长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2024届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)

这是一份长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2024届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列四个数中，属于有理数的是（ ）
A. 2024B. C. D.
答案：A
解析：
详解：解：2024是有理数；
，，都是无理数；
故选：A．
2. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）

主视图 左视图 俯视图
A. B. C. D.
答案：B
解析：
详解：解：A俯视图，
C的俯视图
，
D的俯视图
，
都与题目给出的三视图矛盾．B的三视图为
,
故图中三视图对应的几何体不是选项A、C、D中图形，选项B的三视图与题目的三视图相一致．
故选B．
3. 如图，直线，如图放置，．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
详解：解：∵为三角形的外角，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，故A正确．
故选：A．
4. 不等式组中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
详解：解不等式x-1≤0得x≤1，
解不等式x+3＞0得x＞-3，
所以不等式组的两个不等式的解集在同一个数轴上表示为：
．
故选：A．
5. 石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一． 如图，某石拱桥的桥拱是圆弧形． 如果桥顶到水面的距离米， 桥拱的半径米， 此时水面的宽（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
详解：解：连接，如图所示．
∵，
∴，
在中，，，，
∴，
∴．
故选：C．
6. 长沙市是一个旅游胜地，五一假期更是吸引了大量游客前来观光．据有关部门预测，今年长沙市五一假期人流量达到500万以上．将500万用科学记数法表示为（ ）．
A B. C. D.
答案：B
解析：
详解：解：500万用科学记数法表示为．
故选：B．
7. 《九章算术》中“盈不足术”有这样的问题：“今有共买羊，人出六，不足四十五；人出八，不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出元，则差元；每人出元，则差元．求人数和羊价各是多少？设买羊人数为人，则根据题意可列方程为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
详解：设买羊人数为人，则根据题意可列方程为：
故选：A
8. 某书店拿取高处书籍的登高梯如图位置摆放，登高梯的顶端A恰好放在书架的第七层的顶端．已知登高梯的长度为3米，登高梯与地面的夹角为，则书架第七层顶端离地面的高度为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
答案：A
解析：
详解：解：由题意可得，
，米，，
，
（米），
故选：A．
9. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
详解：，
∴二次函数的图象的顶点坐标为，
故选：A．
10. 一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数．若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要设（ ）．
A. 五位B. 四位C. 三位D. 二位
答案：B
解析：
详解：解：∵每一位密码上都可以设置0到9这10个数字，
∴设置n位密码则有种结果数，
又∵一次就拨对密码的结果数为1，
∴一次就拨对密码的概率为，
∵，
∴一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要设4位，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 因式分解：_______．
答案：
解析：
详解：解：
．
12. 方程的解是___________
答案：，
解析：
详解：解：，
∴，
解得：，，
故答案为：，．
13. 如图，，点B，C，D在同一条直线上，且，，则的长是___________．
答案：1
解析：
详解：解：，，
，
，，
，
故答案为：1．
14. 面试时，某人的基本知识、表达能力、工作态度的得分分别是分、分，分，若依次按，，的比例确定成绩，则这个人的面试成绩是______分．
答案：
解析：
详解：解：
故答案为：．
15. 如图，是的直径，A是上一点，若，，则__________．

答案：
解析：
详解：解：是的直径，
，
∵，，
∴，
故答案为：．
16. 元旦期间，商业大厦推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为1000元的商品，共节省280元，则用贵宾卡又享受了______折优惠．
答案：9
解析：
详解：解：设用贵宾卡又享受了x折优惠，
依题意得：1000-1000×80%x=280
解之得：x=0.9,
即用贵宾卡又享受了9折优惠．
三、解答题（第17，18，19题各6分，第20，21题各8分，第22，23题各9分，第24，25题各10分，共72分）
17. 计算：．
答案：3
解析：
详解：解：原式．
18. 先化简，再求值：，其中．
答案：；6
解析：
详解：原式

当时，原式
19. 如图，已知．

（1）尺规作图：作出线段的垂直平分线，交 于点 D，交 于点 E（不写作法，但保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若，连接 ，求的面积．
答案：（1）见解析 （2）
解析：
小问1详解：
解：分别以A、C为圆心，以大于长为半径在上下画弧，相交于一点，连接两个交点即为所求，如图所示，
小问2详解：
解：∵垂直平分，，
∴,，
∵，
∴，
∴；
20. 为全面开展“阳光大课间”活动，某中学三个年级准备成立“足球”、“篮球”、“跳绳”、“踢毽”四个课外活动小组，学校体育组根据七年级学生的报名情况（每人限报一项）绘制了两幅不完整的统计图（如图），
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）m= ，n= ，并将条形统计图补充完整；
（2）根据七年级的报名情况，试问全校2000人中，大约有多少人报名参加足球活动小组？
（3）根据活动需要，从“跳绳”小组的二男二女四名同学中随机选取两人到“踢毽”小组参加训练，请用列表或树状图的方法计算恰好选中一男一女两名同学的概率．
答案：(1)25，108；画图见解析（2）600人；（3）．
解析：
详解：解：（1）调查的总人数=15÷15%=100（人），
所以m%=×100%=25%，即m=25，
参加跳绳活动小组的人数=100-30-25-15=30（人），
所以n°= ，即n=108，
如图，
故答案为：25，108；
（2），
所以全校2000人中，大约有600人报名参加足球活动小组；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中一男一女两名同学的结果数为8，
所以恰好选中一男一女两名同学的概率=．
21. 如图，已知AB是⊙O直径，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠BAC．
（1）求证：CD是⊙O切线；
（2）若∠D=30°，BD=2，求图中阴影部分的面积．
答案：（1）证明见解析；（2）阴影部分面积为
解析：
详解：（1）如图，连接OC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∵∠BCD=∠BAC，
∴∠BCD=∠OCA，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°
∴∠OCD=90°
∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线
（2）设⊙O的半径为r，
∴AB=2r，
∵∠D=30°，∠OCD=90°，
∴OD=2r，∠COB=60°
∴r+2=2r，
∴r=2，∠AOC=120°
∴BC=2，
∴由勾股定理可知：AC=2，
易求S△AOC=×2×1=
S扇形OAC=，
∴阴影部分面积为.
22. 如图，某工程队在工地利用互相垂直的两面墙AE、AF，另两边用铁栅栏围成一个长方形场地ABCD，中间再用铁栅栏分割成两个长方形，铁栅栏总长180米，已知墙AE长90米，墙AF长为60米．
设米，则CD为______米，四边形ABCD的面积为______米；
若长方形ABCD面积为4000平方米，问BC为多少米？
答案：（1），（2）米，长方形的面积为4000平方米
解析：
详解：（1）设BC=x米，则CD=（180﹣2x）米．四边形ABCD的面积为x（180﹣2x）米2．
故答案为（180﹣2x），x（180﹣2x）；
（2）由题意，得：x（180﹣2x）=4000
整理，得：x2﹣90x+2000=0
解得：x=40或x=50．
当x=40时，180﹣2x=100＞90，不符合题意，舍去；
当x=50时，180﹣2x=80＜90，符合题意．
答：BC=50米，长方形的面积为4000平方米．
23. 已知：如图5，在矩形ABCD中，过AC的中点M作EF⊥AC，分别交AD、BC于点E、F．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）如果CD2＝BF•BC，求∠BAF的度数．
答案：（1）见详解；（2）30°．
解析：
(2)利用CD2=BF⋅BC和AB=CD得到，根据相似三角形的判定方法得到△ABF∽△CBA，所以∠2=∠3，而根据菱形的性质得∠1=∠4，即∠1=∠3=∠4，从而可求出∠1的度数．
详解：（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠1＝∠2，
∵点M为AC的中点，
∴AM＝CM．
在△AME与△CMF中

∴△AME≌△CMF（ASA），
∴ME＝MF．
∴四边形AECF为平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴平行四边形AECF为菱形；
（2）解：∵CD2＝BF•BC，
∴，
又∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，
∴
又∵∠ABF＝∠CBA，
∴△ABF∽△CBA，
∴∠2＝∠3，
∵四边形AECF为菱形，
∴∠1＝∠4，即∠1＝∠3＝∠4，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝∠1+∠3+∠4＝90°，
∴即∠1＝30°．
24. 四边形内接于，为直径，对角线平分，对角线、相交于点．
（1）求的值；
（2）若，的半径长为，求的长；
（3）设、、四边形的面积分别为、、．若，令半径为，求的值．（用含的代数式表示）
答案：（1）
（2）
（3）
解析：
小问1详解：
解：∵为直径，对角线平分，
∴，
∴，则是等腰直角三角形，
∴，，
在中，，
∴；
小问2详解：
解：如图所示，连接，过点作交的延长线于点，
∴，
∵平分
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∵
∴
∴
∵是等腰直角三角形，
∴，
在中，；
小问3详解：
如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，
∵
∴是等腰直角三角形，
∴
又∵
∴
∴
∵，又
∴
∴
∴
∴
又∵
∴，
∵
∴
∴
∴
25. 规定：如果某函数的图象关于直线（m为常数）对称，则称该函数为“芳方美美函数”，直线叫做“芳方直线”．
（1）下列函数，是否为“芳方美美函数”？若是，请在括号内直接填写其 “芳方直线”，若不是，请在括号内打×．
①（ ）；②（ ）；③（ ）；
（2）函数和（其中、、、为常数，．均为“芳方美美函数”，且其“芳方直线”为同一直线．若直线与、的图像相交于、、、，其中．求证．
（3）若关于的“芳方美美函数”的“芳方直线”为，其函数图像与轴交于点、（点在点的右边），其顶点为；函数的图像与轴交于点、（点在点的右边），其顶点为，以、、、为顶点的四边形能否为矩形或菱形，若能请求出的值，若不能请说明理由．
答案：（1）①；②×；③
（2）见解析 （3）能，
解析：
小问1详解：
解：①关于直线对称，是“芳方美美函数”，其芳方直线为；
②其函数图象，不是轴对称图形，不是“芳方美美函数”；
③，对称轴为直线，是“芳方美美函数”，其芳方直线为
故答案为：①；②×；③．
小问2详解：
①当时，，如图所示，
依题意，函数和（其中、、、为常数，．均为“芳方美美函数”，且其“芳方直线”为同一直线．
根据抛物线的对称性可得，
②当时，∵的“芳方直线”为同一直线．
∴，设
如图所示，过分别作轴的平行线，过点分别作轴的平行线，交于点，则，
∴
联立
∴
∴，同理可得，
∴
即
即
∴
∴，
综上所述，
小问3详解：
∵关于的“芳方美美函数”的“芳方直线”为，与轴交于点、（点在点的右边），
当，即
∴，
令，即，
解得：
∴,
当时，，则
函数的图像与轴交于点、（点在点的右边），其顶点为，
∴
令，即，
解得：，则对称轴为直线，
∴,
当时，，则
∴，
∴四边形是平行四边形
∵在轴上
∴不可能垂直于，
∴四边形不可能是菱形
当四边形为矩形时，
∴
即
解得：