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    人教版八年级数学上册13.4最短路径问题 学案
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    初中数学人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题优质导学案

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    这是一份初中数学人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题优质导学案,共5页。学案主要包含了学习目标,重点难点,学习过程,学后反思等内容,欢迎下载使用。

    能利用轴对称解决简单的最短路径问题,
    体会图形的变化在解决最值问题中的作用.
    【重点难点】
    重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题
    难点:如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题
    【学习过程】
    自主学习:
    如图所示,从A地到B地有三条路可供选择,走哪条路最近?你的理由是什么?
    二、合作探究:
    eq \a\vs4\al(探究点一) 探索最短路径问题
    活动一:相传,古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者,名叫海伦.有一天,一位将军专程拜访海伦,求教一个百思不得其解的问题:
    从图中的A地出发,到一条笔直的河边l 饮马,然后到B地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短?
    精通数学、物理学的海伦稍加思索,利用轴对称的 知识回答了这个问题.这个问题后来被称为“将军饮马问题”.
    你能将这个问题抽象为数学问题吗?
    追问1 这是一个实际问题,你打算首先做什么?
    追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思,并把它抽象为数学问题吗?
    问题2:如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC与CB的和最小?

    追问3:对于问题2,如何将点B“移”到l的另一侧B′处,满足直线l 上的任意一点C,都保持CB 与CB′的长度相等?你能利用轴对称的有关知识,找到上问中符合条件的点B′吗?你能用所学的知识证明你的作法正确吗?
    eq \a\vs4\al(探究点二) 选址造桥问题
    如图,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN,桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直.)
    尝试应用
    如图,直线l是一条河,P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站,向P、Q两地供水,现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道,则所需要管道最短的是( )
    如图,牧童在A处放马,其家在B处,A、B到河岸的距离分别为AC和BD,且AC=BD,,若点A到河岸CD的中点的距离为500米,则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家,所走的最短距离是 米.
    4、如图所示,M、N是△ABC边AB与AC上两点,在BC边上求作一点P,使△PMN的周长最小。

    四、补偿提高
    如图,一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客,然后将游客送往河岸BC 上,再返回P 处,请画出旅游船的最短路径.

    【学后反思】


    参考答案:
    探究一、
    追问1、
    答:将A,B 两地抽象为两个点,将河l 抽象为一条直线.
    追问2
    答:(1)从A 地出发,到河边l 饮马,然后到B 地; (2)在河边饮马的地点有无穷多处,把这些地点与A,B 连接起来的两条线段的长度之和,就是从A 地到饮马地,再回到B 地的路程之和;(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点.设C 为直线上的一个动点,上面的问题就转化为:当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小(如图).

    追问3
    作法:
    (1)作点B 关于直线l 的对称点B′;
    (2)连接AB′,与直线l 交于点C.
    则点C 即为所求.
    证明:如图,在直线l上任取一点C′(与点C 不重合),连接AC′,BC′,B′C′.由轴对称的性质知, BC =B′C,BC′=B′C′.
    ∴ AC +BC= AC +B′C = AB′,
    AC′+BC′= AC′+B′C′.
    在△AB′C′中, AB′<AC′+B′C′,
    ∴ AC +BC<AC′+BC′.
    即 AC +BC 最短.
    探究二、
    分析:从A到B要走的路线是A→M→N→B,如图所示,而MN是定值,于是要使路程最短,只要AM+BN最短即可.
    解:在直线a上取任意一点M′,作M′N′⊥b于点N′,平移AM,使点M′移动到点N′的位置,点A移动到点A′的位置,连接A′B交直线b于点N,过点N作MN⊥a于点M,则路径AMNB最短.
    理由如下:如图,点M′为直线a上任意一点(不与点M重合),
    ∵线段A′N′是线段AM平移得到的
    ∴AA′=MN′,A′N′=AM
    ∴AM′+MN′+BN′=A′N′+AA′+BN′
    ∵MN平行AA′且MN=AA′
    ∴MN可以看作是AA′经过平移得到的
    ∴A′N=AM
    ∴AM+NB=A′N+NB
    ∵根据两点之间线段最短,得A′N+NB=A′B∴AM+NB=A′N+NB
    ∵根据两点之间线段最短,得A′N+NB=A′B∴AM+NB∵MN=MN′
    ∴AM+MN+NB尝试应用:
    1、D;
    2、1000;
    A
    答案如图所示:
    P点就是所求做的点
    补偿提高
    5、思路分析:
    由于两点之间线段最短,所以首先可连接PQ,线
    段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路.将河岸抽象为
    一条直线BC,这样问题就转化为“点P,Q 在直线BC
    的同侧,如何在BC上找到
    一点R,使PR与QR 的和最
    小”.
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