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2021-2022学年安徽省合肥市庐江县八年级下学期期中数学试题及答案
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这是一份2021-2022学年安徽省合肥市庐江县八年级下学期期中数学试题及答案，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）如图，直线a∥b，则直线a，b之间的距离是（ ）
A．线段ABB．线段AB的长度
C．线段CDD．线段CD的长度
3．（4分）Rt△ABC的斜边为13，其中一条直角边为12，另一条直角边的长为（ ）
A．5B．6C．7D．9
4．（4分）当x＞2时，＝（ ）
A．2﹣xB．x﹣2C．2+xD．±（x﹣2）
5．（4分）若3、4、a为勾股数，则a的值为（ ）
A．B．5C．5或7D．5或
6．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．＝2B．×＝C．2÷＝D．+＝
7．（4分）如图，在△ABC中，AB＝CB＝6，BD⊥AC于点D，F在BC上且BF＝2，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．（4分）如图，菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于点H，则AH＝（ ）
A．24B．10C．D．
9．（4分）如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AC＝2km，BD＝4km，CD＝8km．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为（ ）
A．8kmB．10 kmC．12 kmD．10km
10．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝12，点E是AD上的一点，AE＝6，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G，若G是CD的中点，则BC的长是（ ）
A．12.5B．12C．10D．10.5
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）若式子有意义，则x的取值范围是 ．
12．（5分）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的坐标为（﹣，0），点P的纵坐标为﹣1，则P点的坐标为 ．
13．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，∠ABD＝3∠CBD，E是斜边AC的中点，∠EBD的度数是 °．
14．（5分）如图，已知正方形ABCD的边长为6cm，E为边AB上一点，且AE长为1cm，动点P从点B出发以每秒1cm的速度沿射线BC方向运动．把△EBP沿EP折叠，点B落在点B'处，设运动时间为t秒．
（1）当t＝ 时，∠B'PC为直角；
（2）若点B'到直线AD的距离为3cm，则BP长为 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：（+1）2﹣（3﹣）÷．
16．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，BD⊥AD，AB＝10，AD＝8，求OB的长．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．
18．（8分）观察下列等式：
第1个等式：＝3；
第2个等式：＝4；
第3个等式：＝5；
第4个等式：＝6；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）填空： ＝10；
（2）填空： ＝n（n≥3且n为正整数），并证明这个等式．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，网格中每个小正方形的边长都是1．
（1）线段AB的长度是 ；
（2）请在网格中画出线段AC＝，BD＝2，且C，D为AB右侧的格点（网格线的交点）；
（3）以AB、AC、BD三条线段为边能否构成直角三角形，并说明理由．
20．（10分）如图，△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，DE＝CE，过点B作BF∥CE，交DE的延长线于点F．
（1）求证：四边形BCEF是菱形．
（2）若BC＝2，∠BCE＝60°，求菱形BCEF的面积．
六、（本题满分12分）
21．（12分）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路．如图所示，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路AC、AD和AB，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路AC和公路CB互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路DH与公路AB在H处连接，且公路DH和公路AB互相垂直，已知AC＝9千米，AB＝15千米，BD＝5千米．
（1）求公路CD的长度；
（2）若修公路DH每千米的费用是2000万元，请求出修建公路DH的总费用．
七、（本题满分12分）
22．（12分）我们规定用（a，b）表示一对数对，给出如下定义：记m＝，n＝（a＞0，b＞0），将（m，n）与（n，m）称为数对（a，b）的对“对称数对”．例如：（4，1）的一对“对称数对”为（，1）与（1，）．
（1）数对（25，4）的一对“对称数对”是 和 ；
（2）若数对（x，2）的一对“对称数对”的一个数对是（，1），求x的值；
（3）若数对（a，b）的一对“对称数对”的一个数对是（，3），求ab的值．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图，把一个等腰直角三角板AEM放置于矩形ABCD上，AE＝BC＝13，AB＝24．三角板的一个锐角的顶点放在A处，且直角边AE在矩形内部绕点A旋转，在旋转过程中EM与CD交于点F．
（1）如图1，
①旋转过程中线段DF与EF有何数量关系？并给出证明；
②连接EC，EB，若△ECB为等腰三角形，求DF的长；
（2）如图2，以AD为边在矩形内部作正方形ADHI，直角边EM所在的直线交HI于O，交AB于G．设DF＝m，请你用m的代数式表示OH的长．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．的被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B．是最简二次根式，故本选项符合题意；
C．的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D．的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的每个因数都是整数，因式都是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．
2．（4分）如图，直线a∥b，则直线a，b之间的距离是（ ）
A．线段ABB．线段AB的长度
C．线段CDD．线段CD的长度
【分析】根据平行线间的距离的定义，可得答案．
【解答】解：由直线a∥b，CD⊥b，得：
线段CD的长度是直线a，b之间距离，
故选：D．
【点评】本题考查了平行线间的距离，利用平行线间的距离的定义是解题关键．
3．（4分）Rt△ABC的斜边为13，其中一条直角边为12，另一条直角边的长为（ ）
A．5B．6C．7D．9
【分析】根据勾股定理计算，即可得出答案．
【解答】解：根据题意，由勾股定理得，另一条直角边长＝＝5；
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
4．（4分）当x＞2时，＝（ ）
A．2﹣xB．x﹣2C．2+xD．±（x﹣2）
【分析】根据＝|a|的进行计算即可．
【解答】解：∵x＞2，
∴＝|2﹣x|
＝x﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握＝|a|是解题的关键．
5．（4分）若3、4、a为勾股数，则a的值为（ ）
A．B．5C．5或7D．5或
【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数求解即可．
【解答】解：∵3、4、a为勾股数，
∴当a最大时，此时a＝＝5，
当4时最大时，a＝＝，不能构成勾股数，
故选：B．
【点评】本题主要考查勾股数，解题的关键是掌握勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．
6．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．＝2B．×＝C．2÷＝D．+＝
【分析】利用二次根式的加法法则，乘法的法则，除法的法则，减法的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、与﹣不属于同类二次根式，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
7．（4分）如图，在△ABC中，AB＝CB＝6，BD⊥AC于点D，F在BC上且BF＝2，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据等腰三角形的性质得到AD＝DC，根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：∵CB＝6，BF＝2，
∴FC＝6﹣2＝4，
∵BA＝BC，BD⊥AC，
∴AD＝DC，
∵AE＝EF，
∴DE是△AFC的中位线，
∴DE＝FC＝×4＝2，
故选：B．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
8．（4分）如图，菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于点H，则AH＝（ ）
A．24B．10C．D．
【分析】由菱形面积＝对角线积的一半可求面积，由勾股定理求出BC，然后由菱形的面积即可得出结果．
【解答】解：如图，对角线AC、BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴BC＝＝＝5，
∵菱形ABCD的面积＝×6×8＝24，
∴AH＝，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理、菱形面积公式等知识；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出BC是解题的关键．
9．（4分）如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AC＝2km，BD＝4km，CD＝8km．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为（ ）
A．8kmB．10 kmC．12 kmD．10km
【分析】根据题意画出图形，再利用轴对称求最短路径的方法得出P点位置，进而结合勾股定理得出即可．
【解答】解：如图所示：作A点关于直线MN的对称点A'，再连接A'B，交直线MN于点P.
则此时AP+PB最小，过点B作BD⊥CA延长线于点E，
∵AC＝2km，BD＝4km，CD＝8km，
∴AA'＝4km，则AE＝6km，
在Rt△A'EB中，
CB＝＝10（km），
则AP+PB的最小值为：10km．
故选：B．
【点评】此题主要考查了应用与设计作图，两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题．
10．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝12，点E是AD上的一点，AE＝6，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G，若G是CD的中点，则BC的长是（ ）
A．12.5B．12C．10D．10.5
【分析】根据线段中点的定义可得CG＝DG，然后利用“角边角”证明△DEG和△CFG全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝CF，EG＝FG，设DE＝x，表示出BF，再利用勾股定理列式求EG，然后表示出EF，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BF＝EF，然后列出方程求出x的值，从而求出AD，再根据矩形的对边相等可得BC＝AD．
【解答】解：∵矩形ABCD中，G是CD的中点，AB＝12，
∴CG＝DG＝×12＝6，
在△DEG和△CFG中，
，
∴△DEG≌△CFG（ASA），
∴DE＝CF，EG＝FG，
设DE＝x，
则BF＝BC+CF＝AD+CF＝6+x+x＝6+2x，
在Rt△DEG中，EG＝＝，
∴EF＝2，
∵FH垂直平分BE，
∴BF＝EF，
∴6+2x＝2，
解得x＝4.5，
∴AD＝AE+DE＝6+4.5＝10.5，
∴BC＝AD＝10.5．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，勾股定理，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）若式子有意义，则x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式求解．
【解答】解：由题意可得3x﹣6≥0，
解得x≥2，
故答案为：x≥2．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）是解题关键．
12．（5分）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的坐标为（﹣，0），点P的纵坐标为﹣1，则P点的坐标为 （﹣4，﹣1） ．
【分析】过P作PB⊥OA于B，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：过P作PB⊥OA于B，
∵点A的坐标为（﹣，0），
∴OP＝OA＝，
∵点P的纵坐标为﹣1，
∴PB＝1，
∴OB＝＝4，
∴P点的坐标为（﹣4，﹣1），
故答案为：（﹣4，﹣1）．
【点评】本题考查的是勾股定理，根据题意利用勾股定理求出OP的长是解答此题的关键．
13．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，∠ABD＝3∠CBD，E是斜边AC的中点，∠EBD的度数是 45 °．
【分析】先根据已知条件求出∠CBD和∠BDE的度数，再根据E是斜边AC的中点，得出∠EBA＝∠A，从而得出结论．
【解答】解：∵∠ABD＝3∠CBD，∠ABC＝90°，∠ABD+∠CBD＝∠ABC，
∴4∠CBD＝90°，
∴∠CBD＝22.5°，
则∠ABD＝3×22.5°＝67.5°，
∵BD⊥AC，
∴∠C＝∠BDC﹣∠CBD＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠A＝∠ABC﹣∠C＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∵E是斜边AC的中点，
∴BE＝AE＝CE，
∴∠EBA＝∠A＝22.5°，
∴∠EBD＝∠DBA﹣∠EBA＝67.5°﹣22.5°＝45°，
故答案为：45°．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质以及角的运算，关键是对角的和差的运算．
14．（5分）如图，已知正方形ABCD的边长为6cm，E为边AB上一点，且AE长为1cm，动点P从点B出发以每秒1cm的速度沿射线BC方向运动．把△EBP沿EP折叠，点B落在点B'处，设运动时间为t秒．
（1）当t＝ 5 时，∠B'PC为直角；
（2）若点B'到直线AD的距离为3cm，则BP长为 或15 ．
【分析】（1）根据当∠B'PC＝90°时，∠BPB'＝90°，即可得到△BEP为等腰直角三角形，进而得到BP＝BE＝5cm，再根据点P从点B出发以每秒1cm的速度沿射线BC方向运动，即可得到t的值；
（2）过B'作MN∥AB，交AD，BC于点M，N，过E作EH∥AD，交MN于H，进而得出四边形ABNM是矩形，四边形AEHM是矩形．再分两种情况进行讨论：①若点B'在AD下方；②若点B'在AD上方，分别根据Rt△PB'N中，B'P2＝PN2+B'N2，即可得到BP的值．
【解答】解：（1）∵正方形ABCD的边长为6cm，E为边AB上一点且AE长为1cm，
∴BE＝5（cm），
当∠B'PC＝90°时，∠BPB'＝90°，
∴由折叠可得，∠BPE＝∠BPB'＝45°，
又∵∠B＝90°，
∴∠BEP＝45°，
∴BP＝BE＝5（cm），
∵点P从点B出发以每秒1cm的速度沿射线BC方向运动，
∴t＝5÷1＝5（秒），
故答案为：5；
（2）过B'作MN∥AB，交AD，BC于点M，N，过E作EH∥AD，交MN于H，
∵AD∥BC，MN∥AB，
∴四边形ABNM是平行四边形，
又∵∠A＝90°，
∴四边形ABNM是矩形
同理可得：四边形AEHM是矩形．
①如图：
若点B'在AD下方，则B'M＝3cm，B'N＝3cm，
∵MH＝AE＝1（cm），
∴B'H＝2（cm），
由折叠可得，EB'＝EB＝5（cm），
∴Rt△EB'H中，EH＝＝（cm），
∴BN＝AM＝EH＝（cm），
设BP＝tcm，
∴PB'＝tcm，PN＝（﹣t） cm
∵Rt△PB'N中，B'P2＝PN2+B'N2，
∴t2＝（﹣t）2+32，
解得：t＝．
②如图：
若点B'在AD上方，则B'M＝3cm，B'N＝9cm，
同理可得，EH＝3cm，
设BP＝tcm，
∴B'P＝tcm，PN＝（t﹣3）cm，
∵Rt△PB'N中，B'P2＝PN2+B'N2，
∴t2＝（t﹣3）2+92，
解得：t＝15．
综上所述，BP的值为或15．
故答案为：或15．
【点评】本题考查了折叠问题，勾股定理以及正方形的性质的运用，解题时我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：（+1）2﹣（3﹣）÷．
【分析】先根据完全平方公式和二次根式的除法法则进行计算，再根据二次根式的加减法则进行计算即可．
【解答】解：（+1）2﹣（3﹣）÷
＝3+2+1﹣3+1
＝3+2+1﹣+1
＝5+．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
16．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，BD⊥AD，AB＝10，AD＝8，求OB的长．
【分析】直接利用勾股定理得出BD的长，再由平行四边形的性质即可得出答案．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，BC＝AD＝8，AD∥BC，AD＝8，
∵BD⊥AD，AB＝10，
∴BD＝＝6．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝BD＝3．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理，正确得出BD的长是解题关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．
【分析】先推出△BEC是直角三角形，然后根据S梯形ABCD＝S△ABE+S△BEC+S△DEC，代入字母整理化简，即可证明结论成立．
【解答】证明：由已知可得，
Rt△BAE≌Rt△EDC，
∴∠ABE＝∠DEC，
∵∠ABE+∠AEB＝90°，
∴∠DEC+∠AEB＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴△BEC是直角三角形，
∴S梯形ABCD＝S△ABE+S△BEC+S△DEC，
∴＝，
∴＝，
∴a2+b2＝c2．
【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是推出△BEC是直角三角形．
18．（8分）观察下列等式：
第1个等式：＝3；
第2个等式：＝4；
第3个等式：＝5；
第4个等式：＝6；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）填空： ＝10；
（2）填空： ＝n（n≥3且n为正整数），并证明这个等式．
【分析】（1）根据四个等式总结规律，根据规律解答；
（2）根据规律解答即可．
【解答】解：（1）根据规律可知：＝10，
故答案为：；
（2）＝n，
故答案为：．
【点评】本题考查的是数字的变化规律，根据题意找出数字的变化规律是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，网格中每个小正方形的边长都是1．
（1）线段AB的长度是 ；
（2）请在网格中画出线段AC＝，BD＝2，且C，D为AB右侧的格点（网格线的交点）；
（3）以AB、AC、BD三条线段为边能否构成直角三角形，并说明理由．
【分析】（1）利用勾股定理求解即可；
（2）利用数形结合的思想画出图形即可；
（3）利用勾股定理的逆定理判断即可．
【解答】解：（1）AB＝＝．
故答案为：；
（2）如图，线段AC，BD即为所求；
（3）以AB、AC、BD三条线段为边能构成直角三角形．
理由：∵AB＝，AC＝，BD＝2，
∴（）2＝（）2+（2）2，
∴以AB、AC、BD三条线段为边能构成直角三角形．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
20．（10分）如图，△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，DE＝CE，过点B作BF∥CE，交DE的延长线于点F．
（1）求证：四边形BCEF是菱形．
（2）若BC＝2，∠BCE＝60°，求菱形BCEF的面积．
【分析】（1）先证四边形BCFE是平行四边形．再证BC＝CE，即可得出结论；
（2）根据等边三角形的判定和性质以及菱形的性质解答即可．
【解答】（1）证明：∵D、E分别是AC、AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴EF∥BC，
∵BF∥CE，
∴四边形BCEF是平行四边形，
∵DE＝CE，
∴BC＝CE，
∴平行四边形BCEF是菱形；
（2）解：如图，过点E作EG⊥BC于点G，
由（1）知BC＝CE，
∵∠BCE＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE＝CE＝BC＝2，
∵EG⊥BC，
∴BG＝BC＝1，
在Rt△BGE中，由勾股定理得：EG＝＝＝，
∴S菱形BCEF＝BC•EG＝2×＝2．
【点评】此题主要考查菱形的判定与性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21．（12分）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路．如图所示，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路AC、AD和AB，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路AC和公路CB互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路DH与公路AB在H处连接，且公路DH和公路AB互相垂直，已知AC＝9千米，AB＝15千米，BD＝5千米．
（1）求公路CD的长度；
（2）若修公路DH每千米的费用是2000万元，请求出修建公路DH的总费用．
【分析】（1）根据勾股定理得到BC＝＝＝12（千米），根据线段的弧长即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到AD＝＝（千米），求得DH＝＝3，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝9千米，AB＝15千米，
∴BC＝＝＝12（千米），
∵BD＝5千米，
∴CD＝12﹣5＝7（千米），
答：公路CD的长度为7千米；
（2）∵AC＝9千米，CD＝7千米，
∴AD＝＝（千米），
∵DH⊥AB，
∴AD2﹣AH2＝BD2﹣BH2，
∴130﹣（15﹣BH）2＝52﹣BH2，
∴BH＝4，
∴DH＝＝3，
∴修建公路DH的总费用为3×2000＝6000（万元）．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
七、（本题满分12分）
22．（12分）我们规定用（a，b）表示一对数对，给出如下定义：记m＝，n＝（a＞0，b＞0），将（m，n）与（n，m）称为数对（a，b）的对“对称数对”．例如：（4，1）的一对“对称数对”为（，1）与（1，）．
（1）数对（25，4）的一对“对称数对”是 （，2） 和 （2，） ；
（2）若数对（x，2）的一对“对称数对”的一个数对是（，1），求x的值；
（3）若数对（a，b）的一对“对称数对”的一个数对是（，3），求ab的值．
【分析】（1）根据新定义即可得出结论；
（2）根据新定义，列等式＝1，解方程进而得出结论；
（4）根据新定义，列方程组，解出进而得出结论．
【解答】解：（1）∵＝，＝2，
∴数对（25，3）的一对“对称数对”是（，2）与（2，），
故答案为：（，2）与（2，）；
（2）∵数对（x，2）的一个“对称数对”是（，1），
∴＝1，
∴x＝1；
（3）∵数对（a，b）的一个“对称数对”是（，3），
∴或，
解得或，
∴ab＝9或．
【点评】此题主要考查了新定义，解方程组，解方程，理解和应用新定义是解本题的关键．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图，把一个等腰直角三角板AEM放置于矩形ABCD上，AE＝BC＝13，AB＝24．三角板的一个锐角的顶点放在A处，且直角边AE在矩形内部绕点A旋转，在旋转过程中EM与CD交于点F．
（1）如图1，
①旋转过程中线段DF与EF有何数量关系？并给出证明；
②连接EC，EB，若△ECB为等腰三角形，求DF的长；
（2）如图2，以AD为边在矩形内部作正方形ADHI，直角边EM所在的直线交HI于O，交AB于G．设DF＝m，请你用m的代数式表示OH的长．
【分析】（1）①连接AF，根据HL证直角三角形ADF≌直角三角形AEF，即可得出结论；
②分三种情况进行讨论求值即可；
（2）同理（1）得出OE＝OI，即OI＝HI﹣OH，再利用勾股定理得出OH即可．
【解答】解：（1）①DF＝EF，理由如下：
连接AF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝13，∠D＝90°，
∵AE＝BC＝13，
∴AD＝AE＝13，
在Rt△ADF和Rt△AEF中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△AEF（HL），
∴DF＝EF；
②分三种情况：
（Ⅰ）如图2，连接BE，BC，当BE＝BC＝13时，过E作EP⊥CD于P，延长PE交AB于Q，
则PQ⊥AB，四边形AQPD是矩形，
∵AE＝BC，BE＝BC，
∴AE＝BE，
∵EQ⊥AB，
∴AQ＝QB＝AB＝12，
在Rt△AEQ中，∠AQE＝90°，AE＝13，AQ＝12，
∴EQ＝＝5，
∴PE＝PQ﹣EQ＝13﹣5＝8，
设DF＝x，则EF＝x，FP＝12﹣x，
在Rt△PEF中，∠EPF＝90°，
∴PE2+FP2＝EF2，
即82+（12﹣x）2＝x2，
解得x＝，
∴DF＝；
（Ⅱ）如下图，连接BE，CE，当EC＝BC＝13时，连接AC，
∵AE＝BC＝13，EC＝BC＝13，
∴AE＝EC＝13，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝24，BC＝13，
∴AC＝＝，
∵AE+EC＝13+13，
∴△AEC不存在，
即此种情况不存在；
（Ⅲ）如下图，连接BE，CE，当EC＝EB时，过点E作EP⊥CD于点P，延长PE交AB于点Q，则PQ⊥AB，四边形AQPD是矩形，
∵EC＝EB，
∴点E在BC的垂直平分线上，
∴PE＝EQ＝，
∵EQ＝AE，∠AQE＝90°，
∴∠EAQ＝30°，
∴∠PEF＝∠EAQ＝90°﹣∠AEQ＝30°，
∴EF＝＝，
∴DF＝EF＝，
综上所述，存在△ECB为等腰三角形，DF的长为或；
（2）如下图，
同理（1）可得OE＝OI，
∴OF＝OE+EF＝OI+DG＝OI+m，
∵OI＝HI﹣OH＝13﹣OH，
∴OF＝13﹣OH+m，
在Rt△OFH中，∠OHF＝90°，
∴OH2+FH2＝OF2，
又∵FH＝13﹣m，OF＝13﹣OH+m，
∴OH2+（13﹣m）2＝（13﹣OH+m）2，
解得OH＝．
【点评】本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
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1．（4分）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）如图，直线a∥b，则直线a，b之间的距离是（ ）
A．线段ABB．线段AB的长度
C．线段CDD．线段CD的长度
3．（4分）Rt△ABC的斜边为13，其中一条直角边为12，另一条直角边的长为（ ）
A．5B．6C．7D．9
4．（4分）当x＞2时，＝（ ）
A．2﹣xB．x﹣2C．2+xD．±（x﹣2）
5．（4分）若3、4、a为勾股数，则a的值为（ ）
A．B．5C．5或7D．5或
6．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．＝2B．×＝C．2÷＝D．+＝
7．（4分）如图，在△ABC中，AB＝CB＝6，BD⊥AC于点D，F在BC上且BF＝2，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．（4分）如图，菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于点H，则AH＝（ ）
A．24B．10C．D．
9．（4分）如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AC＝2km，BD＝4km，CD＝8km．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为（ ）
A．8kmB．10 kmC．12 kmD．10km
10．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝12，点E是AD上的一点，AE＝6，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G，若G是CD的中点，则BC的长是（ ）
A．12.5B．12C．10D．10.5
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）若式子有意义，则x的取值范围是 ．
12．（5分）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的坐标为（﹣，0），点P的纵坐标为﹣1，则P点的坐标为 ．
13．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，∠ABD＝3∠CBD，E是斜边AC的中点，∠EBD的度数是 °．
14．（5分）如图，已知正方形ABCD的边长为6cm，E为边AB上一点，且AE长为1cm，动点P从点B出发以每秒1cm的速度沿射线BC方向运动．把△EBP沿EP折叠，点B落在点B'处，设运动时间为t秒．
（1）当t＝ 时，∠B'PC为直角；
（2）若点B'到直线AD的距离为3cm，则BP长为 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：（+1）2﹣（3﹣）÷．
16．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，BD⊥AD，AB＝10，AD＝8，求OB的长．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．
18．（8分）观察下列等式：
第1个等式：＝3；
第2个等式：＝4；
第3个等式：＝5；
第4个等式：＝6；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）填空： ＝10；
（2）填空： ＝n（n≥3且n为正整数），并证明这个等式．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，网格中每个小正方形的边长都是1．
（1）线段AB的长度是 ；
（2）请在网格中画出线段AC＝，BD＝2，且C，D为AB右侧的格点（网格线的交点）；
（3）以AB、AC、BD三条线段为边能否构成直角三角形，并说明理由．
20．（10分）如图，△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，DE＝CE，过点B作BF∥CE，交DE的延长线于点F．
（1）求证：四边形BCEF是菱形．
（2）若BC＝2，∠BCE＝60°，求菱形BCEF的面积．
六、（本题满分12分）
21．（12分）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路．如图所示，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路AC、AD和AB，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路AC和公路CB互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路DH与公路AB在H处连接，且公路DH和公路AB互相垂直，已知AC＝9千米，AB＝15千米，BD＝5千米．
（1）求公路CD的长度；
（2）若修公路DH每千米的费用是2000万元，请求出修建公路DH的总费用．
七、（本题满分12分）
22．（12分）我们规定用（a，b）表示一对数对，给出如下定义：记m＝，n＝（a＞0，b＞0），将（m，n）与（n，m）称为数对（a，b）的对“对称数对”．例如：（4，1）的一对“对称数对”为（，1）与（1，）．
（1）数对（25，4）的一对“对称数对”是 和 ；
（2）若数对（x，2）的一对“对称数对”的一个数对是（，1），求x的值；
（3）若数对（a，b）的一对“对称数对”的一个数对是（，3），求ab的值．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图，把一个等腰直角三角板AEM放置于矩形ABCD上，AE＝BC＝13，AB＝24．三角板的一个锐角的顶点放在A处，且直角边AE在矩形内部绕点A旋转，在旋转过程中EM与CD交于点F．
（1）如图1，
①旋转过程中线段DF与EF有何数量关系？并给出证明；
②连接EC，EB，若△ECB为等腰三角形，求DF的长；
（2）如图2，以AD为边在矩形内部作正方形ADHI，直角边EM所在的直线交HI于O，交AB于G．设DF＝m，请你用m的代数式表示OH的长．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．的被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B．是最简二次根式，故本选项符合题意；
C．的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D．的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的每个因数都是整数，因式都是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．
2．（4分）如图，直线a∥b，则直线a，b之间的距离是（ ）
A．线段ABB．线段AB的长度
C．线段CDD．线段CD的长度
【分析】根据平行线间的距离的定义，可得答案．
【解答】解：由直线a∥b，CD⊥b，得：
线段CD的长度是直线a，b之间距离，
故选：D．
【点评】本题考查了平行线间的距离，利用平行线间的距离的定义是解题关键．
3．（4分）Rt△ABC的斜边为13，其中一条直角边为12，另一条直角边的长为（ ）
A．5B．6C．7D．9
【分析】根据勾股定理计算，即可得出答案．
【解答】解：根据题意，由勾股定理得，另一条直角边长＝＝5；
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
4．（4分）当x＞2时，＝（ ）
A．2﹣xB．x﹣2C．2+xD．±（x﹣2）
【分析】根据＝|a|的进行计算即可．
【解答】解：∵x＞2，
∴＝|2﹣x|
＝x﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握＝|a|是解题的关键．
5．（4分）若3、4、a为勾股数，则a的值为（ ）
A．B．5C．5或7D．5或
【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数求解即可．
【解答】解：∵3、4、a为勾股数，
∴当a最大时，此时a＝＝5，
当4时最大时，a＝＝，不能构成勾股数，
故选：B．
【点评】本题主要考查勾股数，解题的关键是掌握勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．
6．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．＝2B．×＝C．2÷＝D．+＝
【分析】利用二次根式的加法法则，乘法的法则，除法的法则，减法的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、与﹣不属于同类二次根式，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
7．（4分）如图，在△ABC中，AB＝CB＝6，BD⊥AC于点D，F在BC上且BF＝2，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据等腰三角形的性质得到AD＝DC，根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：∵CB＝6，BF＝2，
∴FC＝6﹣2＝4，
∵BA＝BC，BD⊥AC，
∴AD＝DC，
∵AE＝EF，
∴DE是△AFC的中位线，
∴DE＝FC＝×4＝2，
故选：B．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
8．（4分）如图，菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于点H，则AH＝（ ）
A．24B．10C．D．
【分析】由菱形面积＝对角线积的一半可求面积，由勾股定理求出BC，然后由菱形的面积即可得出结果．
【解答】解：如图，对角线AC、BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴BC＝＝＝5，
∵菱形ABCD的面积＝×6×8＝24，
∴AH＝，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理、菱形面积公式等知识；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出BC是解题的关键．
9．（4分）如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AC＝2km，BD＝4km，CD＝8km．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为（ ）
A．8kmB．10 kmC．12 kmD．10km
【分析】根据题意画出图形，再利用轴对称求最短路径的方法得出P点位置，进而结合勾股定理得出即可．
【解答】解：如图所示：作A点关于直线MN的对称点A'，再连接A'B，交直线MN于点P.
则此时AP+PB最小，过点B作BD⊥CA延长线于点E，
∵AC＝2km，BD＝4km，CD＝8km，
∴AA'＝4km，则AE＝6km，
在Rt△A'EB中，
CB＝＝10（km），
则AP+PB的最小值为：10km．
故选：B．
【点评】此题主要考查了应用与设计作图，两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题．
10．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝12，点E是AD上的一点，AE＝6，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G，若G是CD的中点，则BC的长是（ ）
A．12.5B．12C．10D．10.5
【分析】根据线段中点的定义可得CG＝DG，然后利用“角边角”证明△DEG和△CFG全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝CF，EG＝FG，设DE＝x，表示出BF，再利用勾股定理列式求EG，然后表示出EF，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BF＝EF，然后列出方程求出x的值，从而求出AD，再根据矩形的对边相等可得BC＝AD．
【解答】解：∵矩形ABCD中，G是CD的中点，AB＝12，
∴CG＝DG＝×12＝6，
在△DEG和△CFG中，
，
∴△DEG≌△CFG（ASA），
∴DE＝CF，EG＝FG，
设DE＝x，
则BF＝BC+CF＝AD+CF＝6+x+x＝6+2x，
在Rt△DEG中，EG＝＝，
∴EF＝2，
∵FH垂直平分BE，
∴BF＝EF，
∴6+2x＝2，
解得x＝4.5，
∴AD＝AE+DE＝6+4.5＝10.5，
∴BC＝AD＝10.5．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，勾股定理，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）若式子有意义，则x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式求解．
【解答】解：由题意可得3x﹣6≥0，
解得x≥2，
故答案为：x≥2．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）是解题关键．
12．（5分）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的坐标为（﹣，0），点P的纵坐标为﹣1，则P点的坐标为 （﹣4，﹣1） ．
【分析】过P作PB⊥OA于B，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：过P作PB⊥OA于B，
∵点A的坐标为（﹣，0），
∴OP＝OA＝，
∵点P的纵坐标为﹣1，
∴PB＝1，
∴OB＝＝4，
∴P点的坐标为（﹣4，﹣1），
故答案为：（﹣4，﹣1）．
【点评】本题考查的是勾股定理，根据题意利用勾股定理求出OP的长是解答此题的关键．
13．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，∠ABD＝3∠CBD，E是斜边AC的中点，∠EBD的度数是 45 °．
【分析】先根据已知条件求出∠CBD和∠BDE的度数，再根据E是斜边AC的中点，得出∠EBA＝∠A，从而得出结论．
【解答】解：∵∠ABD＝3∠CBD，∠ABC＝90°，∠ABD+∠CBD＝∠ABC，
∴4∠CBD＝90°，
∴∠CBD＝22.5°，
则∠ABD＝3×22.5°＝67.5°，
∵BD⊥AC，
∴∠C＝∠BDC﹣∠CBD＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠A＝∠ABC﹣∠C＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∵E是斜边AC的中点，
∴BE＝AE＝CE，
∴∠EBA＝∠A＝22.5°，
∴∠EBD＝∠DBA﹣∠EBA＝67.5°﹣22.5°＝45°，
故答案为：45°．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质以及角的运算，关键是对角的和差的运算．
14．（5分）如图，已知正方形ABCD的边长为6cm，E为边AB上一点，且AE长为1cm，动点P从点B出发以每秒1cm的速度沿射线BC方向运动．把△EBP沿EP折叠，点B落在点B'处，设运动时间为t秒．
（1）当t＝ 5 时，∠B'PC为直角；
（2）若点B'到直线AD的距离为3cm，则BP长为 或15 ．
【分析】（1）根据当∠B'PC＝90°时，∠BPB'＝90°，即可得到△BEP为等腰直角三角形，进而得到BP＝BE＝5cm，再根据点P从点B出发以每秒1cm的速度沿射线BC方向运动，即可得到t的值；
（2）过B'作MN∥AB，交AD，BC于点M，N，过E作EH∥AD，交MN于H，进而得出四边形ABNM是矩形，四边形AEHM是矩形．再分两种情况进行讨论：①若点B'在AD下方；②若点B'在AD上方，分别根据Rt△PB'N中，B'P2＝PN2+B'N2，即可得到BP的值．
【解答】解：（1）∵正方形ABCD的边长为6cm，E为边AB上一点且AE长为1cm，
∴BE＝5（cm），
当∠B'PC＝90°时，∠BPB'＝90°，
∴由折叠可得，∠BPE＝∠BPB'＝45°，
又∵∠B＝90°，
∴∠BEP＝45°，
∴BP＝BE＝5（cm），
∵点P从点B出发以每秒1cm的速度沿射线BC方向运动，
∴t＝5÷1＝5（秒），
故答案为：5；
（2）过B'作MN∥AB，交AD，BC于点M，N，过E作EH∥AD，交MN于H，
∵AD∥BC，MN∥AB，
∴四边形ABNM是平行四边形，
又∵∠A＝90°，
∴四边形ABNM是矩形
同理可得：四边形AEHM是矩形．
①如图：
若点B'在AD下方，则B'M＝3cm，B'N＝3cm，
∵MH＝AE＝1（cm），
∴B'H＝2（cm），
由折叠可得，EB'＝EB＝5（cm），
∴Rt△EB'H中，EH＝＝（cm），
∴BN＝AM＝EH＝（cm），
设BP＝tcm，
∴PB'＝tcm，PN＝（﹣t） cm
∵Rt△PB'N中，B'P2＝PN2+B'N2，
∴t2＝（﹣t）2+32，
解得：t＝．
②如图：
若点B'在AD上方，则B'M＝3cm，B'N＝9cm，
同理可得，EH＝3cm，
设BP＝tcm，
∴B'P＝tcm，PN＝（t﹣3）cm，
∵Rt△PB'N中，B'P2＝PN2+B'N2，
∴t2＝（t﹣3）2+92，
解得：t＝15．
综上所述，BP的值为或15．
故答案为：或15．
【点评】本题考查了折叠问题，勾股定理以及正方形的性质的运用，解题时我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：（+1）2﹣（3﹣）÷．
【分析】先根据完全平方公式和二次根式的除法法则进行计算，再根据二次根式的加减法则进行计算即可．
【解答】解：（+1）2﹣（3﹣）÷
＝3+2+1﹣3+1
＝3+2+1﹣+1
＝5+．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
16．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，BD⊥AD，AB＝10，AD＝8，求OB的长．
【分析】直接利用勾股定理得出BD的长，再由平行四边形的性质即可得出答案．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，BC＝AD＝8，AD∥BC，AD＝8，
∵BD⊥AD，AB＝10，
∴BD＝＝6．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝BD＝3．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理，正确得出BD的长是解题关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．
【分析】先推出△BEC是直角三角形，然后根据S梯形ABCD＝S△ABE+S△BEC+S△DEC，代入字母整理化简，即可证明结论成立．
【解答】证明：由已知可得，
Rt△BAE≌Rt△EDC，
∴∠ABE＝∠DEC，
∵∠ABE+∠AEB＝90°，
∴∠DEC+∠AEB＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴△BEC是直角三角形，
∴S梯形ABCD＝S△ABE+S△BEC+S△DEC，
∴＝，
∴＝，
∴a2+b2＝c2．
【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是推出△BEC是直角三角形．
18．（8分）观察下列等式：
第1个等式：＝3；
第2个等式：＝4；
第3个等式：＝5；
第4个等式：＝6；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）填空： ＝10；
（2）填空： ＝n（n≥3且n为正整数），并证明这个等式．
【分析】（1）根据四个等式总结规律，根据规律解答；
（2）根据规律解答即可．
【解答】解：（1）根据规律可知：＝10，
故答案为：；
（2）＝n，
故答案为：．
【点评】本题考查的是数字的变化规律，根据题意找出数字的变化规律是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，网格中每个小正方形的边长都是1．
（1）线段AB的长度是 ；
（2）请在网格中画出线段AC＝，BD＝2，且C，D为AB右侧的格点（网格线的交点）；
（3）以AB、AC、BD三条线段为边能否构成直角三角形，并说明理由．
【分析】（1）利用勾股定理求解即可；
（2）利用数形结合的思想画出图形即可；
（3）利用勾股定理的逆定理判断即可．
【解答】解：（1）AB＝＝．
故答案为：；
（2）如图，线段AC，BD即为所求；
（3）以AB、AC、BD三条线段为边能构成直角三角形．
理由：∵AB＝，AC＝，BD＝2，
∴（）2＝（）2+（2）2，
∴以AB、AC、BD三条线段为边能构成直角三角形．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
20．（10分）如图，△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，DE＝CE，过点B作BF∥CE，交DE的延长线于点F．
（1）求证：四边形BCEF是菱形．
（2）若BC＝2，∠BCE＝60°，求菱形BCEF的面积．
【分析】（1）先证四边形BCFE是平行四边形．再证BC＝CE，即可得出结论；
（2）根据等边三角形的判定和性质以及菱形的性质解答即可．
【解答】（1）证明：∵D、E分别是AC、AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴EF∥BC，
∵BF∥CE，
∴四边形BCEF是平行四边形，
∵DE＝CE，
∴BC＝CE，
∴平行四边形BCEF是菱形；
（2）解：如图，过点E作EG⊥BC于点G，
由（1）知BC＝CE，
∵∠BCE＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE＝CE＝BC＝2，
∵EG⊥BC，
∴BG＝BC＝1，
在Rt△BGE中，由勾股定理得：EG＝＝＝，
∴S菱形BCEF＝BC•EG＝2×＝2．
【点评】此题主要考查菱形的判定与性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21．（12分）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路．如图所示，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路AC、AD和AB，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路AC和公路CB互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路DH与公路AB在H处连接，且公路DH和公路AB互相垂直，已知AC＝9千米，AB＝15千米，BD＝5千米．
（1）求公路CD的长度；
（2）若修公路DH每千米的费用是2000万元，请求出修建公路DH的总费用．
【分析】（1）根据勾股定理得到BC＝＝＝12（千米），根据线段的弧长即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到AD＝＝（千米），求得DH＝＝3，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝9千米，AB＝15千米，
∴BC＝＝＝12（千米），
∵BD＝5千米，
∴CD＝12﹣5＝7（千米），
答：公路CD的长度为7千米；
（2）∵AC＝9千米，CD＝7千米，
∴AD＝＝（千米），
∵DH⊥AB，
∴AD2﹣AH2＝BD2﹣BH2，
∴130﹣（15﹣BH）2＝52﹣BH2，
∴BH＝4，
∴DH＝＝3，
∴修建公路DH的总费用为3×2000＝6000（万元）．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
七、（本题满分12分）
22．（12分）我们规定用（a，b）表示一对数对，给出如下定义：记m＝，n＝（a＞0，b＞0），将（m，n）与（n，m）称为数对（a，b）的对“对称数对”．例如：（4，1）的一对“对称数对”为（，1）与（1，）．
（1）数对（25，4）的一对“对称数对”是 （，2） 和 （2，） ；
（2）若数对（x，2）的一对“对称数对”的一个数对是（，1），求x的值；
（3）若数对（a，b）的一对“对称数对”的一个数对是（，3），求ab的值．
【分析】（1）根据新定义即可得出结论；
（2）根据新定义，列等式＝1，解方程进而得出结论；
（4）根据新定义，列方程组，解出进而得出结论．
【解答】解：（1）∵＝，＝2，
∴数对（25，3）的一对“对称数对”是（，2）与（2，），
故答案为：（，2）与（2，）；
（2）∵数对（x，2）的一个“对称数对”是（，1），
∴＝1，
∴x＝1；
（3）∵数对（a，b）的一个“对称数对”是（，3），
∴或，
解得或，
∴ab＝9或．
【点评】此题主要考查了新定义，解方程组，解方程，理解和应用新定义是解本题的关键．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图，把一个等腰直角三角板AEM放置于矩形ABCD上，AE＝BC＝13，AB＝24．三角板的一个锐角的顶点放在A处，且直角边AE在矩形内部绕点A旋转，在旋转过程中EM与CD交于点F．
（1）如图1，
①旋转过程中线段DF与EF有何数量关系？并给出证明；
②连接EC，EB，若△ECB为等腰三角形，求DF的长；
（2）如图2，以AD为边在矩形内部作正方形ADHI，直角边EM所在的直线交HI于O，交AB于G．设DF＝m，请你用m的代数式表示OH的长．
【分析】（1）①连接AF，根据HL证直角三角形ADF≌直角三角形AEF，即可得出结论；
②分三种情况进行讨论求值即可；
（2）同理（1）得出OE＝OI，即OI＝HI﹣OH，再利用勾股定理得出OH即可．
【解答】解：（1）①DF＝EF，理由如下：
连接AF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝13，∠D＝90°，
∵AE＝BC＝13，
∴AD＝AE＝13，
在Rt△ADF和Rt△AEF中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△AEF（HL），
∴DF＝EF；
②分三种情况：
（Ⅰ）如图2，连接BE，BC，当BE＝BC＝13时，过E作EP⊥CD于P，延长PE交AB于Q，
则PQ⊥AB，四边形AQPD是矩形，
∵AE＝BC，BE＝BC，
∴AE＝BE，
∵EQ⊥AB，
∴AQ＝QB＝AB＝12，
在Rt△AEQ中，∠AQE＝90°，AE＝13，AQ＝12，
∴EQ＝＝5，
∴PE＝PQ﹣EQ＝13﹣5＝8，
设DF＝x，则EF＝x，FP＝12﹣x，
在Rt△PEF中，∠EPF＝90°，
∴PE2+FP2＝EF2，
即82+（12﹣x）2＝x2，
解得x＝，
∴DF＝；
（Ⅱ）如下图，连接BE，CE，当EC＝BC＝13时，连接AC，
∵AE＝BC＝13，EC＝BC＝13，
∴AE＝EC＝13，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝24，BC＝13，
∴AC＝＝，
∵AE+EC＝13+13，
∴△AEC不存在，
即此种情况不存在；
（Ⅲ）如下图，连接BE，CE，当EC＝EB时，过点E作EP⊥CD于点P，延长PE交AB于点Q，则PQ⊥AB，四边形AQPD是矩形，
∵EC＝EB，
∴点E在BC的垂直平分线上，
∴PE＝EQ＝，
∵EQ＝AE，∠AQE＝90°，
∴∠EAQ＝30°，
∴∠PEF＝∠EAQ＝90°﹣∠AEQ＝30°，
∴EF＝＝，
∴DF＝EF＝，
综上所述，存在△ECB为等腰三角形，DF的长为或；
（2）如下图，
同理（1）可得OE＝OI，
∴OF＝OE+EF＝OI+DG＝OI+m，
∵OI＝HI﹣OH＝13﹣OH，
∴OF＝13﹣OH+m，
在Rt△OFH中，∠OHF＝90°，
∴OH2+FH2＝OF2，
又∵FH＝13﹣m，OF＝13﹣OH+m，
∴OH2+（13﹣m）2＝（13﹣OH+m）2，
解得OH＝．
【点评】本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
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