初中数学苏科版七年级上册3.6 整式的加减课时练习
展开TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc22974" 【题型1 去括号与添括号】 PAGEREF _Tc22974 \h 1
\l "_Tc12656" 【题型2 利用去括号法则化简】 PAGEREF _Tc12656 \h 3
\l "_Tc14249" 【题型3 利用添括号与去括号求值】 PAGEREF _Tc14249 \h 5
\l "_Tc897" 【题型4 利用整式的加减比较大小】 PAGEREF _Tc897 \h 7
\l "_Tc12574" 【题型5 整式的加减中的错看问题】 PAGEREF _Tc12574 \h 8
\l "_Tc11974" 【题型6 整式的加减中的不含某项问题】 PAGEREF _Tc11974 \h 10
\l "_Tc13443" 【题型7 整式的加减中的遮挡问题】 PAGEREF _Tc13443 \h 11
\l "_Tc12449" 【题型8 整式的加减中的项与系数问题】 PAGEREF _Tc12449 \h 13
\l "_Tc14328" 【题型9 整式加减的运算或化简求值】 PAGEREF _Tc14328 \h 14
\l "_Tc977" 【题型10 整式加减的应用】 PAGEREF _Tc977 \h 17
【知识点1 去括号的法则】
去括号法则:如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同;如果括号
外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.
(2)去括号规律:①a+(b+c)=a+b+c,括号前是“+”号,去括号时连同它前面的“+”号一起去掉,括号内各项不变号;②a-(b-c)=a-b+c,括号前是“-”号,去括号时连同它前面的“-”号一起去掉,括号内各项都要变号.
说明:①去括号法则是根据乘法分配律推出的;②去括号时改变了式子的形式,但并没有改变式子的值.
【知识点2 添括号的法则】
添括号法则:添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变号,如果括号前面是负号,括号括号里的各项都改变符号.添括号与去括号可互相检验.
【题型1 去括号与添括号】
【例1】(2022秋•招远市期末)下列各式由等号左边变到右边变错的有( )
①a﹣(b﹣c)=a﹣b﹣c
②(x2+y)﹣2(x﹣y2)=x2+y﹣2x+y2
③﹣(a+b)﹣(﹣x+y)=﹣a+b+x﹣y
④﹣3(x﹣y)+(a﹣b)=﹣3x﹣3y+a﹣b.
A.1个B.2个C.3个D.4个
【分析】根据去括号的方法逐一化简即可.
【解答】解:根据去括号的法则:
①应为a﹣(b﹣c)=a﹣b+c,错误;
②应为(x2+y)﹣2(x﹣y2)=x2+y﹣2x+2y2,错误;
③应为﹣(a+b)﹣(﹣x+y)=﹣a﹣b+x﹣y,错误;
④﹣3(x﹣y)+(a﹣b)=﹣3x+3y+a﹣b,错误.
故选:D.
【变式1-1】(2022秋•江汉区期中)下列添括号正确的是( )
A.a+b﹣c=a﹣(b﹣c)B.a+b﹣c=a+(b﹣c)
C.a﹣b﹣c=a﹣(b﹣c)D.a﹣b+c=a+(b﹣c)
【分析】根据添括号法则即可判断.
【解答】解:A、a+b﹣c=a﹣(﹣b+c),原添括号错误,故此选项不符合题意;
B、a+b﹣c=a+(b﹣c),原添括号正确,故此选项符合题意;
C、a﹣b﹣c=a﹣(b+c),原添括号错误,故此选项不符合题意;
D、a﹣b+c=a+(﹣b+c),原添括号错误,故此选项不符合题意.
故选:B.
【变式1-2】(2022秋•乐清市校级月考)给下列多项式添括号.使它们的最高次项系数变为正数:
(1)﹣x2+x= ﹣(x2﹣x) ;
(2)3x2﹣2xy2+2y2= ﹣(2xy2﹣3x2﹣2y2) ;
(3)﹣a3+2a2﹣a+1= ﹣(a3﹣2a2+a﹣1) ;
(4)﹣3x2y2﹣2x3+y3= ﹣(3x2y2+2x3﹣y3) .
【分析】最高系数项的系数是负数,则多项式放在带负号的括号内,依据添括号法则即可求解.
【解答】解:(1)﹣x2+x=﹣(x2﹣x);
(2)3x2﹣2xy2+2y2=﹣(2xy2﹣3x2﹣2y2);
(3)﹣a3+2a2﹣a+1=﹣(a3﹣2a2+a﹣1);
(4)﹣3x2y2﹣2x3+y3=﹣(3x2y2+2x3﹣y3)
故答案是:(1)﹣(x2﹣x);(2)﹣(2xy2﹣3x2﹣2y2);(3)﹣(a3﹣2a2+a﹣1);(4)﹣(3x2y2+2x3﹣y3).
【变式1-3】(2022秋•滨湖区校级期末)去分别按下列要求把多项式5a﹣b﹣2a2+13b2添上括号:
(1)把前两项括到前面带有“+”号的括号里,后两项括到前面带有“﹣”号的括号里;
(2)把后三项括到前面带有“﹣”号的括号里;
(3)把含有字母a的项括到前面带有“+”号的括号里,把含有字母b的项括到前面带有“﹣”号的括号里.
【分析】(1)根据添括号法则解答即可;
(2)根据添括号法则解答即可;
(3)根据添括号法则解答即可.
【解答】解:(1)5a﹣b﹣2a2+13b2=+(5a﹣b)﹣(2a2-13b2);
(2)5a﹣b﹣2a2+13b2=5a﹣(b+2a2-13b2);
(3)5a﹣b﹣2a2+13b2=5a﹣2a2﹣b+13b2=+(5a﹣2a2)﹣(b-13b2).
【题型2 利用去括号法则化简】
【例2】(2022秋•滨湖区校级期末)去括号,合并同类项
(1)﹣3(2s﹣5)+6s;
(2)3x﹣[5x﹣(12x﹣4)];
(3)6a2﹣4ab﹣4(2a2+12ab);
(4)﹣3(2x2﹣xy)+4(x2+xy﹣6)
【分析】(1)先去括号,再合并同类项即可;
(2)先去小括号,再去中括号,再合并同类项即可;
(3)先去括号,再合并同类项即可;
(4)先去括号,再合并同类项即可.
【解答】解:(1)﹣3(2s﹣5)+6s
=﹣6s+15+6s
=15;
(2)3x﹣[5x﹣(12x﹣4)]
=3x﹣[5x-12x+4]
=3x﹣5x+12x﹣4
=-32x﹣4;
(3)6a2﹣4ab﹣4(2a2+12ab)
=6a2﹣4ab﹣8a2﹣2ab
=﹣2a2﹣6ab;
(4)﹣3(2x2﹣xy)+4(x2+xy﹣6)
=﹣6x2+3xy+4x2+4xy﹣24
=﹣2x2+7xy﹣24.
【变式2-1】(2022秋•大理市校级期中)去括号,合并同类项得:3b﹣2c﹣[﹣4a+(c+3b)]+c= 4a﹣2c .
【分析】直接利用去括号法则进而化简,再合并同类项求出答案.
【解答】解:3b﹣2c﹣[﹣4a+(c+3b)]+c
=3b﹣2c+4a﹣(c+3b)+c
=3b﹣2c+4a﹣c﹣3b+c
=4a﹣2c.
故答案为:4a﹣2c.
【变式2-2】(2022秋•铜官区期末)将下列各式去括号,并合并同类项.
(1)(7y﹣2x)﹣(7x﹣4y)
(2)(﹣b+3a)﹣(a﹣b)
(3)(2x﹣5y)﹣(3x﹣5y+1)
(4)2(2﹣7x)﹣3(6x+5)
(5)(﹣8x2+6x)﹣5(x2-45x+15)
(6)(3a2+2a﹣1)﹣2(a2﹣3a﹣5)
【分析】原式各项去括号合并即可得到结果.
【解答】解:(1)原式=7y﹣2x﹣7x+4y=11y﹣9x;
(2)原式=﹣b+3a﹣a+b=2a;
(3)原式=2x﹣5y﹣3x+5y﹣1=﹣x﹣1;
(4)原式=4﹣14x﹣18x﹣15=﹣32x﹣11;
(5)原式=﹣8x2+6x﹣5x2+4x﹣1=﹣13x2+10x﹣1;
(6)原式=3a2+2a﹣1﹣2a2+6a+10=a2+8a+9.
【变式2-3】(2022秋•广信区期中)将4a2﹣2(a2﹣b2)﹣3(a2+b2)先去括号,再合并同类项得( )
A.﹣a2﹣b2B.﹣a2+b2C.a2﹣b2D.﹣2a2﹣b2
【分析】首先把括号外的数利用分配律乘到括号内,然后利用去括号法则去掉括号,最后合并同类项即可.
【解答】解:4a2﹣2(a2﹣b2)﹣3(a2+b2)
=4a2﹣2a2+2b2﹣3a2﹣3b2
=﹣a2﹣b2.
故选:A.
【题型3 利用添括号与去括号求值】
【例3】(2022秋•北碚区校级期中)若代数式2mx2+4x﹣2(y2﹣3x2﹣2nx﹣3y+1)的值与x的取值无关,则m2019n2020的值为( )
A.﹣32019B.32019C.32020D.﹣32020
【分析】根据关于字母x的代数式2mx2+4x﹣2(y2﹣3x2﹣2nx﹣3y+1)的值与x的取值无关,可得x2、x的系数都为零,可得答案.
【解答】解:2mx2+4x﹣2(y2﹣3x2﹣2nx﹣3y+1)=(2m+6)x2+(4+4n)x﹣2y2+6y﹣2.
由代数式的值与x值无关,得
x2及x的系数均为0,
2m+6=0,4+4n=0,
解得m=﹣3,n=﹣1.
所以m2019n2020=(﹣3)2019(﹣1)2020=﹣32019.
故选:A.
【变式3-1】(2022秋•开封期末)已知a﹣b=5,c+d=﹣3,则(b+c)﹣(a﹣d)的值为( )
A.2B.﹣2C.8D.﹣8
【分析】先把所求代数式去括号,再添括号化成已知的形式,再把已知整体代入即可求解.
【解答】解:根据题意可得:(b+c)﹣(a﹣d)=(c+d)﹣(a﹣b)=﹣3﹣5=﹣8,故选D.
【变式3-2】(2022秋•乐亭县期末)观察下列各式:(1)﹣a+b=﹣(a﹣b);(2)2﹣3x=﹣(3x﹣2);(3)5x+30=5(x+6);(4)﹣x﹣6=﹣(x+6).探索以上四个式子中括号的变化情况,思考它和去括号法则有什么不同?利用你的探索出来的规律,解答下面的题目:
已知a2+b2=5,1﹣b=﹣2,求1+a2+b+b2的值.
【分析】注意观察等号两边的变化,等号右边添加了括号,然后观察符号的变化即可;根据已知条件计算出b的值,然后再代入求值即可.
【解答】解:添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变号,如果括号前面是负号,括号括号里的各项都改变符号.
∵1﹣b=﹣2,
∴b=3,
∴1+a2+b+b2=(a2+b2)+b+1=5+3+1=9.
【变式3-3】(2022秋•乐亭县期末)阅读下列材料:
为了简化计算,提高计算速度,我们在日常的加减运算中,通常会利用运算律来计算较长且繁杂的代数式.例如计算1+2+3+4+5+⋯+99+100时我们可以运用加法的运算律来简化计算,即1+2+3+4+5+⋯+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+⋯+(50+51)=101×50=5050.
请你根据阅读材料给出的方法计算:
(1)a+(a+m)+(a+2m)+(a+3m)+⋯+(a+100m);
(2)(m+3m+5m+⋯+2021m)﹣(2m+4m+6m+⋯+2022m).
【分析】(1)仿照规律,由此即可求出结论.
(2)利用加法结合律,再乘以数字的个数即可得.
【解答】解:(1)a+(a+b)+(a+2b)+(a+3b)+…+(a+99b),
=(a+a+99b)+(a+b+a+98b)+…+(a+49b+a+50b),
=(2a+99b)×50,
=101a+5050b.
(2)(m+3m+5m+⋯+2021m)﹣(2m+4m+6m+⋯+2022m).
=(m﹣2m)+(3m﹣4m)+(5m﹣6m)+…+(2021m﹣2022m)
=﹣m×1011
=﹣1011m.
【知识点3 整式的加减】
几个整式相加减,通常用括号把每一个整式括起来,再用加减号连接;然后去括号、合并同类项.
整式的加减步骤及注意问题:
(1)整式的加减的实质就是去括号、合并同类项.一般步骤是:先去括号,然后合并同类项.
(2)去括号时,要注意两个方面:一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项;二是当括号外是“-”时,去括号后括号内的各项都要改变符号.
【题型4 利用整式的加减比较大小】
【例4】(2022秋•内乡县期末)如果M=x2+3x+12,N=﹣x2+3x﹣5,那么M与N的大小关系是( )
A.M>NB.M<NC.M=ND.无法确定
【分析】先求出M﹣N的值,再根据求出的结果比较即可.
【解答】解:∵M=x2+3x+12,N=﹣x2+3x﹣5,
∴M﹣N
=(x2+3x+12)﹣(﹣x2+3x﹣5)
=x2+3x+12+x2﹣3x+5
=2x2+17,
∵不论x为何值,2x2≥0,
∴M﹣N>0,
∴M>N,
故选:A.
【变式4-1】(2022秋•澄海区期末)已知A=a3+3a2b2+2b2+3b,B=a3﹣a2b2+b2+3b.A与B的关系是( )
A.A<BB.A>BC.A≤BD.A≥B
【分析】首先作差,根据整式的加减运算法则,即可求得A﹣B=4a2b2+b2≥0,继而可求得答案.
【解答】解:A﹣B=(a3+3a2b2+2b2+3b)﹣(a3﹣a2b2+b2+3b)=a3+3a2b2+2b2+3b﹣a3+a2b2﹣b2﹣3b=4a2b2+b2≥0,
∴A≥B.
故选:D.
【变式4-2】(2022秋•确山县期中)整式5m2﹣6m+3和整式5m2﹣7m+5的值分别为M、N,则M、N之间的大小关系是( )
A.M>NB.M<NC.M=ND.无法确定
【分析】利用作差法判断大小即可.
【解答】解:M﹣N=(5m2﹣6m+3)﹣(5m2﹣7m+5)
=5m2﹣6m+3﹣5m2+7m﹣5
=m﹣2,
所以则M、N之间的大小关系无法确定.
故选:D.
【变式4-3】(2022秋•澄海区期末)若P=4a2+2a+2,Q=a+2a2﹣5,则P与2Q之间的大小关系是( )
A.P>2QB.P=2QC.P<2QD.无法确定
【分析】求出P与2Q的差即可比较P与2Q的大小.
【解答】解:∵P=4a2+2a+2,Q=a+2a2﹣5,
∴P﹣2Q
=4a2+2a+2﹣2(a+2a2﹣5)
=4a2+2a+2﹣2a﹣4a2+10
=12>0,
∴P>2Q.
故选:A.
【题型5 整式的加减中的错看问题】
【例5】(2022秋•滦州市期末)小文在做多项式减法运算时,将减去2a2+3a﹣5误认为是加上2a2+3a﹣5,求得的答案是a2+a﹣4(其他运算无误),那么正确的结果是( )
A.﹣a2﹣2a+1B.﹣3a2+a﹣4C.a2+a﹣4D.﹣3a2﹣5a+6
【分析】直接利用整式的加减运算法则计算得出答案.
【解答】解:设原多项式为A,则A+2a2+3a﹣5=a2+a﹣4,
故A=a2+a﹣4﹣(2a2+3a﹣5)
=a2+a﹣4﹣2a2﹣3a+5
=﹣a2﹣2a+1,
则﹣a2﹣2a+1﹣(2a2+3a﹣5)
=﹣a2﹣2a+1﹣2a2﹣3a+5
=﹣3a2﹣5a+6.
故选:D.
【变式5-1】(2022秋•鹿邑县月考)小宇在计算A﹣B时,误将A﹣B看错成A+B,得到的结果为4x2﹣2x+1,已知B=2x2+1,则A﹣B的正确结果为 ﹣2x﹣1 .
【分析】先根据题意求出多项式A,然后根据整式的加减运算法则即可求出A﹣B的正确结果.
【解答】解:由题意可知:A+B=4x2﹣2x+1,
∴A=(4x2﹣2x+1)﹣(2x2+1)
=4x2﹣2x+1﹣2x2﹣1
=2x2﹣2x,
∴A﹣B
=(2x2﹣2x)﹣(2x2+1)
=2x2﹣2x﹣2x2﹣1
=﹣2x﹣1,
故答案为:﹣2x﹣1.
【变式5-2】(2022秋•阳东区期中)由于看错了运算符号,“小马虎”把一个整式减去一个多项式2a﹣3b误认为加上这个多项式,结果得出的答案是a+2b,则原题的正确答案是 8b﹣3a .
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案.
【解答】解:设该整式为A,
∴A+(2a﹣3b)=a+2b,
∴A=a+2b﹣(2a﹣3b)
=a+2b﹣2a+3b
=﹣a+5b,
∴正确答案为:﹣a+5b﹣(2a﹣3b)=﹣a+5b﹣2a+3b=8b﹣3a,
故答案为:8b﹣3a.
【变式5-3】(2022秋•潍坊期末)小明做一道代数题:“求代数式10x9+9x8+8x7+7x6+6x5+5x4+4x3+3x2+2x+1,当x=1时的值”,由于粗心误将某一项前的“+”号看为“﹣”号,从而求得代数式的值为39,小明看错了 7 次项前的符号.
【分析】首先把x=1代入10x9+9x8+8x7+7x6+6x5+5x4+4x3+3x2+2x+1,求出算式的值是多少;然后根据它和求得的代数式的错误的值的差的大小,判断出小明看错了几次项前的符号即可.
【解答】解:当x=1时,
10x9+9x8+8x7+7x6+6x5+5x4+4x3+3x2+2x+1
=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1
=55
∵(55﹣39)÷2
=16÷2
=8
∴小明看错了7次项前的符号.
故答案为:7.
【题型6 整式的加减中的不含某项问题】
【例6】(2022秋•宜城市期末)若多项式8a2﹣3a+5和多项式3a3+(n+4)a2+5a+7相加后结果不含a2项,则n的值为( )
A.﹣4B.﹣6C.﹣8D.﹣12
【分析】先把两个多项式相加,根据结果不合a2项得关于n的方程,求解即可.
【解答】解:8a2﹣3a+5+3a3+(n+4)a2+5a+7
=3a3+(n+4+8)a2+2a+12
=3a3+(n+12)a2+2a+12.
∵8a2﹣3a+5和多项式3a3+(n+4)a2+5a+7相加后结果不含a2项,
∴n+12=0.
∴n=﹣12.
故选:D.
【变式6-1】(2022秋•营口期末)若(2x2+mx﹣y+3)﹣(3x﹣2y+1﹣nx2)的值与字母x的取值无关,则代数式(m+2n)﹣(2m﹣n)的值是 ﹣9 .
【解答】解:(m+2n)﹣(2m﹣n)=m+2n﹣2m+n=﹣m+3n,
(2x2+mx﹣y+3)﹣(3x﹣2y+1﹣nx2)
=2x2+mx﹣y+3﹣3x+2y﹣1+nx2
=(2+n)x2+(m﹣3)x+y+2,
∵(2x2+mx﹣y+3)﹣(3x﹣2y+1﹣nx2)的值与字母x的取值无关,∴2+n=0,m﹣3=0,
解得:n=﹣2,m=3,∴﹣m+3n=﹣3+3×(﹣2)=﹣3﹣6=﹣9,
故答案为:﹣9.
【变式6-2】(2022秋•忠县期末)若关于a,b的代数式ma2b2﹣3ma2b2﹣(3a3﹣6a2b2)+34a3-12ab﹣5中不含四次项,则有理数m= 3 .
【分析】原式去括号,合并同类项进行化简,然后令四次项系数为零,列方程求解.
【解答】解:原式=ma2b2﹣3ma2b2﹣3a3+6a2b2+34a3-12ab﹣5
=(﹣2m+6)a2b2-94a3-12ab﹣5,
∵原式的结果中不含四次项,
∴﹣2m+6=0,
解得:m=3,
故答案为:3.
【变式6-3】(2022秋•梅里斯区期末)已知关于x的多项式(a+b)x5+(a﹣3)x3﹣2(b+2)x2+2ax+1不含x3和x2项,则当x=﹣1时,这个多项式的值为 ﹣6 .
【分析】根据多项式不含x3和x2项,令这两项的系数等于0,求出a,b的值,当x=﹣1时,代入多项式求值即可.
【解答】解:∵多项式不含x3和x2项,
∴a﹣3=0,b+2=0,
∴a=3,b=﹣2,
当x=﹣1时,
原式=﹣(a+b)﹣2a+1
=﹣a﹣b﹣2a+1
=﹣3a﹣b+1
=﹣9+2+1
=﹣6,
故答案为:﹣6.
【题型7 整式的加减中的遮挡问题】
【例7】(2022秋•滦州市一模)小明准备完成题目:化简:(□x2+6x+8)﹣(6x+5x2+2)发现系数“□”印刷不清楚.
(1)她把“□”猜成4,请你化简(4x2+6x+8)﹣(6x+5x2+2);
(2)他妈妈说:“你猜错了,我看到该题标准答案的结果是常数.”请通过计算说明原题中“□”是几?
【分析】(1)根据整式的运算法则即可求出答案.
(2)设“□”为a,根据整式的运算法则进行化简后,由答案为常数即可求出“□”的答案.
【解答】解:(1)原式=4x2+6x+8﹣6x﹣5x2﹣2
=﹣x2+6;
(2)设“□”为a,
∴原式=ax2+6x+8﹣6x﹣5x2﹣2
=(a﹣5)x2+6,
∴a=5,
∴原题中“□”是5
【变式7-1】(2022秋•常宁市期末)老师在黑板上书写了一个正确的演算过程,随后用一张纸挡住了一个二次三项式,形式如下:+3(x﹣1)=x2﹣5x+1
(1)求所挡的二次三项式;
(2)若x=﹣1,求所挡的二次三项式的值.
【分析】(1)根据题意确定出所挡的二次三项式即可;
(2)把x的值代入计算即可求出值.
【解答】解:(1)所挡的二次三项式为x2﹣5x+1﹣3(x﹣1)=x2﹣5x+1﹣3x+3=x2﹣8x+4;
(2)当x=﹣1时,原式=1+8+4=13.
【变式7-2】(2022秋•常宁市期末)李老师在黑板上写了一个含m,n的整式:2[3mn+m﹣(﹣2m﹣n)]﹣(4mn+5m+5)﹣m﹣3n.
(1)化简上式;
(2)老师将m,n的取值挡住了,并告诉同学们当m,n互为倒数时,式子的值为0,请你计算此时m,n的值;
(3)李老师又将这个题进行了改编,当m取一个特殊的值时,式子的结果与n无关,那么此时m的值为多少.
【分析】(1)先去括号,再合并同类项即可;
(2)根据m,n互为倒数时,式子的值为0,即可求出m,n的值;
(3)根据式子的结果与n无关,所以2m﹣1=0,即可求出m的值.
【解答】解:(1)原式=6mn+2m﹣2(﹣2m﹣n)﹣4mn﹣5m﹣5﹣m﹣3n
=6mn+2m+4m+2n﹣4mn﹣5m﹣5﹣m﹣3n
=2mn﹣n﹣5.
(2)∵m,n互为倒数,
∴mn=1,
∴2﹣n﹣5=0,
∴n=﹣3,
∴m=-13,
∴m,n的值分别为-13和﹣3.
(3)∵2mn﹣n﹣5=(2m﹣1)n﹣5,
∴当2m﹣1=0即m=12时,式子的结果与n无关,
∴此时m的值为12.
【变式7-3】(2022秋•张家口一模)已知:A、B都是关于x的多项式,A=3x2﹣5x+6,B=□﹣6,其中多项式B有一项被“□”遮挡住了
(1)当x=1时,A=B,请求出多项式B被“□”遮挡的这一项的系数;
(2)若A+B是单项式,请直接写出多项式B.
【分析】(1)可设多项式B被“□”遮挡的这一项的系数为k,当x=1时,A=4,B=k﹣6,根据A=B,列出方程得到关于k的方程即可求解;
(2)根据整式加减运算法则,结合单项式的定义即可求解.
【解答】解:(1)设多项式B被“□”遮挡的这一项的系数为k,
当x=1时,A=3×12﹣5×1+6=3﹣5+6=4,B=k﹣6,
∵A=B,
∴k﹣6=4,
解得k=10,
即多项式B被“□”遮挡的这一项的系数为10;
(2)A+B=3x2﹣5x+6+□﹣6
=3x2﹣5x+□,
∵A+B的结果为单项式,且□表示一项,
∴□=﹣3x2或□=5x,
∴多项式B为﹣3x2﹣6或5x﹣6.
【题型8 整式的加减中的项与系数问题】
【例8】(2022秋•高州市期末)若M、N都是三次四项式,那么它们的和的次数一定是( )
A.六次B.三次C.不超过三次D.以上都不对
【分析】根据合并同类项的法则,两个多项式相加后,多项式的次数一定不会升高,但当最高次数项的系数互为相反数,相加后最高次数项就会消失,次数就低于3.
【解答】解:若两个三次四项式中,三次项的系数不互为相反数,它们的和就会是三次多项式或单项式,
若两个三次四项式中,三次项的系数互为相反数,它们的和就会变为低于三次的整式,
故选:C.
【变式8-1】(2022秋•禹州市期末)A、B都是五次多项式,则A﹣B的次数一定是( )
A.四次B.五次C.十次D.不高于五次
【分析】整式的加减,有同类项才能合并,否则不能化简.再根据合并同类项法则和多项式的次数的定义解答.
【解答】解:若五次项是同类项,且系数互为相反数,则A﹣B的次数低于五次;否则A﹣B的次数一定是五次.
故选:D.
【变式8-2】(2022秋•如皋市校级期中)两个三次多项式的和的次数一定是( )
A.3B.6C.大于3D.不大于3
【分析】当两个三次多项式的三次项系数互为相反数时,其和的次数小于三次,否则,和的次数等于三次.
【解答】解:两个三次多项式的三次项系数可能互为相反数,也可能不互为相反数,
三次项系数互为相反数时,其和的次数小于三次,
三次项系数不互为相反数时,和的次数等于三次.
即和的次数不大于3.
故选:D.
【变式8-3】(2022秋•宜兴市校级期中)若A是三次多项式,B是二次多项式,则A+B一定是( )
A.五次多项式B.三次多项式C.三次单项式D.三次的整式
【分析】利用合并同类项法则判断即可得到结果.
【解答】解:∵A是三次多项式,B是二次多项式,
∴A+B一定是三次的多项式或单项式,即一定是三次的整式.
故选:D.
【题型9 整式加减的运算或化简求值】
【例9】(2022秋•费县期末)先化简,再求值:5ab2﹣[2a2b﹣(4ab2﹣2a2b)],其中a=2,b=﹣1.
【分析】首先去括号,进而合并同类项,再将已知代入求出答案.
【解答】解:5ab2﹣[2a2b﹣(4ab2﹣2a2b)]
=5ab2﹣(2a2b﹣4ab2+2a2b)
=5ab2﹣2a2b+4ab2﹣2a2b
=9ab2﹣4a2b,
当a=2,b=﹣1时,
原式=9×2×(﹣1)2﹣4×22×(﹣1)
=18+16
=34.
【变式9-1】(2022秋•乐平市期中)计算:
①n﹣(﹣n+3);
②4a3﹣3a2b+5ab2+a2b﹣5ab2﹣3a3;
③5(3x﹣2y)﹣7(3x﹣2y)﹣3(3x﹣2y)+(3x﹣2y);
④5x2﹣7x﹣[3x2﹣2(﹣x2+4x﹣1)].
【分析】①先去括号,再合并同类项;
②先找同类项,然后再进行合并;
③把(3x﹣2y)看作一个整体,先合并,再进行5x2计算;
④先去小括号,再去中括号,最后再进行加减计算.
【解答】解:①n﹣(﹣n+3)
=n+n﹣3
=2n﹣3,
②4a3﹣3a2b+5ab2+a2b﹣5ab2﹣3a3
=(4a3﹣3a3)+(﹣3a2b+a2b)+(5ab2﹣5ab2)
=a3+(﹣2a2b)
=a3﹣2a2b,
③5(3x﹣2y)﹣7(3x﹣2y)﹣3(3x﹣2y)+(3x﹣2y)
=(5﹣7﹣3+1)(3x﹣2y)
=﹣4(3x﹣2y)
=﹣12x+8y,
④5x2﹣7x﹣[3x2﹣2(﹣x2+4x﹣1)]
=5x2﹣7x﹣(3x2+2x2﹣8x+2)
=5x2﹣7x﹣(5x2﹣8x+2)
=5x2﹣7x﹣5x2+8x﹣2
=(5x2﹣5x2)+(﹣7x+8x)﹣2
=x﹣2.
【变式9-2】(2022秋•岳麓区校级月考)先化简,再求值:已知2(﹣3xy+y2)﹣[2x2﹣3(5xy﹣2x2)﹣xy],其中x,y满足|x+2|+(y﹣3)2=0.
【分析】原式去括号合并得到最简结果,利用非负数的性质求出x与y的值,代入计算即可求出值.
【解答】解:原式=﹣6xy+2y2﹣[2x2﹣15xy+6x2﹣xy]
=﹣6xy+2y2﹣2x2+15xy﹣6x2+xy
=﹣8x2+10xy+2y2;
∵|x+2|+(y﹣3)2=0,
∴x=﹣2,y=3,
∴原式=﹣8×(﹣2)2+10×(﹣2)×3+2×32
=﹣32﹣60+18
=﹣74.
【变式9-3】(2022秋•双流区期末)已知A=2x2﹣3xy+y2+2x+2y,B=4x2﹣6xy+2y2﹣3x﹣y
(1)当x=2,y=-15时,求B﹣2A的值.
(2)若|x﹣2a|+(y﹣3)2=0,且B﹣2A=a,求a的值.
【分析】(1)首先化简B﹣2A,然后把x=2,y=-15代入B﹣2A,求出算式的值是多少即可.
(2)首先根据|x﹣2a|+(y﹣3)2=0,可得x﹣2a=0,y﹣3=0;然后根据B﹣2A=a,求出a的值是多少即可.
【解答】解:(1)∵A=2x2﹣3xy+y2+2x+2y,B=4x2﹣6xy+2y2﹣3x﹣y,
∴B﹣2A
=4x2﹣6xy+2y2﹣3x﹣y﹣2(2x2﹣3xy+y2+2x+2y)
=4x2﹣6xy+2y2﹣3x﹣y﹣4x2+6xy﹣2y2﹣4x﹣4y
=﹣7x﹣5y
当x=2,y=-15时,
B﹣2A
=﹣7×2﹣5×(-15)
=﹣14+1
=﹣13
(2)∵|x﹣2a|+(y﹣3)2=0,
∴x﹣2a=0,y﹣3=0,
∴x=2a,y=3,
∵B﹣2A=a,
∴﹣7x﹣5y
=﹣7×2a﹣5×3
=﹣14a﹣15
=a
解得a=﹣1.
【题型10 整式加减的应用】
【例10】(2022•张店区二模)如图,在矩形ABCD中放入正方形AEFG,正方形MNRH,正方形CPQN,点E在AB上,点M、N在BC上,若AE=4,MN=3,CN=2,则图中右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为( )
A.5B.6C.7D.8
【分析】设AB=DC=a,AD=BC=b,用含a、b的代数式分别表示BE,BM,DG,PD.再表示出图中右上角阴影部分的周长及左下角阴影部分的周长,然后相减即可.
【解答】解:矩形ABCD中,AB=DC,AD=BC.
正方形AEFG中,AE=EF=FG=AG=4.
正方形MNRH中,MN=NR=RH=HM=3.
正方形CPQN中,CP=PQ=QN=CN=2.
设AB=DC=a,AD=BC=b,
则BE=AB﹣AE=a﹣4,BM=BC﹣MN﹣CN=b﹣3﹣2=b﹣5,DG=AD﹣AG=b﹣4,PD=CD﹣CP=a﹣2.
∴图中右上角阴影部分的周长为2(DG+DP)=2(b﹣4+a﹣2)=2a+2b﹣12.
左下角阴影部分的周长为2(BM+BE)=2(b﹣5+a﹣4)=2a+2b﹣18,
∴图中右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为(2a+2b﹣12)﹣(2a+2b﹣18)=6.
故选:B.
【变式10-1】(2022秋•滑县期末)下列式子表示十位上的数是a,个位上的数是b的两位数减去十位上的数是b,个位上的数是a的两位数的差的是( )
A.ab﹣baB.10a+b﹣10b+a
C.10b+a﹣(10a+b)D.(10a+b)﹣(10b+a)
【分析】根据题意列出算式,然后根据整式的加减运算法则进行化简即可求出答案.
【解答】解:由题意可知:(10a+b)﹣(10b+a)
故选:D.
【变式10-2】(2022秋•许昌期末)如图①所示,在一个边长为a的正方形纸片上剪去两个小长方形,得到一个如图②的图案,再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形,如图③所示,则新长方形的周长可表示为( )
A.2a﹣3bB.2a﹣4bC.4a﹣10bD.4a﹣8b
【分析】根据题图先确定新长方形的长和宽,再计算新长方形的周长.
【解答】解:由题图知:新长方形的宽为a﹣3b,长分别为a﹣b.
所以该新长方形的周长为:2(a﹣3b+a﹣b)
=2(2a﹣4b)
=4a﹣8b.
故选:D.
【变式10-3】(2022•河北二模)数学实践活动课上,陈老师准备了一张边长为a和两张边长为b(a>b)的正方形纸片如图1、图2所示,将它们无重叠的摆放在矩形ABCD内,矩形未被覆盖的部分用阴影表示,设左下阴影矩形的周长为l1,右上阴影矩形的周长为l2.陈老师说,如果l1﹣l2=6,求a或b的值.下面是四位同学得出的结果,其中正确的是( )
A.甲:a=6,b=4B.乙:a=6,b的值不确定
C.丙:a的值不确定,b=3D.丁:a,b的值都不确定
【分析】设左下阴影矩形的宽为x,则AB=CD=a+x,可得右上阴影矩形的宽为a+x﹣2b,左下阴影矩形的周长l1=2(a+x),右上阴影矩形的周长为l2=2(a+x﹣b),则l1﹣l2=2(a+x)﹣2(a+x﹣b)=2b=6,解得b=3,即可得出答案.
【解答】解:设左下阴影矩形的宽为x,
则AB=CD=a+x,
∴右上阴影矩形的宽为a+x﹣2b,
∴左下阴影矩形的周长l1=2(a+x),
右上阴影矩形的周长为l2=2(a+x﹣2b+b)=2(a+x﹣b),
∴l1﹣l2=2(a+x)﹣2(a+x﹣b)=2b=6,
解得b=3,
此时a的值不确定.
故选:C.
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