2020-2021学年福建省三明市大田县八年级下学期期中数学试题及答案

这是一份2020-2021学年福建省三明市大田县八年级下学期期中数学试题及答案，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列图案是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）在平面直角坐标系中，与点（﹣1，2）关于原点中心对称的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣2）B．（2，﹣1）C．（﹣1，﹣2）D．（1，2）
3．（4分）如下图，要用“HL”判断Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是（ ）
A．AC＝DF，BC＝EFB．∠A＝∠D，AB＝DE
C．AC＝DF，AB＝DED．∠B＝∠E，BC＝EF
4．（4分）已知a＜b，则下列四个不等式中，不正确的是（ ）
A．2a＜2bB．1.2+a＜1.2+b
C．a﹣2＜b﹣2D．﹣5a＜﹣5b
5．（4分）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，将△AOB绕点O顺时针旋转角度得到△A′OB′，旋转角为α．若点A′落在AB上，则旋转角α的大小是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
6．（4分）等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是（ ）
A．50°B．80°C．50°或80°D．20°或80°
7．（4分）如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线交边AB于点D，连接CD．若∠A＝50°，则∠BDC的大小为（ ）
A．90°B．100°C．120°D．130°
8．（4分）如图，l1、l2、l3是三条两两相交的公路，现需建一个仓库，要求仓库到三条公路距离相等，则仓库的可能地址有（ ）处．
A．1B．2C．3D．4
9．（4分）如图1，在△ABC中，点P从顶点C出发，以1cm/s的速度沿C﹣A匀速运动到点A．图2是点P运动时线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，曲线两端点的高度相同，则△ABC的面积是（ ）
A．5B．6C．7D．8
10．（4分）关于x的不等式x﹣a＞0只有一个负整数解，则a的取值范围是（ ）
A．﹣2＜a＜﹣1B．﹣2＜a≤﹣1C．﹣2≤a＜﹣1D．﹣2≤a≤﹣1
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 ．
12．（4分）在平面直角坐标系中，将点（2，3）向上平移2个单位，再向左平移1个单位，所得到的点的坐标为 ．
13．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠CAB，且PC＝3，PB＝5，则点P到边AB的距离是 ．
14．（4分）不等式x+1＜5的正整数解是 ．
15．（4分）如图，已知函数y＝ax+b（a，b为常数且a≠0）和函数y＝kx（k为常数且k≠0）的图象交于点P，则根据图象可得，关于x的不等式ax+b＞kx的解集是 ．
16．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD⊥BC于点D，AD＝4，BC＝6，点E、F分别是AD、AB上的任意一点，连接BE、EF，则BE+EF的最小值为 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分86分．解答应写出说理过程或演算步骤）
17．（8分）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
18．（8分）解不等式组：
19．（8分）△ABC在平面直角坐标系xy中的位置如图所示．
（1）作△ABC向右平移2个单位后的△A1B1C1；
（2）作△ABC关于点O成中心对称的△A2B2C2．
20．（8分）如图，已知∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，AC与BD相交于E，F是BC的中点，求证：∠BEF＝∠CEF．
21．（8分）已知△ABC中，AB＝AC，AB边上的垂直平分线DE交AC于E，D为垂足．
（1）若AB＝7，BC＝5，求△BCE的周长；
（2）若BE平分∠ABC，求∠A的度数．
22．（10分）如图，已知长方形ABCD（AB＜BC）．
（1）请在长方形ABCD内部确定一点E，使得△EBC是等腰直角三角形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）根据作图过程，说明△EBC是等腰直角三角形的理由．
23．（10分）为执行中央“节能减排，美化环境，建设美丽新农村”的国策，我市某村计划建造A、B两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题．两种型号沼气池的占地面积、使用农户数及造价见下表：
已知可供建造沼气池的占地面积不超过365m2，该村农户共有492户．
（1）满足条件的方案共有几种？写出解答过程；
（2）通过计算判断，哪种建造方案最省钱？
24．（12分）对于一个数x，我们用（x]表示小于x的最大整数，例如：（2.6]＝2，（﹣3]＝﹣4．
（1）填空：（10]＝ ．（﹣2019]＝ ，（]＝ ；
（2）若a，b都是整数，且（a]和（b]互为相反数，求代数式a﹣（a+b）×3+b的值；
（3）若|（x]|+|（x﹣2]|＝6，求x的取值范围．
25．（14分）已知：如图1，B，C，E三点在一条直线上，△ABC和△ECD均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，连接BD，AE，BD与AE的延长线交于点M．
（1）AE与BD有怎样的位置关系？并说明理由；
（2）探究：将图1中的△ECD绕点C顺时针旋转一个角度（旋转角小于90°），如图2所示．
①问：（1）中的结论还成立？若成立，请说明理由；
②连接MC，如图3所示，求证：MC平分∠BME．

答案与详解
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分，每小题只有一个正确的选项）
1．（4分）下列图案是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使这些图形绕某一点旋转180°与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项C能找到这样的一个点，使这个图形绕某一点旋转180°与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：C．
2．（4分）在平面直角坐标系中，与点（﹣1，2）关于原点中心对称的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣2）B．（2，﹣1）C．（﹣1，﹣2）D．（1，2）
【分析】平面直角坐标系中任意一点（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）．据此作答．
【解答】解：根据中心对称的性质，得点（﹣1，2）关于原点中心对称的点的坐标为（1，﹣2）．
故选：A．
3．（4分）如下图，要用“HL”判断Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是（ ）
A．AC＝DF，BC＝EFB．∠A＝∠D，AB＝DE
C．AC＝DF，AB＝DED．∠B＝∠E，BC＝EF
【分析】注意“HL”指的是斜边、直角边对应相等，认真观察下列各选项，看哪个选项提供的是斜边与直角边，A是两条直角边，B、D都有角，于是可得答案C．
【解答】解：∵在两个三角形中AB、DE是斜边
∴只有C中，AC＝DF、AB＝DE符合．
故选：C．
4．（4分）已知a＜b，则下列四个不等式中，不正确的是（ ）
A．2a＜2bB．1.2+a＜1.2+b
C．a﹣2＜b﹣2D．﹣5a＜﹣5b
【分析】利用不等式的性质对各选项进行判断．
【解答】解：A、∵a＜b，
∴2a＜2b，故选项A不合题意；
B、∵a＜b，
∴1.2+a＜1.2+b，故选项B不合题意；
C、∵a＜b，
∴a﹣2＜b﹣2，故选项C不合题意；
D、∵a＜b，
∴﹣5a＜﹣5b，故选项D符合题意；
故选：D．
5．（4分）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，将△AOB绕点O顺时针旋转角度得到△A′OB′，旋转角为α．若点A′落在AB上，则旋转角α的大小是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【分析】由旋转的性质可得OA＝OA′，∠AOA'＝α，可证△OAA′是等边三角形，即可求解．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∵△AOB绕点O顺时针旋转角度得到△A′OB′，
∴OA＝OA′，∠AOA'＝α，
∴△OAA′是等边三角形，
∴∠AOA′＝60°，即旋转角α的大小可以是60°，
故选：C．
6．（4分）等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是（ ）
A．50°B．80°C．50°或80°D．20°或80°
【分析】因为题中没有指明该角是顶角还是底角，则应该分两种情况进行分析．
【解答】解：①当顶角是80°时，它的底角（180°﹣80°）＝50°；
②底角是80°．
所以底角是50°或80°．
故选：C．
7．（4分）如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线交边AB于点D，连接CD．若∠A＝50°，则∠BDC的大小为（ ）
A．90°B．100°C．120°D．130°
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AD＝DC，推出∠A＝∠ACD＝50°，根据三角形外角的性质得出即可．
【解答】解：∵△ABC的边AC的垂直平分线DE交边AB于点D，交边AC于点E，
∴AD＝DC，
∴∠A＝∠ACD，
∵∠A＝50°，
∴∠ACD＝50°，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝50°+50°＝100°，
故选：B．
8．（4分）如图，l1、l2、l3是三条两两相交的公路，现需建一个仓库，要求仓库到三条公路距离相等，则仓库的可能地址有（ ）处．
A．1B．2C．3D．4
【分析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．
【解答】解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．
故选：D．
9．（4分）如图1，在△ABC中，点P从顶点C出发，以1cm/s的速度沿C﹣A匀速运动到点A．图2是点P运动时线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，曲线两端点的高度相同，则△ABC的面积是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】根据图象可知M（3，2），且点M是曲线部分的最低点，可得此时BP最小值为2cm，根据由于图象的曲线部分是轴对称图形，可得AC＝6cm，再运用三角形面积公式即可求得答案．
【解答】解：根据图象可知M（3，2），且点M是曲线部分的最低点，
∵点P从顶点C出发，以1cm/s的速度沿C﹣A匀速运动到点A，
∴当BP⊥AC时BP的长度最小，
∴此时BP最小值为2cm，
如图，即BP′⊥AC，BP′＝2cm，
由于图象的曲线部分是轴对称图形，
∴P′A＝P′C＝3cm，
∴AC＝6cm，
∴△ABC的面积为：AC•BP′6×2＝6（cm2）．
故选：B．
10．（4分）关于x的不等式x﹣a＞0只有一个负整数解，则a的取值范围是（ ）
A．﹣2＜a＜﹣1B．﹣2＜a≤﹣1C．﹣2≤a＜﹣1D．﹣2≤a≤﹣1
【分析】正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件即可；
【解答】解：x﹣a＞0，
x＞a，
∵关于x的不等式x﹣a＞0只有一个负整数解，
∴﹣2≤a＜﹣1，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 同位角相等，两直线平行 ．
【分析】将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题．
【解答】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．
∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
12．（4分）在平面直角坐标系中，将点（2，3）向上平移2个单位，再向左平移1个单位，所得到的点的坐标为 （1，5） ．
【分析】根据向上平移纵坐标加，向左平移横坐标减求解即可．
【解答】解：∵点（2，3）向上平移2个单位，再向左平移1个单位，
∴所得到的点的横坐标是2﹣1＝1，
纵坐标是3+2＝5，
∴所得点的坐标是（1，5）．
故答案为（1，5）．
13．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠CAB，且PC＝3，PB＝5，则点P到边AB的距离是 3 ．
【分析】过P作PD⊥AB于D，根据角平分线的性质得到PD＝PC，即可求出点P到边AB的距离．
【解答】解：过P作PD⊥AB于D，
∵∠C＝90°，
∴PC⊥AC，
∴AP平分∠CAB，
∴PD＝PC，
∵PC＝3，
∴PD＝3
∴点P到边AB的距离是3，
故答案为：3．
14．（4分）不等式x+1＜5的正整数解是 1，2，3 ．
【分析】移项、合并同类项即可求解．
【解答】解：移项，得：x＜5﹣1，
合并同类项，得：x＜4．
则正整数解是：1，2，3．
故答案是：1，2，3．
15．（4分）如图，已知函数y＝ax+b（a，b为常数且a≠0）和函数y＝kx（k为常数且k≠0）的图象交于点P，则根据图象可得，关于x的不等式ax+b＞kx的解集是 x＜﹣2 ．
【分析】直接根据两函数图象的交点即可得出结论．
【解答】解：由函数图象可知，当x＜﹣2时，函数y＝ax+b的图象在直线y＝kx的上方，
所以关于x的不等式ax+b＞kx的解集是x＜﹣2．
故答案为：x＜﹣2．
16．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD⊥BC于点D，AD＝4，BC＝6，点E、F分别是AD、AB上的任意一点，连接BE、EF，则BE+EF的最小值为 4.8 ．
【分析】作F关于AD的对称点M，连接BM交AD于E，连接EF，过B作BN⊥AC于N，根据三线合一定理求出BD的长和AD平分∠BAC，根据勾股定理求出AD，根据三角形面积公式求出BN，根据对称性质求出BE+EF＝BM，根据垂线段最短得出BE+EF≥4.8，即可得出答案．
【解答】解：作F关于AD的对称点M，连接BM交AD于E，连接EF，过B作BN⊥AC于N，
∵AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC于D，
∴BD＝DC＝3，AD平分∠BAC，
∴M在AC上，
∵AD＝4，
∴AB＝5，∴S△ABCBC×ADAC×BN，
∴BN4.8，
∵F关于AD的对称点M，
∴EF＝EM，
∴BE+EF＝BE+EM＝BM，
根据垂线段最短得出：BM≥BN，
即BE+EF≥4.8，
即BF+EF的最小值是4.8，
故答案为：4.8．
三、解答题（本大题共9小题，满分86分．解答应写出说理过程或演算步骤）
17．（8分）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，确定出解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：去分母得：3（x+1）＜2（x﹣1）+6，
去括号得：3x+3＜2x﹣2+6，
移项合并得：x＜1．
18．（8分）解不等式组：
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3x﹣5＞x+1得：x＞3，
解不能等式x＜2得：x＜6，
所以不等式组的解集为3＜x＜6．
19．（8分）△ABC在平面直角坐标系xy中的位置如图所示．
（1）作△ABC向右平移2个单位后的△A1B1C1；
（2）作△ABC关于点O成中心对称的△A2B2C2．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用中心对称变换的性质，分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
20．（8分）如图，已知∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，AC与BD相交于E，F是BC的中点，求证：∠BEF＝∠CEF．
【分析】先利用AAS证明△ABE≌△DCE，再利用SSS证明△BFE≌△CFE即可．
【解答】证明：在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE，
∴BE＝CE，
∵F是BC的中点，
∴BF＝CF，
在△BFE和△CFE中，
，
∴△BFE≌△CFE，
∴∠BEF＝∠CEF．
21．（8分）已知△ABC中，AB＝AC，AB边上的垂直平分线DE交AC于E，D为垂足．
（1）若AB＝7，BC＝5，求△BCE的周长；
（2）若BE平分∠ABC，求∠A的度数．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出AE＝BE，那么BE+EC＝AC，即可解决问题．
（2）利用线段垂直平分线的性质和角平分线定义及等腰三角形的性质得到5∠A＝180°，进而求得∠A的大小．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，AB＝7，
∴AC＝7．
∵AB边上的垂直平分线DE交AC于E，D为垂足，
∴AE＝BE，
∴BE+EC＝AE+EC＝AC，
∴△BCE的周长＝BE+EC+BC＝AC+BC＝7+5＝12；
（2）∵AB边上的垂直平分线DE交AC于E，D为垂足，
∴AE＝BE，
∴∠A＝∠ABE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝2∠ABE＝2∠A，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
即：5∠A＝180°，
∴∠A＝36°．
22．（10分）如图，已知长方形ABCD（AB＜BC）．
（1）请在长方形ABCD内部确定一点E，使得△EBC是等腰直角三角形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）根据作图过程，说明△EBC是等腰直角三角形的理由．
【分析】（1）作MN垂直平分线段BC，垂足为T，在TM上截取TE＝TB，连接EB，EC，△BEC即为所求．
（2）证明EB＝EC，∠BEC＝90°即可．
【解答】解：（1）如图，△BEC即为所求．
（2）∵MN垂直平分线段BC，
∴BT＝CT，EB＝EC，MN⊥BC，
∵BT＝ET，
∴∠EBC＝∠ECT＝45°，
∴∠BEC＝90°，
∴△BEC是等腰直角三角形．
23．（10分）为执行中央“节能减排，美化环境，建设美丽新农村”的国策，我市某村计划建造A、B两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题．两种型号沼气池的占地面积、使用农户数及造价见下表：
已知可供建造沼气池的占地面积不超过365m2，该村农户共有492户．
（1）满足条件的方案共有几种？写出解答过程；
（2）通过计算判断，哪种建造方案最省钱？
【分析】（1）关系式为：A型沼气池占地面积+B型沼气池占地面积≤365；A型沼气池能用的户数+B型沼气池能用的户数≥492；
（2）由（1）得到情况进行分析．
【解答】解：（1）设建造A型沼气池x个，则建造B型沼气池（20﹣x）个，
依题意得：，
解得：7≤x≤9．
∵x为整数∴x＝7，8，9，
所以满足条件的方案有三种．
（2）
解法①：设建造A型沼气池x个时，总费用为y万元，则：
y＝2x+3（20﹣x）＝﹣x+60，
∴y随x增大而减小，
当x＝9时，y的值最小，此时y＝51（万元）．
∴此时方案为：建造A型沼气池9个，建造B型沼气池11个．
解法②：由（1）知共有三种方案，其费用分别为：
方案一：建造A型沼气池7个，建造B型沼气池13个，
总费用为：7×2+13×3＝53（万元）．
方案二：建造A型沼气池8个，建造B型沼气池12个，
总费用为：8×2+12×3＝52（万元）．
方案三：建造A型沼气池9个，建造B型沼气池11个，
总费用为：9×2+11×3＝51（万元）．
∴方案三最省钱．
24．（12分）对于一个数x，我们用（x]表示小于x的最大整数，例如：（2.6]＝2，（﹣3]＝﹣4．
（1）填空：（10]＝ 9 ．（﹣2019]＝ ﹣2020 ，（]＝ 0 ；
（2）若a，b都是整数，且（a]和（b]互为相反数，求代数式a﹣（a+b）×3+b的值；
（3）若|（x]|+|（x﹣2]|＝6，求x的取值范围．
【分析】（1）根据（x]表示的意义，这个进行计算即可；
（2）根据a，b都是整数，且（a]和（b]互为相反数，得到a+b＝2，进而求值即可；
（3）分原点在表示数x的点的右侧和在表示数x﹣2数的左侧两种情况进行解答．
【解答】解：（1）根据（x]表示的意义得，
（10]＝9，（﹣2019]＝﹣2020，（]＝0，
故答案为：9，﹣2020，0；
（2）∵a，b都是整数，
∴（a]＝a﹣1，（b]＝b﹣1，
而（a]和（b]互为相反数，
∴a﹣1+b﹣1＝0，即a+b＝2，
因此a﹣（a+b）×3+b＝a﹣3a﹣3b+b＝﹣2（a+b）＝﹣4，
答：代数式a﹣（a+b）×3+b的值为﹣4；
（3）当原点在大数的右侧时，有（x]＝﹣2，此时，﹣2＜x≤﹣1，
当原点在小数的左侧时，有（x]＝4，此时，4＜x≤5，
故x的取值范围为﹣2＜x≤﹣1或4＜x≤5．
25．（14分）已知：如图1，B，C，E三点在一条直线上，△ABC和△ECD均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，连接BD，AE，BD与AE的延长线交于点M．
（1）AE与BD有怎样的位置关系？并说明理由；
（2）探究：将图1中的△ECD绕点C顺时针旋转一个角度（旋转角小于90°），如图2所示．
①问：（1）中的结论还成立？若成立，请说明理由；
②连接MC，如图3所示，求证：MC平分∠BME．
【分析】（1）先判断出△BCD≌△ACE（SAS），得出∠DBC＝∠EAC，即可得出结论；
（2）同（1）的方法，即可得出答案；
（3）过点C作CH⊥MB于H，CG⊥ME于G，由（2）①知，△BCD≌△ACE，得出BD＝AE，S△BCD＝S△ACE，进而判断出CH＝CG，即可得出答案．
【解答】解：（1）AE⊥BD，理由：
∵△ABC，ECD是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，CE＝CD，
∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠DBC＝∠EAC，
∵∠ACE＝90°，
∴∠AEC+∠EAC＝90°，
∴∠AEC+∠DBC＝90°，
∴∠BME＝90°，
∴AE⊥BD；
（2）①（1）中结论仍然成立，理由：
∵△ABC，△ECD是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，CE＝CD，
∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠BCD＝∠ACE，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠BDC＝∠AEC，
∵∠DCE＝90°，
∴∠AEC+∠AED+∠CDE＝90°，
∴∠BDC+∠AED+∠CDE＝90°，
∴∠BDE+∠AED＝90°，
∴∠DME＝90°，
∴AE⊥BD；
（3）如图，过点C作CH⊥MB于H，CG⊥ME于G，
由（2）①知，△BCD≌△ACE，
∴BD＝AE，S△BCD＝S△ACE，
∴BD•CHAE•CG，
∴CH＝CG，
∵CG⊥ME，CH⊥MB，
∴点C在∠BME的平分线，
∴MC平分∠BME．
型号
占地面积
（单位：m2/个）
使用农户数
（单位：户/个）
造价
（单位：万元/个）
A
15
18
2
B
20
30
3
型号
占地面积
（单位：m2/个）
使用农户数
（单位：户/个）
造价
（单位：万元/个）
A
15
18
2
B
20
30
3