角和定理等知识，根据已知得出△BAD≌△CAE是解题的关键．
24、见详解
【分析】通过AAS证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论．
【详解】
即
在和中，

【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定方法及性质是解题的关键．
25、（1）图见解析；（2）图见解析．
【分析】（1）先根据平移的性质画出，再根据旋转的性质画出点，然后顺次连接点即可得；
（2）先将表示3的点记为点A，将表示2的点记为点B，将原点记为点O，再过点A作数轴的垂线，然后以点A为圆心、AB长为半径画弧，交AC于点D，最后连接OD，以点O为圆心、OD长为半径画弧，在原点右侧交数轴于点P即可得．
【详解】（1）先根据平移的性质画出，再根据旋转的性质画出点，然后顺次连接点即可得，如图所示：
（2）先将表示3的点记为点A，将表示2的点记为点B，将原点记为点O，再过点A作数轴的垂线，然后以点A为圆心、AB长为半径画弧，交AC于点D，最后连接OD，以点O为圆心、OD长为半径画弧，在原点右侧交数轴于点P，则点P即为所作，如图所示：
【点睛】
本题考查了平移与旋转作图、勾股定理的应用，熟练掌握平移和旋转的性质、勾股定理是解题关键．
26、见详解．
【分析】根据AAS证明△ABC≌△ADC即可．
【详解】证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（AAS）
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSSSSS、SASSAS、ASAASA、AASAAS、HLHL．