初中第6章 平面图形的认识（一）6.2 角达标测试

这是一份初中第6章 平面图形的认识（一）6.2 角达标测试，共51页。

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\l "_Tc14842" 【题型1 角的概念及角的度量】 PAGEREF _Tc14842 \h 2
\l "_Tc19273" 【题型2 角的单位及其换算】 PAGEREF _Tc19273 \h 3
\l "_Tc10537" 【题型3 角的计数问题】 PAGEREF _Tc10537 \h 6
\l "_Tc26061" 【题型4 钟面上角的特征】 PAGEREF _Tc26061 \h 8
\l "_Tc18952" 【题型5 方向角】 PAGEREF _Tc18952 \h 10
\l "_Tc14349" 【题型6 与角平分线相关的角的运算】 PAGEREF _Tc14349 \h 13
\l "_Tc8779" 【题型7 与角n等分线相关的角的运算】 PAGEREF _Tc8779 \h 21
\l "_Tc31067" 【题型8 在三角板中的角的运算】 PAGEREF _Tc31067 \h 29
\l "_Tc23233" 【题型9 余角和补角的计算】 PAGEREF _Tc23233 \h 37
\l "_Tc19200" 【题型10 同（等）角的余角和补角相等的运用】 PAGEREF _Tc19200 \h 41
\l "_Tc9307" 【题型11 对顶角的识别及其性质】 PAGEREF _Tc9307 \h 44
\l "_Tc9141" 【题型12 平行、垂直】 PAGEREF _Tc9141 \h 49
【知识点1 角的概念】
定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．
【知识点2 角的表示方法】
【题型1 角的概念及角的度量】
【例1】（2022·甘肃兰州·七年级期末）下列说法中正确的是（ ）
A．由两条射线组成的图形叫做角
B．角的大小与角的两边长度有关
C．角的两边是两条射线
D．用放大镜看一个角，角的度数变大了
【答案】C
【分析】根据角的定义和性质解答即可．
【详解】A.由公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故原说法不正确；
B.角的大小与角的两边长度无关，故原说法不正确；
C.角的两边是两条射线，正确；
D.用放大镜看一个角，角的度数不变，故原说法不正确；
故选C．
【点睛】本题考查角的概念，具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边．角的大小与边的长短没有关系．
【变式1-1】（2022·山东淄博·期中）∠ACB的两边分别是（ ）
A．射线AC、BCB．射线CA，CBC．线段AC，BCD．直线CA，CB
【答案】B
【分析】根据角的定义可进行求解．
【详解】解：∠ACB的两边分别是射线CA，CB，
故选B．
【点睛】本题主要考查角的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
【变式1-2】（2022·全国·七年级专题练习）如图，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为______°．
【答案】120
【分析】根据角的定义即可得到结论．
【详解】解：看内圈的数字可得：∠AOB=120°，
故答案为：120．
【点睛】本题主要考查了角的度量，量角器的使用方法，正确使用量角器是解题的关键．
【变式1-3】（2022·全国·七年级专题练习）如图，下列说法错误的是（ ）
A．∠AOB也可用∠O来表示
B．∠β与∠BOC是同一个角
C．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC
D．∠1与∠AOB是同一个角
【答案】A
【分析】根据角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示进行分析即可．
【详解】解：A、∠1与∠AOB是同一个角，不可用∠O来表示，说法错误；
B、∠β与∠BOC是同一个角，说法正确；
C、图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC，说法正确；
D、∠1与∠AOB是同一个角，说法正确；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了角的概念，关键是掌握角的表示方法．
【题型2 角的单位及其换算】
【例2】（2022·山东烟台·期中）若∠1=25°15'，∠2=25°13'30″，∠3=25.35°，则（ ）
A．∠3>∠1>∠2B．∠2>∠1>∠3C．∠1>∠3>∠2D．∠1>∠2>∠3
【答案】A
【分析】首先∠1、∠2已经是度、分、秒的形式，故将∠3化为度、分、秒的形式；再根据三个角的度数进行大小比较，即可得到结论．
【详解】∵∠1=25°15'，∠2=25°13'30″，∠3=25.35°=25°21'，
∴∠3>∠1>∠2．
故选A．
【点睛】本题主要考查了角的大小比较，熟练掌握同一角的单位比较角的大小并灵活运用是解决本题的关键．
【变式2-1】（2022·全国·七年级单元测试）下面等式成立的是（ ）
A．83.5°=83°50'B．90°-57°23＇ 27＂=32°37＇ 33＂
C．15°48'36''+37°27＇ 59＂=52°16＇ 35＂D．41.25°=41°15＇
【答案】D
【分析】根据角度的运算法则，以及角的换算，即可得到答案.
【详解】解：A、83.5°=83°30'，故A错误；
B、90°-57°23'27''=32°36' 33''，故B错误；
C、15°48'36''+37°27＇ 59＂=53°16＇ 35＂，故C错误；
D、41.25°=41°15＇ 故D正确；
故选：D.
【点睛】本题考查了角度的加减运算，以及角的单位换算，解题的关键是掌握角度的运算法则和角度的60进位制.
【变式2-2】（2022·江苏·江阴市敔山湾实验学校七年级阶段练习）计算：
(1)45°10′﹣21°35′20′′；
(2)48°39′+67°31′﹣21°17′；
(3)42°16′+18°23′×2．
【答案】(1)23°34′40′′
(2)94°53′
(3)79°2′
【分析】（1）根据度分秒之间的进率即可解答；
（2）根据度分秒之间的进率即可解答；
（3）先计算乘法，再计算加法即可．
（1）
解：45°10′﹣21°35′20′′=23°34′40′′．
（2）
解：48°39′+67°31′﹣21°17′
=116°10′-21°17′
=94°53′．
（3）
解：42°16′+18°23′×2
=42°16′+36°46′
=79°2′．
【点睛】本题考查度分秒的计算，1°=60'，1'=60″，掌握度分秒之间的进率是解答本题的关键．
【变式2-3】（2022·天津南开·七年级期末）如图1是一个14的圆（∠AOB=90°），芳芳第一次在图1中画了一条线，将图1等分成2份，第二次又加了两条线，将图1等分成4份，第三次由加了四条线，将图1等分成8份，第四次又加了八条线，将图1等分成16份，如图2所示，则第n（n＞1）次可将图1等分成_____份，当n=5时，图1中的每份的角度是_____（用度，分，秒表示）
【答案】 2n， 2°48′45″
【分析】从特殊到一般，探究规律后即可解决问题．
【详解】第一次在图1中画了一条线，将图1等分成2份，第二次又加了两条线，将图1等分4=22份，第三次由加了四条线，将图1等分成8=23份，第四次又加了八条线，将图1等分成16=24份，第n（n＞1）次可将图1等分成2n份．
当n=5时，图1中的每份的角度是90°×125=2°48′45″．
故答案为2n，2°48′45″．
【点睛】本题考查了度分秒的换算、规律型：图形变化类等知识，解题的关键是掌握从特殊到一般的探究方法，属于中考常考题型．
【题型3 角的计数问题】
【例3】（2022·福建龙岩·七年级期末）在锐角∠AOB内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角．照此规律，画19条不同的射线，可以画出锐角的个数为（ ）
A．165B．186C．199D．210
【答案】D
【分析】根据已知条件得出规律为从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是12(n+1)(n+2) ，代入即可得到答案．
【详解】在锐角∠AOB内部，
画出1条射线，可以画出3个锐角；
画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；
画出3条不同的射线，可以画出10个锐角；
……
∴ 从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是
1+2+3+⋯+(n+1)=12(n+1)(n+2)
∴ 画19条不同的射线，可以画出锐角的个数为12×(19+1)×(19+2)=210
故选：D．
【点睛】本题考查了角的概念，解题的关键是找到规律．
【变式3-1】（2022·山东·泰安市泰山区树人外国语学校期中）如图所示，∠AOB=90°，则图中锐角有（ ）
A．12个B．14个C．15个D．16个
【答案】B
【分析】根据角的分类求解即可，顺时针方向数，以OB为边可得4个锐角，以OC为边可得4个锐角，以OD为边可得3个锐角，以OE为边可得2个锐角，以OF为边可得1个锐角，即可求得答案
【详解】解：顺时针方向数，以OB为边可得4个锐角，
以OC为边可得4个锐角，
以OD为边可得3个锐角，
以OE为边可得2个锐角，
以OF为边可得1个锐角，共有锐角4+4+3+2+1=14个
故选B
【点睛】本题考查了交点分类，角的个数，分类讨论是解题的关键，注意数角的个数时，不要将直角算进去．
【变式3-2】（2022·黑龙江牡丹江·七年级期末）如图，线段条数为m，小于平角的角的个数为n，则n-m的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【分析】根据线段的定义和小于平角的角的性质得出m，n的值，再代入求解即可．
【详解】由题意得m=7，n=8
故n-m=8-7=1
故答案为：D．
【点睛】本题考查了线段和平角的问题，掌握线段的定义和平角的定义是解题的关键．
【变式3-3】（2022·湖南娄底·七年级期末）在一幅七巧板中，有我们学过的（ ）
A．8个锐角，6个直角，2个钝角B．12个锐角，9个直角，2个钝角
C．8个锐角，10个直角，2个钝角D．6个锐角，8个直角，2个钝角
【答案】B
【分析】根据一副七巧板图形，查出锐角，直角和钝角的个数即可．
【详解】5个等腰直角三角形，5个直角，10个锐角，1个正方形，4个直角，1个平行四边形，2个钝角，2个锐角，
在一幅七巧板中根据12个锐角，9个直角，2个钝角．
故选择B．
【点睛】本题考查角的分类，平面图形，掌握角的分类，平面图形是解题关键．
【知识点3 钟表上有关夹角问题】
钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．
【题型4 钟面上角的特征】
【例4】（2022·贵州·仁怀市周林学校七年级阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．3时30分，时针与分针的夹角是90°B．6时30分，时针与分针重合
C．8时45分，时针与分针的夹角是30°D．9时整，时针与分针的夹角是90°
【答案】D
【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
【详解】解：A、3时30分时，时针在3与4中间位置，分针在6上，可以得出分针与时针的夹角是2.5大格，所以分针与时针的夹角是2.5×30=75°，故本选项错误；
B、6时30分，时针与分针的夹角等于15°，故本选项错误；
C、8时45分，时针与分针的夹角是30×14=7.5°，故本选项错误；
D、9时整，钟面上的时针与分针的夹角=3×30=90°，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了钟面角，确定时针与分针相距的份数是解题关键．
【变式4-1】（2022·河南洛阳·七年级期末）时钟的分针从8点整转到8点20分，分针旋转了（ ）度．
A．20B．120C．90D．150
【答案】B
【分析】根据时钟上一大格是30°，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
4×30°=120°，
∴时钟的分针从8点整转到8点20分，分针旋转了120度，
故选：B．
【点睛】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是30°是解题的关键．
【变式4-2】（2022·山东烟台·期中）当分针指向12，时针这时恰好与分针成120°的角，此时的时刻是 ______．
【答案】8点钟或4点钟
【分析】根据钟表上每一个大格之间的夹角是30°，当分针指向12，时针这时恰好与分针成120°的角，应该得出，时针距分针应该是4个格，应考虑两种情况．
【详解】解：∵钟表上每一个大格之间的夹角是30°，
∴当分针指向12，时针这时恰好与分针成120°的角时，距分针成120°的角时针应该有两种情况，即距时针4个格，
∴只有8点钟或4点钟是符合要求．
故答案为：8点钟或4点钟．
【点睛】本题主要考查了钟面角的有关知识．距分针成120°的角时针应该有两种情况，分类讨论的应用是解决问题的关键．
【变式4-3】（2022·全国·七年级单元测试）钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．一天24小时中，当钟面角为0°时，时针与分针重合_____次．
【答案】22
【分析】求出相邻两次钟面角为0之间间隔的时间，即可得出答案．
【详解】钟面上，分针转一圈即360°需要60分钟，即分针的速度是每分钟6°，时针转一圈需要12个小时，时针的速度是每分钟360∘60×12=0.5∘，
则相邻两次钟面角为0之间间隔的时间是：360∘6∘-0.5∘≈65.45（分钟），
一天有24×60=1440（分钟），
则钟面角为0的次数为：144065.45≈22.0015，
故答案为：22．
【点睛】本题考查了钟面角问题．求出相邻两次钟面角为0之间间隔的时间是解答本题的关键．
【知识点4 方向角】
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方向角．
【题型5 方向角】
【例5】（2022·山东烟台·期末）如图，某海域中有A，B两个小岛，其中B在A的北偏东40°方向，那么小岛A相对于小岛B的方向是（ ）
A．南偏东40°B．北偏东50°C．南偏西40°D．北偏西50°
【答案】C
【分析】根据B在A的北偏东40°方向，即可得出直线AB与B点正南方向的夹角为40°，再根据A的位置即可得到答案．
【详解】解：B在A的北偏东40°方向，
∴小岛A相对于小岛B的方向是南偏西40°，
故选：C．
【点睛】本题考查位置和方向，解题的关键是熟练掌握位置和方向的判断方法．
【变式5-1】（2022·全国·七年级课时练习）如图，甲从A点出发向北偏东70°方向走到点B，乙从点A出发向南偏西15°方向走到点C，则∠BAC的度数是（ ）
A．85°B．105°C．125°D．160°
【答案】C
【分析】首先求得AB与正东方向的夹角的度数，即可求解．
【详解】根据题意得：∠BAC＝（90°﹣70°）+15°+90°＝125°，
故选：C．
【点睛】本题考查了方向角，正确理解方向角的定义是关键．
【变式5-2】（2022·全国·八年级课时练习）如图，渔船A的方向可以由距小岛20 km和在小岛的西南方向这两个数据来确定．问：
(1)渔船B相对小岛的位置应怎样表述？
(2)小岛的北偏东30°方向，距离小岛30 km处是哪艘渔船？
【答案】(1)渔船B在小岛南偏东60°方向的25 km处(2)渔船D
【分析】（1）根据渔船B和小岛的位置，距离关系即可解答.
(2）根据图像查找即可解答.
【详解】(1)根据题中给的形式可得渔船B在小岛南偏东60°方向的25 km处.
(2）根据图像可得小岛的北偏东30°方向，距离小岛30 km处是渔船D.
【变式5-3】（2022·重庆綦江·七年级期中）某部队在大西北戈壁滩上进行军事演习，部队司令部把部队分为“蓝军”、“红军”两方．蓝军的指挥所在A地，红军的指挥所地B地，A地在B地的正西边（如图）．部队司令部在C地．C在A的北偏东60°方向上、在B的北偏东30°方向上．
(1)∠BAC=______°；
(2)演习前，司令部要蓝军、红军派人到C地汇报各自的准备情况．红军一辆吉普车从B地出发、蓝军一部越野车在吉普车出发3分钟后从A地出发，它们同时到达C地．已知吉普车行驶了18分钟．A到C的距离是B到C的距离的1.7倍．越野车速度比吉普车速度的2倍多4千米．求越野车、吉普车的速度及B地到C地的距离（速度单位用：千米/时）．
【答案】(1)30
(2)越野车为204千米/时、吉普车的速度为100千米/时，B地到C地的距离为30千米
【分析】（1）∠BAC=90°-60°；
（2）设吉普车的速度为x千米/时，越野车的速度为（2x+4）千米/时，B到C距离为1860x千米，A到C的距离为1.7×1860x千米，根据题意列出方程并计算即可．
（1）
解：∠BAC=90°-60°=30°，
故答案为：30
（2）
解：设吉普车的速度为x千米/时，则越野车的速度为（2x+4）千米/时，B到C距离为1860x千米，A到C的距离为1.7×1860x千米，
由题意，得1.7×1860x=(2x+4)×18-360，
解得x=100，
则2x+4=204， 1860x=30 ，
答：越野车为204千米/时、吉普车的速度为100千米/时，B地到C地的距离为30千米．
【点睛】本题考查了方位角和一次方程的实际应用，设出合适未知数，找到等量关系列出方程是解题关键．
【知识点5 角的比较与运算】
角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．
方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
【知识点6 角的和、差关系】
如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．
【知识点7 角平分线】
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，
∠AOC＝∠BOC =12∠AOB．
【题型6 与角平分线相关的角的运算】
【例6】（2022·江西省遂川县教育局教学研究室七年级期末）如图，∠AOB=90°，∠BOC=α(0°